estadistica

MduloII.ExploracindeDatosyEstadsticaEspacialUnidad4.Conceptosbsicosdeestadstica

CursoelearningdeCartografatemticaavanzada

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Unidad4.Conceptosbsicosdeestadsticadescriptiva,estadsticainferencialyteoradelaprobabilidad.GuatericaNDICE

1. INTRODUCCIN ....................................................................................................................................22. CONCEPTOSBSICOSDEESTADSTICADESCRIPTIVA......................................................................................2

2.1Representacindedatos:tablasygrficos ...................................................................................2Tablasestadsticas.Frecuencias ...................................................................................................................... 2Frecuenciasacumuladas.................................................................................................................................. 5Representacingrfica:pictogramas,diagramasdesectores,diagramasdebarras,polgonodefrecuencias,polgonodefrecuenciasacumuladas,seriestemporales ................................................................................ 6

2.2Medidasestadsticasdescriptivas..................................................................................................9Medidasdecentralidad................................................................................................................................... 9Medidasdedispersin................................................................................................................................... 13Medidasdeformadeladistribucin............................................................................................................. 15Medidasdecomplejidadydimensionalidad ................................................................................................. 16Transformacionesdedatosytransformacionesinversas.............................................................................. 18

3. CONCEPTOSBSICOSDEESTADSTICAINFERENCIALYTEORADELAPROBABILIDAD ...........................................203.1Conceptosbsicosdeteoradelaprobabilidad ..........................................................................203.2Conceptosbsicosdeinferenciaestadstica ................................................................................22

Teorademuestreo ....................................................................................................................................... 22Muestrasrepresentativas.............................................................................................................................. 22Estimacindelosparmetrospoblacionales ................................................................................................ 25

4. REFERENCIAS.................................................................................................................................26



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1. INTRODUCCIN La estadstica descriptiva (en los ltimos aos tambin llamada Anlisis de Datos) estcompuesta por una serie de tcnicas orientadas a extraer informacin de un conjunto dedatos,mediantedeterminadasmedidasqueresumen losprincipalesrasgosde ladistribucinde frecuenciasdeese conjuntodedatos. Laestadstica inferencial,por suparte, tieneporobjetolaverificacindeinferenciasacercadelosparmetrosdelapoblacinodelcolectivodeobjetosaanalizarapartirdeunamuestraosubconjuntodeelementosconocidos.En nuestro caso, aplicaremos la estadstica descriptiva para el anlisis de las diferenciasespacialesentreunidadesterritoriales(divisionesadministrativasocualquieradelasvariablesconunadistribucinespacialdada)yalaelaboracindecartografatemtica.

2. CONCEPTOS BSICOS DE ESTADSTICA DESCRIPTIVA Convieneiniciaresteapartadodiferenciandoinicialmente lasvariablesgeogrficasenfuncinde su naturaleza: cualitativas y cuantitativas. Las primeras son aquellas que clasifican a losindividuosgeogrficosenfuncindeunacategoraoetiqueta(agrupacindemunicipiossegncomarcas, provincias o comunidades autnomas de pertenencia, usos de suelo, unidadgeolgica,etc.).Lasvariablescuantitativasaplicanunaunidaddemedidaatodoslosobjetosoindividuos,demaneraqueesposiblediferenciarlosporvaloresconcretosyprecisos.

2.1 REPRESENTACIN DE DATOS: TABLASY GRFICOS Tablasestadsticas.FrecuenciasLastablasestadsticaspermitenconocerelnmerodevecesqueserepiteunfenmeno.Ensunivelmsdesagregadosetratadeunlistadodevalores,quemuestraladistribucindevaloresde la variable representada. Sobre estos datos realizaremos despus las operacionesencaminadasacalcular lasmedidasestadsticasbsicas.Amododeejemplo,en latabla1sepresentaladistribucindelPIBpercapitaporhabitantesenlasprovinciasespaolas.



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Tabla1:PIBpercpitaenEspaaanivelprovincialen2005.IDTERRITORIO TERRITORIO CODCOMUNIDAD COMUNIDAD PIB_HAB_2005PRO01 lava CCA16 PasVasco 29132,1PRO02 Albacete CCA08 CastillaLaMancha 15561PRO03 Alicante CCA10 ComunidadValenciana 16398,7PRO04 Almera CCA01 Andaluca 18796,5PRO05 vila CCA07 CastillayLen 17517,8PRO06 Badajoz CCA11 Extremadura 14475,6PRO07 Balears(Illes) CCA04 Balears(Illes) 22997,9PRO08 Barcelona CCA09 Catalua 25889,6PRO09 Burgos CCA07 CastillayLen 22461PRO10 Cceres CCA11 Extremadura 15966,9PRO11 Cdiz CCA01 Andaluca 15174,6PRO12 Castelln CCA10 ComunidadValenciana 22190PRO13 CiudadReal CCA08 CastillaLaMancha 17450,8PRO14 Crdoba CCA01 Andaluca 15512,4PRO15 Corua(A) CCA12 Galicia 19526PRO16 Cuenca CCA08 CastillaLaMancha 17449PRO17 Girona CCA09 Catalua 27016,6PRO18 Granada CCA01 Andaluca 14999,4PRO19 Guadalajara CCA08 CastillaLaMancha 17219,3PRO20 Guipzcoa CCA16 PasVasco 27018,5PRO21 Huelva CCA01 Andaluca 17761,1PRO22 Huesca CCA02 Aragn 21220,2PRO23 Jan CCA01 Andaluca 14673,6PRO24 Len CCA07 CastillayLen 20158,2PRO25 Lleida CCA09 Catalua 22722,7PRO26 Rioja(La) CCA17 Rioja(La) 23626,7PRO27 Lugo CCA12 Galicia 16402,1PRO28 Madrid CCA13 Madrid(Comunidadde) 28980,8PRO29 Mlaga CCA01 Andaluca 17973,2PRO30 Murcia CCA14 Murcia(Reginde) 17919,3PRO31 Navarra CCA15 Navarra(Comunidadforalde) 27237,2PRO32 Ourense CCA12 Galicia 16130,6PRO33 Asturias CCA03 Asturias(Principadode) 19428,6PRO34 Palencia CCA07 CastillayLen 21056,7PRO35 Palmas(Las) CCA05 Canarias 18493,5PRO36 Pontevedra CCA12 Galicia 17101,2PRO37 Salamanca CCA07 CastillayLen 19565,2PRO38 SantaCruzdeTenerife CCA05 Canarias 17828,2PRO39 Cantabria CCA06 Cantabria 21847,7PRO40 Segovia CCA07 CastillayLen 20201,5PRO41 Sevilla CCA01 Andaluca 16441,3PRO42 Soria CCA07 CastillayLen 21909,8PRO43 Tarragona CCA09 Catalua 25178,4PRO44 Teruel CCA02 Aragn 21209,8PRO45 Toledo CCA08 CastillaLaMancha 16294,2PRO46 Valencia CCA10 ComunidadValenciana 20800PRO47 Valladolid CCA07 CastillayLen 23095,9PRO48 Vizcaya CCA16 PasVasco 29349PRO49 Zamora CCA07 CastillayLen 16830,5PRO50 Zaragoza CCA02 Aragn 24814,3Fuente:DatosEconmicosysociales.CajaEspaa,2006



