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Propuesta didáctica para la medición de la masa de un agujero negro utilizando imágenes astronómicas y la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación
media
Germán Guerrero Peñuela
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias, Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas
Bogotá, Colombia
2014
Propuesta didáctica para la medición de la masa de un agujero negro utilizando imágenes astronómicas y la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación
media
Germán Guerrero Peñuela
Tesis o trabajo de investigación presentada(o) como requisito parcial para optar al título
de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director:
Eduard Alexis Larrañaga R
PhD. Profesor Observatorio Astronómico Nacional
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Bogotá D.C., Colombia
2014
A mis padres, quienes me apoyaron en mi
desarrollo intelectual, prestándome los
recursos que necesite para lograr esta meta
A mis hijos y esposa, quienes me apoyaron de
manera incondicionalmente para alcanzar la
meta propuesta en esta Maestría.
Agradecimientos
A Dios por darme la oportunidad y permitirme terminar un gran sueño que es este, el haber
empezado y lo mejor de todo es haber terminado mi maestría “Enseñanza de las Ciencias
Exactas”
Al profesor Alexis Larrañaga, quien me apoyo y me aporto para desarrollar esta idea de
trabajo, lográndolo llevar a cabo por medio de un planteamiento claro con el fin de
ejecutarlo en diferentes contextos en el tiempo requerido.
A mis padres por apoyarme en todos mis procesos cognitivos especialmente este, a mi
esposa por comprenderme y apoyarme en esta etapa, y a mi hija porque a sus nueve años
de vida me ha entendido y aportado el tiempo necesario para alcanzar esta meta.
RESUMEN Y ABSTRACT IX
RESUMEN
La idea de tomar la astronomía como pretexto para abordar la física y en especial tener
en cuenta la tercera ley de Kepler como elemento de estudio, facilita la apropiación de una
serie de temáticas importantes en las ciencias naturales, que ayudan de alguna manera
aproximarse al desarrollo de las habilidades científicas en estudiantes de educación media
vocacional. La propuesta didáctica basada en el modelo de aprendizaje significativo, busca
fundamentar al estudiante desde el contexto histórico, los aspectos epistemológicos y los
aspectos conceptuales, relacionados con las leyes de Kepler aplicado al movimiento de
los planetas, además de la posibilidad de asociar este trabajo a otro aspecto astronómico
como la determinación de la masa de objetos centrales en especial la masa de un agujero
negro, como es el caso del que existe en Sagitario A*. La aplicación de este trabajo se
hace apropiada en el aula, dado que genera un interés bastante significativo en los
estudiantes de educación media del colegio El Japón Jornada Tarde, donde se hicieron
algunas pruebas con resultados bastante importantes en el desarrollo de las habilidades
científicas.
Palabras claves: Enseñanza de la astronomía, leyes de Kepler, habilidades científicas,
modelo de aprendizaje, agujeros negros.
X Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
ABSTRACT
The idea of using astronomy as pretext to study physics and specifically to use Kepler's
third law as a tool, give us the opportunity to present a series of important subjects in natural
sciences that may help in the development of scientific skills of high school students. The
didactic proposal is based on the significative learning model and pretends to use the
historical context to give the student the epistemological aspects and the conceptual issues
concerning Kepler's laws applied to the movement of planets or, in particular, to the
determination of the mass of unknown objects as, for example, the central supermassive
black hole Sagittarius A* in the Milky Way. This work is applied in the class room to students
of high school level in the El Japón School, where we made some test with quite important
results in the development of scientific skills.
Keywords: Astronomy, Laws Kepler’s, didactic model, black hole,
CONTENIDO XI
CONTENIDO
Pág.
RESUMEN ...................................................................................................................... IX
ABSTRACT ..................................................................................................................... X
Lista de figuras ............................................................................................................ XIII
Lista de tablas ............................................................................................................. XIV
Lista de Símbolos y abreviaturas ................................................................................ XV
INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 1
1. OBJETIVOS, METODOLOGÍA Y CRONOGRAMA DEL TRABAJO. ........................ 3 1.1 Objetivos ............................................................................................................ 3
1.1.1 Objetivo general............................................................................................... 3 1.1.2 Objetivos Específicos....................................................................................... 3
1.2 Metodología ....................................................................................................... 3 1.2.1 Fase Inicial ...................................................................................................... 3 1.2.2 Fase de Desarrollo .......................................................................................... 4 1.2.3 Fase de Consolidación .................................................................................... 4
1.3 Cronograma ....................................................................................................... 4
2. MARCO TEÓRICO .................................................................................................... 5 2.1 Aspectos Epistemológicos e Históricos .............................................................. 5
2.1.1 Sistema Geocéntrico ....................................................................................... 5 Cosmología Aristotélica .................................................................................. 5 Modelo de Ptolomeo ....................................................................................... 6
2.1.2 Sistema Heliocéntrico ...................................................................................... 6 Del modelo de Aristarco de Samos al modelo de Kepler ................................ 6
2.2 Aspectos Conceptuales ...................................................................................... 8 2.2.1 Secciones Cónicas .......................................................................................... 8
El Círculo ........................................................................................................ 8 La Elipse ......................................................................................................... 9 Ecuación reducida de la Elipse ....................................................................... 9 Excentricidad de la Elipse ............................................................................. 10
2.2.2 Leyes de Kepler ............................................................................................. 11 Primera Ley .................................................................................................. 11 Segunda Ley ................................................................................................ 11 Tercera Ley .................................................................................................. 12
2.2.3 Visión newtoniana de las leyes de Kepler ...................................................... 12 2.3 Agujeros Negros .............................................................................................. 15
XII Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
2.3.1 Contexto histórico .......................................................................................... 15 2.3.2 Evolución de las estrellas .............................................................................. 19 2.3.3 De la gravedad de Newton a la de Einstein ................................................... 21 2.3.4 Origen de los agujeros negros ....................................................................... 23 2.3.5 ¿Qué existe en el centro de nuestra Vía Láctea? .......................................... 25
3. ASPECTOS PEDAGÓGICOS Y DIDÁCTICOS ....................................................... 26 3.1 Modelo de Aprendizaje Significativo.................................................................. 26
Estándares en el área de Ciencias Naturales Física ..................................... 28 3.2 Propuesta Didáctica Para la Medición de la Masa de Un Agujero Negro Utilizando la Tercera Ley de Kepler ............................................................................................. 30
3.2.1 Etapa de motivación: “Reconociendo el universo: del sistema solar a los agujeros negros” ...................................................................................................... 31
Procedimiento: .............................................................................................. 32 3.2.2 Etapa de profundización “¿Cómo son las leyes universales?” ....................... 33
Procedimiento ............................................................................................... 34 3.2.3 Etapa de aplicación “La interpretación de Kepler” ......................................... 35
Procedimiento ............................................................................................... 36 3.3 Metodología de evaluación ............................................................................... 37
4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ........................................................... 39 4.1 Conclusiones .................................................................................................... 39 4.2 Recomendaciones ............................................................................................ 40
Anexo 1: Guía general para el docente ......................................................... 42 Anexo 2: Guía momento inicial “El orden del caos” ....................................... 45 Anexo 3: Evaluación momento inicial “El orden del caos” .............................. 47 Anexo 4: Conceptualización aspectos geométricos y leyes de Kepler. “Describiendo la naturaleza” ................................................................................. 50 Anexo 5: Proceso de evaluación etapa de conceptualización “Describiendo la naturaleza” ........................................................................................................... 55 Anexo 6: Actividad Aplicación de la Tercera Ley de Kepler. “Midiendo un agujero negro”. ..................................................................................................... 57
5. Bibliografía ............................................................................................................. 63
CONTENIDO XIII
Lista de figuras
Pág.
Figura 2-1 La circunferencia ............................................................................................. 9
Figura 2-2 La Elipse ....................................................................................................... 10
Figura 2-3 Sistema Planetario, ....................................................................................... 11
Figura 2-4 Imágenes leyes de Kepler ............................................................................. 13
Figura 2-5 Efecto de la gravedad sobre la luz ................................................................ 23
Figura 2-6 Efecto de la gravedad de la Tierra sobre el movimiento de la Luna ............... 24
Figura 3-1 Aspectos que fundamentan el aprendizaje significativo ................................. 28
Figura 3-2 Propuesta Didáctica ...................................................................................... 31
CONTENIDO XIV
Lista de tablas
Pág.
Tabla 1-1: Organización del cronograma del trabajo. ........................................................ 4
Tabla 3-1 Propósitos, metas e indicador asociada a la primera etapa. ............................ 32
Tabla 3-2 Propósitos, metas e indicador asociado a la segunda etapa. .......................... 34
Tabla 3-3 Propósitos, metas e indicador asociado a la tercera etapa. ............................. 36
CONTENIDO XV
Lista de Símbolos y abreviaturas
Símbolos con letras latinas Símbolo Término Unidad SI Definición
𝑎 Semieje mayor de una elipse 𝑚 Ecu (2-4)
𝐴 Constante de proporcionalidad tercera Ley de Kepler
𝑠2
𝑚3
Ecu (2-8)
𝑏 Semieje menor de una elipse 𝑚 Ecu (2-5)
𝑐 Distancia del origen al foco de una elipse 𝑚 Ecu (2-5)
𝐶 Centro de la circunferencia
𝑒 Excentricidad de una elipse Ecu (2-7)
𝐹 Foco de la elipse 𝑚
𝐹′ Foco de la elipse 𝑚
𝐹1(−𝑐, 0) Coordenadas del foco uno
𝐹2(𝑐, 0) Coordenadas del foco dos
𝑂(0,0) Origen del sistema de coordenadas
𝑂𝑃 Semieje menor de una elipse.
𝑂𝐹1 Distancia del origen al foco.
𝑃(𝑥, 𝑦) Punto en una función
𝑃𝐹1 Semieje mayor de una elipse.
𝑟 Distancia del centro al punto 𝑃(𝑥, 𝑦) en la circunferencia
𝑚 Ecu (2-1)
𝑇 Tiempos de revolución (Periodos) 𝑠 Ecu (2-8)
𝑉1; 𝑉2 Vértices en la elipse.
INTRODUCCIÓN 1
INTRODUCCIÓN
El pasó de un docente de ciencias por la Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas,
toma sentido a la hora de cualificar sus conocimientos, generar estrategias nuevas para
su quehacer diario, fomentando en el aula de clase el interés en los estudiantes por el
estudio de las ciencias naturales. Dentro de las nuevas tendencias la integración de los
conocimientos a los aspectos cotidianos de los estudiantes es uno de los aspectos de
mayor relevancia, pero el procurar profundizar en los estudios relacionados con las
ciencias siempre ha llevado al docente a una búsqueda constante de temas interesantes
que le permita desarrollar este aspecto que tanto le interesa.
En este recorrido de la labor docente, encontrar un buen pretexto para la generación de
expectativas en los estudiantes de educación media en el grado decimo más precisamente,
puede observarse de una manera significativa, si se revisa el comienzo mismo de la
ciencia. Se puede proponer en un curso de física, por ejemplo, la revisión de primeras
observaciones realizadas por Galileo sobre el cielo, utilizando su diseño del telescopio,
pasando luego en esta revisión histórica, al estudio del modelo propuesto por Kepler con
la cual se puede explicar movimiento de los astros físicos llamados planetas. Tomando
este aspecto histórico como punto de partida, se pueden proponer elementos actuales
como elemento de estudio, que pueden llegar a ser más atractivos, interesantes y
significativos para nuestros estudiantes. Se puede utilizar entonces los procedimientos
propuestos por Kepler en sus leyes, además si se toman los datos que se encuentran en
la red frente a las observaciones del telescopio espacial, para de esta manera calcular la
masa de un agujero negro.
Este trabajo busca plantear una alternativa para acercar a los estudiantes a los conceptos
físicos básicos en un curso de grado décimo, con la intencionalidad de hacer más atractivo
y didácticos los cursos de ciencias naturales, para que los estudiantes se sientan más
atraídos por estudiar ciencias en un futuro próximo para ellos. Por esta razón se propone
que el tema de desarrollo sean las tres leyes de Kepler, proponiendo una aplicación
interesante de su tercera ley, en el cálculo de la masa de un agujero negro dando una
aplicación más cercana a la actualidad en la que vivimos. La organización de la información
existente, la obtención de información de los diferentes medios electrónicos y el uso de los
datos para la aplicación de la tercera ley de Kepler, son parte importante en este trabajo.
La metodología utilizada para el desarrollo de este trabajo, está basada en la pedagogía
constructivista del aprendizaje significativo, puesto que es el modelo aplicado en la
institución educativa El Japón donde se propone la aplicación concreta de este trabajo. Por
esta razón se proponen tres momentos fundamentales en los cuales se basa la propuesta,
un momento inicial en el que se realizara una introducción al tema con los estudiantes y
se revisaran aquellos preconceptos con los que los estudiantes llegan, un segundo
momento en que se realizara una fundamentación teórica que permita ampliar aquellos
conceptos previos que tienen los estudiantes, y un tercer momento donde se propondrá el
2 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
cálculo de la masa de un agujero negro, como una aplicación práctica de los conceptos
abordados.
Se puede afirmar entonces que los alcances de este trabajo están propuestos para
desarrollar un diseño didáctico, que facilite a un docente de física abordar el problema de
las leyes de Kepler en el aula de clase, dando un desarrollo adecuado de estos conceptos,
con una aplicación que permite que los estudiantes de educación media se aproximen a
los desarrollos llevados a cabo en la ciencia actual, ya que se utilizan datos disponibles en
la red.
OBJETIVOS, METODOLOGÍA Y CRONOGRAMA DEL TRABAJO 3
1. OBJETIVOS, METODOLOGÍA Y CRONOGRAMA DEL TRABAJO.
1.1 Objetivos
1.1.1 Objetivo general
DISEÑAR una propuesta metodológica para la determinación de la masa de un agujero
negro a partir de observaciones astronómicas y usando la tercera ley de Kepler con
estudiantes de educación media.
1.1.2 Objetivos Específicos
ANALIZAR los aspectos epistemológicos y conceptuales referentes a la observación de
trayectorias de objetos astrofísicos, fundamentados en las leyes de Kepler.
DETERMINAR los aspectos relevantes en las leyes de Kepler para el cálculo de masas de
objetos centrales.
IDENTIFICAR la metodología más adecuada para abordar esta temática facilitando la
implementación de la actividad al programa de física que se desarrolla con estudiantes de
grado decimo.
DEFINIR elementos de motivación, actividades didácticas así como las formas de
evaluación adecuadas para un trabajo en el aula en el que se integren las observaciones
astronómicas y la determinación de la masa de un agujero negro en el estudio de la tercera
ley de Kepler.
1.2 Metodología
1.2.1 Fase Inicial
Búsqueda bibliográfica con respecto a los contenidos y aspectos conceptuales para
desarrollar la propuesta.
Análisis y organización de la información.
Organización de la teoría para aterrizarlo al nivel de los estudiantes.
4 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
1.2.2 Fase de Desarrollo
Organización de la propuesta pedagógica según las necesidades del problema propuesto.
Definición del modelo pedagógico a utilizar.
Diseño de las actividades para desarrollar con los estudiantes.
1.2.3 Fase de Consolidación
Elaboración de las actividades.
Propuestas de evaluación de las actividades según el modelo pedagógico planteado.
Consolidación de la propuesta a través del escrito final.
