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Estadstica Descriptiva

Mtodos grficos

Diagrama de Barras

Ejemplo 1:

De un conjunto de 30 empleados se estudia la cantidad de das que se llegaron tarde desde el mes de marzo al mes de junio del 2014.

1 1 1 1 1 2 4 4 4 4

4 4 4 4 5 5 5 5 5 5

5 5 6 6 6 7 7 8 9 9

Valor Frecuencia Frecuencia relativa

1 5 5/30 = 0.167

2 1 1/30 = 0.033

3 0 0/30 = 0

4 8 8/30 = 0.267

5 8 8/30 = 0.267

6 3 3/30 = 0.1

7 2 2/30 = 0.067

8 1 1/30 = 0.033

9 2 2/30 = 0.067

n = 30 suma de las frec. relativas = 1

20.5 19.5 15.6 24.1 9.9

15.4 12.7 5.4 17.0 28.6

16.9 7.8 23.3 11.8 18.4

13.4 14.3 19.2 9.2 16.8

8.8 22.1 20.8 12.6 15.9

Ejemplo 2:

Relacin precio-rendimiento de 25 acciones (price earnings ratios)


[5, 9) 3 3/25 = 0.12

[9, 13) 5 5/25 = 0.20

[13, 17) 7 7/25 = 0.28

[17, 21) 6 6/25 = 0.24

[21, 25) 3 3/25 = 0.12

[25, 29) 1 1/25 = 0.04

n = 25 suma de las frec.

relativas = 1

Ejemplo 3: Los datos que se presentan a continuacin indican el ingreso per capita en miles de dlares para 50 estados de EEUU en 1983.

Estado Ingreso Estado Ingreso Estado Ingreso Estado Ingreso

AL 9.2 IN 10.5 NE 11.2 SC 9.2

AK 17.2 IA 10.7 NV 12.5 SD 9.8

AZ 10.7 KS 12.2 NH 12.2 TN 9.5

AR 9.0 KY 9.4 NJ 14.1 TY 11.7

CA 13.3 LA 10.3 NM 9.6 UT 9.0

CO 12.8 ME 9.8 NY 13.0 VT 10.0

CT 14.9 MD 13.0 NC 9.8 VA 12.1

DE 12.7 MA 13.3 ND 11.7 WA 12.2

FL 11.6 MI 11.5 OH 11.2 WV 9.2

GA 10.4 MN 11.9 OK 11.0 WI 11.4

HI 12.1 MS 8.1 OR 10.7 WY 11.9

ID 9.6 MO 11.0 PA 11.5

IL 12.4 MT 9.9 RI 11.7

Si agrupamos en intervalos de igual longitud resultaran intervalos sin observaciones, por ejemplo:


[8, 9) 1 1/50 = 0.02

[9, 10) 13 13/50 = 0.26

[10, 11) 7 7/50 = 0.14

[11, 12) 13 13/50 = 0.26

[12, 13) 9 9/50 = 0.18

[13, 14) 4 4/50 = 0.08

[14, 15) 2 2/50 = 0.04

[15, 16) 0

[16, 17) 0

[17, 18) 1 1/50 = 0.02

total 50 1

Ejemplo 4: A cada miembro de una muestra de 120 dueos de motocicletas, se les pregunt la marca de su mquina. Se obtuvo la siguiente tabla de frecuencias:

Marcas Frecuencia Frec. relativa

Honda 41 0.34

Yamaha 27 0.23

Kawasaki 20 0.17

Suzuki 18 0.15

Harley Davidson 3 0.03

Otras 11 0.09

n = 120 1

(por redondeo: 1.01)

Ejemplo 5: Con el objetivo de estudiar la situacin laboral de las personas en relacin con el nivel de educacin que ellas han alcanzado se registraron los siguientes datos:

Mximo

nivel

Nivel

Avanzado

Otras

calificaciones

Sin

calificacion

es

Totales

En

actividad

8.224 5.654 11.167 2.583 27.628

Desem-

pleado

217 231 693 303 1.444

Inactivo 956 1.354 3.107 2.549 7.966

Totales 9.397 7.239 14.967 5.435 37.038

El diagrama de barras con los totales de cada categora de la situacin laboral muestra como es la situacin laboral de los encuestados sin considerar su nivel de educacin:

Table 1 referencias: 1 en actividad; 2 desempleado; 3 - inactivo

El diagrama de barras que permite ver el nivel educativo en cada una de las categoras de la situacin laboral el diagrama de barras mltiple siguiente:

Table 2 referencias: serie 1- activos; serie 2 - desempleados; serie 3 -inactivos Eje x: 1- nivel mximo; 2-nivel avanzado; 3-otras calificaciones; 4-s/calificaciones

Estadstica Descriptiva

Mtodos numricos

a.- Medidas de localizacin

b.- Medidas de dispersin

I.- Media o Promedio muestral:

a.- Medidas de localizacin

Si nuestro conjunto de datos es x1, x2, ..., xn la

Media o Promedio muestral se lo define y

calcula como:

1

n

i

i

x

xn

Se recomienda usar un dgito decimal ms que los

utilizados para las observaciones xi .