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Con el fin de reducir la presentacin de los datos y poder elaborar una representacin decartogrficadelosmismoseshabitualagruparlosvaloresenclasesypresentarlafrecuenciadelasmismas(nmerodeunidadesterritorialesqueseincluyenencadaclase),estosdatossepresentanenunatabladefrecuencias.Comoejemplo,tomandoladistribucindelarentaanivelprovincialesposibleagrupar losvaloresprincipalesen intervalos igualesypresentarelnmerodeprovinciasencadaunodeellos.Esdecir,presentamos las frecuenciasabsolutas(repeticiones)decadaunadeesasclases(Tabla2).Eshabitualpresentarestslasfrecuenciasde forma porcentual, frecuencias relativas o porcentuales, que se calculan dividiendo lasfrecuencias absolutas por el total de observaciones (multiplicando por 100 en lasporcentuales).Estasltimaspermitenverelpesodecadaclasesobreeltotal.Latabladefrecuenciasparaunavariablecualitativaonominalpresentaelnmerodecasosencadaunadelascategorasposibles.Paraelaboraruna tablade frecuenciasenelcasode lasvariablescuantitativasennecesarioestablecerantes lasclasesogrupos.Elnmerodeclasesesvariable,estandoenfuncindelnmero de observaciones. Algunos autores proponen que una distribucin de frecuenciasdebetenerunnmerodeclasesnoinferiora6ysuperiora20.Otroshanpropuestoalgunasformulacionesparaestablecerelnmerodeclasesapartirdelnmerodeobservaciones (lamsfamosaes ladeHuntesberge loestimacon laformula ,siendonelnmero de observaciones). En realidad, no existe una regla fija, lo ms recomendable esestablecerelnmerodeintervalosdespusdeunabuenaobservacindelosdatos.Paraestablecerloslmitesdelasclasessepartedelrangodelavariable,queseobtienecomola diferencia entre el valormximo y elmnimo. Dividiendo el rango de la variable por elnmero de clases se obtiene el ancho de cada una de las clases, de manera que puedencalcularseloslmitesentreestas.Seconocecomomarcadeclaseopuntomedioalvalorquerepresentalamitaddecadaclaseestablecida.Sitomamoscomoejemplolatabla1,podemosagruparlasprovinciasespaolassegnsurentaen 6 intervalos (aplicando la frmula de Huntesberge K= 1+33log1050=66), con un anchosimilar (RangoVariable=2934914475=14874;anchode los intervalos=14874/6=2479),talcomo se presenta en la tabla 2. El nmero de provincias segn intervalos representa lafrecuencia de la distribucin y la frecuencia relativa se obtiene como el porcentaje de lafrecuenciaabsolutadecadaclasesobreeltotaldeprovincias.



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Tabla 2: Nmero de provincias segn PIB por habitante: intervalos iguales, frecuenciasabsolutasyrelativas.

Clases Marcadeclase Nmerodeprovincias(frecuencia)

Frecuenciarelativa(%)

14475 16954,5 15714,8 13 26,016954,5001 19433,4 18194,0 12 24,019433,4001 21912,3 20672,9 10 20,021912,3001 24391,2 23151,8 6 12,024391,2001 26870,1 25630,7 3 6,026870,1001 29350 28110,1 6 12,0

Total 50 100,0Cuandoseanalizaladistribucindeunavariableeneltiemposehabladeseriestemporales.Deestamanera,eltiemposirvedereferenciayunavariableseobservayanalizaenfuncindelmismo.Para ladescripcindeunaserie temporales frecuente laelaboracindenmeros ndice.Setrata de igualar un ao base a un valor (normalmente 100) y analizar la evolucin porcomparacinconelvalorparaeseaobase:

(1)Donde: eselvalordelndiceparaelaoi eselvalordelavariableenelaoi eselvalordelavariableenelaodereferenciaTabla3:Evolucindelapoblacinenlaregincentro.Absolutaynmerondicesrespectoalasituacinde1991

