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Tema 1. Espacios Vectoriales.Sistemas de ecuaciones.

Algebra Lineal

Escuela Politecnica Superior

Universidad de Malaga

Emilio Munoz-Velasco

(Basado en los apuntes de Jesus Medina e Inmaculada Fortes)

Quizas sea justo afirmar que las multiples formas que toma la geometrıa son apenas traducciones, lecturas y

relecturas de esa indescifrable belleza que oculta el algebra... Juan Munoz. Escultor

Emilio Munoz-Velasco 1.1 Matrices y S.E.L. 1

1.1 Matrices y sistemas de ecuacioneslineales.

Llamamos Mm×n(R) al conjunto de las matrices A = (aij)(i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n) donde los elementos aij ∈ R.

Podemos definir las siguientes operaciones de matrices:

Suma: A,B ∈Mm×n(R), entonces A+B = (aij + bij).

Producto de un numero real por una matriz: Si a ∈ R y A ∈Mm×n(R), entonces a ·A = (a · aij).

Producto de Matrices: Si A ∈ Mm×n(R) y B ∈ Mn×p(R)entonces

AB =

(n∑

k=1

aikbkj

)∈Mm×p(R)


Propiedades de lasoperaciones de matrices

1. A+(B+C) = (A+B)+C

2. A+ 0 = 0 +A = A

3. A+(−A) = (−A)+A = 0

4. A+B = B +A

5. a·(A+B) = a·A+a·B

6. (a+ b) ·A = a ·A+ b ·A

7. a · (b ·A) = (a · b) ·A

8. 1 ·A = A

9. A(BC) = (AB)C

10. AIn = ImA = A


Tipos especialesde matrices cuadradas

Una matriz cuadrada A de tamano n se llama inversible, si existeotra matriz A−1 tal que AA−1 = A−1A = In. Las matricescuadradas que no tienen inversa se llaman singulares.

Matriz diagonal: aij = 0 si i 6= j.

Matriz escalar: A = λ · In.

Matriz triangular inferior: aij = 0 si i < j.

Matriz triangular superior: aij = 0 si i > j.

Matriz simetrica: A = AT .

Matriz antisimetrica: A = −AT .


Matrices escalonadas por filas

0 . . . 0 1 ∗ ∗ . . . . . . . . . . ∗0 . . . 0 . . . 0 1 ∗ . . . . . . ∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . 0 . . . . . . . . . 0 1 ∗ . . . ∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . 0 . . . . . . . . . 0 . . . . . . . 0

Diremos que una matriz es escalonada por filas reducida si loselementos que estan en la misma columna que el primer 1 de cadafila son todos ceros.


Ejemplos

• Las siguientes matrices son escalonadas por filas:1 2 1 30 1 0 10 0 0 10 0 0 0

0 1 0 0 1 4

0 0 0 1 3 00 0 0 0 1 1

1 1 −10 1 00 0 00 0 0

Ninguna es escalonada reducida por filas.

• Las siguientes matrices son escalonadas reducidas por filas:1 0 −1 00 1 0 00 0 0 10 0 0 0

0 1 0 0 0 4

0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 1

1 0 10 1 00 0 00 0 0


Transformaciones elementales

Tipo I: Cambiar dos filas

Tipo II: Multiplicar una fila por una constante c 6= 0 de K

Tipo III: Sumar a una fila por otra fila multiplicada por c ∈ K

Dos matrices A y B son equivalentes por filas si una de ellasse puede obtener a partir de la otra mediante transformacioneselementales por filas.

Ejemplo: Las matrices

A =

0BB@1 2 31 2 12 1 01 2 3

1CCA y B =

0BB@1 2 32 4 20 0 00 −3 −2

1CCAson equivalentes por filas.

¿Que transformaciones elementales se han realizado en la matriz A para obtener

la matriz B?


Independencia y dependencia lineal

Llamamos combinacion lineal de filas (o columnas) f1, f2, . . . , fk

a una expresion de la forma

a1f1 + a2f2 + . . .+ akfk

donde los ai son elementos del cuerpo K.