Entrega de trabajo final.
1.3 Cronograma
agosto Septiembre Octubre Noviembre Enero Febrero Marzo Abril Mayo
Delimitación del problema
Fundamentación teórica
Presentación proyecto
Organización, evaluación y selección del modelo pedagógico que se pueden aplicar en la propuesta.
Diseño de la actividad didáctica en función del modelo seleccionado.
Evaluación y conclusiones de las actividades diseñadas.
Presentación de trabajo final
Tabla 1-1: Organización del cronograma del trabajo.
MARCO TEORICO 5
2. MARCO TEÓRICO
2.1 Aspectos Epistemológicos e Históricos
Durante el desarrollo de la historia humana se observa un especial interés por el gran
espectáculo que ofrece una noche despejada, donde las luces que se observan en el cielo
llenan de incertidumbres sobre nuestra presencia en el universo. Entender qué son estas
luces y cómo se comportan ante nuestros ojos es uno de los retos constantes de cada una
de las civilizaciones que han dedicado tiempo a la observación de la bóveda celeste,
teniendo en cuenta que todos tienen una lógica desde el fundamento de sus creencias,
coincidiendo a pesar de esta circunstancia en muchas de las mediciones realizadas del
movimiento aparente de los astros físicos.
Los chinos, los babilonios, los egipcios, los incas y los mayas hicieron observaciones y
mediciones del movimiento de los astros que, según nuestros registros, resultaron tener
bastante precisión al momento de hacer predicciones de fenómenos astronómicos
particulares, los que a su vez resultaron ser fundamentales en el desarrollo de la agricultura
debido a que muchos de estos fenómenos coinciden con el cambio de las estaciones, el
funcionamiento de sus sociedades se fundamentó en la distribución del tiempo por medio
de estas observaciones ya que podían establecer los momentos específicos en los cuales
realizar sus ceremonias u otras actividades importantes. También tiene influencia en la
realización de diferentes travesías a través del mundo, siendo evidente en algunas
civilizaciones nórdicas y europeas para quienes la observación del cielo les permitió tener
una ubicación más precisa en el lugar que se encontraban en sus desplazamientos a través
del océano.
Entonces observando la inmensidad de la bóveda celeste, se puede registrar regularidades
en el comportamiento de aquellas luces que acompañan la noche, teniendo como primera
explicación la existencia de dioses que regularizan las acciones de los seres lumínicos, que
de alguna manera dictan los parámetros que rigen el comportamiento de los seres humanos
en función de una creencia particular.
2.1.1 Sistema Geocéntrico
Cosmología Aristotélica
Teniendo en cuenta las posturas de Aristóteles donde el universo tiene dos componentes
fundamentales uno astral inmutable e incorruptible, y el otro terrestre o sublunar, de tal
manera que las leyes de la naturaleza tienen dos comportamientos en los lugares ya
nombrados. Para comprender el cosmos se adopta el sistema homocéntrico de Eudoxo,
donde los astros siguen trayectorias circulares enmarcadas en esferas cristalinas, que
6 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
permiten la ubicación de la Tierra en el centro inmóvil de dichas esferas. Se considera
entonces que el universo es finito y esférico.
Teniendo en cuenta la creencia de la existencia de cuatro elementos que constituyen la
naturaleza, tierra, aire, fuego y agua, Aristóteles logra hacer un ajuste en su teoría del
universo de tal manera que puede colocar combinaciones de estos cuatro elementos y
ubicarlos en un lugar particular del modelo. Por ejemplo, se tiene claro que el elemento
tierra es inmóvil, por lo tanto, siempre tendrá una tendencia a mantenerse en mundo
sublunar, ya que cuando este elemento está en este lugar se le encontrará inmóvil. Si por
alguna razón se lanza un objeto constituido por la tierra fuera de su posición ideal, este
buscara viajar a la posición inicial, explicando así porque este tipo de objetos siempre cae
al suelo. Por otro lado, un elemento constituido por el aire o el fuego encontrará que su
condición ideal cuando está en el cielo, por lo tanto, tendrá la tendencia a ir siempre hacia
arriba.
Rodeando toda esta estructura está un elemento que compone a todo lo existente en la
circunferencia exterior que es el elemento llamado éter. Esto permitía que el modelo que
describe el cosmos y el movimiento constante de los astros se ajustara a las observaciones
que se realizaban del cielo, pero, al final es un modelo bastante complejo para entender y
explicar el comportamiento de los planetas.
Modelo de Ptolomeo
El modelo de Aristóteles tenía algunos problemas para describir el movimiento de los
planetas; sin embargo, Ptolomeo es quien logra ajustar el movimiento de los planetas que
se observan, pero al trazar las trayectorias toman características bastante complicadas de
entender, por lo que terminan siendo en espirales alrededor de un movimiento circular. Esto
no implica que el movimiento de los planetas se ajuste a la descripción de las observaciones
realizadas hasta este momento de la historia. El problema es que esta descripción continua
siendo bastante compleja de entender. El modelo de Ptolomeo lo termina adoptando la
iglesia católica, debido a que se ajustaba perfectamente a la visión cosmológica de esta
religión.
2.1.2 Sistema Heliocéntrico
Del modelo de Aristarco de Samos al modelo de Kepler
Entender cómo se da el paso para transformar las ideas que se tenían del universo
trasladando el centro del cosmos de la Tierra al Sol, implica un proceso de abstracción
bastante significativo, ya que se debe descentralizar la idea que se tiene de lo que se
observa en el cielo, pues la impresión inicial es que todo lo que está en la bóveda celeste
gira en torno al observador. Un primer intento de hacer este ejercicio, fue presentado por
MARCO TEORICO 7
Aristarco de Samos, pero esta idea no fue apoyada en su momento, terminando relegada
al olvido.
En otro momento de la historia aparece Nicolás Copérnico quien, en 1543, publica en su
libro “De revolutionibus orbium caelestium” donde plantea un sistema heliocéntrico, formado
por esferas distribuidas de tal manera que en el centro de todas las esferas está el Sol, y
todos los planetas incluyendo Tierra viajan alrededor del Sol siguiendo una trayectoria
circular. Además indica que la luna no gira en torno al Sol sino lo hace alrededor de la
Tierra, por último indica que la Tierra tiene tres movimientos que la afectan que son la
rotación, la traslación y un movimiento anual del eje de rotación terrestre de características
similares al comportamiento de un trompo al rotar.
Estas ideas continúan influenciadas por la propuesta cosmológica de Aristóteles que
enuncia que todo está constituido por cinco elementos tierra, aire, fuego, agua y éter.
Entonces se podía suponer que cada esfera debería estar asociada a alguno de estos
elementos fundamentales, y su vez cada uno de estos asociado a los cinco sólidos
regulares de tal manera que esperaba encontrar una perfección en la construcción del
universo, concebido así por Dios. Este aspecto lo tuvo muy en cuenta Johannes Kepler,
quien al tratar de describir el cosmos a través de la propuesta Copérnico logró encontrar
algunos ajustes en este modelo; sin embargo, al tener acceso a los datos de las
observaciones realizadas por Tycho Brahe, termina por convencerse que el modelo
heliocéntrico de las esferas no se ajusta en su totalidad al comportamiento de los planetas.
Es así que Kepler, al realizar el ajuste de sus hipótesis con los datos obtenidos por Tycho
en las observaciones hechas del cielo durante varios años, termina encontrando tres
conclusiones fundamentales en la comprensión del movimiento de los planetas. En primera
instancia se dio cuenta que los planetas describen trayectorias elípticas y no circulares
donde el Sol se encuentra en uno de los focos. Una segunda conclusión se basa en el
recorrido de los astros físicos del sistema solar, donde la línea directa entre el Sol y el
planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. La tercera, es que el tiempo en que el
planeta recorre la trayectoria elíptica es proporcional al cubo de la distancia media entre
ellos. Estos últimos aspectos se esperan abordar con mayor profundidad en el desarrollo
de este trabajo.
8 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
2.2 Aspectos Conceptuales
2.2.1 Secciones Cónicas
Las secciones cónicas son importantes para el desarrollo de este trabajo debido a que en
el nivel de los estudiantes en los que se espera aplicar, es un componente significativo en
la parte geométrica, así como en los aspectos preliminares para la comprensión del
movimiento planetario, y la física que debe manejarse al respecto.
Las cónicas fueron estudiadas en un principio por Apolonio de Pérgamo (LUQUERO
MORENO, 1998) (262 – 190 a.C.), quien, al cortar un cono en varias secciones, encontró
figuras que dependían fundamentalmente de cómo estuviesen distribuidos los cortes en el
cono.
Dependiendo de cómo se corten las secciones recibirán el nombre de círculos, elipses,
hipérbolas o parábolas. Es interesante hacer un estudio acerca de estas figuras debido a
que muchas de las observaciones que se hacen de la naturaleza tienen comportamientos
regulares, que se asemejan a estos planos.
Para entender las cónicas se pueden observar desde tres puntos de vista diferentes, entre
ellos son:
a) Uno es estudiarlo como lo hizo Apolonio, en términos de intersecciones de planos
con un cono en diferentes puntos del mismo.
b) Otra forma es estudiarlos como casos particulares de ecuaciones de segundo grado,
como se hace en el curso de cálculo diferencial.
c) Otro es estudiarlos como lugares geométricos de puntos que cumplen cierta
propiedad geométrica.
Para el desarrollo de las actividades propuestas en este trabajo, se tuvieron en cuenta estas
tres formas de abordar el problema de las secciones cónicas. Sin embargo, antes del
proponer las guías de trabajo, es necesario reconocer algunos conceptos básicos
centrando el estudio en las secciones cónicas como el círculo y la elipse que son las más
relevantes en los procesos abordados por este trabajo.
El Círculo
DEFINICIÓN: “Una circunferencia es el lugar geométrico de los
puntos P(x,y) que equidistan de un punto fijo C llamado centro”
(ORTIZ, 2004)
MARCO TEORICO 9
Dentro de esta definición podemos tener en cuenta que la distancia de un punto P(x,y) al
punto C que se llamara 𝑟 y para calcular esta distancia se utilizará la ecuación para la
distancia entre dos puntos:
𝑟 = √(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2 (2-1)
Donde 𝐶(𝑥0, 𝑦0) son las coordenadas del centro de la circunferencia. De aquí al elevar al
cuadrado toda la expresión se puede obtener:
𝑟2 = (𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2 (2-2)
Y cuando el centro de la circunferencia está en el origen del sistema de coordenadas la
expresión sería:
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 (2-3)
Figura 2-1 La circunferencia
Representación de una circunferencia, cuando
se hace rotar el radio de la misma en función
de un ángulo.
La Elipse
DEFINICIÓN: “Una elipse es un lugar geométrico de los puntos
P(x,y) cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ llamados
Focos es constante” (ORTIZ, 2004)
|𝑃𝐹| + |𝑃𝐹′| = 𝑐𝑡𝑒 = 2𝑎 (2-4)
Ecuación reducida de la Elipse
Cuando los focos de la elipse están ubicados sobre el eje x y la distancia del origen a cada
uno de los focos es de Ox, de tal manera que la distancia entre los focos sea equivalente a
2𝑐, se tiene la siguiente expresión:
10 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
𝑥2
𝑐2 +𝑦2
𝑏2 = 1 (2-5)
Donde:
𝑎 es el semieje mayor.
𝑏 es el semieje menor
Focos 𝐹2(𝑐, 0) y 𝐹1(−𝑐, 0)
El centro es el origen O(0,0)
Los vértices 𝑉1; 𝑉2
Del grafico se puede obtener que 𝑃𝐹1 = 𝑎; 𝑂𝑃 = 𝑏; 𝑂𝐹1 = 𝑐
Figura 2-2 La Elipse
Representación de la elipse,
teniendo en cuenta los aspectos
importantes de la misma, el radio
mayor, el radio menor, los focos.
Como se observa se obtiene un triángulo rectángulo, y por tanto se puede determinar el
teorema de Pitágoras teniendo que:
𝑎2 = 𝑐2 + 𝑏2 (2-6)
Excentricidad de la Elipse
DEFINICIÓN: “Llamamos excentricidad 𝒆 de una elipse a la
distancia focal y el eje real” (ORTIZ, 2004)
𝑒 =𝑐
𝑎=
√𝑎2−𝑏2
𝑎 (2-7)
MARCO TEORICO 11
La excentricidad mide el grado de achatamiento de la elipse. Teniendo en cuenta la
excentricidad de la elipse se puede expresar el semieje mayor y el semieje menor términos
de:
𝑎 =𝑟
(1−𝑒2) (2-8)
𝑏 =𝑟
√1−𝑒2 (2-9)
2.2.2 Leyes de Kepler
Figura 2-3 Sistema Planetario,
Representación del sistema planetario
en sus órbitas elípticas alrededor del
Sol.
Las leyes de Kepler están establecidas en tres aspectos importantes como es el movimiento
de los planetas entorno al Sol, el tiempo en que realizan este movimiento y como se
mantienen las proporciones. Así es que enunciaron las leyes:
Primera Ley
Cuando Kepler toma los datos de Tycho Brahe, hace el ejercicio de ajustar los datos para
un observador que está fuera de nuestro sistema encontrando en primera instancia que:
“Cada planeta describe una órbita elíptica donde el Sol se encuentra
en uno de los focos de la elipse” (HEWITT G., 2004)
Segunda Ley
El aspecto de la segunda ley que la hace importante en la comprensión del movimiento de
los planetas es el hecho de encontrar que al analizar los datos, los astros físicos se mueven
con mayor rapidez cuando están cerca del Sol, como también se mueven más lentamente
cuando están lejos. Si se hace un análisis geométrico de esta situación trazando una línea
imaginaria uniendo al Sol y el astro, y además se hace girar dicha línea en torno al
movimiento del planeta, se encontrará que se marca un área de igual valor en ambos
momentos. Entonces esta ley se enunciaría así:
12 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
“La línea del Sol a cualquier planeta barre áreas iguales de espacio
en intervalos iguales de tiempo” (HEWITT G., 2004)
Esto implica que el movimiento de los planetas alrededor del Sol no es con velocidad
constante, pues esta cambia según la cercanía con la que este el planeta del Sol.
Tercera Ley
A pesar de que Kepler nunca logró explicar porque los planetas y los satélites tenían este
comportamiento después de muchos análisis con los datos encontrados por Brahe,
encontró una nueva relación que tenía un valor constante sin importar el planeta que se
observara. Este valor se obtiene de la razón entre el valor del periodo de cada planeta al
cuadrado (𝑇2) y de las distancias medias al cubo (𝑅3). Esto fue enunciado de la siguiente
manera:
“Los cuadrados de los tiempos de revolución (los periodos) 𝑻𝟐de los
planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias
promedios al Sol 𝑨𝟑 (𝑻𝟐𝜶𝑨𝟑 para todos los planetas).” (HEWITT G.,
2004)
𝑇2 = k𝐴3 (2-10)
A pesar de que Kepler conocía las ideas de Galileo acerca de la inercia y el movimiento
acelerado, él no las integro a sus postulados, puesto que Galileo creía fervientemente en la
idea del movimiento circular de los planetas.
2.2.3 Visión newtoniana de las leyes de Kepler
Las leyes de Kepler ya enunciadas, explica como es el movimiento de los planetas, pero no
aclara las razones por las cuales se presentan de esta manera. Esto es lo que da
importancia al trabajo desarrollado por Newton, dado que explica las razones por las cuales
el movimiento de los planetas se presenta como lo observamos, además de ajustarse al
comportamiento que se encuentran aquí en la Tierra.