Total 1991=100Provincias

1991 2001 2006 1991 2001 2006vila 174378 163885 167818 100 94,0 96,2Cuenca 205198 201526 208616 100 98,2 101,7Guadalajara 145593 171532 213505 100 117,8 146,6Madrid 4947555 5372433 6008183 100 108,6 121,4Segovia 147188 147028 156598 100 99,9 106,4Toledo 489543 536131 615618 100 109,5 125,8

FrecuenciasacumuladasLa distribucin de frecuencias presentarse de forma acumulada. Si los valores no han sidoagrupadosenclaseslasfrecuenciasacumuladassecorrespondenalnmerodeobservaciones



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convalor igualo inferioralconsiderado.Cuando losdatossepresentanagrupadosenclases,stas son ordenadas desde las de valores inferiores a los mayores, y para cada clase lasfrecuenciasabsolutasacumuladas secorrespondenconelnmerodeobservacionesenesaclaseylasinferiores.Eshabitualpresentarlosdatosdefrecuenciasacumuladasporcentuales,demaneraquesepresentanelporcentajedeunidadesincluidasencadaclaseyenlasclasesdeordeninferioralasmismas.Tabla4:DistribucindelPIBporhabitanteprovincial:frecuenciasabsolutasacumuladasyporcentuales

Clases Marcadeclase

Nmerodeprovincias(frecuencia)

Frecuenciarelativa(%)

Frecuenciaacumuladas

Frecuenciaacumuladasrelativas(%)

14475 16954,5 15714,8 13 26,0 13 26,016954,5001 19433,4 18194,0 12 24,0 25 50,019433,4001 21912,3 20672,9 10 20,0 35 70,021912,3001 24391,2 23151,8 6 12,0 41 82,024391,2001 26870,1 25630,7 3 6,0 44 88,026870,1001 29350 28110,1 6 12,0 50 100,0Total 50 100,0

Representacingrfica:pictogramas,diagramasdesectores,diagramasdebarras,polgonodefrecuencias,polgonodefrecuenciasacumuladas,seriestemporalesLastablasestadsticaspuedenserrepresentadasapartirdeunanumerosaseriedegrficos,quepermitenvisualizardeformarpidalainformacingeogrfica.Un diagrama de barras permite representar la importancia cuantitativa de las diferentescategoras de una variable cualitativa. De esta forma, mediante el diagrama de barras esposiblerepresentarladistribucindeusosdelsueloenundeterminadoespacioapartirdelasuperficie que estos ocupan (figura 1), o la importancia de los parque naturales de unadeterminada comunidad autnoma a partir del nmero de municipios que los integran onuevamentedesusuperficietotal.



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Figura1:GrficodebarrasobtenidoenArcGISdelasuperficie(m2)delosusosdelsueloenlaComunidaddeMadrid.

Fuente:elaboracinpropiaElhistogramade frecuencias se construye conun eje verticalque representa la frecuenciaabsolutaorelativayunejehorizontalpara lasclases,quesondefinidasporsu intervaloysupuntomedio omarca de clase (figura 2). En el histograma de frecuencias las barras estncontiguas, pues implican diferencias cuantitativas entre ellas. El polgono de frecuenciasaprovechaelmismomaterialqueelhistogramapero tomandonounabarra sinouna lneapoligonal comoesquemade representacin.Paraello sedefine como identificadorde cadabarraelpuntomediodelamisma(omarcadeclase)ycomovalorelquecorrespondeconlafrecuencia.



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Figura2:HistogramadefrecuenciasdeladistribucindelPIBporhabitanteanivelprovincial(obtenidaenArcGIS)

Undiagramadesectores (conocido frecuentementecomoungrficode tarta)sebasaen lamisma idea que un diagrama de barras o un grfico de frecuencias. Puede usarseindistintamenteparavariablescualitativasocuantitativas.Surepresentacinhaceequivalerlafrecuenciadelascategorasodelasclasesestablecidasdeformaproporcionalalreadeunacircunferencia(Figura3).Figura3:GrficodetartasdelasfrecuenciasdeladistribucindelPIBporhabitanteanivelprovincial(obtenidaenExcel)



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Finalmente, los grficos de series temporales representan en el eje horizontal la variabletemporal,mientrasenelejevertical sepresentan losvaloresde lavariableoen su caso laconversindeestaavalores ndices.Lautilizacindevalores ndicepermite laposibilidadderepresentardosomsvariableseneltiempo,aunqueeststengasrangosmuydiferentes.

2.2 MEDIDAS ESTADSTICAS DESCRIPTIVAS Apartirdeladistribucindefrecuenciasdelasvariablesesposibleobtenertodaunaseriedemedidas estadsticas bsicas que permiten conocer las caractersticas bsicas de esadistribucin.MedidasdecentralidadoposicincentralLasmedidasdetendenciacentral(tambinllamadaspromedios)representanelvalormedioocentraldelconjuntodedatosanalizado.Cadaunadelasmedidasquevamosapresentarsoncomplementarias, de manera que las diferencias entre ellas reflejas las caractersticasparticularesdecadaunadeellas.Enelanlisisde la informacingeogrfica lasmedidasdetendenciacentralmsusadassonlamedia,lamedianaylamoda,aunqueveremostambinlamediaarmnicaylamediageomtrica.a) Lamediaaritmticaes lamedidadecentralizacinmsconocida.Secalculasumando

todoslosvaloresdelavariableydividiendolasumaentreelnmerodecasos:

Cuando los datos se presentan distribuidos en una tabla de frecuencias la mediaaritmtica se calcula a partir de las marcas de clase, multiplicando estas por lafrecuenciadesuclaseydividiendoentreelnmerodedatos.Laformulacines laquesigue:

Siendo las marcas de clase y la frecuencia absoluta del intervalo isimo.(Observacin Nni )

Enotroscasos,tiene intersasociara losdatosoa lasfrecuenciasde los intervalosunfactoropesoquedependedelaimportanciadecadavalor.Enestoscasossecalculauna



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mediaponderada,quetratadedaruna importanciamayoradeterminadosvaloresenfuncin de otra variable asociada a los mismos. Con unidades espaciales, es muyfrecuenteporejemploenelcasodelasvariablesasociadasdivisionesadministrativasodeotrostipos,ponderarlasmediasdelasvariablesporsusuperficieoporsupoblacin,primandoas losvaloresdeaquellasdivisionesconmayor tamaoomspobladas.Elclculo de la media ponderada se realiza multiplicando los valores por su factor deponderacin o peso (en el caso de datos agrupados multiplicando por el peso a lamultiplicacindelamarcadeclaseporlafrecuencia)ydividiendoentrelasumatotaldelospesos.Laformulacines:

paradatosagrupados:

Donde sonlospesos.

Existenotrasdosmediasquepuedenresultardeinters.Porunlado,cuandosetrabajacon variables referidas a tasas de cambio o movimiento se usa la media armnica,calculadacomolainversadelamediadelosinversosdelosvalores:

por otro lado, cuando la variable crece de forma geomtrica se utiliza la mediageomtrica, definida como la raznsimadelproducto de los datos.Aunquepor sumayorfacilidaddeclculosueleobtenersecomoelsumatoriode los logaritmosde losdatosdivididoentreelnmerototaldedatos:

niG xX

b) Lamodadeunavariableeselvalordelamismaquemsserepite,esdecir,elvalorms

observado.Presentadosproblemasimportantes:puedenoexistir(cuandoenunconjuntodedatosningunoserepita),puedenaparecerdosomsmodas(sidosomsvaloressondominantes,hablandodedistribucionesbimodales,trimodales,etc.).Finalmente,setratadeunvalorenelquenoestinferidoparaelrestodelosdatos.



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Ms inters tiene en el caso de las variables cualitativas o los datos agrupados enclasespuesreflejalacategoraolaclasemsdominante.Enungrficodefrecuenciasabsolutassecorrespondecon labarramselevada.En ladistribucindefrecuenciasdeusosdelsueloen laComunidaddeMadridpresentadaen la figura1, lamodasecorrespondeconlacategorasecanoyaqueeslaquetieneunasuperficiemayor(esdecir,aparececonmayorfrecuencia).Para lasvariablescuantitativasagrupadasen intervalosde igualamplitud lamodasecalculaapartirdelasiguientefrmula:

Donde: es el lmite inferiorde la clase conmayor frecuencia, es el anchode las

clases, esladiferenciadelasfrecuenciasentreelintervaloconmayorfrecuenciayel

anterior, y es la diferencia de las frecuencias entre el intervalo con mayorfrecuenciayelsuperior.Enelcasode ladistribucinprovincialsegnrangosdePIBporhabitantepresentadaenlatabla2,lamodasecorrespondeconlaclasemsbaja(De14475a16954,5),queserepiteen13ocasiones.

c) Lamedianaeselvalortalque,ordenandolosdatosdemenoramayor,dejaporencimay por debajo el 50% de los datos de la distribucin. Cuando el numero de datos de lavariableesimparelvalordelamedianaeselvalorcentral,cuandoelnmerodedatosesparelvalordelamedianaeslamediadelosdosvalorescentrales.

Paravariablesagrupadasentablasdefrecuencias lamedianasecalculaapartirde laclaseo intervalocrtico,queesaquelcuyafrecuenciaacumuladaesmayoro igualal50%,yaplicandolasiguientefrmula:

(3)



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Donde: esel lmite inferiordel intervalo crtico, esel anchodel intervalo crtico, es la

frecuencia absoluta del intervalo crtico, es el nmero total de observaciones y es elnmerodeobservacionespordebajodelintervalocrtico.

De lasmedidasdecentralidad sobradecirque lamediaaritmticaes lamsutilizada,puesadems de su fcil clculo presenta una serie de propiedades importantes. Por un lado, lasuma de lasdesviaciones de los datos respecto a lamedia es cero, por otro, si se sumaomultiplica un valor constante a cada uno de los datos la media se mantiene constantesumndolaomultiplicndolaporesevalor.Sinembargo,lamediaestmuyafectadaporlosdatosextremos,ydejaderepresentarbienaladistribucincuandohayvaloresqueestnlejosdelrestodelosdatos.Enestoscasosesmsvalida lamediana, pues estmenos afectada por la variabilidad de los datos. La figura 1.4muestra las posiciones de los estadsticos de centralidad en una distribucin tpica.Igualmente,lamodanosueleverseafectadaporvariacionesfuertesenunodelosdatos.Figura4.Posicindelamedia,lamedianaylamodaenunadistribucindefrecuencias

Fuente:SpiegelyStephens(2003).Otrasmedidasdeposicinnocentrales:cuantiles,decilesopercentiles.Al igualque lamediana, loscuartiles secalculanordenando losdatosdemenoramayor,ybuscandoaquellosvaloresquedividenelconjuntodeladistribucinencuatropartesiguales.SedenominanprimerQ1,segundoQ2ytercerQ3cuartiles.Por lotanto,Q1dejapordebajoel25%delosdatosyporencimael75%,mientrasQ3dejapordebajoel75%delosvaloresyporencimael25%.Lgicamente,Q2coincideconlamediana.Deloanterior,sededucequeentreQ1yQ3hayun50%delosdatos.