Diremos que un conjunto de filas (o columnas) de una matriz sonlinealmente independientes si ninguna de ellas se puede expresarcomo combinacion lineal de las restantes. En caso contrario se diceque el conjunto de filas (o columnas) es linealmente dependiente.


Rango de una matriz

Llamamos rango por filas de una matriz al numero maximode filas linealmente independientes. Asimismo llamamos rangopor columnas al numero maximo de columnas linealmenteindependientes.

Teorema 1. El rango por filas de cualquier matriz coincidecon su rango por columnas. A dicho numero le llamamossimplemente rango de la matriz.

Teorema 2. Las matrices equivalentes por filas tienen elmismo rango.

Teorema 3. El rango de una matriz escalonada por filas es elnumero de filas distintas de cero.

Teorema 4. Toda matriz es equivalente por filas a una matrizescalonada por filas.


Ejemplo 1. La matriz

0 2 3 −4 10 0 2 3 42 2 −5 2 42 0 −6 9 7

tiene rango 3.

Calculo de la inversa de una matriz

Corolario 1. Una matriz cuadrada es inversible si y solo sies equivalente por filas (resp. por columnas) a la matrizidentidad.

Esto nos permite calcular la inversa de una matriz A.

EkEk−1 . . . E1A = I ⇒ A−1 = EkEk−1 . . . E1

Ejemplo 2. Calcular la inversa de la matriz

1 1 −42 1 0−1 0 4


Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Metodos de Gauss y de Gauss-Jordan

Teorema 5. Los sistemas Ax = b y Bx = c tienen las mismassoluciones si y solo si sus matrices ampliadas son equivalentespor filas.

Los teoremas anteriores nos permiten concluir que, dado un sistemaAx = b, existe un sistema Gx = g donde (G|g) es escalonadapor filas y equivalente por filas a la matriz (A|b). El algoritmopara resolver un sistemas de ecuaciones basado en este hecholo denominaremos Metodo de Gauss. Modificando el metodo deGauss para que la matriz (G|g) sea escalonada por filas reducidase obtiene el metodo de Gauss-Jordan.


Teorema de Rouche-Frobenius

Dado un sistemas de ecuaciones Ax = b, donde A ∈ Mm×n(K)y b ∈ Km, representaremos por (A|b) la matriz ampliada obtenidaanadiendo a la matriz A la columna formada por los elementosde b. Entonces, siendo n es el numero de incognitas, se tiene que

I Si rangA 6= rang(A|b), entonces el sistema es incompatible.

I Si rangA = rang(A|b) y

? rangA = n, el sistema es compatible determinado.? rangA < n, el sistema es compatible indeterminado.

Para el caso homogeneo, Ax = 0, siempre el vector ~x = ~0 essolucion. Por tanto, solo si rangA < n existen soluciones distintasde la trivial.


Ejemplo

Ejemplo 3. Estudia la compatibilidad y resolver, cuando seaposible los sistemas de ecuaciones siguientes utilizando losmetodos de Gauss y de Gauss-Jordan. 2x+ 3y + z = 2

x+ z = 24x+ 4y + z = 2

2x+ 3y + z = 1x+ 2y + 3z = 03x+ 5y + 4z = 1 2x+ 3y + z = 1x+ 2y + 3z = 03x+ 5y + 4z = −6


Ejemplo

Ejemplo 4. Resuelve el sistema AX = B, para X =(xy

),

en los casos siguientes:

I A =(

0 03 0

); B = ~0.

I A =(

0 03 0

); B =

(02

).

I A =(

0 03 0

); B =

(12

).

Emilio Munoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 14

1.2 Espacios vectoriales.

Definicion 1. Llamamos espacio vectorial sobre un cuerpo Ka un conjunto V con dos operaciones suma (+) (interna) yun producto (·) (externa) que verifican:

1. + verifica las siguientes operaciones:

(a) (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w)(b) ~v + ~0 = ~0 + ~v = ~v(c) ~v + (−~v) = (−~v) + ~v = ~0(d) ~u+ ~v = ~v + ~u

2. · verifica:

(a) λ(~v + ~w) = λ~v + λ~w para λ ∈ K y ~v, ~w ∈ V .(b) (λ+ µ)~v = λ~v + µ~v para λ, µ ∈ K y ~v ∈ V .(c) (λµ)~v = λ(µ~v) para λ, µ ∈ K y ~v ∈ V .(d) 1 · ~v = ~v para ~v ∈ V (siendo 1 la unidad en K).