Para ello formula la Ley de Gravitación Universal, que afirma: “Dos masas M y m se atraen
entre sí por una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia”. Si expresamos matemáticamente
lo anterior se tendría que:
𝐹 =𝐺𝑀𝑚
𝑅2 (2-11)
MARCO TEORICO 13
Figura 2-4 Imágenes leyes de Kepler
a. Grafica que representa el área
barrida por el radio promedio a medida
que el planeta hace su recorrido en un
intervalo de tiempo.
b. Diferencia entre el radio y la
velocidad centrípeta que se presenta en
el perihelio y el afelio, durante el
recorrido del planeta alrededor del Sol.
Al analizar esta expresión, se puede enunciar que si uno de los objetos, por lo general de
mayor masa se encuentra en un punto inercial, el otro al sentirse atraído tendrá una
trayectoria que podría asociarse a una sección cónica, como una elipse para aquellos
objetos que se mantienen constantemente en torno a los objetos centrales, parábolas para
aquellos objetos que caen hacia el objeto hasta ser absorbidos, e hipérbolas para aquellos
que solo se acercan una vez al objeto central.
Entonces se evidencia así que la presencia de que la existencia de fuerzas centrales
justifica la primera ley de Kepler, como una consecuencia de la Ley de Gravitación
Universal. Como se están considerando orbitas elípticas se consideraran los siguientes
aspectos:
Partiendo de la definición de momento angular se tendría la ecuación:
𝐿 = 𝜇𝑟2 𝑑𝜃
𝑑𝑡 (2-12)
Donde 𝜇 =𝑀𝑚
𝑀+𝑚 que son las masas que interactúan en el sistema. Organizando la expresión
se tiene que:
𝐿
2𝜇𝑑𝑡 =
1
2𝑟2𝑑𝜃 (2-13)
14 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
Si se tiene en cuenta que la expresión 1
2𝑟2𝑑𝜃 es la componente diferencial del área de la
elipse en coordenadas polares. Por otro lado se tiene que al integrar un periodo completo,
el área de la elipse se puede expresar entonces como:
1
2𝜇𝑇 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 = 𝜋𝑎𝑏 (2-14)
Donde 𝑎 es el semieje mayor de la elipse, 𝑏 es el semieje menor de la elipse y 𝑇 es el
periodo completo. Ahora, si se combinan estos aspectos geométricos con algunos
conceptos físicos, se pueden describir los semiejes como:
𝑎 =𝐶
(−2𝐸) (2-15)
𝑏 =𝐿
√−2𝜇𝐸 (2-16)
Donde 𝐸 = 1 − 𝑒2. Entonces reemplazando en la ecuación (2-14) se tiene que:
1
2𝜇𝑇 = 𝜋
𝐶
−2𝐸
𝐿
√−2𝜇𝐸 (2-17)
Elevando la expresión al cuadrado, despejando y simplificando se tiene la expresión:
𝑇2 =𝜋2𝜇𝐶2
−2𝐸3 (2-18)
Teniendo en cuenta que 𝐴 =𝐶
−𝐸 y 𝐶 = 𝐺𝑀𝑚 entonces la expresión finalmente seria:
𝑇2 =𝜋2
2(𝑀+𝑚)𝐺𝐴3 (2-19)
Que es la expresión para la tercera ley de Kepler, interpretada desde las leyes de Newton.
Como uno de los objetivos de este trabajo es determinar una masa central la expresión que
se usa para tal fin sería:
(𝑀 + 𝑚) =𝜋2
2𝐺𝑇2 𝐴3 (2-20)
Donde 𝑀 + 𝑚 es el conjunto de masas que interactúan en el sistema, 𝐴 es el semieje mayor
de la elipse que describe la trayectoria del astro alrededor de la masa central, 𝐺 es la
constante de gravitación universal que tiene un valor de 𝐺 = 6,77 ∗ 10−11 𝑁𝑚2
𝑘𝑔2 , y 𝑇 es el
periodo orbital del astro que gira. También es necesario tener en cuenta que para el cálculo
de la masa, usando la expresión (2-20) puede influir en el resultado la inclinación de la órbita
con respecto al plano de referencia.
MARCO TEORICO 15
2.3 Agujeros Negros
2.3.1 Contexto histórico
La primera vez que se tuvo en cuenta la idea de lo que hoy conocemos como agujero negro,
fue en 1783 cuando el científico John Michell, propuso combinar la teoría corpuscular de la
luz propuesta por Newton, con la teoría de gravitación universal. A partir de esta idea no es
erróneo pensar, que la gravedad pudiese influir sobre la luz gracias a la posibilidad de que
esta fuese compuesta por partículas, ya que la influencia de la gravedad según la
concepción clásica se da a través de la interacción de las masas de los objetos.
Según la idea planteada por Michell, si se lanza verticalmente un objeto que esta sobre la
superficie de una estrella a una cierta velocidad, este tendera a caer de nuevo hacia ella, si
su velocidad inicial no es lo suficientemente alta para vencer el campo gravitatorio de la
estrella. Si por el contrario este tiene la suficiente velocidad inicial para escapar, el objeto
disminuirá su velocidad pero logrará huir de la acción de la gravedad.
Esta velocidad límite se reconoce como velocidad de escape, que es la velocidad mínima
que deben tener los objetos para poder escapar de la acción de la gravedad de un astro.
Cuando Michell quiso argumentar su idea, procuro calcular cuales deberían ser las
condiciones, para que la velocidad limite fuese lo suficientemente alta como parea que la
luz no pudiese escapar de una estrella.
“Michell pudo calcular la velocidad de escape utilizando las leyes de
la gravedad de Newton, y pudo demostrar que es proporcional a la
raíz cuadrada de la masa de la estrella dividida por su
circunferencia. Por consiguiente, para una estrella de masa fija,
cuanto más pequeña es la circunferencia mayor es la velocidad de
escape. La razón es simple: cuanto más pequeña es la
circunferencia, más cerca está la superficie de la estrella de su
centro y, por lo tanto, mayor es la gravedad en la superficie y más
trabajo tiene que hacer la partícula para escapar de la atracción
gravitatoria de la estrella.” (S. THORNE, 1994)
En el párrafo anterior, se puede intuir los pasos que siguió Michell para realizar sus cálculos,
se puede entonces identificar la expresión que él utilizó:
𝑣𝑒 = √2𝐺𝑀
𝑅𝑒 (2-21)
A partir de aquí, se propone a continuación un ejercicio que permita identificar los pasos
que posiblemente siguió Michell para hallar las características de una estrella, cuya
velocidad de escape sea equivalente a la velocidad de la luz, valor que ya se había
establecido en la época de Michell. Si se consideran entonces los siguientes datos, la masa
del Sol equivalente a 𝑀 = 1,989 ∗ 1030𝑘𝑔, el radio del Sol 𝑅𝑒 = 695800𝑚, y la constante de
16 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
gravitación universal 𝐺 = 6,67 ∗ 10−11 𝑚3
𝑠2𝑘𝑔. Con estos datos y la expresión 2-21, se tendría
que el radio de una estrella con una masa equivalente a la del sol, con las características
de una estrella que no deja escapar la luz, entonces:
𝑅𝑒 =2𝐺𝑀
𝑣2
𝑅𝑒 =2 (6,67 ∗ 10−11 𝑚3
𝑠2𝑘𝑔) (1,989 ∗ 1030𝑘𝑔)
(3 ∗ 108 𝑚𝑠
)2
𝑅𝑒 = 2948,14𝑚
Este sería el radio crítico, en el cual una estrella con la masa equivalente a la del Sol no
dejaría que la luz escapara. De la misma manera se puede calcular la masa que se
necesitaría para producir el mismo efecto, pero con un radio equivalente a la del Sol. Este
proceso se llevaría a cabo de la siguiente manera:
𝑀 =𝑣2𝑅𝑒
2𝐺
𝑀 =(3 ∗ 108 𝑚
𝑠)
2(695800𝑚)
2 (6,67 ∗ 10−11 𝑚3
𝑠2𝑘𝑔)
𝑀 = 3,51 ∗ 1042𝑘𝑔
Esto da una idea del proceso que se llevó a cabo para determinar algunas de las
características de estas estrellas tan extrañas. Como no existía ninguna ley que impidiese
la existencia de tales estrellas, esto llevo Michell a especular acerca sobre la existencia de
un gran número de estrellas de estas características en el universo, las cuales por obvias
razones no serían visibles desde la Tierra.
Michell publico estas ideas en la Royal Society de Londres el 27 de Noviembre de 1783, lo
cual generó bastante revuelo en los científicos de la época. Trece años después el científico
francés Pierre Simón Laplace masifico esta idea en su publicación El sistema del mundo,
sin hacer referencia al trabajo de Michell. Laplace mantuvo esta idea en la segunda edición
de su publicación, pero en la tercera desecho la idea, debido muy posiblemente a los
resultados del trabajo de Thomas Young sobre la interferencia de la luz, dado que la mayor
parte de los científicos abandonaron la interpretación corpuscular de la luz. Además no era
claro como la luz si es onda se vería afectada por la gravedad.
Todos estos aspectos relacionados con las estrellas oscuras habían sido dejados por los
científicos, hasta que Einstein formula la teoría de la relatividad, a partir del cual él mismo
MARCO TEORICO 17
detecta una inconsistencia entre su teoría y la teoría gravitatoria de Newton. Aunque esta
discrepancia no era muy evidente, si lo hacía intuir que existía una debilidad de dicha teoría,
Newton proponía que la gravedad dependía fundamentalmente de la distancia entre los dos
objetos gravitantes. Esto supondría un problema si se tomaba en cuenta que la teoría de la
relatividad que postulaba que la distancia es diferente en distintos sistemas de referencia.
“las leyes de la relatividad de Einstein predicen que la distancia
entre el Sol y Mercurio diferirá aproximadamente en una parte en
mil millones, dependiendo de si uno está situado en la superficie de
Mercurio cuando la mide o si está situado en la superficie del Sol. Si
ambos sistemas de referencia, el de Mercurio y el del Sol, son
igualmente buenos a los ojos de las leyes de la física, entonces
¿qué sistema debería utilizarse para medir la distancia que aparece
en la ley gravitatoria de Newton? Cualquier elección, la del sistema
de Mercurio o la del Sol, violaría el principio de relatividad. Este
dilema convenció a Einstein de que la ley gravitatoria de Newton
debía tener un punto débil.” (S. THORNE, 1994)
Esto le indicó a Einstein que además de descartar el tiempo y el espacio absoluto, había
que reformular la ley de gravitación, búsqueda que comenzó en 1907, cuando es invitado
a escribir un artículo en la publicación Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik sobre sus
leyes de la física de la relatividad especial y sus consecuencias. Hasta ese momento evitaba
constantemente incluir la gravedad en sus explicaciones, dado que un sistema inercial que
se propone en la teoría de la relatividad, las leyes de la naturaleza actúan como si la
gravedad no existiese, situación que es difícil de argumentar ya que estos sistemas no se
encuentran con facilidad.
Así que en un momento de contemplación que tuvo Einstein, logra encontrar un sistema
que se aproxima bastante con esta situación y es aquel, en que una persona cae en caída
libre. La sensación que tiene la persona en el momento de la caída, según la explicación
dada por él, es que la persona no sentirá su peso. Entonces si la persona se olvida por un
momento de lo que hay a su alrededor durante la caída, no podrá diferenciar si está cayendo
o está flotando. En este pequeño sistema de referencia la persona evidenciara que todas
las leyes de la naturaleza actuaran sin la presencia de la gravedad, la cual no será visible
en ese instante, por lo que no se podrá detectar ni medir.
“En cualquier pequeño sistema de referencia en caída libre, en
cualquier parte de nuestro Universo real dotado de gravedad, las
leyes de la física deben ser las mismas que en un sistema de
referencia inercial en un universo idealizado libre de gravedad.
Einstein llamó a este principio el principio de equivalencia, porque
afirma que pequeños sistemas de referencia en caída libre en
presencia de gravedad son equivalentes a sistemas inerciales en
ausencia de gravedad.” (S. THORNE, 1994)
18 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
Este aspecto es muy importante en el desarrollo de la relatividad especial, si se tiene en
cuenta que así se justifica la existencia de un sistema inercial sin gravedad, donde se
cumplen las leyes de la física, reproduciéndolas en cualquier sistema de referencia. La
propuesta de gravedad de Einstein se desarrolla con mayor profundidad más adelante en
este trabajo.
Desde este punto la idea de las estrellas oscuras, finalmente se vuelve a tomar en cuenta
cuando un científico Karl Schwarzschild leyó la publicación de la relatividad general en el
número 25 de noviembre de 1915 de las Actas de la Academia Prusiana de Ciencias,
colocándose a la tarea de analizar un cuerpo esférico que no gira, dado que en otras
condiciones la matemática sería bastante complicada. Esta situación la plantea Kip Thorne
en su libro:
“Puesto que sería muy complicado analizar matemáticamente una
estrella que gire o que no sea esférica, Schwarzschild se limitó a
estrellas que no giran en absoluto y que son exactamente esféricas;
y para facilitar su cálculos buscó en primer lugar una descripción
matemática de la región exterior a la estrella y dejó su interior para
más tarde. En pocos días tuvo la respuesta. A partir de la nueva
ecuación de campo de Einstein, había calculado en sus detalles
exactos la curvatura del espacio-tiempo en el exterior de cualquier
estrella esférica y sin rotación. Su cálculo era bello y elegante, y la
geometría espacio-temporal curvada que predecía, la geometría de
Schwarzschild como pronto iba a ser conocida, estaba destinada a
tener un enorme impacto sobre nuestra comprensión de la gravedad
y el Universo.” (S. THORNE, 1994)
Esta geometría de Schwarzschild dio el inicio a lo que hoy conocemos como agujero negro,
a pesar de que Einstein presento el trabajo de Schwarzschild ante la comunicad científica,
ya que él se encontraba en el frente de batalla en la segunda guerra mundial, para Einstein
este trabajo no tenía mucho sentido, ya que aunque se ajustaba a la teoría de la relatividad,
para él la naturaleza no se podía comportar de manera tan destructiva.
El desarrollo de esta geometría, hace parte del primer ejemplo de la curvatura del espacio
– tiempo, el cual es importante en la comprensión del comportamiento de los agujeros
negros.
Si se retoma por un momento la concepción de espacio que se tiene en la mecánica clásica,
se comenzará a identificar las diferencias entre la postura clásica, y los cambios que se
proponen en el desarrollo de la geometría de Schwarzschild.
“Es un espacio compartido por toda la humanidad, por el Sol, por
todos los planetas y estrellas. Cada uno de nosotros se mueve en
este espacio en trayectorias y con velocidades propias, pero nuestra
experiencia del espacio es la misma, independientemente de
MARCO TEORICO 19
nuestro movimiento. Este espacio nos proporciona nuestra
sensación de longitud, anchura y altura; y de acuerdo con las leyes
de Newton, todos nosotros, independientemente de nuestro
movimiento, estaremos de acuerdo en la longitud, anchura y altura
de un objeto, con tal de que hagamos medidas suficientemente
precisas.” (S. THORNE, 1994)
Como se observa el espacio absoluto tiene unas características, que unifica la forma en
que ve la naturaleza cada observador independiente. De la misma forma si tomamos en
cuenta como se entiende el tiempo absoluto, en la mecánica clásica.