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Delamismamanera,losvaloresquedividenalconjuntodedatosencincopartesigualessonllamadosquintiles(Q1,Q2,Q3yQ4),losquedividenalconjuntodedatosendiezpartesigualesson llamados deciles (D1,D2,D9) y los que lo hacen en 100 partes iguales son llamadospercentiles(P1,P2,P9).Tanto loscuartilescomo losdeciles,percentilesuotrosvaloresquesubdividen el conjunto de datos en grupos con el mismo nmero de valores se llamancuantiles.La figura5presentade formagrfica lasmedidasdeposicinocuantiles (yaseancuartiles,quintiles,decilesypercentiles):

Fuente:Gutirrezetal(1995).Tcnicascuantitativas(Estadsticabsica).Oikostau.BarcelonaMedidasdedispersinLasmedidasde centralizacinproporcionanuna informacinparcialde ladistribucinde lavariable.Elrangoyloscuantilesproporcionanciertainformacincomplementariaalasmediasdecentralizacinsobreladistribucindelavariable.Sinembargo,esnecesariocompletarestainformacinconmedidas relativasa lasdesviacionesde losdatosrespectoa lasmedidasdecentralizacin.Lasdosmedidasmsusadasson ladesviacintpicay lavarianza.Lavarianzase refiere a la media del cuadrado de las diferencias de los valores con la media. Laformulacineslaquesigue:

Losvaloresdelasdiferenciasrespectoalamediaseelevanalcuadradopuescomovimosunadelaspropiedadesdelamediaesquelasumadelasdesviacioneses0.Alelevarlosvaloresal



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cuadrado, estos toman siempre valores positivos, y cuando los valores son altos y lasdesviacionesgrandeslavarianzasergrande.Parareducirla,seutilizaladesviacintpica,queseobtienecomolarazcuadradadelavarianza:

Al igualque lasmedias,cuando losdatos lostenemosagrupadosenunatabladefrecuenciaslosvaloresdelavarianzayladesviacintpicasecalculanapartirdelasmarcasdeclaseysusfrecuencias:

y Otra forma de medir la variabilidad de los datos es respecto a la mediana. Existen dosmedidas: ladesviacin intercuatlica es ladiferencia entre el tercer y elprimer cuartil y elrangosemiintercuartlicoeslamediadeladesviacinintercuatlica:

213 QQc

CoeficientesdedispersinCualquierdistribucinpuedensercaracterizado,portanto,apartirdelamediayladesviacintpica.Deestaforma,ambasmedidassonusadasconfrecuenciaparacompararlasdiferenciasde lasdistribucionesdeunavariableendosespaciosdiferenteso laevolucindeunamismavariableendistintosmomentostemporales.Sinembargo,paracompararlavariabilidaddedatosquetienendistintasunidadesseutilizaelcoeficientede variacin dePearson. Este se calcula como elporcentajedel cociente de ladesviacin tpica entre lamedia, y tiene la ventaja de no poseer unidades, lo que permitecompararladispersinentredatosdedistintanaturaleza:

Con lamediana se calculael ndicede variabilidad,donde se comparael cociente entre ladesviacinintercuatlicaylamediana,multiplicndoloigualmentepor100.



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MedidasdeformadeladistribucinPero junto a lasmedidasde centralidad ydedispersin, conviene tambin atender aotrasmedidas que tienen que ver con la forma de la distribucin, y nos dan una informacinnuevamentecomplementariaalasanteriores.Laasimetramideelgradode concentracinde losdatosaun ladouotrode lamedia.Sehabladedistribucionessesgadasaladerechaoasimetrapositivacuandotieneunacolamslargahacialaderechadelamoda(lamodapresentaunvalormsbajoquelamedia),deigualmanera,losvaloresmsextremosestarnporencimadelamedia.Y,viceversa,sedicequeladistribucinestsesgadaalaizquierdaoquetienenasimetranegativacuandolacolaesmslargahacia la izquierdade lamoda (lamodapresentaun valormsaltoque lamedia), losvaloresmsextremosestarnpordebajodelamedia.Existenvariasfrmulasparacalcularlaasimetra.LamsprcticaeselndicedeasimetradePearson(As),ysebasaenlamedia,lamodayladesviacintpica:

Noobstante,paraelusodelamodaesfrecuentetambincalcularelcoeficientedeasimetraapartirdelamediana:

ModaxAs

Lacurtosismidequtanpuntiagudaesunadistribucin.Estoes,sienunaclaseoungrupodeclasescontiguasseconcentraungrannmerodedatos,dandolugaraunadistribucinmsomenospuntiaguda.Lafrmulaparacalcularlacurtosisutilizalamediayladesviacintpica:

44 )(

1 xxN

K i Alasdistribucionesquepresentanunpicopronunciadoselasdenominaleptocrticas(elvalorde la curtosis es superior a 3), por el contrario las figuras que presentan una distribucinachatadasedenominanplaticrticas(curtosismenora3).Aquellasquetienenunadistribucinnormal se lasconocecomomesocrticas (valoresalrededorde3).La figura1.3muestra losvaloresde asimetra y curtosisparaejemplosdehistogramasde frecuencias con asimetrasnegativasypositivasycurtosismspronunciadasoachatadas. La figuraest tomadadeunmanualclsicodegeoestadstica(Ebdon,1985).



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Figura 6. Ejemplo de valores de asimetra y curtosis en curvas de frecuencias con distintaforma.