Representaremos por (V,+, ·,K) al espacio vectorial y llamamosvectores a los elementos de V y escalares a los elementos de K.


Ejemplos:

• (Rn,+, ·,R) es el espacio vectorial real n-dimensional.

• (Kn,+, ·,K) es el espacio vectorial n-dimensional sobre K.

• Si P es el conjunto de polinomios con coeficientes reales,entonces (P,+, ·,R) es un espacio vectorial.

• Las matrices m× n definidas sobre cualquier cuerpo K tambienforman un espacio vectorial (sobre el mismo cuerpo K).

Teorema 6. En todo Espacio vectorial se tienen las siguientespropiedades:a) 0 · ~v = ~0b) λ · ~0 = ~0c) Si λ~v = ~0, entonces λ = 0 y/o ~v = ~0d) (−1)~v = −~ve) (−λ)~v = λ(−~v) = −(λ~v)


Dependencia e independencia lineal

Combinacion lineal. Sera todo vector de la forma λ1~v1 + λ2~v2 +...+ λn~vn donde λi ∈ K y ~vi ∈ V .

Observaciones:

• Todo vector es combinacion lineal de sı mismo.

• El vector ~0 es combinacion de cualquier conjunto de vectores.

Si S = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} es un conjunto finito de vectores (sistemade vectores) de V , diremos que son linealmente dependientes (l.d.)si existe una combinacion lineal λ1~v1 + λ2~v2 + ...+ λn~vn = ~0 conal menos un λi 6= 0.

En caso de que toda la combinacion lineal igualada a ~0 impliqueλ1 = λ2 = · · · = λn = 0, decimos que los vectores sonlinealmente independientes (l.i.).


Ejemplo

En los e.v. Kn, si tenemos un sistema de vectores S ={~v1, ~v2 . . . ~vm} podemos construir la matriz A formada por dichosvectores puestos en fila. Entonces el maximo numero de vectoreslinealmente independientes de S coincide con el rango de lamatriz A. Ası en R4 el conjunto de vectores

{(1, 2, 4, 3), (−2,−1, 1, 0), (3, 3, 3, 3)}

es linealmente dependiente porque la matriz

A =

1 2 4 3−2 −1 1 03 3 3 3

tiene rango 2.


Teorema 7. Sea V un e.v., entonces:

1. Si ~v 6= ~0, entonces {~v} es l.i.

2. Todo sistema de vectores que contenga el ~0 es l.d.

3. Si S es un sistema de vectores l.i. y S′ ⊆ S, entonces S′

es l.i.

4. Si S es un sistema de vectores l.d. y S ⊆ S′, entonces S′

es l.d.

5. Si S es un sistema de vectores, no todos nulos, l.d.,entonces al menos uno de los vectores se puede expresarcomo combinacion de los restantes.

6. Si S es un sistema de vectores l.i. y S∪{~v} es l.d., entonces~v es combinacion lineal de los vectores de S.


Subespacios Vectoriales

Dado un e.v. V y W ⊆ V , W 6= ∅, diremos que es subespaciovectorial (s.v) si verifica:

a) para cada ~v, ~w ∈W se tiene ~v + ~w ∈W .

b) para cada ~v ∈W y λ ∈ K se tiene λ~v ∈W .

O equivalentemente,

λ~v + µ~w ∈W para cada λ, µ ∈ K y ~v, ~w ∈W

Observese que {~0} es un subespacio vectorial (subespacio trivial).Un subespacio vectorial W ⊂ V diremos que es subespacio propiosi W 6= {~0} y W 6= V .


Ejemplos

• Si V = R2, W = {(x, y) | y = mx}, siendo m un numero real,es un subespacio vectorial.