“El tiempo absoluto de Newton era el tiempo de la experiencia
cotidiana, el tiempo que fluye inexorablemente hacia adelante a
medida que envejecemos, el tiempo medido por los relojes de alta
calidad y por la rotación de la Tierra y el movimiento de los planetas.
Es un tiempo cuyo flujo es experimentado en común por toda la
humanidad, por el Sol, por todos los planetas y por todas las
estrellas. Según Newton, todos nosotros, independientemente de
nuestro movimiento, estaremos de acuerdo en el periodo de una
órbita planetaria o en la duración del discurso de algún político, con
tal de que utilicemos relojes suficientemente precisos para medir la
órbita o el discurso.” (S. THORNE, 1994)
2.3.2 Evolución de las estrellas
Para entender cómo se crea un agujero negro es necesario conocer la evolución de las
estrellas, enfocándose especialmente en las diferentes formas posibles en que la vida de
ellas termina. Los astrónomos tienen dos maneras de describir este proceso, uno de ellos
es organizar modelos matemáticos que facilitan la aproximación de los hechos; la otra forma
es realizar la observación directa.
“La evolución de todas las estrellas es parecida a grandes rasgos,
aunque los detalles individuales pueden variar mucho. En particular,
la duración de la fase de combustión del hidrogeno depende mucho
de la masa de la estrella: las estrellas de masa muy pequeña
pueden tardar mil veces más que el Sol en alcanzar la etapa de
gigante roja. Incluso algunas estrellas pueden no llegar a alcanzar
nunca una temperatura interna suficiente para encender el destello
del helio, y simplemente se irán enfriando. Sean los que sean los
detalles o la duración de su evolución, todas las estrellas están
sujetas a la segunda ley de la termodinámica, según la cual la
combustión no puede seguir indefinidamente; al final tiene que llegar
el momento de la muerte de la estrella” (DAVIES, 1985)
20 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
Teniendo en cuento los aspectos desarrollados por los astrónomos en cuanto a la vida de
las estrellas, implica que sea necesario indicar que los procesos en una estrella para dejar
de existir son muy variados entre sí, lo que termina dificultando la realización de la
descripción de esta situación. A pesar de esta dificultad se pueden generalizar algunos
aspectos. Uno de ellos es la dependencia entre la masa de las estrellas con el tiempo de
vida de las mismas. Por ejemplo, entre mayor cantidad de masa tiene una estrella, el núcleo
de ella deberá compensar la presión que ejercen las capas externas, lo cual se realizará
ocupando menos espacio debido a la compresión, lo que terminará aumentando la
temperatura según lo predicen las leyes de la termodinámica. Este proceso generará que
el consumo de hidrogeno se realice más rápidamente, lo que disminuirá el tiempo de
equilibrio entre las capas externas y las internas.
Estos aspectos indican que las estrellas están en una constante lucha por mantener en
equilibrio su núcleo, lo que consiguen aumentando su temperatura para poder consumir los
diferentes elementos que se van generando en cada una de sus fases antes de extinguirse,
teniendo que en primera instancia se debe agotar el hidrogeno, luego el helio para de esta
manera llegar a elementos cada vez más pesados como el oxígeno o el hierro. Según el
combustible que tenga la estrella en su núcleo, esta emitirá una radiación lumínica en un
espectro electromagnético determinado, lo cual nos permite identificar desde la
observación, que composición tiene, y en qué momento de su vida se encuentra cuando
nos llega la información desde ella.
“Al completarse cada etapa de combustión, el núcleo de la estrella
se contrae aún más para mantener el vital equilibrio entre la presión
y el flujo de energía. Cada vez que se acaba la energía de la estrella,
debe empezar a contraerse bajo su propia gravedad hasta que la
temperatura es lo bastante alta para quemar el combustible que está
disponible. Cuando se empieza a quemar los elementos incluyendo
el oxígeno, la temperatura se acerca a los mil millones de grados,
unas cien veces más caliente que el centro del Sol en su estado
actual.” (DAVIES, 1985)
Para continuar con este análisis, se tomará el ejemplo de una estrella pequeña como
nuestro Sol. El inicio de la vida de nuestra estrella se dio con una acumulación constante
de una nube de gases con alto contenido de hidrogeno, la cual comienza a contraerse,
acumulándose y aumentando su temperatura hasta que su actividad se estabiliza por varios
millones de años, aquí su apariencia es la de una enana amarilla. Una vez se consume el
hidrogeno transformándolo en helio, la estrella comienza un proceso de cataclismo donde
debe estabilizarse nuevamente, lo cual realiza expandiéndose hasta transformarse en una
gigante roja. Más tarde al consumir nuevamente su combustible de helio, transformándolo
en elementos más densos y con la idea de buscar la estabilidad debe aumentar su
temperatura para poder consumir su nuevo combustible. Al generarse su proceso el color
que se observa de su brillo es de una estrella azul caliente. Luego al consumir su
MARCO TEORICO 21
combustible nuclear se enfría transformándose en una enana blanca, la cual se va
apagando constantemente por mucho tiempo hasta transformarse en una enana negra.
Cambia significativamente los procesos sobre la estrella, cuando estas tienen una mayor
cantidad de masa, dado que en su composición atómica, estas estrellas pueden llegar a
tener elementos mucho más pesados en las diferentes etapas de su evolución. Sin
embargo, para que estas estrellas puedan mantener su equilibrio vital en el núcleo, entre la
presión y el flujo de energía, deberá contraerse en función de cada una de las etapas que
sufre durante su vida como estrella. Cuando el núcleo sube a temperaturas por encima de
los mil millones de grados, crea otro tipo de inestabilidad. Por un lado la radiación emitida
en forma de rayos x, genera la energía suficiente para producir pares electrón – positrón,
teniendo en cuenta que algunos de estos pares terminan aniquilándose formando pares
neutrino – antineutrino. En este instante el núcleo se vuelve radiactivo y empieza a
desintegrarse por emisión de neutrinos, quienes atraviesan las capas superiores sin
encontrar nada que los detenga escapando así al espacio.
A medida que aumenta la temperatura y el núcleo se contrae cada vez más, la emisión de
neutrinos aumenta significativamente, pero esto no lo hace eternamente puesto que llega
un momento en que se termina el suministro de energía de los procesos de síntesis nuclear,
encontrando una estabilidad en el material que contiene este horno nuclear. Aquí se
producen núcleos más pesados como es el caso del hierro. Para producir estos materiales
tan pesados, el consumo de energía es bastante significativo lo que genera un aumento en
la temperatura hasta unos tres mil millones de grados, alcanzando de esta manera el
equilibrio termodinámico.
Después de un tiempo comienza nuevamente a contraerse el núcleo, solo que esta vez lo
hace cada vez más rápido, aumentando la temperatura nuevamente hasta alcanzar unos
ocho mil millones de grados, destruyendo finalmente los núcleos de hierro que se han
formado por millones de años, por lo que el núcleo comienza a emitir rayos gamma cada
vez más activos. En unos pocos segundos el núcleo de la estrella se colapsa, generando
tal densidad que los neutrinos ya no pueden escapar. La potente cantidad de neutrinos
emitidos por el núcleo generados por la implosión, hacen que las capas exteriores capten
energía la cual se libera en una gran explosión, produciendo un brillo con una luminosidad
equivalente a la generada por una galaxia, este brillo se puede observar por algunos días.
Los residuos de esta explosión generan une estrella muy contraída con un campo
magnético encerrado en ella. Cuando la estrella gira rápidamente, produce un giro en su
campo magnético lo que crea pulsos de radio constantes que se pueden detectar con los
radio telescopios. Estas estrellas son conocidas hoy en día como pulsares.
2.3.3 De la gravedad de Newton a la de Einstein
Antes de continuar con la evolución de las estrellas y como estas pueden llegar a ser
agujeros negros, se debe entender de la mejor manera que es la gravedad, quien es
considerada como la fuerza de menor intensidad comparada con las otras fuerzas
22 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
fundamentales de la naturaleza. Sin embargo es quien termina provocando el colapso de
la estrella de manera más espectacular, debido a que esta fuerza siempre es continua y
atractiva. Los enigmas que genera este tipo de final en las estrellas, son muy complejos
para nuestro entendimiento, dado que al producirse, implica la desaparición de información
en términos de las estructuras ordenadas a las que nos ha acostumbrado el universo, por
lo que se supone la extinción de una gran cantidad de materia en aquellos lugares.
La pregunta a realizar entonces es ¿qué es la gravedad? Newton fue el primero que dio
algunas ideas acerca de este concepto. Uno de los avances más significativos por parte de
él, es haber relacionado esta fuerza como la causante del movimiento de los planetas
alrededor del Sol, debido fundamentalmente a la interacción entre las masas involucradas,
en este caso la masa central la del Sol y la de los planetas. La masa en estas condiciones
se conoce como masa gravitacional. Por otro lado la gravedad es la razón por la cual nos
sentimos empujados hacia el suelo en línea recta cuando caemos, afectando nuestra masa
obligándonos a estar atados a la Tierra. Por esta razón a la masa en estas condiciones se
le conoce como masa inercial.
Newton no dejo muy claro en sí que es la gravedad, tal vez porque no era su interés, a
pesar de esta situación su propuesta fue aceptada, debido a que se ajustaba bastante bien
a la descripción de orbitas descritas por la mayoría de los planetas. En los casos en los que
no ajustó bien estos resultados, se explicó argumentando la existencia de algún objeto no
visto que generaban una perturbación de las trayectorias de los planetas debido a la
gravedad generada por dicho objeto.
“cuando Einstein descubrió la teoría de la relatividad en 1906, se
llegó a la conclusión de que la idea newtoniana de la gravedad tenía
que ser errónea, siendo la dificultad principal el que actuará
instantáneamente a distancia. Los experimentos realizados a
principios de siglo, combinados con el brillante trabajo de Einstein,
establecían sin ninguna duda que ninguna influencia física podía
sobrepasar la velocidad de la luz sin invertir el orden de causa y
efecto. Como esto resulta impensable, elimina la posibilidad de
acción instantánea a distancia, en la que se fundaba el concepto de
gravedad de Newton.” (DAVIES, 1985)
Como se puede observar en este texto de Paul Davies en su libro el “Universo desbocado”,
que el concepto de gravedad como lo propone Newton, debe ser transformado y ajustado
a la nueva realidad, identificada en la teoría de la relatividad de Einstein. Este hecho de que
la gravedad no pudiese actuar de manera instantánea, dado que sobrepasaría la velocidad
limite que impone la teoría, transforma el concepto de gravedad de una fuerza causada por
la interacción entre masas, a un aspecto puramente geométrico, dado que la masa provoca
en el espacio y el tiempo una curvatura que puede ser analizada desde la matemática
asociada, a la trayectoria que siguen los objetos en torno a la masa estudiada. Tal vez
Newton no pudo llegar a esta conclusión, al considerar como una mera coincidencia, el
MARCO TEORICO 23
hecho de que los objetos con diferentes densidades que se dejan caer al tiempo desde la
misma altura, llegan al suelo al mismo tiempo. Este pudo ser el punto de partida importante
para Einstein en el momento de buscar una alternativa como la que encontró.
“Al variar la gravedad de un sitio a otro, varían las trayectorias de
los cuerpos en movimiento, fenómeno llamado efecto de marea,
porque la variación de la gravedad de la Luna sobre la superficie de
la Tierra produce mareas oceánicas. Einstein busco una propiedad
del espacio y el tiempo que pudiera explicar cómo podía variar las
trayectorias de caída libre de los cuerpos de un sitio a otro. Esta
variación podría ser el efecto de torsión y giro, o bien una expansión,
una contracción o desgarro. Einstein propuso que el espacio y el
tiempo son, de alguna forma, elásticos y puede sufrir distorsiones
en presencia de una masa gravitante. La curvatura del espacio
cerca de una masa tuerce las trayectorias de los cuerpos en caída
libre. De acuerdo con esta imagen no debemos considerar la Tierra
como forzada a seguir una trayectoria curva alrededor del Sol por la
fuerza de gravedad, sino cayendo libremente por el espacio tiempo
curvado, cuya distorsión aparta a la Tierra del movimiento en línea
recta provocando una trayectoria curva. La gravedad por lo tanto
queda reducida a la geometría, y deja de ser una fuerza.” (DAVIES,
1985)
Figura 2-5 Efecto de la gravedad sobre la luz
En la imagen se puede ver la representación de la curva generada en el espacio – tiempo, por una masa gravitante como el Sol. Si se observa la contrastación entre la trayectoria lineal si no existiese la masa del Sol y la trayectoria que sigue la luz cuando está el Sol.
Las trayectorias de las masas gravitantes, dependen fundamentalmente de la curva que
generan los objetos en el espacio, dado que el espacio - tiempo es un ente elástico, que se
ve afectado por los objetos que habitan en él.
2.3.4 Origen de los agujeros negros
Al comprender un poco mejor como es el ciclo de las estrellas, según las ideas expuestas
hasta el momento, su final depende de la cantidad de materia que ha venido acumulando
durante su nacimiento. Si la masa del núcleo no excede la masa equivalente a tres soles,
24 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
su vida se extinguirá como ya se analizó anteriormente. Lo que se entrará a analizar ahora,
es lo que sucede cuando ese núcleo supera el límite de las tres masas solares.
Al utilizar la explicación de Einstein en la formación de agujeros negros, se encuentran
elementos de mayor claridad, para fundamentar lo que ocurre cuando se presenta en el
colapso gravitacional. Cuando la masa de las estrellas es significativamente mayor, a la
masa equivalente a tres masas solares, el núcleo de la supernova no podrá equilibrar la
gravedad que se genera en el centro, por lo que el colapso será inevitable. Por otro lado
este suceso, se presenta en una escala de tiempo muy corto, comparado con lo que ocurre
en el resto de la evolución de la estrella. Esto se presenta en una milésima de segundo,
ocurriendo fenómenos nuevos y extraños.
“El primer efecto se refiere a la dilatación del tiempo ya mencionada
en relación con la gravedad Terrestre. Sobre la superficie de una
estrella esférica en colapso, el ritmo del tiempo, con relación a un
lugar muy alejado, decrece exponencialmente; es decir, el ritmo del
“reloj” disminuye a la mitad cada diez milésimas de segundo para
una estrella típica. En un abrir y cerrar de ojos el tiempo de la
superficie de la estrella, medido con un reloj lejano, llega a pararse
prácticamente, y para en observador alejado de los acontecimientos
parecen haberse congelado en el tiempo.” (DAVIES, 1985)
El efecto nombrado en este párrafo es muy interesante, dado que su explicación viene de
la forma en que la gravedad afecta el espacio - tiempo. Si un observador se encuentra en
un punto donde la intensidad de la gravedad es significativa, comparado con otro
observador que se encuentra alejado de dicho punto, se podrá observar que un cambio en
el comportamiento del reloj de uno de ellos,
Figura 2-6 Efecto de la gravedad de la Tierra sobre el movimiento de la Luna
Representación de la curvatura
generada por la Tierra en el espacio -
tiempo
MARCO TEORICO 25
2.3.5 ¿Qué existe en el centro de nuestra Vía Láctea?