Fuente:Ebdon(1985)MedidasdecomplejidadydimensionalidadCuandoseanalizaladistribucindedeterminadasvariableseconmicasodemogrficastieneinters conocer tambin el grado de desigualdad que pudiera existir en el reparto de losvalores de esa variable. Esto es, cmo el volumen de la variable se acumula o no en unreducidonmerodeunidadesespacialesoporelcontrariose repartede formahomogneaentreesasunidades.La formamshabitualpara conocerestadesigualdadenel repartode lavariablede formagrficaesmediantelaelaboracindelacurvadeconcentracinocurvadeLorenz.LacurvadeLorenzseconstruyeapartirde losporcentajesdefrecuenciasacumuladasysecomparaconuna distribucin de frecuencias acumuladas donde todos los elementos tuvieran elmismotamao(distribucindeequilibrio).



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Figura7.EjemplodecurvadeLorenz

ApartirdelacurvadeLorenzsecalculaenndicedeGINI,quecomparaelreacomprendidaentre la curva de frecuencias acumuladas y la de la distribucin de equilibrio. Los valoresfinalesvande0a1, siendo0unadistribucinequilibraday1 lamximadesigualdaden ladistribucin.

Donde, eslamedia, eselnmerodevalores.El ndicedeGINI sehausado con frecuencia en los estudiosdedesigualdadde rentaodedesigualdadsocial,conelfindeidentificarlasdesigualdadesenelrepartodelariqueza,yaseaentre grupos como entre diferentes espacios. No obstante, se aplica al anlisis de lasdesigualdadesencualquieradelasvariablesespaciales.Figura8:AplicacindelndicedeGINIalestudiodeladesigualdadenelrepartodelapoblacinespaola a nivel municipal. Los valores ms elevados identifican las provincias con mayordesigualdad municipal en el reparto de poblacin. La tendencia a la concentracin urbanamuestraunapautadecrecimientodelasdesigualdades.

equilibrio



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Fuente:Goerlich,F.J.yMas,M.(2008)AlgunaspautasdelocalizacindelapoblacinespaolaalolargodelsigloXX.InvestigacionesRegionales,12,533Otro ndice usado con el fin de analizar la dispersin o desigualdad en el reparto de unavariable es el ndicede Theil. Este ndicepertenece amedidas generalizadasde entropa ycompara lamedia aritmtica con lamedia geomtrica de la distribucin de la variable. Suformulacin,portantoeslasiguiente:

Donde es la media y es la media geomtrica. El valor del ndice de Theil para unadistribucinhomogneaes0.Pero,alcontrarioqueGini,noestacotadosuperiormente,deformaqueunamayorconcentracinsemuestracomounvalormselevadodelndicesinquestetiendaaunvalorconcreto.

TransformacionesdedatosytransformacionesinversasCuandolosdatospresentanvaloresespecialmenteelevados,distribucionesmuyasimtricasose necesitan hacer comparaciones entre diferentes variables es necesario realizartransformacionesenlavariablequenosfacilitenpodertrabajarconlasmismas.Unadelastransformacionesmshabitualeseslalogartmica.Enestecasosetratadeobtenerlos logaritmos de cada uno de los valores de la variable de forma que conseguimos unadistribucinmuchomssimtrica.Laformulaeslasiguiente:



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Ysiemprepodemosrecuperarlosvaloresoriginalesrealizandounatransformacininversa:

La figura 9muestra el resultado de la transformacin logartmica de la distribucin de lospreciosdelaviviendasegnseccionesenelGranLondres(sacadodeFotheringhametal.en:http://ncg.nuim.ie):

Histogram of Price

Price

Freq

uenc

y

0 e+00 4 e+05 8 e+05

010

030

050

070

0

Histogram of logPrice

logPrice

Freq

uenc

y

10.5 11.5 12.5 13.5

050

100

150

200

250

Otraformadetransformacin,aunquemenosusada,es lautilizacinde larazcuadrada.Enestecasolatransformacinserealizaobteniendolarazcuadradadecadaunodelosvalores.Cuando,se tratadevalores ndice (tantosporuno,su rangoesde0a1)sesueleutilizar latransformacindeFreemanTukey,siguiendolafrmula:

La transformacin ms habitual es la normalizacin o estandarizacin de la distribucin.Mediantelanormalizacinconseguimostransformarladistribucindenuestravariableenunadistribucin normal, donde su media va a ser igual a 0 y la desviacin tpica de 1. Laformulacineslasiguiente:

Dondelasvariablessonconocidas: eslamediaylavariacintpica.



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3. CONCEPTOS BSICOS DE ESTADSTICA INFERENCIAL Y TEORA DE LAPROBABILIDAD

La estadstica inferencial es aquella cuyo fin es realizar inferencias (deducciones) de unconjunto total de elementos que tienen alguna caracterstica comn (poblacin, universo ocolectivo)apartirdeunapartedeunsubconjuntoextradodelmismo(subconjuntoalquesedenominamuestra).El intersde laestadstica inferencialestenpoderconocerdeterminadascaractersticasdeconjuntosdeelementosque,yaseaporserpoblacionesfinitasperodeenormetamaooportratarsedepoblacionesinfinitas,nopodemosabarcarensutotalidad.Unejemplohabitualsonlasinformacionesdeintencindevotoantesdeunajornadaelectoral.Auntratndosedeunapoblacin finita, no podemos realizar un estudio de estimacin global (pues estaramosreproduciendo lapropia jornadaelectoral final).Bastaconextraer la informacinpertinentedeungrupodepoblacinlimitadoyextrapolarsusresultadosalconjunto.Enanlisisespacial,elestudioapartirdemuestrasserealizaennumerosasocasiones:paraestudiarpoblaciones,ysobre todo para estimar la distribucin de variables continuas en el espacio, por ejemplo,variables climticas (temperatura, precipitacin, humedad, etc.), litolgicas, geolgicas,edafolgicas,etc.