• Si V = R3, W = {(x, y, z) | ax+ by + cz = 0}, siendo a, b, cnumeros reales, es un subespacio vectorial.

• Si V = R2, W = {(x, y) | x + y = 1} no es un subespaciovectorial.

• Si V = P es el espacio vectorial de los polinomios concoeficientes reales, entones W = Pn el conjunto de polinomiosde grado menor o igual que n es un subespacio vectorial.


Teorema 8. Dado un sistema de vectores S ⊆ V , S 6= ∅, elconjunto L(S) formado por todas sus posibles combinacioneslineales de los vectores de S forman un subespacio vectorialde V .

Definicion 2. A este subespacio vectorial L(S) se le llamarasubespacio generado por el conjunto de vectores S. Si{~v1, ~v2, . . . , ~vn} es dicho conjunto se representa por L(S) =〈~v1, ~v2, . . . , ~vn〉.

Definicion 3. Si W es un subespacio vectorial de V y S es unsistema de vectores tal que L(S) = W decimos entonces queS es un sistema generador de W .

Ejemplo: Si V = R4 y W = 〈(1, 2, 0, 0), (0, 3,−1, 0)〉, entonceslos vectores de W son de la forma:

(x, y, z, t) = λ(1, 2, 0, 0) + µ(0, 3,−1, 0)

donde λ y µ son numeros reales cualesquiera.


Base de un subespacio vectorial

Llamamos base de un subespacio vectorial V a un sistema devectores B linealmente independiente que es un sistema generadorde V , es decir L(B) = V .

Ejemplos:

1. En los e.v. Kn, el sistema de n vectores

{(1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0) . . . (0, 0, . . . , 0, 1)}

es una base, a la que llamamos base canonica.

2. En el subespacio de R4 siguiente

W = 〈(1, 2, 4, 3), (−2,−1, 1, 0), (3, 3, 3, 3)〉

una base de W estarıa formada por cualesquiera dos vectoresdel sistema generador.


Esp. Vec. de dimension finita

Teorema 9. Si un e.v. admite una base finita con n vectoresentonces todas las bases tienen exactamente n vectores.

Definicion 4. Si un e.v. tiene una base finita de n vectoresdecimos que es de dimension finita. Al numero natural nlo llamamos dimension del espacio. Aceptamos que el e.v.trivial {~0} es el unico espacio de dimension 0.

Teorema 10. Si B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} es una base de un espaciovectorial, cada vector ~v del espacio se puede expresar deforma unica como combinacion lineal de los vectores de B

~v = λ1~v1 + λ2~v2 + · · ·+ λn~vn

y se dice que (λ1, λ2, . . . , λn) son las coordenadas de ~vrespecto de la base B.


Ejemplo

Fija dos bases distintas para el e.v. generado por el sistema devectores

{(1, 2, 4, 3), (−2,−1, 1, 0), (3, 3, 3, 3)}y determina, de entre los siguientes vectores, los que pertenecena dicho espacio y que coordenadas tienen respecto de cada una delas bases.

a) (2, 1, 4, 3) b) (1, 2, 4, 3)c) (5, 4, 2, 3) d) (3, 2,−1, 3)


Cambio de base

Si B1 = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} y B2 = {~w1, ~w2, . . . , ~wn} son bases deun mismo e.v. V , un vector ~v tendra coordenas distintas respectode cada una de las bases, ası

~v = λ1~v1 + λ2~v2 + · · ·+ λn~vn (∗)~v = µ1 ~w1 + µ2 ~w2 + · · ·+ µn ~wn

Ademas cada vector ~vi ∈ B1 tiene unas coordenadas respecto deB2, ası

~v1 = a11 ~w1 + a21 ~w2 + · · ·+ an1 ~wn

~v2 = a12 ~w1 + a22 ~w2 + · · ·+ an2 ~wn...

~vn = a1n ~w1 + a2n ~w2 + · · ·+ ann ~wn


que sustituyendo en la ecuacion (∗) y desarrollando se tiene

µ1 = λ1a11 + λ2a12 + · · ·+ λna1n

µ2 = λ1a21 + λ2a22 + · · ·+ λna2n...