Observar un agujero negro no es nada fácil, si tenemos en cuenta por ejemplo la definición
de estos objetos estelares, tendremos claro que verlos será imposible, ya que se necesitaría
que de él saliera luz, lo cual jamás ocurrirá. Sin embargo los efectos gravitatorios que
causan el movimiento sobre los objetos que se encuentran alrededor, podrán evidenciarse
fácilmente.
Sin embargo, el suponer cuáles serán los lugares donde posiblemente se podrá encontrar
algún agujero negro, no es un ejercicio sencillo de realizar. Por otro lado para poder
observar los lugares donde se supone que se encuentran algunos agujeros negros, se
deben utilizar equipos especializados, dado que realizar las observaciones implica mirar a
través de gran cantidad de material cósmico, el cual no permite el paso de la luz visible.
Cuando los radio telescopios apuntaron por ejemplo, al centro de la galaxia, se pudo
observar un número significativo de estrellas de gran tamaño, las cuales después de varios
años de apuntar en esta dirección, se ha podido determinar el comportamiento de estas
estrellas conocidas como S. El comportamiento que describen estas estrellas simulan la
presencia de un objeto central, cuya masa genera una curvatura en el espacio, lo
suficientemente capaz de provocar que las estrellas S (que tienen una masa de varias veces
la masa solar) giren en torno a él. Por otro lado, de este punto central que se ha determinado
a través de las imágenes tomadas, no se ha detectado ningún tipo de luz radiando de este
lugar, acorde al comportamiento de un agujero negro. Además por las simulaciones de
computador, se ha podido determinar donde se encuentra el horizonte de sucesos del
agujero negro, en el momento en que absorbe materia de alguna de las estrellas que giran
en torno a él.
Aquí es donde puede tomar sentido este trabajo, dado que al realizar estas observaciones,
las orbitas son muy similares a las que se presentan en el sistema solar, por lo que realizar
el cálculo de la masa que se ubica en el centro de la galaxia, lo podemos realizar utilizando
las leyes de Kepler. Como aplicación de estos conceptos en la clase de física del colegio
IED El Japón, puede hacer que haya mayor interés por parte de los estudiantes del colegio
hacia temas asociados con la ciencia.
26 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
3. ASPECTOS PEDAGÓGICOS Y DIDÁCTICOS
La pedagogía se puede definir como “Una actividad humana sistemática que orienta las
acciones educativas y de formación, se plantean los principios, métodos, practicas,
maneras de pensar y modelos que son sus elementos constitutivos.” (Mendoza, 2001) de
acuerdo con lo anterior, podemos establecer que la pedagogía es uno de los parámetros
más importantes que permiten identificar la pertinencia de las actividades aplicadas a una
población educativa especifica. Así mismo los modelos pedagógicos dan las herramientas
necesarias que permiten la aproximación de los estudiantes al conocimiento; a partir de
la evaluación de los avances tienen los estudiantes al verse afectados por estas acciones.
Cada uno de estos está relacionado a través de un modelo pedagógico. Pero se tiene que
un modelo pedagógico según Peretti 1987 es:
“Conjunto de creencias, de concepciones o generalizaciones y de
valores que comprenden una concepción del conocimiento, una
concepción de las relaciones persona-sociedad-naturaleza, un
conjunto de valores-intereses, una manera de hacer, un sentido
global.”
Se puede decir entonces que cada uno de estos elementos está fundamentado en unos
aspectos filosóficos, metodológicos y estructurales, enmarcados en una serie de modelos
que reúnen los aspectos comunes a las necesidades de una población. Es así como la
escuela al momento definir cuáles son las acciones pedagógicas que desean aplicar a la
población de estudiantes que posee, debe definir el contexto en el que esta, las
necesidades de los estudiantes, revisar los diferentes modelos para poder apropiar alguno
que mejor se ajuste a sus necesidades.
En el caso de la Institución Educativa Distrital El Japón se ha hecho un trabajo importante
en este campo, de tal manera que se ha seleccionado el Modelo de Aprendizaje
Significativo, como elemento importante para el desarrollo pedagógico que se realiza en
cada uno de los proyectos educativos, trazando a partir de aquí la visión que tiene la
institución, frente al tipo de estudiantes que desea aportar a la sociedad y las necesidades
del entorno en el que se encuentra.
3.1 Modelo de Aprendizaje Significativo
El modelo de aprendizaje significativo fue planteado por primera vez por David Ausubel en
la Psicología del Aprendizaje Verbal Significativo (1963), ampliado más tarde en Psicología
Educativa (1968), para fortalecer su desarrollo con un equipo de colaboradores como
Joseph Novak, Helen Hanesian y Edmun Sullivan.
ASPECTOS PEDAGÓGICOS Y DIDÁCTICOS 27
Las fuentes filosóficas en las cuales está basado este modelo vienen dadas por Jean
Piaget, Thomas Kuhn y Stephan Toulmin. Del primero Ausubel retoma el concepto y la
génesis de las estructuras cognoscitivas. En este aspecto Ausubel propone que el
pensamiento está jerarquizado y organizado de tal manera que a partir de estas estructuras
la persona interpreta el mundo social, físico y matemático. A partir de este fundamento el
conocimiento escolar debe estar basado en los diferentes niveles de desarrollo que
presentan las personas, para que a su vez este pueda servir para construir el nuevo
conocimiento.
El aspecto que toma de Kuhn es el concepto de paradigma e intenta aplicarlo al aprendizaje.
De tal manera que si se observa el paradigma para la ciencia es que estos hacen las veces
de anteojos conceptuales que delimitan las preguntas que se deben realizar para ayudar a
los científicos a encontrar los nuevos significados en datos ya conocidos. Así los conceptos
que se incluyen en la estructura cognitiva de los estudiantes facilitan el aprendizaje
significativo, permitiendo el desarrollo de dichos conceptos incrementando la capacidad de
resolución de problemas en un área específica.
El último aspecto que se toma en cuenta son las posturas filosóficas de Toulmin según el
cual: “La educación ha crecido de conceptos fundamentales que orienten la investigación y
la orientación científica” (SAMPER DE ZUBIRIA, Tratado de pedagogía conceptual Los
modelos pedagogicos, 1994) como se puede ver en esta frase se busca que la educación
se fundamente en la ciencia partiendo como elemento fundamental de estudio. En resumen,
cada uno de estos elementos constituye la forma de ver la construcción del conocimiento
en los estudiantes. Así lo hace evidente De Zubiria:
“Piaget aporta la dimensión genética y estructural al modelo
ausebeliano; Toulmin, la reflexión sobre la necesidad de encontrar
principios educativos básicos y trasladando la estructura kuhniana
de las revoluciones científicas al campo del aprendizaje, se puede
pensar que los paradigmas en la comunidad científica cumplen el
papel de los conceptos inclusores en la interpretación que los
individuos hacen del mundo” (SAMPER DE ZUBIRIA, Tratado de
pedagogía conceptual Los modelos pedagogicos, 1994)
Por otro lado para que el aprendizaje significativo se presente de manera adecuada se debe
observar por lo menos tres momentos fundamentales, a partir de los cuales se podrá
evidenciar un aprendizaje en los estudiantes. Este se observa en el siguiente mapa:
28 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
Figura 3-1 Aspectos que fundamentan el aprendizaje significativo
Estos son los aspectos mínimos que se deben presentar para que el aprendizaje
significativo se desarrolle según lo propuesto por Ausubel.
Según se observa en este mapa el aprendizaje significativo tiene tres momentos: el primero,
que se basa en la importancia que tiene el concepto que se va a desarrollar; el segundo,
es que el estudiante debe tener un conocimiento previo el cual debe identificarse, para
poder construir a partir de la transformación de los conceptos. El otro elemento importante
es que el estudiante, quien es el directamente afectado, debe tener una buena actitud frente
al conocimiento, lo cual se espera obtener a partir de una actividad que sea atractiva para
ellos.
Para desarrollar la propuesta didáctica que se desarrolla en este trabajo, es necesario
realizar una pequeña mirada a los estándares que propone el Ministerio de Educación, en
cuanto a la enseñanza de las ciencias naturales, de tal manera que se pueda mirar la
pertinencia del desarrollo de este trabajo durante el desarrollo de las actividades del aula.
Estándares en el área de Ciencias Naturales Física
En el afán de promover una educación de calidad el ministerio de educación ha establecido
para el campo de las ciencias naturales, unos parámetros fundamentales en el cual todos
los estudiantes que estén en el nivel de la media, tendrán unos parámetros de medición
establecido por esta normatividad. Estos parámetros permiten la identificación de los
APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO
El contenido debe ser
potencialment
El estudiante debe tener un
conocimiento
El estudiante debe tener
actitud
ASPECTOS PEDAGÓGICOS Y DIDÁCTICOS 29
mínimos frente al conocimiento que deben apropiar los estudiantes, en función de las
competencias básicas que deben desarrollar en su paso por la educación media.
Visto de esta manera, en la publicación del Ministerio de Educación Nacional en su Serie
Guías N7 de 2004 “Formar en ciencias: ¡el desafió lo que necesitamos saber y saber
hacer!”, muestra algunas cosas a tener en cuenta en los procesos de la actividad
pedagógica en el aula, teniendo como punto de partida las competencias que los
estudiantes deben desarrollar al abordar una serie de elementos puntuales. En una aparte
de este documento enuncia:
“Los estándares que formulamos pretenden constituirse en derrotero para que
cada estudiante desarrolle, desde el comienzo de su vida escolar, habilidades
científicas para:
•Explorar hechos y fenómenos.
•Analizar problemas.
•Observar, recoger y organizar información relevante.
•Utilizar diferentes métodos de análisis.
•Evaluar los métodos.
•Compartir los resultados.”
Como otro elemento a tener en cuenta, se establece que todos los conocimientos estarán
integrados en los diferentes momentos o pasos por la escuela de tal manera que se tiene
un cúmulo de información interdisciplinar. Sin embargo, con el fin de profundizar, en algunos
problemas específicos, los entornos se centrarán en el estudio de la química, la biología y
la física. En esta propuesta nos centraremos en algunas problemáticas del entorno físico.
Entonces los estándares que se desarrollaran en los estudiantes al aplicar la práctica que
se propone en este trabajo en un entorno asociado con la clase de física, tiene que ver con
los siguientes:
Establezco relaciones entre las diferentes fuerzas que actúan sobre los cuerpos en
reposo o en movimiento rectilíneo uniforme y establezco condiciones para conservar
la energía mecánica.
Modelo matemáticamente el movimiento de objetos cotidianos a partir de las fuerzas
que actúan sobre ellos.
Establezco relaciones entre estabilidad y centro de masa de un objeto.
30 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
Relaciono masa, distancia y fuerza de atracción gravitacional entre objetos.
Establezco relaciones entre el modelo del campo gravitacional y la ley de gravitación
universal.
3.2 Propuesta Didáctica Para la Medición de la Masa de Un Agujero Negro Utilizando la Tercera Ley de Kepler
Cuando se quiere abordar el concepto del movimiento de los planetas, para construir las
ideas de Kepler, se plantean en este trabajo tres momentos fundamentales que facilitan el
aprendizaje de los estudiantes. Se tiene una actividad enfocada a definir los conocimientos
previos que tienen los estudiantes acerca de las leyes de Kepler, o en sí, del movimiento
de los planetas en el Sistema Solar; además, se tiene en cuenta el contexto histórico en el
cual se desarrollan estas ideas. Una vez se tiene este insumo se propone un momento
donde se conceptualiza a través de actividades puntuales, con la idea de transformar los
conceptos que tienen así como aclarar las dudas respecto a las leyes de Kepler,
centrándonos al final en la tercera ley. En el tercer momento se aplicará los conceptos
apropiados por los estudiantes, de tal manera que se pueda aplicar en el cálculo que se
propone en este trabajo el cual es que los estudiantes estimen la masa de un agujero negro
utilizando la tercera ley de Kepler. A continuación se presenta la fundamentación didáctica
en la cual se basa este trabajo.
Cuando se diseña una actividad didáctica para aplicar en el aula se tiene en cuenta el
modelo pedagógico seleccionado; sin embargo, muchas de las instituciones educativas
tienen un modelo específico, bajo el cual está diseñado su proyecto educativo institucional
PEI. En el caso de la Institución Educativa Distrital El Japón, su propuesta pedagógica está
basada en el aprendizaje significativo, desde este punto de vista este trabaja se sustentara
en la estructura utilizada en esta institución, organizando en tres momentos fundamentales
que permitirán llevar a cabo el aprendizaje de las leyes de Kepler y su aplicación a la
medición de la masa de un agujero negro. En el mapa 1 se observa la estructura de la
propuesta didáctica:
ASPECTOS PEDAGÓGICOS Y DIDÁCTICOS 31
Figura 3-2 Propuesta Didáctica
Estructura general de la propuesta didáctica para la medición de la masa de un agujero
negro utilizando la tercera ley de Kepler.
En esta propuesta se tienen tres momentos fundamentales que permitirán desarrollar las
habilidades de los estudiantes en torno al conocimiento de las leyes de Kepler, teniendo en
cuenta cómo está establecido el movimiento de los planetas, y verlo aplicado en otro
contexto astronómico como lo es el cálculo de la masa de una agujero negro. Dentro de la
estructura de la propuesta cada etapa tiene unos propósitos generales, unas metas y un
indicador de desempeño las cuales permitirán evaluar los procesos de los estudiantes en
función del modelo pedagógico propuesto. Cada momento se aclara en profundidad a
continuación.
3.2.1 Etapa de motivación: “Reconociendo el universo: del sistema solar a los agujeros negros”
En un primer encuentro relacionado como etapa de motivación, se espera organizar un
conversatorio alrededor de un libro y un video en el que determinarán los preconceptos con
los que llegan los estudiantes. Se busca generar un ambiente propositivo, donde los
estudiantes puedan expresar su sentir, puedan manifestar su opinión, utilicen la
PROPUESTA DIDÁCTICA
ETAPA DE MOTIVACIÓN
ETAPA DE APLICACIÓN
ETAPA DE PROFUNDIZACIÓN
ACTIVIDAD
Durante este proceso, se hace una exploración a los preconceptos que tienen los estudiantes, llevándolos a un viaje epistemológico e histórico del tema.
Una vez identificados los elementos históricos propios del tema, se espera conceptualizar y aclarar los procedimientos que se deben conocer de esta temática seleccionada.
Después de todo este recorrido se propone dar un sentido práctico a lo aprendido, siguiendo claramente el modelo pedagógico utilizado. Se espera entonces poner en práctica lo aprendido.
32 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
imaginación produciendo en ellos el interés necesario para desarrollar la actividad de
calculo que se propone en este trabajo.
En este orden se tiene en cuenta una lectura y un video que buscarán coherencia acerca
del tema desde el ámbito histórico. Como es evidente entonces, este momento se refiere
fundamentalmente a la parte epistemológica e histórica del tema. Los propósitos, metas e
indicador de desempeño se presentan a continuación:
PROPÓSITOS METAS INDICADOR DE
DESEMPEÑO Identificar los
conceptos previos que tienen los estudiantes frente al estudio y comprensión del movimiento de las estrellas.
Hace una lectura crítica de diversos documentos libros videos y textos, tomando postura frente a los planteamientos de los mismos.
Reconoce la importancia de la astronomía en el desarrollo histórico, tecnológico y cotidiano de la humanidad, encontrando las relaciones en el entorno.