3.1 CONCEPTOS BSICOS DE TEORA DE LA PROBABILIDAD Eltratamientodeproblemasdeestimacinoinferenciaestadsticadeunconjuntoaanalizarapartirdeunamuestraintroducelanecesidaddeusarelconceptodeprobabilidad,encuantoqueinteresaconocerelgradodeajusteentrelamuestrayeluniversoanalizado.Eseajustelomediremosentrminosdeprobabilidad.La definicin clsica de probabilidad (p) supone que un evento E puede aparecer de hmaneras,deuntotaldenposiblesformasigualmenteprobables.Laformulacinesconocida:

El ejemplo ms habitual es el de obtener un determinado valor lanzando un dado, porejemplo,obtenerun1.Lasmanerasdeobtenerelvalor1( )esnicamenteunamanera(queallanzareldadosalgaun1)(h=1),mientraseltotaldeformasposibleses6(n=6),asla



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probabilidad de obtener un 1 es de 1/6, de 0,1666, o lo que es lomismo un 16,66%. Sinembargo,sinosponemosalanzareldadosucesivaslomsprobableesquenoobtendramosunvalordiferente las seisprimerasveces, tampocoobtendramos16valores1 lasprimeras100veces,sinembargo, loquesiveramosesqueamedidaquefuramos incrementandoelnmerodelanzamientostenderamosaunrepartocadavezmshomogneoenelrepartodelosvaloresobtenidos(almodoquesepresentaenlafigura1.10).Figura10:Distribucindeprobabilidadesenvariablesdiscretasdondetodoslosvalorestienenlamismaoportunidaddeocurrir.

Fuente:SantosyGarca(2008),reproducidoasuvezdeRos(1977)De estamismamanera, tanto para variables discretas (como es el caso del dado, o de lasvariables espaciales de carcter discreto) como para variables continuas a medida quevayamos incrementando lamuestra utilizada aumentar la probabilidad de asemejarnos aluniversoqueestamostratandodeanalizar.Enelcasodelasvariablescontinuaselintersestarenreproducirmediantelamuestra,delaformams fielposible, ladistribucinde frecuencias realyenconsecuencia losestadsticosasociados a la misma (media, varianza, etc.). Cuando el nmero de observaciones essuficientementeelevadopodemosconsiderar lacurvadeprobabilidadcomo lacurvatericadeaproximacinaunhistogramadefrecuencias(verfigura1.11).



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Figura11.Histogramasdefrecuenciasdedistintas muestras (segn el nmero decasos) y construccin de la curva deprobabilidadFuente: Santos y Garca (2008),reproducidoasuvezdeRos(1977) Conocer la curva de probabilidad nos permite deducir muchas de las caractersticas delfenmenoanalizado.Podemoscalcularlaprobabilidaddeobtenerobservacionesdentrodeundeterminadointervalo(entrex1yx2),permiteconocerlosestadsticosdescriptivoshabituales:medias, modas, varianzas, etc y sus intervalos de confianza, entendiendo por estos a losvaloresentreloscualesenel95%delasvecesestarnlosmismos.

3.2 CONCEPTOS BSICOS DE INFERENCIA ESTADSTICA TeorademuestreoLa teora demuestreo es el estudio de las relaciones existentes entre una poblacin y lasmuestrasextradasde laella.Setratadeestimarcaractersticasdesconocidasdepoblaciones(como la media o la varianza) a partir del conocimiento de las caractersticas muestralescorrespondientes (mediao lavarianzamuestrales).A lasmedidasreferidasa lapoblacinselesdenominaparmetrosdelapoblacinosimplementeparmetros,alasmedidasreferidasalasmuestrasselesdenominaestadsticosdelamuestraoestadsticos.La teorademuestreosirve tambinparadeterminarsi lasdiferenciasobservadasentredosmuestras sonen realidad significativaso sedebenavariacionesdelazar.Elanlisisdeesasdiferencias se realiza mediante las denominadas pruebas de significacin estadstica o dehiptesis.MuestrasrepresentativasParaque lasconclusionesde lateorademuestreoo laestadstica inferencialseanvlidassedebenelegirmuestrasqueseanrepresentativasde lapoblacinoelconjuntoaestudiar.No



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obstante, al trabajar conmuestras siempre va a existir un cierto nivel de error, al que sedenominaerrormuestral.Lgicamenteamedidaqueaumentaeltamaodelamuestratiendeaaumentarlaexactituddelosresultadosqueseobtienen,reduciendodichoerror.A lavez,elniveldeerrorestenfuncinde laformaenquehasidoelegida lamuestra.As,paraseleccionarlamuestradeunaformacorrectaexistendistintostiposdemuestreos:

a) El muestreo aleatorio consiste en seleccionar la muestra de forma aleatoria (usandoprocedimientossemejantesalalotera,bombos,etc.)demaneraqueseasegurequetodoslosindividuostienenlamismaprobabilidaddeserseleccionados.Unmtodoalternativoesutilizarunatabladenmerosaleatorios,quehansidoconstruidasparaestepropsito.