Ejemplo 2: Si lo datos vienen dados por sus tablas de frecuencia, como en el

ejemplo de la cantidad de das que los 30 empleados de una fbrica

llegan tarde en un trimestre de trabajo:

Valor Frecuencia

1 5

2 1

3 0

4 8

5 8

6 3

7 2

8 1

9 2

n = 30

1

1

c

i i

i

c

i

i

x f

x

f

1*5 3*1 4*8 5*8 6*3 7*2 8*1 9*2

30x

4.6x

Si la poblacin es finita, de tamao N, entonces

la media poblacional es:

1

N

i

i

x

N

Si se conocen los datos poblacionales

agrupados por intervalos de clase podemos

estimar esta media poblacional con la frmula:

1

1

c

i i

i

c

i

i

x f

f

donde fi es la frecuencia del

intervalo, xi es el punto medio

del intervalo y c es la cantidad

de intervalos de clase

Otras veces se necesita calcular el promedio pesado

porque los valores corresponden a distintos porcentajes

de la poblacin. Por ejemplo:

Ejemplo 6:

Los costos por alumno de los diferentes niveles

educativos en Inglaterra en libras son:

Primaria: 890; Secundaria: 1450; post secundaria:1910

La proporcin de alumnos en cada nivel educativo es:

Primaria: 44,4%; Secundaria: 38,9%; post secundaria:

16,7%.

El gasto promedio de un alumno cualquiera de ese pas

es (media poblacional):

890*0.44 1450*0.389 1910*0.167

= 1277.8 libras

II. Modo:

Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en el

conjunto de datos.

Ejemplo 7:

Se registra en dos negocios la cantidad de vestidos de los

distintos talles que se venden en una semana de trabajo.

Los datos son:

Talles Cantidad de vestidos

8 7

10 25

12 36

14 11

16 3

118 1

Talles Cantidad de vestidos

8 8

10 25

12 25

14 15

16 9

118 1

unimodal (un solo modo) bimodal (tiene dos modos)

III. Mediana:

Sean x1, x2, ..., xn las observaciones. Los datos ordenados

de menor a mayor se notan:

(1) (2) ( ); ;...; nx x x

Se define la mediana muestral como:

valor medio o central si n es imparx

promedio de las dos observaciones centrales si n es par

Al igual que en el caso de la media, podemos pensar un

una mediana poblacional a la que notaremos:

Para calcular la mediana en el caso de datos

agrupados por intervalos de clase se debe calcular el

intervalo donde estar ubicada la mediana y usar la

siguiente frmula:

1

2L U L

NF

x x x xf

xL = lmite inferior del intervalo que contiene a la mediana.

xU = lmite superior del intervalo que contiene a la mediana.

N = nmero total de observaciones.

F = frecuencia acumulada hasta el intervalo ms prximo al

de la mediana;

f = frecuencia del intervalo donde se encuentra la mediana.

Ejemplo 3:

Los datos que se presentan a continuacin indican el ingreso per

capita en miles de dlares para 50 estados de EEUU en 1983.

Valor Frecuencia Frecuencia

acumuladas

[8, 9) 1 1

[9, 10) 13 14

[10, 11) 7 21

[11, 12) 13 34

[12, 13) 9 43

[13, 14) 4 47

[14, 15) 2 49

[15, 18) 1 50

totales 50 50

11Lx

12Ux

N = 50

F = 21

f = 13

11.35x

IV. Cuartiles y percentiles:

Ejemplo 3:



Calcular el tercer cuartil (75% de los datos a su izquierda)

Valor Frecuenc

ia

Frecuencia

acumuladas

[8, 9) 1 1

[9, 10) 13 14

[10, 11) 7 21

[11, 12) 13 34

[12, 13) 9 43

[13, 14) 4 47

[14, 15) 2 49

[15, 18) 1 50

totales 50 50

0.75

3 1

4L U L

NF

x x x xf

0.7538,25 34

12 13 129

x

0.75 12.47x

Ejemplo 2:

En el ejemplo de la cantidad de das que los 30 empleados de una

fbrica llegan tarde en un trimestre de trabajo:

Valor Frecuen-

cia

Frec.

Acumu-

lada

1 5 5

2 1 6

3 0 6

4 8 14

5 8 22

6 3 25

7 2 27

8 1 28

9 2 30

n = 30

El primer cuartil indica el 25% de

las observaciones:

F= 0.25*31 = 7.75

corresponde a x=4

El tercer cuartil indica el 75% de

las observaciones:

F= 0.75*31 = 23.5

corresponde a x=6.