µn = λ1an1 + λ2an2 + · · ·+ λnann

que en forma matricial se expresaa11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann

λ1

λ2...λn

=

µ1

µ2...µn

donde la matriz A resultante se denomina matriz del cambio debase de B1 a B2.

Nota. Observese que A~λ = ~µ ⇐⇒ A−1~µ = ~λ, de donde A−1

sera entonces la matriz del cambio de base de B2 a B1.


Ejemplos

1. Si sabemos que un vector de R4 tiene por coordenadas(1,−1, 2, 0) respecto de la base

B = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2), (1, 1, 2, 3), (1, 2, 3, 4)}

calcula las coordenadas del mismo vector respecto de la base

B′ = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)}

2. Si un vector de R2 tiene coordenadas (2,−3) respecto de labase {(3,−1), (0, 3)}, encuentra una base en la que tenga porcoordenadas (1, 1).


Ecuaciones cartesianas

Son restricciones a las coordenadas de los vectores del espaciopara que pertenezcan al subespacio.

Ejemplo. Un subespacio de R4 esta definido por vectores(x, y, z, t) definidos por las siguientes coordenadas cartesianas:

x+ y + 2t = zz − y = t

}Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos que:

W = {(−β, α− β, α, β) | α, β ∈ R}

de donde W = 〈(−1,−1, 0, 1), (0, 1, 1, 0)〉.

Ademas {(−1,−1, 0, 1), (0, 1, 1, 0)} es una base de W . Portanto, dimW = 2.


Ecuaciones parametricas

Sirven para expresar las coordenadas de los vectores del subespacioen funcion de parametros que pueden tomar cualquier valor de losescalares en el cuerpo. Ejemplo Las ecuaciones parametricas delsubespacio U de R3 son:

x = 2α− βy = 3α− 2βz = α

Calcula una base, la dimension y las ecuaciones cartesianas de U .


Interseccion de subespacios

Dados dos s.v. V1 y V2 de V , se define

V1 ∩ V2 = {~v | ~v ∈ V1 y ~v ∈ V2}

es tambien un subespacio vectorial de V .

Teorema 11. Si S es un sistema de vectores de V , entoncesL(S) es la interseccion de todos los subespacios vectorialesque contienen a S.

L(S) es el “menor” subespacio vectorial que contiene a S.

Una forma de calcular las ecuaciones cartesianas de la interseccionde dos subespacios es unir las ecuaciones cartesianas de cada unode ellos.


Suma de subespacios

Dados dos s.v. V1 y V2 de V , se define

V1 + V2 = {~v1 + ~v2 | ~v1 ∈ V1 y ~v2 ∈ V2}

que es un “nuevo” subespacio vectorial que contiene a V1 ∪ V2.Observese que la simple union de subespacios no es subespaciovectorial.

Una forma de calcular un sistema generador del subespacio sumaes unir los sistemas generadores de cada uno de los subespacios.

Ejemplo. Dados V1 = 〈(1, 2,−1, 0), (2, 0, 0,−1)〉 y V2 =〈(3, 2,−1,−1), (1, 0, 0, 1)〉, determina las ecuaciones cartesianasy parametricas del s.v. V1 + V2 de R4.

Definicion 5. Si V1 ∩ V2 = {~0}, a la suma de subespacios lallamamos suma directa de subespacios y se representa V1⊕V2.


Teorema 12.

1. Si V y W son subespacios tales que W ⊆ V , entonces

dimW ≤ dimV

2. Si W1,W2 son s.v. de V , de dimension finita, se tiene

dim(W1 +W2) = dimW1 + dimW2 − dim(W1 ∩W2)

En particular dim (W1 ⊕W2) = dim W1 + dim W2.

Ejemplos:

• Dado el subespacioW1 = 〈(1, 2, 4, 3), (−2,−2, 0, 1), (3, 4, 4, 2)〉de R4, encuentra una base para el espacio complementario W2 enR4, es decir W1 ⊕W2 = R4.

• Si sabemos que dimW1 = dimW2 = dim(W1 ∩W2), ¿podemosafirmar que W1 = W2?


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