Sienunmapaqueremos seleccionaruna seriedepuntosdemaneraaleatoriaenelfijaremosunejedecoordenadasconunaescaladeintervalosregulares.Medianteunsorteo o una tabla de nmeros aleatorios seleccionaremos la serie de puntos (verfigura1.12)Figura12.Distribucinenelmapadeuna muestra de 20 puntos elegidosmediante el mtodo de muestreoaleatorio(A)Fuente:Gutirrezetal(1995).

a) Elmuestreoestratificadoestablece inicialmenteuna subdivisinanteriorde lapoblacinouniversoaestudiarysobrecadaunodeesosgruposaplicaelmuestreoaleatorio.

Para seleccionar sobre un mapa una serie de puntos a partir del muestreoestratificado, estableceremos una cuadrcula (regular o irregular) sobre elmismo oaprovecharemos las divisiones administrativas y elegiremos aleatoriamente lospuntos. En el caso de cuadrculas regulares de forma que todas incluyan elmismonmero de puntos, en las cuadrculas irregulares o las divisiones administrativas elnmerodepuntosserproporcionalsurea(verfiguras13).



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Figura 13.Distribucin en elmapade una muestra de 20 puntoselegidos mediante el mtodo demuestreo espacial estratificado.Paraunidadesespacialesiguales(B) Para unidades espaciales distintas,muestras proporcional a lasuperficie de las unidadesespaciales(B)Fuente:Gutirrezetal(1995).

b) Elmuestreosistemticoseleccionalamuestraaintervalosregulares,esdecirsilamuestrase

refiereal10%de lapoblacinouniverso.Para laeleccinsersistemticadeunelementodecada10.Elprimerelementoelegidosehacedeformaaleatoria.

Enestoscasospara laseleccindepuntosenunmapa,elegiremosunprimerpardecoordenadas al azar y posteriormente el resto a intervalos iguales en funcin deltamaodelamuestra(verfigura14)

Figura14.Distribucinenelmapadeuna muestra de 20 puntos elegidosmediante el mtodo de muestreosistemtico(D)Fuente:Gutirrezetal(1995).



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Elmuestreo sistemtico selecciona lamuestra a intervalos regulares, es decir si lamuestraserefiereal10%delapoblacinouniverso.Paralaeleccinsersistemticadeunelementodecada10.Elprimerelementoelegidosehacedeformaaleatoria.

Enestoscasospara laseleccindepuntosenunmapa,elegiremosunprimerpardecoordenadas al azar y posteriormente el resto a intervalos iguales en funcin deltamaodelamuestra(verfigura15)

Figura15.Distribucinenelmapadeuna muestra de 20 puntos elegidosmediante el mtodo de muestreosistemtico(D)Fuente:Gutirrezetal(1995).

EstimacindelosparmetrospoblacionalesLaestimacindelosparmetrosdeluniversoaanalizarapartirdelosestadsticosmuestralesesunode losproblemasmshabitualesde laestadstica inferencial.Existendos formasderealizar la estimacin. La primera se resuelve sealando que el parmetro del universo aanalizarsecorresponderaconelestadsticoobtenidoenlamuestra.Deestaforma,asumimosquelamedia,lamoda,lavarianza,etc,delconjuntodeluniversoanalizadosecorrespondeconlos valores obtenidos para la muestra. A este tipo de estimaciones se las conoce comoestimacin por puntos. Sin embargo, conocida la incertidumbre que existe al trabajar conmuetras, lomshabituales realizarunaestimacinpor intervalos.sta consisteendarunintervaloenelquesemoverelvalordelparmetroaestimar.Elvalormshabitualaestimares lamedia.Paraello,conocemosquesiobtuviramostodaslas muestras posibles sobre nuestro universo, la distribucin de frecuencias de la mediamuestralseraunacurvadedistribucinnormal,loquenospermiteinferirelvalordelamediadeluniversoanalizado.Adems,sehademostradomatemticamentequeladistribucindelamediamuestralesunadistribucindemediasemejantealamediapoblacionalydedesviacintpicaelcocienteentreladesviacintpicamuestralyelnmerodecasos.Laformulacinseralasiguiente:



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Donde: eslamediapoblacional; eslamediamuestral; esladesviacintpicamuestral;nelnmerodecasosde lamuestra;y eselvalorde ladistribucinnormaldemedia0ydesviacintpica1quecontieneunporcentajedeltotaldeloscasos(porejemplo,siestamosestimando lamediaal95%de loscasosestevalorserde1,96,si laestimacinesal99%elvalorserde2,57).Enelcasodeladesviacintpica,cuandolamuestraesgrande(mayorde30casos)eshabitualtomarelvalorde ladesviacintpicamuestralcomoelmismoqueeluniversoaanalizar,sinqueseintroduzcanerroresimportantes.4. REFERENCIAS

1. Anselin, L. (1988): Spatial Econometrics: Methods and Models, Kluwer AcademiaPublishers,Dordrecht/Boston/London.

2. Caada Torrecilla, M.R. (2006b): Anlisis exploratorio de datos espaciales:Semivariograma. En Moreno Jimnez, Antonio (Coord.). Sistemas y Anlisis de laInformacinGeogrfica.Ed.Alfaomega,pp.765780.

3. Spiegel,M.R.yStephens,L.J.(2003).Estadstica.McGrawHillInteramericana.Mxico.3edicin.

4. Smith,M.J.;Goodchild,M.F.yLongley,P.A.(2007).GeospatialAnalysis.www.spatialanalysisonline.com

5. Yrigoyen Chasco, C. (2001): Anlisis Exploratorio de Datos Espaciales al servicio delGeomarketing. III Seminario sobre nuevas tecnologas en la Investigacin, elmarketing y la comunicacin. Asociacin de Economa Aplicada (Santiago deCompostela)http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/coro/docencia/geomark/PonenciaAedemo_CoroChasco.doc

estadistica

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