Promover el interés de los estudiantes a la observación del cielo.
Desarrolla un criterio propio a través de la discusión, para discutir acerca de los avances de la astronomía en función de los avances que se tienen en la tecnología.
Aproximar a los estudiantes a los procesos históricos desarrollados alrededor de la observación del cielo en las diferentes civilizaciones.
Describe desde el punto de vista histórico el desarrollo de la ciencia.
Tabla 3-1 Propósitos, metas e indicador asociada a la primera etapa.
Procedimiento:
La primera etapa presenta las siguientes actividades donde se aclara el rol de los
estudiantes y el rol del docente quien dirige la actividad.
1. Se propone la lectura del libro “La historia del tiempo” de Stephen Hawking con el
fin de crear un ambiente propicio para el estudio de la astronomía haciendo una
introducción al tema de las leyes de Kepler desde la historia de los modelos
astronómicos. El docente propone de manera previa unas preguntas que deben
ASPECTOS PEDAGÓGICOS Y DIDÁCTICOS 33
direccionar la lectura de los estudiantes, para que en el conversatorio tenga un
sentido claro para cada uno de los asistentes.
2. Durante la Tertulia en la que se invita a los estudiantes alrededor de un café (tinto)
en un lugar adecuado para esta discusión como la biblioteca del colegio, el docente
propone seguir con las preguntas que todos los asistentes han tratado de resolver
de manera previa, con estas ideas se busca que el grupo llegue a las explicaciones
científicas de cómo funciona el universo. Al final de este momento los estudiantes
deben presentar sus impresiones a manera de conclusión cerrando la discusión.
Los estudiantes deberán llenar una guía que tendrá como función la evaluación del
proceso llevado a cabo en la Tertulia; además, servirá como insumo para iniciar el
trabajo enfocado en la propuesta didáctica en sí. La guía que llenarán los
estudiantes se presenta en el anexo 1.
3. Como es posible que muchas de las ideas y conceptos trabajado por el libro no se
centran en la historia concreta de las leyes de Kepler, así como cada uno de los
pormenores que lo llevó a él a determinar las leyes matemáticas de este problema,
es conveniente ver el video de Cosmos de Carl Sagan capítulo “Armonía de los
mundos”. Para ello se tendrá nuevamente una guía de trabajo estructurada en tres
momentos. Un momento previo con unos elementos que direccionen la observación
del video, otro donde durante el video deberán concretar algunas ideas. Y otro
donde deberán plasmar los conceptos que se han apropiado en el desarrollo de la
actividad. La guía con sus pormenores se presenta en el anexo 2. Se espera que
los estudiantes vean los videos de divulgación de una manera más productiva para
que no quede como un gran número de información sin un sentido claro.
4. Como elemento adicional y con el fin de fundamentar el interés de los estudiantes
se proponen algunas actividades de observación del cielo. Para hacerlo en la
Institución Educativa El Japón, que no posee instrumentos de observación como el
telescopio, se propone la utilización de un software como el Stellarium para
incentivar el estudio de la astronomía, que facilita la observación desde un
ordenador.
3.2.2 Etapa de profundización “¿Cómo son las leyes universales?”
En un segundo momento relacionado como etapa de profundización se propondrá una serie
de actividades encaminadas a construir los conceptos geométricos y físicos necesarios
para poder aplicar las leyes de Kepler al problema que queremos realizar. El punto de
partida de esta etapa de la actividad responde a las necesidades de los grupos en función
de los resultados encontrados en la primera etapa. Aquí se propone que un elemento
fundamental a trabajar son las secciones cónicas, para luego centrarse en la
caracterización de la elipse, y se finaliza con la definición de las leyes de Kepler. Los
propósitos, metas e indicador de desempeño para esta etapa son:
34 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
PROPÓSITOS METAS INDICADOR DE
DESEMPEÑO Establecer los
conocimientos geométricos previos que tienen los estudiantes frente a las secciones cónicas.
Diferencia la procedencia y características básicas de las secciones cónicas. Usa las propiedades
geométricas de la elipse en la interpretación de las leyes de Kepler en problemas relacionados con el movimiento de los planetas.
Profundizar en el estudio de la elipse como sección cónica importante en el estudio del movimiento de los planetas.
Determina e identifica las características geométricas de las secciones cónicas en especial de la elipse.
Reconocer las leyes de Kepler desde su conformación geométrica.
Asocia las características geométricas de la elipse con las leyes de Kepler.
Tabla 3-2 Propósitos, metas e indicador asociado a la segunda etapa.
Procedimiento
1. Por otro lado se propone una tertulia adicional donde se tratará el tema de los
agujeros negros, a partir de otro libro de divulgación bastante interesante, de Kip S.
Thorne, llamado “Agujeros negros y tiempo curvo”. Este libro brinda la posibilidad
de entender desde qué momento en la historia se empieza a hablar de los agujeros
negros, qué características tienen, así como permite comprender cómo podemos
detectar algún agujero negro.
2. Trabajo con plastilina en la que solicitará a los estudiantes que moldeen conos en
plastilina o greda, a partir del cual se realizarán unos cortes específicos de tal
manera que ellos identificaran los planos que se forman al hacer los cortes. Cada
uno de los estudiantes deberá hacer un registro con los resultados encontrados,
realizando una representación gráfica. Nuevamente se realizará una guía de
aplicación.
3. En un segundo momento se estudiará en profundidad el círculo y la elipse como
elementos fundamentales en la construcción teórica de las leyes de Kepler. Como
complemento al trabajo realizado en las clases se planea una actividad que permita
estudiantes definir los elementos necesarios para trazar las elipses en una hoja
milimetrada desarrollándolo con una de las técnicas propias del trabajo con lápiz y
papel. Se utilizará el curvígrafo como elemento integrante de esta actividad.
ASPECTOS PEDAGÓGICOS Y DIDÁCTICOS 35
3.2.3 Etapa de aplicación “La interpretación de Kepler”
En un tercer momento, relacionado en nuestro cuadro como etapa de aplicación, se le dará
importancia a la manera en que se puede utilizar el conocimiento que ha sido apropiado en
cada una de las etapas anteriores. Esta etapa es muy importante ya que en función del
aprendizaje significativo es necesario evidenciar al estudiante en qué se puede utilizar el
conocimiento, de tal manera que tenga un significado que transforme el entorno del
estudiante. En este momento se plantearán múltiples formas de utilizar las leyes de Kepler
pero se centrará en encontrar la masa de un agujero negro analizando las elipses que
muestran como trayectoria una serie de estrellas que giran en torno a él.
En un tercer momento se dará a conocer a los estudiantes las características de las leyes
de Kepler, la interpretación que se tienen de las mismas planteando algunas aplicaciones
concretas, de tal manera que se vea la relevancia de estos trabajos.
En esta parte de la actividad, se propone presentar a los estudiantes las leyes de Kepler
con sus aspectos matemáticos y geométricos necesarios para describir lo que ocurre en el
sistema solar. Se realizarán ejercicios y se propondrán situaciones que pueden llegar a ser
cotidianas para acercar el problema a los estudiantes. Se trabajará aspectos de cinemática,
frente al movimiento uniforme, movimiento uniformemente acelerado, caída libre y
movimiento parabólico.
36 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
PROPÓSITO META INDICADOR DE
DESEMPEÑO
Identificar los usos de la tercera ley de Kepler.
Calcula las masas centrales de astros físicos usando la tercera ley de Kepler.
Utiliza la tercera ley de Kepler para calcular masas centrales, comparando sus resultados con el trabajo realizado dependiendo de las escalas utilizadas.
Aplicar la tercera ley de Kepler en el cálculo de la masa del Sol como objeto central.
Determina la masa de un objeto central como el Sol empleando sus conocimientos y los datos reconocidos de los planetas internos del sistema solar.
Utilizar las herramientas durante la propuesta didáctica para determinar la masa de agujero negro supermasivo ubicado en el centro de la galaxia.
Emplea los conocimientos adquiridos en toda la actividad para determinar la masa de un agujero negro.
Tabla 3-3 Propósitos, metas e indicador asociado a la tercera etapa.
Procedimiento
1. Mediante una serie de ejercicios donde se espera comprender el funcionamiento
de la leyes de Kepler, a través del trazado de las orbitas elípticas de los planetas.
Aplicando las propiedades de las elipses. Se propone una serie de componentes
como el manejo de las diferentes escalas de tiempo y distancia, como una discusión
inicial que permitirá centrarnos en la aplicación de la tercera ley de Kepler en la
medición de masas centrales.
2. En la definición de la tercera ley de Kepler se puede observar que a través de su
aplicación se puede determinar la masa del objeto central que está en uno de los
focos. Por lo que se puede aplicar este concepto para determinar la masa del Sol
utilizando los periodos orbitales de los planetas interiores, y las distancias medias
entre los planetas y el Sol. Aquí se utilizarán como ejemplo las órbitas de Mercurio,
Venus, Tierra y Marte.
3. Como una manera de evaluar todo el proceso desarrollado en esta propuesta, se
espera concretar todo el trabajo ajustándolo con la medición de la masa de un
agujero negro, utilizando el mismo método ya nombrado en el punto anterior si se
realiza el ajuste correspondiente a la escala, y se determina la masa del agujero
ASPECTOS PEDAGÓGICOS Y DIDÁCTICOS 37
negro que se ha detectado en el centro de la galaxia, que es nombrado como
Sagitario A*.
3.3 Metodología de evaluación
El desarrollo de los procesos cognitivos en la Institución Educativa Distrital El Japón, se
propone en función del modelo pedagógico seleccionado por la institución que es el modelo
de aprendizaje significativo. Los procesos de evaluación que se abordan en la institución,
tienen sus parámetros a partir de competencias definidas como lo son las cognitivas, meta
cognitivas, comunicativas, ciudadanas y emocionales. Estas competencias están
propuestas para cada uno de los ciclos de desarrollo de los estudiantes que son el ciclo I
(niños de las primeras edades de educación preescolar y transición, primero y segundo
grado), ciclo II (niños de tercero y cuarto grado), ciclo III (niños de quinto, sexto y séptimo
grado), ciclo IV (jóvenes de octavo y noveno grado), ciclo V (jóvenes de decimo y once
grado).
Por otro lado, la organización de la institución está establecida en función de los campos
del conocimiento como lo son el Campo de Comunicación, Arte y Expresión, Campo
Histórico y Social, Campo Matemático y el Campo Científico y Tecnológico, lo cual permite
encaminar las competencias básicas en función de las necesidades de los estudiantes
según el perfil establecido por la institución, y las propuestas de desarrollo del conocimiento
de los campos.
Como es de esperar, las competencias en las que está basado este trabajo van en función
de las propuestas por el campo científico, de tal manera que se asocia este trabajo con el
desarrollo de las habilidades científicas, con el diseño de los indicadores de desempeño
que son los elementos que al final permite medir la evaluación de los estudiantes, en función
del trabajo desarrollado en las actividades.
Durante el desarrollo de la evaluación se debe tener claro que el modelo de aprendizaje
significativo establece que este proceso debe ser permanente en cada uno de los
momentos establecidos para la actividad, debe tener en cuenta los diferentes estados de
apropiación de los conceptos abordados, por lo que la actividad debe ser flexible a las
necesidades de la población en la que se aplica. Por esta razón se puede indicar que hay
dos momentos de evaluación, uno cualitativo que permite identificar los estados de los
estudiantes según la apropiación que se tiene del concepto desarrollado, y otro cuantitativo
que se presenta al final del proceso que permite identificar el estado de promoción del
estudiante.
Para el desarrollo de cada una de las etapas de la propuesta didáctica se establecen los
parámetros primordiales en función de la evaluación, como se muestra en cada uno de los
cuadros observados en los puntos correspondientes a los títulos 3.2.1,3.2.2 y 3.2.3, que
esperan responder a las competencias propuestas para grado décimo. Estas competencias
se enumeran a continuación:
38 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
DESEMPEÑO COGNITIVO: Emplear los conceptos asociados a los principios de la
naturaleza para aplicar a situaciones cotidianas a diversas problemáticas sociales,
siguiendo el método científico como una forma de interpretación, análisis y reconstrucción
de la realidad.
DESEMPEÑO METACOGNITIVO: Proyectar los conocimientos adquiridos a través de la
experiencia en la escuela, para identificar las habilidades cognitivas teniendo presente la
superación de las dificultades aplicando las diferentes metodologías que se encuentran en
el desarrollo de las actividades científicas.
DESEMPEÑO CIUDADANO: Reconocer los principios fundamentales de la naturaleza
como una forma de entender y aplicar la construcción de las normas de convivencia en un
entorno social, generando condiciones de autonomía, autorregulación y responsabilidad.
DESEMPEÑO EMOCIONAL: Fortalecer el reconocimiento de la identidad emocional para
generar criterios de convivencia, desarrollando elementos que le permita asumir las
dificultades de una manera positiva.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 39
4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
4.1 Conclusiones
En el desarrollo de la fundamentación teórica de este trabajo, se pudo intuir una serie
de elementos importantes, como la visión humana de la concepción de la ciencia, a
partir la historia de vida de los científicos que afrontaron preguntas que la humanidad
siempre se ha realizado, con una visión enfocada desde la perspectiva de la ciencia. La
concepción de cada uno de los conceptos por parte del ser humano, hasta las diversas
aplicaciones que tienen estos en los avances de la tecnología actual. Este recuento
llevado al aula de clase a través de los diferentes medios disponibles en la actualidad,
como libros, videos y aplicaciones para el computador, permiten que la astronomía y en
especial las leyes de Kepler se contextualicen a la actualidad de los estudiantes,
facilitando de esta manera la interpretación física de muchos fenómenos visibles pero
no comprendidos por los estudiantes. Dadas las diferentes condiciones de los
estudiantes de este nivel, toma real importancia, la necesidad de producir interés en los
estudiantes por las ciencias naturales, buscando fundamentalmente el fortalecimiento
de las habilidades científicas en los estudiantes, como uno de los parámetros
importantes en el desarrollo intelectual de los estudiantes, sobre todo cuando buscan
un proyecto de vida que está relacionado con las ingenierías y la ciencia misma.
Cuando se planteo está actividad, se tenía en el presupuesto que este ejercicio debería
ser interdisciplinar, desde la propuesta de un proyecto de aula asociado desde la
integración del área de Matemáticas, Física, Filosofía, Historia e inclusive Ética. Dentro
de los resultados de algunos apartes de la actividad que se pudieron realizar en el
colegio, que no se pudo aplicar en su totalidad por cuestiones de tiempo, se pudo
establecer que el pretexto propuesto en este trabajo permite desarrollar las habilidades
lectoras, la capacidad de discusión que tienen los estudiantes, así como la comprensión
de los parámetros que se dieron para que la ciencia se halla desarrollado como se ha
presentado hasta nuestra época actual. En filosofía e historia la docente pudo
establecer algunos parámetros importantes que le sirvieron para el desarrollo de su
propia clase.
En el diseño de la actividad ha sido importante la aplicación del modelo de aprendizaje
significativo, que ofrece los elementos que facilitan la apropiación del tema propuesto,
permite ver los conceptos desde el contexto de los estudiantes contrastándolos de
alguna manera con sus intereses personales y el desarrollo de la ciencia, mejorando la
sensibilidad de ellos a la observación de la naturaleza, el análisis de las observaciones
y la comprensión de lo que ocurre en el medio. Esto permite evidenciar dentro del
proceso las bondades que brinda esta propuesta, están la posibilidad de cambiar en las
personas la forma de ver e interpretar el mundo, desde el aprendizaje de la ciencia,
como una alternativa clara de solución de diversas situaciones problemicas.
