7/24/2019 ESO-4-T09-II-Rectas

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4 ESO, Opcin B IES Complutense

Matemticas 4 de ESO

Tema 9 (II). Ecuaciones de una recta Resumen

Recta en el planoUna recta r viene determinada por un punto A y un vector director u , que indica su direccin.

Ecuacin vectorial:Si P es un punto de la recta r , se cumple la ecuacin vectorial:

APOAOP uOAOP

Si A ),( 21 aa , el vector director es ),( 21 uuu y las coordenadasdel punto genrico P son x, y), la ecuacin anterior puedeescribirse as:

),(),(),( 2121 uuaa y x Cualquiera de las ecuaciones anteriores recibe el nombre de ecuacin vectorial. En lasegunda, dicha ecuacin se expresa dando las coordenadas de un punto y del vector director.

Ecuaciones paramtricas.La ecuacin ),(),(),( 2121 uuaa y x 2211 ,, uaua y x .

Igualando las respectivas coordenadas resulta:22

11

ua y

ua x; que son las ecuaciones

paramtricas. El parmetro es , e indica un nmero real cualquiera. Dando valores a seobtienen las coordenadas de puntos de la recta.

Ejemplo :Las ecuaciones de la recta que pasa por A(1, 4) y tiene por vector director el u = (2, 3) son:

Vectorial: ( x, y) = (1, 4) + (2, 3). Paramtricas:3421

y x

Para = 1 se obtiene el punto de coordenadas: x = 1 + 2 = 3; y = 4 3 = 1 P (3, 1).Para = 2 se obtiene el punto de coordenadas: x = 1 4 = 3; y = 4 + 6 = 10 Q(3, 10).

Ecuacin continua. Despejando en cada una de las ecuaciones paramtricas e igualamos las

dos expresiones obtenidas, resulta:2

2

1

1

ua y

ua x

., que se llama ecuacin continua.

Ejemplo :

La ecuacin continua de la recta dada en el ejemplo anterior es: 34

21 y x

.

Ecuacin punto-pendiente. Se deduce de la ecuacin continua: 11

22 a xu

ua y

Si se hace1

2

uu

m , la ecuacin queda )( 12 a xma y .

El cociente1

2

uu

m es la pendiente de la recta: es la tangente

trigonomtrica del ngulo que forma la recta con la direccin

positiva del eje OX . La pendiente m indica lo que aumenta (odisminuye) la variable y por cada aumento unitario de la variable x.

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Ecuacin explcita. Despejando y en la ecuacin punto-pendiente se obtiene nmx y .Al nmero n se le llama ordenada en el origen.

Ejemplo:

La recta34

21 y x puede escribirse tambin as: 1

234 x y Punto pendiente

Despejando: 123

4 x y 2

1123

x y Explcita.

Ecuacin general. Tambin se llama ecuacin implcita o cartesiana.Se deduce de la continua, multiplicando en cruz:

2

2

1

1

ua y

ua x

1221 ua yua x 0 122112 uaua yu xu

Si se hace Au 2 , Bu 1 y C uaua 1221 , queda 0 C By Ax .Las letras A, B y C son nmeros, que pueden valer 0, aunque no a la vez; x e y son variables,que indican las coordenadas de los puntos de esa recta, siendo x la abscisa e y la ordenada. Un punto pertenece a una recta cuando cumple su ecuacin. Para representar una recta basta con conocer dos de sus puntos.

Ejemplo:

a) La recta34

21 y x

puede escribirse tambin as:

)4(2)1(3 y x 01123 y x .Puntos de esa recta son, por ejemplo: (1, 4), (1, 7), (11/3, 0) y (0, 11/2).

b) Dos puntos de la recta 32 x y son, (0, 3) y (2, 1); unindolos seobtiene su representacin grfica.

Ecuacin de la recta que pasa por dos puntosLa ecuacin de la recta que pasa por A = (a1, a 2) y B = (b1, b2) es

22

2

11

1

aba y

aba x

)( 111

222 a xab

aba y

La misma expresin se obtiene partiendo de la ecuacinnmx y e imponiendo que los puntos A y B la cumplan.

Ejemplo : La ecuacin de la recta que pasa por A = ( 2, 1) y B =(3, 4) ser:

141

)2(3)2( y x

3

15

2 y x 01153 y x

511

53 x y

Posicin relativa de dos rectasEn el plano, dos rectas pueden ser secante, paralelas o coincidentes. Su posicin se determinaestudiando el sistema asociado a ellas. As, la posicin de las rectas 0: C By Axr y

0: C y B x As , viene determinada por la solucin de

0

0

C y B x A

C By Ax.

Si las rectas fuesen paralelas (la misma pendiente) el sistema ser incompatible: A/A = B/B .