UNIVERSIDAD ALAS PERUANASESFUERZO ESPACIAL O TRIAXIAL

Al considerar que un cuerpo est sometido a fuerzas externas. Al hacer un corte sobre el elemento y aislar las partes, puede determinarse la fuerza interna que soporta dicha seccin de corte; sta fuerza tendr una componente tangencial y otra normal a la seccin, las cuales se distribuyen de cierta manera sobre esta.Cuando se trata del estado de esfuerzo espacial o Triaxial, los esfuerzos principales se determinan mediante la resolucin de la ecuacin cbica:

Donde:

Un elemento de material sometido a esfuerzos normales , y que actan en tres direcciones mutuamente perpendiculares, se dice que est en un estado de esfuerzo Triaxial (figura1). Como no hay esfuerzos cortantes sobre las caras x, y, z; los esfuerzos , y son los esfuerzos principales en el material.

Figura 1Si se corta un plano inclinado paralelo al eje z a travs del elemento (figura 2), los nicos esfuerzos sobre la cara inclinada son el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante , que actan paralelos al plano xy. Dado que los esfuerzos y (figura 2) se determinan a partir de ecuaciones de equilibrio de fuerzas en el plano xy, son independientes del esfuerzo normal . Por tanto podemos utilizar las ecuaciones para transformacin de un esfuerzo plano, as como el circulo de Mohr para esfuerzo plano, para determinar los esfuerzos y en esfuerzo Triaxial. La misma conclusin es vlida para los esfuerzos normal y cortante que actan sobre planos inclinados cortados a travs de elementos paralelos a los ejes x e y.

Figura 2

ESFUERZOS CORTANTES MXIMOS:En nuestros anlisis anteriores de esfuerzo plano, sabemos que los esfuerzos cortantes mximos ocurren en planos orientados a los 45 con respecto a los planos principales. Por tanto para un material en esfuerzo Triaxial (figura 1), los esfuerzos cortantes mximos ocurren sobre elementos orientados a angulos de 45 con respecto a los ejes x,y,z. Por ejemplo, considere un elemento obtenido por una rotacin de 45 con respecto al eje z. Los esfuerzos cortantes mximos positivos y negativo que actan sobre este elemento son1De manera similar, podemos obtener los esfuerzos cortantes mximos siguientes mediante rotaciones para ngulos de 45 con respecto a los x e y.23El esfuerzo cortante mximo absoluto es el valor numricamente mayor para los esfuerzos determinados mediante las ecuaciones 1, 2 y 3; y es igual a la mitad de la diferencia entre el algebraicamente mayor y el menor de los tres esfuerzos principales.Los esfuerzos que actan sobre elementos orientados a varios ngulos con respecto a los ejes x,y, z; se pueden visualizar con la ayuda del circulo de Mohr de los elementos orientados por rotaciones con respecto al eje z, el circulo correspondiente est identificado como A en la figura 3. Observe que este crculo est trazado para el caso en el cual y los dos esfuerzos son para tensin.De manera similar, podemos trazar crculos B y C para elementos orientados por rotaciones con respecto a los ejes x e y, respectivamente. Los radios de los crculos representan los esfuerzos cortantes mximos dados por las ecuaciones 1, 2 y 3 y el esfuerzo cortante mximo es igual al radio del crculo mayor. Los esfuerzos normales que actan sobre los planos de esfuerzos cortantes mximos tienen magnitudes dadas por las abscisas de los centros de los crculos respectivos.En el anlisis anterior de esfuerzo Triaxial slo consideramos esfuerzos que actan sobre planos obtenidos girando con respecto a los ejes x, y, z. Por tanto, cada plano considerado es paralelo a uno de los ejes. Por ejemplo, el plano inclinado de la figura 2 es paralelo al eje z y su normal es paralela al plano xy. Por supuesto, tambin podemos cortar a travs del elemento en direcciones inclinadas, de manera que los planos inclinados resultantes estn oblicuos con respecto a los tres ejes coordenados. Los esfuerzos normal y cortante que actan sobre esos planos se pueden obtener mediante un anlisis tridimensional ms complicado. Sin embargo, los esfuerzos normales que actan sobre planos inclinados tienen un valor intermedio entre los esfuerzos principales algebraicamente mximo y mnimo, y los esfuerzos cortantes sobre esos planos son menores (en valor absoluto) que el esfuerzo cortante mximo absoluto obtenido con las ecuaciones 1,2 y 3.LEY DE HOOKE:Para todos es conocida la sencilla frmula; denominada Ley de Hooke, representada de la siguiente manera:

En donde relaciona la deformacin de una barra sometida a esfuerzo axial, con la tensin normal generada por dicho esfuerzo; y sabemos que la constante E se le denomina mdulo de elasticidadLEY DE HOOKE PARA ESFUERZO TRIAXIAL:Si el material sigue la ley de hooke, podemos obtener las relaciones entre los esfuerzos normales y deformaciones unitarias normales al emplear el mismo procedimiento que para el esfuerzo plano. Las deformaciones unitarias producidas por los esfuerzos , y que actan de manera independiente se superponen para obtener las deformaciones unitarias resultantes. Por tanto, con facilidad llegamos a las siguientes ecuaciones para las deformaciones por esfuerzo Triaxial:456

En estas ecuaciones se utilizan las convenciones de signos estndares; es decir, el esfuerzo de tensin y la deformacin unitaria de alargamiento, son positivas.Las ecuaciones anteriores se pueden resolver de manera simultnea para los esfuerzos en trminos de las deformaciones unitarias:789Las ecuaciones 4, 5 ,6 ,7 ,8 y 9; representan la ley de Hooke para esfuerzo Triaxial o espacial.Ejercicios:1. Para el estado de esfuerzos de la figura 1.1, graficar el crculo de Mohr para la serie de planos paralelos a cada uno de los esfuerzos principales. Determinar el esfuerzo tangencial mximo, el esfuerzo normal y tangencial en el plano, cuya normal forma un ngulo con la direccin de y es perpendicular al vector .