40 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
Tratar el tema del movimiento de los planetas con un grado de profundidad como lo
plantea este trabajo, permite al docente abordar diversas temáticas propias del área de
física, de una manera más llamativa y en un contexto real establecido como, por
ejemplo, la construcción de modelos matemáticos para la descripción de fenómenos
físicos, el movimiento uniforme, uniformemente acelerado, caída libre, movimiento
parabólico, movimiento circular uniforme, movimiento en trayectoria elíptica. El
concepto de escala, magnitudes vectoriales y escalares, las leyes de Newton, entre
otras que se pueden desarrollar en clase según la evolución del trabajo con los
estudiantes. La astrofísica, fortalece la imaginación de los estudiantes así como el
interés por conocer un poco más por lo que ocurre en el espacio, por ejemplo el conocer
la naturaleza de los agujeros negros, y lo que entendemos por este tipo de objetos
estelares. Esto permite concluir que utilizar la astronomía como pretexto para abordar
la ciencias naturales, es muy positivo y es uno de los productos más importantes en la
Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas, pues a quienes hemos vivido el
proceso nos ha permitido ampliar nuestra visión frente a la enseñanza de las ciencias,
fortaleciendo nuestro discurso en el aula, mejorando nuestra argumentación llegando a
que nuestras clases sean más agradables para los estudiantes, quienes son los
primeros beneficiados.
Es muy importante resaltar que esta propuesta pedagógica fortalece el desarrollo de las
actividades del aula, fomentando la lectura, mejorando la comprensión de los
estudiantes, fomentando la imaginación y la curiosidad, esperando que los estudiantes
formen sus conceptos a partir de estos desarrollos transformando su entorno así como
la forma de ver el mundo. Entonces la forma más coherente de evaluar estos procesos
es mantener la observación constante de los avances de los estudiantes, ajustar los
diferentes momentos propuestos a las necesidades de cada uno de los grupos, para
finalizar el proceso con la construcción coherente del concepto guiado por el docente y
las diferentes construcciones que van realizando los estudiantes.
4.2 Recomendaciones
Un aporte importante de este trabajo es la posibilidad de fortalecer la lectura y la
escritura, por lo que se debe hacer un énfasis en el desarrollo de técnicas de estudio
en este sentido con los estudiantes, dado que este es un factor importante para mejorar
las habilidades que deben tener los estudiantes para la vida. Además este elemento
puede brindar un eje transversal significativo que integre otras áreas del conocimiento,
provocando que las ciencias se integren mejor a los procesos de otros saberes, que
faciliten de esta manera el desarrollo de personas integrales.
Durante el proceso se presentó la posibilidad de aplicar algunas de las actividades en
clase con estudiantes del colegio, lo que significó evidenciar que en el diseño se
presentaron algunos ajustes en las guías para hacerlas más apropiadas para los
estudiantes. Por esta razón una recomendación significativa para aplicar esta
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 41
propuesta, es tener muy en cuenta las características de la población en la que se quiere
desarrollar, por lo que es necesario tener claro que el modelo utilizado permite una
práctica flexible, facilitando el ajuste de los ejercicios según las necesidades e intereses
de las personas involucradas.
La posibilidad de entender el contexto histórico en el que se desarrollaron los conceptos
facilita la descentralización de los estudiantes frente a su entorno, encontrando una
alternativa para modificar su actuar frente a las problemáticas de la vida diaria que
enfrentan en su espacio de vida común. Por esta razón estudiar el impacto que se
genera en una población específica con una propuesta de estas características, pude
ser un objeto importante de estudio en un futuro inmediato, visto desde el desarrollo de
las ciencias en la escuela, y con un interés especial por la pedagogía.
Se presentan como una serie de aspectos que se podrían realizar en un futuro para
emprender investigaciones similares o fortalecer la investigación realizada.
42 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
Anexo 1: Guía general para el docente
COLEGIO IED EL JAPÓN
CAMPO CIENTÍFICO Y TECNOLÓGICO
ÁREA DE FÍSICA
GUÍA DEL DOCENTE
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD:
Esta actividad busca provocar en los
estudiantes un interés por los temas
relacionados con la astronomía, desde los
conceptos que traen los estudiantes, la
revisión histórica del desarrollo de la
astronomía. Además que haya claridad en
los estudiantes como se llegó a la
concepción de las leyes de Kepler, a
través de la historia de vida de este
personaje así como la influencia otros de
la misma época y posteriores, en el
desarrollo del concepto actual. Hay un
número de propuestas que se plantean
para tener en cuenta, el docente es quien
analizara la pertinencia de la aplicación de
todos o algunos momentos planteados,
según la actitud y aptitud de los grupos
que vallan a seguir esta actividad.
PROPOSITOS DE LA ACTIVIDAD
Reconocer los hechos históricos
relevantes que permitieron el desarrollo
de las Leyes de Kepler.
METAS DE LA ACTIVIDAD
Los estudiantes crean una imagen del
universo propia, donde emplean los
conocimientos previos y los transforman a
través de la actividad en una imagen
estructurada del movimiento en el
universo.
DESEMPEÑOS CICLO V
En la Institución Educativa Distrital El
Japón, se ha establecido como modelo
pedagógico el aprendizaje significativo, lo
que implica el planteamiento de unas
competencias básicas para todos los
estudiantes en los diferentes ciclos
establecidos en el desarrollo de los
estudiantes en su paso por la institución.
Estas competencias se han apropiado en
los diferentes campos, en la descripción
de unos desempeños que permiten
evidenciar los avances de los estudiantes,
en los diferentes campos del
conocimiento. En el campo científico y
tecnológico estos serían los desempeños
generales planteados.
Cognitivo: Emplear los conceptos
asociados a los principios de la naturaleza
para aplicar a situaciones cotidianas a
diversas problemáticas sociales,
siguiendo el método científico como una
forma de interpretación, análisis y
reconstrucción de la realidad.
Metacognitivo: Proyectar los
conocimientos adquiridos a través de la
experiencia en la escuela, para identificar
las habilidades cognitivas teniendo
presente el superación de las dificultades
aplicando las diferentes metodologías que
se encuentran en el desarrollo de las
actividades científicas.
Praxeológico: Desarrollar a partir del
conocimiento de los fenómenos naturales
y del método científico, encontrando la
ANEXOS 43
fortaleza de sus aprendizajes en la
transformación del entorno en que se vive
para la consolidación de un proyecto que
le permita encontrar la solución a diversas
problemáticas.
Comunicativo: Elaborar a partir de
conceptos desarrollados, informes
escritos y orales coherentes con el
estudio de fenómenos naturales
transformando el entorno a partir de una
descripción científica.
Ciudadano: Reconocer los principios
fundamentales de la naturaleza como una
forma de entender y aplicar la
construcción de las normas de
convivencia en un entorno social,
generando condiciones de autonomía,
autorregulación y responsabilidad.
Emocional: Fortalecer el reconocimiento
de la identidad emocional para generar
criterios de convivencia, desarrollando
elementos que le permita asumir las
dificultades de una manera positiva.
INDICADORES DE DESEMPEÑO
En su orden para plantear esta actividad
se proponen unos indicadores de
desempeño, los cuales permiten evaluar
avances de los estudiantes respecto a los
desarrollos alcanzados en la actividad
planteada.
Cognitivo y Metacognitivo: Comprende
el proceso histórico que se llevó a cabo
para desarrollar las leyes de Kepler en la
descripción del movimiento de los
planetas en el Sistema Solar.
Procedimental: Aplica los conceptos
desarrollados en la descripción del
movimiento de los astros físicos.
Emocional y Ciudadano: Cumple con
las actividades dentro de los parámetros
del respeto a la diversidad, la diferencia
de criterios y de pensamientos.
Comunicativo: Participa activamente de
las actividades de debate, justificándolo
con escritos propios basados en las
lecturas realizadas en la actividad.
METODOLOGÍA
Esta actividad tiene tres momentos, el
primero donde se propone adentrar al
estudiante en el tema identificando los
conceptos previos que ellos traen. Un
segundo momento donde se
fundamentara teóricamente los procesos
de los estudiantes. Un tercer momento
donde se aplicaran los conceptos
desarrollados en la medición de la masa
de un agujero negro.
Momento inicial “El orden del caos”
Este momento se centrará en la revisión
de algunos libros y videos. Se revisaran
los conocimientos previos de los
estudiantes, así como la historia del
desarrollo de los conceptos planteados.
Para iniciar se proponen unas preguntas
que permitirán identificar que saben los
estudiantes acerca del tema. Luego estas
preguntas serán las que dirijan la atención
de la lectura que se realizara del primer
capítulo “Nuestra imagen del universo” del
libro la Historia del Tiempo de Stephen
Hawking. Se propone una mesa redonda
donde los estudiantes compartan sus
observaciones a partir de la lectura y fijen
unas posturas frente a lo que se conoce.
Como complemento se propone analizar
el video de la serie cosmos “La armonía
de los mundos” donde se espera centrar
en la historia de vida de Kepler, en su
carrera hasta llegar a la descripción del
44 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
movimiento de los planetas alrededor del
Sol.
Se sacaran conclusiones al respecto, se
realizara un mapa mental con el grupo y
un cartel que permita evidenciar las
conclusiones del grupo frente a los temas
tratados.
Momento de fundamentación
“Describiendo la naturaleza”
En este momento de la actividad se
trabajar a profundidad los aspectos
teóricos, relacionados con las formas
cónicas, el círculo y la elipse, como
preámbulo al trabajo con las leyes de
Kepler.
Más adelante se abordaran las leyes de
Kepler con las cuales se procederá a
calcular algunos parámetros de las orbitas
de los planetas cercanos al Sol.
Se espera también fundamentar la
definición de gravedad, desde el punto de
vista clásico y moderno, para analizar
cómo queda transformada las leyes de
Kepler para determinar la masa de un
objeto central, teniendo en cuenta la
órbita elíptica y el periodo de astro que se
mueve en torno al objeto central.
Con estos elementos se hablará de la vida
de las estrellas, teniendo en cuenta la
importancia de estos aspectos para la
formación de agujeros negros. Se
fundamentara en esta parte del trabajo la
explicación de que es un agujero negro.
Momento de aplicación “Midiendo un
agujero negro”
Una vez se ha realizado todo el trabajo de
fundamentación se está preparado
entonces para abordar el cálculo de la
masa de un agujero negro, utilizando los
datos del telescopio espacial y la tercera
ley de Kepler.
Con este fundamento se realizará el
cálculo y se propone una estructura de
informe en el cual los estudiantes darán
cuenta de todos los elementos trabajados
en el desarrollo de esta propuesta.
Según la propuesta esta se puede
fundamentar como un trabajo que permite
ser un pretexto para abordar los temas de
movimiento y fuerzas en el trabajo de
física.
ANEXOS 45
Anexo 2: Guía momento inicial “El orden del caos”
COLEGIO IED EL JAPÓN
CAMPO CIENTÍFICO Y TECNOLÓGICO
ÁREA DE FÍSICA
MOMENTO DE ENTRADA
“EL ORDEN DEL CAOS”
ESTUDIANTE:______________________________________________________________
CURSO______________ FECHA: __________________
ASPECTOS GENERALES
PROPÓSITO GENERAL:
Identificar los conceptos previos que
tienen los estudiantes frente al estudio y
comprensión del movimiento de las
estrellas.
META:
Hace una lectura crítica de diversos
documentos libros videos y textos,
tomando postura frente a los
planteamientos de los mismos.
INDICADORES DE DESEMPEÑO:
Identifica los elementos relacionados con
TIEMPO DE TRABAJO:
Una sesión extra clase
Dos sesiones de trabajo en clase
Una sesión de evaluación
MATERIALES DE TRABAJO:
El libro de divulgación científica de
Stephen Hawking “La historia del tiempo”
capitulo uno “Nuestra imagen del
Universo”
Video de divulgación científica “La
armonía de los mundos” de la serie
Cosmos de Carl Sagan.
Guía de trabajo con el estudiantes.
METODOLOGÍA:
Los estudiantes por recomendación del
docente hacen lectura de los primeros
capítulos del libro “La historia del tiempo”,
donde se familiarizarán con el desarrollo
de las ideas que tiene el ser humano
acerca de la organización y
comportamiento del universo. Luego en
clase se toma el video de divulgación “la
armonía de los mundos” en el cual se
muestra a través de la vida de algunos
científicos como Galileo y Kepler, el
desarrollo en la comprensión de las leyes
de la naturaleza. Para la observación del
video, el docente a criterio propio, deberá
hacer pausas que les permitan a los
estudiantes identificar los aspectos
importantes y relevantes para este
trabajo. Se termina con una discusión
guiada por el docente en la que los
estudiantes abordaran la temática,
siguiendo una serie de preguntas
establecidas con anterioridad.
GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE
DESARROLLO PREVIO A LA
ACTIVIDAD
PRIMERA SESIÓN
1. Indique sus impresiones
generales del libro “Historia del
tiempo” de Stephen Hawking.
46 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
2. ¿Cuáles cree usted que son las
tres ideas principales de los tres
primeros capítulos del libro?
3. ¿Cuál es la imagen que tiene
usted del universo? Descríbala o
realice una representación
mediante un dibujo.
GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE
DURANTE LA OBSERVACIÓN DEL
VIDEO
SEGUNDA SESIÓN
1. ¿Cuál fue la función de la ciencia
en la formulación de un modelo
planetario?
2. ¿Cuáles son los aspectos más
importantes que considera usted
acerca de la vida de Galileo Galilei
y Johannes Kepler?
3. Lo que se presenta a continuación
es una imagen de un conjunto de
estrellas en el cielo. Una las
estrellas formando alguna figura y
cree una historia que permita
justificar la presencia de esta
imagen en el cielo.
4. ¿Qué importancia tuvo el trabajo
de Johannes Kepler y Tycho
Brahe en el desarrollo de la
descripción del movimiento
planetario?
5. Para usted, como se representa el
movimiento de los astros en
nuestro sistema solar.
Represéntelo mediante un dibujo.
6. Lo que se presenta a continuación
es una imagen de un conjunto de
estrellas en el cielo. Una las
estrellas formando alguna figura y
cree una historia que permita
justificar la presencia de esta
imagen en el cielo.
GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE
DURANTE LA DISUCIÓN
DESARROLLADA EN CLASE
TERCERA SESIÓN
1. Indique cuales son los aspectos
teóricos o conceptuales que son
importantes conocer o saber para
el tema que se trata en la
discusión.
2. ¿Cuáles son los modelos del
sistema solar que el ser humano
ha construido a través de sus
observaciones y creencias?
3. ¿Cuál es la imagen del universo
que se construye en la discusión?
4. Organice un mapa conceptual con
los elementos desarrollados
durante la conversación, realizada
en la tertulia alrededor del libro “La
historia del Tiempo”
5. De la conversación realizada que
preguntas considera que aún no
han sido resueltas.