Ejemplo para datos listados:

a) Sean las siguientes 8 observaciones ordenadas:

2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 8 ; 8 ; 9.2 ; 10.

QI est en la posicin 9/4= 2.25 3 0.25* 5 3 3.50 IQ

Q3 est en la posicin 27/4= 6.75 3 8 0.75* 9.2 8 8.9 Q

b) Si tuvisemos 9 observaciones:

2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 8 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12.

QI est en la posicin 10/4= 2. 5 3 0.5* 5 3 4 IQ

9 0.5* 10 9 9.5 IQ Q3 est en la posicin 30/4= 7.5

b.- Medidas de dispersin

I.- Rango muestral:

Se define como la diferencia entre el valor mximo y el valor

mnimo de la muestra.

r = mx(xi) mn(xi) = ( ) (1)nx x

Ejemplo:

x 0 5 5 5 10

y 0 1 5 9 10

5x y 5x y rx = ry = 10

II.- Varianza y Desvo estndar:

a. Varianza poblacional para una poblacin finita

Para datos listados: 2 2

1

1( )

n

i

i

xN

Para tabla de frecuencias: 2 2

1

1

1( )

c

i ic

ii

i

f x

f

b. Varianza muestral

Para datos listados: 2 2

1

1( )

1

n

i

i

s x xn

Para tabla de frecuencias: 2 2

1

1( )

1

c

i i

i

s f x xn

Frmulas de clculo para la varianza poblacional

2 2

2 1

N

i

i

x N

N

2 2

2 1

n

i i

i

x f N

N

Frmulas de clculo para la varianza muestral

2 2

2 1

1

n

i

i

x nx

sn

2 22 1 1

1

1

c c

i i i

i i

c

i

i

x f x f

s

f

El desvo estndar muestral, notado con s , es la raiz cuadrada

de la varianza

Ejemplo 3:

Los datos corresponden al ingreso per capita en miles de

dlares para 50 estados de EEUU en 1983. Calcular la

varianza de esta muestra. Valor fi xi xifi

[8, 9) 1 8.5 8.5 72.25 72.25 [9, 10) 13 9.5 123.5 90.25 1173.25 [10, 11) 7 10.5 73.5 110.25 771.75 [11, 12) 13 11.5 149.5 132.25 1719.25 [12, 13) 9 12.5 112.5 156.25 1406.25 [13, 14) 4 13.5 54.0 182.25 729 [14, 15) 2 14.5 29.0 210.25 420.5 [15, 18) 1 16.5 16.5 272.25 272.25

totales 50 6564.5

2

ix2

i ix f

11.34x

22 6564.5 50*11. 2.7494

3

49

4s

2 1.658s s

El desvo estndar es aproximadamente 1658 dlares

III.- Coeficiente de variacin:

Datos poblacionales: .coef var

Datos muestrales: .s

coef varx

Ejemplo 8:

El salario promedio de las mujeres es $16.800 y el desvo

estndar es $3.800. Para los hombres el salario promedio es

$19.500 y el desvo $4.750. Cul de las dos poblaciones

tiene mayor variabilidad?

0.24364750

.19500

coef var hombres

30

800.

16800.2262coef var mujeres

El desvo es mayor en los hombres.

V.- Rango intercuartil:

Se define como la diferencia entre el tercer cuartil y el

primer cuartil:

3 1Id Q Q

Indica la amplitud del intervalo que contiene al 50%

de las observaciones centrales.

VI. Diagrama de caja o box-plot:

Permite describir caractersticas del conjunto de datos, por

ejemplo:

centro

dispersin

naturaleza y magnitud de cualquier desviacin de la simetra

identificacin de puntos atpicos (outliers)

2.68 3.06 4.31 4.71 5.71 5.99 6.06 7.04 7.17 7.46 7.50

8.27 8.42 8.73 8.84 9.14 9.19 9.21 9.39 11.28 15.19 21.06

Ejemplo:

Consideremos las siguientes observaciones ya

ordenadas ( n = 22 ).

Ejemplo 1:

Losdatos corresponden al ejemplo de la cantidad de das que

los 30 empleados de una fbrica llegan tarde en un trimestre

de trabajo:

Valor Frecuencia

1 5

2 1

3 0

4 8

5 8

6 3

7 2

8 1

9 2

n = 30

Ejemplo 2:

Relacin precio-rendimiento de 25 acciones

(price earnings ratios)

Valor Frecuencia

[5, 9) 3

[9, 13) 5

[13, 17) 7

[17, 21) 6

[21, 25) 3

[25, 29) 1

n = 25

Ejemplo 3:



Valor Frecuencia

[8, 9) 1

[9, 10) 13

[10, 11) 7

[11, 12) 13

[12, 13) 9

[13, 14) 4

[14, 15) 2

[15, 18) 1

totales 50

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