Figura 1.1Solucin:El estado de esfuerzos que se muestra en la figura 1.1 es espacial o Triaxial, siendo todos los esfuerzos principales, cuyos valores son: , y Para graficar los crculos de Mohr, trazamos a partir del inicio del sistema de coordenadas (punto O), el segmento (hacia la derecha por ser positivo), (a la izquierda por ser negativo) y (izquierda), tal como se muestra en la figura 1.2. Luego dividimos en dos, los segmentos KL, ML y MK, obtenindose los puntos , Y , que son los centros de los crculos de Mohr. Trazamos cada uno de los crculos, para la serie de planos paralelos a cada uno de los esfuerzos principales (figura 1.2).

Figura 1.2El esfuerzo tangencial mximo, lo obtenemos como el radio mayor de todos los crculos de Mohr, esto es para el crculo de Mohr paralelo a , siendo:

El plano, en el cual se pide determinar los esfuerzos normal y tangencial, cuya normal forma un ngulo con y es perpendicular a , se muestra en la figura 1.3. El crculo de Mohr, para tal estado de esfuerzos, se muestra en la figura 1.4. Para ello, a partir del punto L se trazar una paralela a y del punto K una paralela a , intersecndose en el mismo punto K , que viene a ser el polo del crculo de Mohr para el caso especfico. A partir del punto K se trazar una paralela a la normal , intersecndose con el crculo de Mohr de radio en el punto C, el cual de acuerdo a la escala requerida nos dar los valores de los esfuerzos normal y tangencial .Efectuamos esta ltima parte del clculo en forma analtica, utilizando las frmulas y reemplazando nos resulta:

Figura 1.3

Figura 1.4

2. Determinar los esfuerzos principales y el esfuerzo tangencial mximo para el estado de esfuerzos de la Figura 2.1

Figura 2.1Solucin:De acuerdo al grfico podemos indicar que , y ,, y Luego, aplicamos la frmula de la ecuacin cbica:

Donde:

De esta manera reemplazando en la ecuacin cbica resultar:

De donde:

Ahora calculamos el esfuerzo tangencial mximo:

3. Un cubo de acero est sometido a la accin de esfuerzos normales y tangenciales en sus aristas. Viene dado , y , , . Calcular:a. Los esfuerzos principales , y .b. El esfuerzo tangencial mximoSolucin:a. Calculamos los coeficientes de la ecuacin cbica:

Luego, reemplazamos valores en la ecuacin:

Obtenemos las soluciones y lo ordenamos de mayor a menor, siendo estos los esfuerzos principales:

b. Determinamos el esfuerzo tangencial mximo:

4. Para el estado de esfuerzos de la figura 2.19, graficar el crculo de Mohr para la serie de planos paralelos a cada uno de los esfuerzos principales. Determinar el esfuerzo tangencial mximo, el esfuerzo normal y tangencial en el plano, cuya normal forma un ngulo 30 con la direccin de y es perpendicular al vector

El estado de esfuerzos que se muestra en la figura 2.19 es espacial o triaxial, siendo todos los esfuerzos principales, cuyos valores son El estado de esfuerzos que se muestra en la figura 2.19 es espacial o triaxial, siendo todos los esfuerzos principales, cuyos valores son 2 1 cm / kgf 800 , 22 cm / kgf 600 y 23 cm / kgf 1000 . Para graficar los crculos de Mohr, trazamos a partir del inicio del sistema de coordenados (punto O), el segmento 1 OL (hacia la derecha por ser positivo), 2 OK (a la izquierda por ser negativo) y 3 OM (izquierda), tal como se muestra en la figura 2.20. Luego dividimos en dos, los segmentos KL, ML y MK , obtenindose los puntos 1 O, 2 O y 3 O , que son los centros de los crculos de Mohr. Trazamos cada uno de los crculos, para la serie de planos paralelos a cada uno de los esfuerzos principales (figura 2.20). 21 cm / kgf 800 ,22 cm / kgf 600 y 23 cm / kgf 1000 . Para graficar los crculos de Mohr, trazamos a partir del inicio del sistema de coordenados punto O), el segmento 1 OL (hacia la derecha por ser positivo), 2 OK (a la izquierda por ser negativo) y 3 OM (izquierda), tal como se muestra en la figura 2.20. Luego dividimos en dos, los segmentos KL, ML y MK , obtenindose los puntos 1 O, 2 O y 3 O, que son los centros de los crculos de Mohr. Trazamos cada uno de los crculos, para la serie de planos paralelos a cada uno de los esfuerzos principales (figura 2.20).

RESISTENCIA DE MATERIALES I