ESTADÍSTICA

Objetivo: La estadística tiene por objeto el desarrollo de técnicas para el conocimiento

numérico de un conjunto de datos empíricos (recogidos mediante experimentos o

encuestas).

Población: Es el conjunto de todos los elementos cuyo conocimiento nos interesa y

serán objetos de nuestro estudio.

Muestra: Es un subconjunto, extraído de la población, cuyo estudio sirve para inferir

características de toda la población.

Individuo: Es cada uno de los elementos que forman la población o la muestra.

Caracteres y variables: Caracteres son los aspectos que deseamos estudiar en los

individuos de una población. Cada carácter puede tomar distintos valores o

modalidades. Una variable estadística recorre todos los valores de un cierto carácter.

Clasificación de las variables estadísticas:

• Cualitativas: No toman valores numéricos. Ejemplo: color del pelo

• Cuantitativas discretas: Toman valores numéricos aislados. Ejemplo: nº de

hermanos

• Cuantitativas continuas: Pueden tomar todos los valores de un intervalo. Ejemplo:

altura

Las tablas de frecuencias sirven para ordenar y organizar los datos estadísticos. Con

ellas, una masa amorfa de datos pasa a ser una colección ordenada y perfectamente

inteligible. Con los datos se construye la tabla de frecuencias:

0 3

1 6

2 5

3 4

4 3

5 1

- En la primera columna, la variable , con todos sus posibles valores (Por ejemplo

número de hermanos)

- En la segunda columna, la correspondiente frecuencia , : número de veces que

aparece cada valor.

Esta tabla se lee: hay 5 personas que tienen 0 hermanos, 3 personas que tienen 1

hermano ,4 personas que tienen dos hermanos…

Distribución de frecuencias agrupadas

La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos

agrupados se emplea si las variables toman un número grande de

valores o la variable es continua.

Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma

amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su

frecuencia correspondiente.

Límites de la clase: Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase .

Amplitud de la clase: La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase.

Marca de clase: La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros . Es la que tomaremos para hallar los parámetros estadísticos.

[0,5[ 2,5 1

[5,10[ 7,5 2

[10.15[ 12,5 0

[15,20[ 17,5 2

FRECUENCIAS RELATIVAS

Cuando se desea comparar varias distribuciones similares con distinto número de

elementos, se debe recurrir a las frecuencias relativas. Estas vienen dadas en “tanto

por uno” ( ) o en “tantos por ciento” (%). Si N es el número de individuos: =

%= .

FRECUENCIAS ACUMULADAS

En una distribución de frecuencias, se llama frecuencia acumulada, correspondiente

al valor i-ésimo, a la suma de la frecuencia de ese valor con todas las anteriores:

Sea la tabla anterior añadimos las frecuencias relativas y acumuladas:

% acumuladas

0 3

3

1 6

3+6=9

2 5

3+6+5=14

3 4

3+6+5+4=18

4 3

3+6+5+4+3=21

5 1

3+6+5+4+3+1=22

22 1

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

GRAFICOS PARA VARIABLES CUALITATIVAS O CUANTITATIVAS DISCRETAS

Diagrama de barras: - En el eje de las X : Se representan los valores de la variable - En el eje de las Y : Se representan los valores de la frecuencia: f, fr ó % - Se levanta para cada valor de la X una barra que representa la frecuencia de dicho valor. Diagrama de barras acumuladas: - En el eje de las X : Se representan los valores de la variable - En el eje de las Y : Se representan los valores de la frecuencia acumulada: F, Fr ó %a - Se levanta para cada valor de la X una barra que representa la frecuencia acumulada de dicho valor. GRAFICOS PARA VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS

SI TODOS LOS INTERVALOS TIENEN LA MISMA AMPLITUD Histograma : - En el eje de las X : Se representan los valores de la variable - En el eje de las Y : Se representan los valores de la frecuencia: f, fr ó % - Se levanta para cada valor del intervalo de la X un rectángulo de altura la frecuencia de dicho intervalo. Diagrama de barras acumuladas: - En el eje de las X : Se representan los valores de la variable - En el eje de las Y : Se representan los valores de la frecuencia acumulada: F, Fr ó %a - Se levanta para cada valor del intervalo de la X un rectángulo de altura la frecuencia acumulada de dicho valor.

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

Para calcular los siguientes parámetros calcularemos algunas operaciones de la

fórmula en la tabla de frecuencias para organizar mejor los cálculos.

xi fi xi∙fi xi2∙fi

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

∑ n ii fx ii fx2

n

fxxMedia

ii

2

2

2 xn

fxVarianza

ii

2_ típicaDesviación

xCViacióndeeCoeficient

var__

Calculemos la media, varianza, desviación típica de los datos del ejemplo anterior:

0 3

1 6

2 5

3 4

4 3

5 1

n=22 45 135

MEDIDAS DE POSICIÓN

Mediana: Si los individuos de una población están colocados en orden creciente

según la variable que estudiamos, el que ocupa el valor central se llama individuo

mediana, y su valor, la mediana. La mediana, Me, está situada de modo que antes de

ella está el 50% de la población y detrás, el otro 50%.

Si partimos la población en 100 partes y señalamos el lugar que deja debajo k de ellas,

el valor de la variable correspondiente a esa lugar se designa por y se denomina

percentil k.

La mediana es Me =

Para hallar la mediana de una variable cuantitativa discreta tenemos que construir la

tabla de frecuencias y obtener el % de frecuencias acumuladas. Cada percentil es

el valor para el cual la frecuencia acumulada correspondiente supera el k%.

En el caso de que una de ellas coincida con k%, se toma como el valor intermedio

entre ese valor de x y el siguiente.

Calculemos la mediana del ejemplo:

% acumuladas

0 3

3

1 6

3+6=9

2 5

3+6+5=14

3 4

3+6+5+4=18

4 3

3+6+5+4+3=21

5 1

3+6+5+4+3+1=22

22 1

El primer valor que supera el 50% es x=2 por tanto Me=2.

Para hallar la mediana de una variable cuantitativa continua tenemos que construir

la tabla de frecuencias y obtener el % de frecuencias acumuladas. A partir de esto

construiremos el polígono de frecuencias acumuladas de la siguiente manera:

% acumuladas

[0,5[ 2,5 4 4

[5,10[ 7,5 2 4+2=6

[10.15[ 12,5 3 4+2+3=9

[15,20[ 17,5 2 4+2+3+2=11

Para calcular cualquier percentil a partir del anterior polígono de porcentajes

acumulados, se trabaja con semejanza de triángulos. Se saca el porcentaje

acumulado anterior y siguiente del que se busca y se traza una perpendicular al eje x

desde el porcentaje que buscamos, lo veremos mejor en el ejemplo:

Si queremos obtener la mediana, es decir el percentil 50 tenemos lo siguiente:

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20

54.54%

50% 54,54-36,36=18,18

36.36% x

5 10

Queremos hallar x, que luego sumado a 5 será nuestra mediana, para ello

montamos la ecuación:

3,75 por tanto Me=8,75

10-5=5

50-36,36=13,64

DIAGRAMA DE CAJA Y BIGOTES

Cuando hemos calculado el , y la Mediana de una distribución podemos elaborar

el diagrama de caja y bigotes.

Elaboramos el diagrama de caja y bigotes siguiendo lo siguiente:

1. Colocamos un eje en el que podamos localizar todos los datos.

2. Dibujamos la caja que va del Q1 al Q3.

3. Representamos la mediana.

4. Desde cada extremos de la caja, trazamos los bigotes que van hasta los

límites inferior y superior respectivamente. (el valor más grande y el más

pequeño de xi)