ANEXOS 47
Anexo 3: Evaluación momento inicial “El orden del caos”
COLEGIO IED EL JAPÓN
CAMPO CIENTÍFICO Y TECNOLÓGICO
ÁREA DE FÍSICA
PROCESO DE EVALUACIÓN
“EL ORDEN DEL CAOS”
ESTUDIANTE:______________________________________________________________
CURSO______________ FECHA: __________________
ASPECTOS GENERALES
Las actividades que se presentan a continuación tienen como fin evaluar la primer parte de
la actividad propuesta.
GUÍA DE TRABAJO
Durante la observación del video se propone que el estudiante realice un registro con los
aspectos importantes. Este video tiene como fin fundamentar los aspectos históricos y
teóricos relacionados con las leyes de Kepler.
1. Usando el software Stellarium ubique alguna constelación de su interés, un planeta,
una estrella. Una vez los ubique, tome una imagen y envié los resultados al correo
del profesor como una presentación.
2. Según el video ¿Cuáles son las características que definen la astronomía como una
ciencia?
3. Indique de forma abreviada cual era la visión de Kepler frente a como estaba
constituido el universo según lo explicado por el video de cosmos “La armonía de
los mundos” de Carl Sagan.
4. Indique según el análisis del video realizado durante la clase, ¿qué ventajas le dio
a las diferentes civilizaciones el hecho de estudiar el movimiento de las estrellas?
48 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
Complete el siguiente crucigrama:
CRUCIGRAMA
1
2
3
4
5
6
7
8
Horizontales:
1 Cuando la luna pasa de una fase a otra se
conoce con el nombre de:
5 Ciencia que estudia la regularidad con la
que se comportan los astros físicos.
6 Es uno de los productos de estudiar el
comportamiento de las estrellas
8
Él fue el último astrologo, y el primer
astrónomo en utilizar los métodos de la
ciencia.
Verticales:
1 Estrella que se comporta como un faro.
2 Mes en el que se presenta el solsticio de
verano en Norteamérica.
3 Sólido regular que representa al fuego.
4 El modelo de Ptolomeo tiene orbitas
circulares en torno a _______________
7 Estrella errante.
ANEXOS 49
1. Escriba un resumen donde se interprete el siguiente cuadro. Para este ejercicio
tenga en cuenta el video observado durante la clase.
OBSERVACIÓN DEL CIELO
ASTRONOMÍA ASTROLOGÍA
CIENCIA PSEUDOCIENCIA
EXPLICACIÓN DEL MOVIMIENTO APARENTE DE LAS
ESTRELLAS EN EL CIELO
RELACIÓN DE LOS EVENTOS OBSERVABLES EN EL CIELO
CON EVENTOS Y COMPORTAMIENTOS HUMANOS
MODELOS DEL SISTEMA
SOLAR
GEOCENTRICO HELIOCENTRICO
ORBITAS CIRULARES
MODELO DE PTOLOMEO
ORBITAS CIRULARES
MODELO DE COPERNICO
ORBITAS ELIPTICAS
MODELO DE
KEPLER
PRIMERA LEY: El movimiento planetario describe orbitas
elípticas
SEGUNDA LEY: Los planetas barren áreas iguales en
tiempos iguales.
TERCERA LEY: El cuadrado del periodo orbital es proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor
50 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
Anexo 4: Conceptualización aspectos geométricos y leyes de Kepler.
“Describiendo la naturaleza”
Para facilitar la comprensión de las leyes de Kepler por parte de los estudiantes es
necesario fundamentar algunos conceptos geométricos de tal manera que facilite el
proceso.
COLEGIO IED EL JAPÓN
CAMPO CIENTÍFICO Y TECNOLÓGICO
ÁREA DE FÍSICA
ACTIVIDAD “DESCRIBIENDO LA NATURALEZA”
MOMENTO DE ENTRADA
ESTUDIANTE:_______________________________________________________________
CURSO______________ FECHA: __________________
ASPECTOS GENERALES DE LA GUÍA
PROPÓSITO GENERAL:
Establecer los conocimientos geométricos
previos que tienen los estudiantes frente a
las secciones cónicas.
META:
Diferencia la procedencia y
características básicas de las secciones
cónicas.
INDICADOR DE DESEMPEÑO:
Usa las propiedades geométricas de la
elipse en la interpretación de las leyes de
Kepler en problemas relacionados con el
movimiento de los planetas.
TIEMPO DE TRABAJO:
Una hora de clase.
MATERIALES DE TRABAJO:
Guía propuesta para el desarrollo del
trabajo.
METODOLOGÍA:
Esta guía debe permitir identificar cuáles
son los conocimientos previos que tienen
los estudiantes frente a las secciones
cónicas, lo que dará un punto de partida
para trabajar las leyes de Kepler desde el
concepto geométrico. Esta puede
modificarse según las condiciones del
grupo.
GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE
DESARROLLO PREVIO A LA
ACTIVIDAD
PRIMERA SESIÓN
Para esta actividad se propone construir
los diversos planos que se forman a partir
de algunos cortes sobre un cono. Para
ello se solicita a los estudiantes que
realicen un trabajo previo que se indica a
continuación.
1. Dibuje un cono utilizando una
regla y compas en una hoja
milimetrada.
2. Si se realizarán tres cortes
diferentes sobre el cono
(entendiendo que es una figura en
tres dimensiones), realice un
dibujo que representen los planos
que se observarían sobre ese
cono.
GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE
ANEXOS 51
DESARROLLO CONCEPTUAL
SEGUNDA SESIÓN
Desarrolle en clase esta actividad,
utilizando greda o plastilina, con ayuda de
una regla para cumplir con las medidas
establecidas, siga las indicaciones de
esta guía de trabajo para realizar dicha
actividad.
1. Moldee cuatro conos diferentes
que cuya base circular tenga un
diámetro de 6 cm y una altura de 4
cm. Si se cumplen con las
dimensiones, el radio de la base
debe ser de 3 cm, la altura de 4 cm
y la generatriz que se obtendría
por el teorema de Pitágoras seria
exactamente de 5 cm. Moldee
según las indicaciones de este
dibujo.
2. Una vez tenga los conos
moldeados, con cada uno de ellos
debe cortarlos utilizando un
pedazo de hilo teniendo en cuenta
por ejemplo que para generar el
círculo se hace un corte
totalmente paralelo a la base. Los
demás cortes de hacen como los
indica la imagen.
3. Deje secar las figuras si las
moldeo en greda. Luego realice la
observación de los planos que se
generaron, dibújelos y
descríbalos en el siguiente
cuadro.
4. Lea cuidadosamente el siguiente
texto
LAS TRES LEYES DE KEPLER
“El astrónomo alemán Johannes Kepler
ha pasado a la historia por sus tres leyes
que describen el movimiento de los
planetas en sus órbitas alrededor del Sol.
Las leyes de Kepler fue la interpretación
de un gran número de datos acumulados
por el gran astrónomo observador Tycho
Brahe, quien había confeccionado las
tablas astronómicas más precisas. Kepler
no comprendió el origen de sus leyes, que
también describían tanto el movimiento de
los planetas como el de otros cuerpos
astronómicos como el sistema Tierra –
Luna. Sería Newton quien extraería todas
las consecuencias de las leyes de Kepler,
permitiéndole así enunciar la Ley de
Gravitación Universal.
Kepler nació en Weil der Stadt, cerca de
Sttutgardt (Alemania) en 1571. De
naturaleza frágil y enfermiza, contrajo la
viruela a los tres años, lo que limitó
considerablemente su vista. Pero pronto
destacó en matemáticas y se interesó por
la astronomía. Ingresó en un seminario
protestante en 1584 y estudió después en
la universidad de Tubinga. En 1594
abandonó sus estudios de teología para
52 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando imágenes
astronómicas la tercera ley de Kepler con estudiantes de educación media
comenzar a enseñar matemáticas en la
escuela de Gras. En 1600 conoció a
Tycho Brahe en Praga y cuando murió
éste último le sustituyó como matemático
imperial de Rodolfo II. A partir de 1612
vivió en Linz hasta 1626, cuando tuvo que
abandonar la ciudad tras el asedio militar.
Kepler murió en 1630 en Ratisbona
(Alemania).
Kepler pasó la mayor parte de su vida
tratando de entender cómo se mueven los
planetas, intuyendo que debían seguir
algún tipo de ley. En Tubinga se había
hecho partidario del modelo copernicano,
lo que le hacía intentar demostrar que las
distancias de los planetas al Sol venían
dadas por alguna regla matemática, por
ejemplo utilizando una regla de esferas
inscritas en el interior de poliedros
perfectos.
Por otra parte el astrónomo danés Tycho
Brahe (1546-1601) había conseguido
construir en Uraniborg (Dinamarca) el
mejor observatorio de su época. En 1599,
cuando perdió el apoyo del rey danés se
trasladó a Praga, donde continuó
observando hasta acumular un conjunto
de observaciones muy sistemáticas con la
precisión más alta posible permitida por la
observación sin telescopio.
En 1660 Tycho invitó a Kepler para
trabajar con él de asistente en Praga. Sin
embargo, la relación establecida por los
dos astrónomos fue un tanto extraña y
compleja. A pesar del interés de Kepler
por los datos observacionales de
precisión, Tycho nunca dejó que Kepler
accediese a los suyos. De hecho, Kepler
no pudo acceder a dichos datos hasta
que, muerto Tycho, la familia de este
último se los facilitó.
Con los datos de Tycho, Kepler realizó un
importante trabajo de síntesis que
permitió formular sus tres famosas leyes:
Primera Ley: Los planetas se
mueven describiendo órbitas
elípticas en torno al Sol, el cual
permanece situado en un foco de
las Elipses.
Segunda Ley: El radio vector
determinado por el Sol y el planeta
barre áreas iguales en tiempos
iguales.
Tercera Ley: El cuadrado de
tiempo en que tarda un planeta en
dar la vuelta alrededor del Sol
(período orbital) es directamente
proporcional al cubo de la
distancia media entre dicho
planeta y el Sol.
Kepler enunció las dos primeras leyes en
1609 y no alcanzó a enunciar la tercera
hasta 10 años más tarde. Aunque,
ciertamente, resultó bastante satisfactorio
encontrar tales reglas, relativamente
simples, como rectoras universales del
movimiento planetario, Kepler nunca
consiguió comprender el sentido último de
las leyes que enunció. Isaac Newton
(1643 - 1727) describiría su teoría de la
gravedad, y la ley de Gravitación
Universal en 1685 ofreciendo así una
explicación natural de las Leyes de Kepler
como consecuencia de la interacción
(atracción) gravitacional entre los
cuerpos.
TAMBIÉN INTERESANTE:
Según Kepler los movimientos
celestes no eran más que música
continúa y polifónica que debía ser
comprendida por la inteligencia en
lugar de por el oído. En su libro La
ANEXOS 53
armonía del mundo, asignaba
notas musicales al movimiento de
los planetas.
Tycho inventó el sextante, un arco
de un sexto de círculo, y con el
afán de mejorar la precisión de las
observaciones, construyó unos
cuadrantes enormes de unos tres
o cuatro metros de tamaño que
fueron instalados en su
observatorio de Uraniborg.
En 1569, mientras estudiaba en
Wittenberg, Tycho, que entonces
tenía 23 años, se disputo con otro
estudiante sobre los méritos que
cada uno de ellos tenía en
matemáticas, la disputa termino
con un duelo en el que Tycho
perdió parte de su nariz, por lo que
tuvo que llevar una prótesis
metálica el resto de su vida.
En 1572 Tycho observó una
supernova en la constelación de
Casiopea y en 1577 observó el
paso de un cometa. Tycho
demostró que ambos fenómenos
eran astronómicos, probando así
que, contrariamente a lo que se
pensaba hasta entonces, el cielo
no era inmutable.” (BACHILLER,
2009)
5. Indique sus impresiones
generales sobre esta lectura.
6. Explique con sus propios términos
qué entendió sobre las tres leyes
de Kepler.
7. Realice una consulta acerca de las
diferentes escalas de tiempo y
distancia que existen para hacer
medición a nivel cósmico.
GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE
DURANTE LA DISUCIÓN
DESARROLLADA EN CLASE
TERCERA SESIÓN
1. Dibuje la órbita del planeta
Mercurio teniendo en cuenta que
la excentricidad de su órbita es de
0,206. Siga las siguientes
instrucciones:
a. Si la excentricidad de la
elipse está dada por la
ecuación:
𝑒 = √1 −𝑏2
𝑎2
Donde a es el radio mayor
de la elipse y b es el radio menor.
b. Dibuje la elipse.
c. Trace un segmento de recta
que pase por uno de los
focos y dos puntos sobre la
elipse trazada.
d. Realice el mismo ejercicio del
punto anterior pero con otro
segmento.
e. Determine las áreas que se
forman con los segmentos de
recta trazados.
f. Consulte acerca del periodo
orbital de este planeta.
g. Realice el proceso anterior
para el planeta Venus
teniendo en cuenta que la
excentricidad de su órbita es
de 0,007.
INTRODUCCIÓN 55
Anexo 5: Proceso de evaluación etapa de conceptualización “Describiendo la naturaleza”
COLEGIO IED EL JAPÓN
CAMPO CIENTÍFICO Y TECNOLÓGICO
ÁREA DE FÍSICA
PROCESO DE EVALUACIÓN
“DESCRIBIENDO LA NATURALEZA”
ESTUDIANTE:______________________________________________________________
CURSO______________ FECHA: __________________
ASPECTOS GENERALES
Las actividades que se presentan a continuación tienen como fin evaluar la primer parte
de la actividad propuesta.
1. En una hoja milimetrada dibuje una elipse, utilizando alguna de las técnicas
utilizadas en clase. Para ello el radio menor debe tener unas dimensiones de 8
cm mientras que el radio mayor debe tener dimensiones de 10 cm.
2. Identifique las características que se describen a continuación en el dibujo.
3. Determine la ecuación reducida de la elipse que se dibujó, utilizando los datos de
las gráficas.
4. Responda el siguiente crucigrama:
56 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando
imágenes astronómicas y la tercera ley de Kepler con estudiantes de
educación media
Título de la tesis o trabajo de investigación
SECCIONES CÓNICAS
1 2
3
4
5
6
HORIZONTALES:
1
En una elipse, el nombre que recibe la
distancia que existe entre el foco y el
eje real
6
Sección cónica de curva abierta de dos
ramas obtenidas al cortar un cono recto
por un plano oblicuo al eje de simetría.
VERTICALES:
2
Una elipse es un lugar geométrico de los
puntos P(x,y) cuya suma de distancias a dos
puntos fijos F y F’ llamados Focos es
constante
3
Punto donde en el cual se ubica el Sol,
sabiendo que un planeta que gira a su
alrededor sigue una trayectoria elíptica.
4
Se define también como el lugar geométrico
de los puntos de un plano que equidistan de
una recta llamada directriz y un punto
exterior a ella llamado foco.
5
Lugar geométrico de los puntos del plano
cuya distancia a otro punto fijo, llamado
centro, es menor o igual que una cantidad
constante, llamada radio.
Marco Teórico 57
Anexo 6: Actividad Aplicación de la Tercera Ley de Kepler. “Midiendo un agujero negro”.
En este momento para poder utilizar las leyes de Kepler en la medición de la masa de un
agujero negro se propone una revisión de los conocimientos de las escalas de distancia y
tiempo en los estudiantes.
COLEGIO IED EL JAPÓN
CAMPO CIENTÍFICO Y TECNOLÓGICO
ÁREA DE FÍSICA
APLICACIÓN DE LAS LEYES DE KEPLER
ACTIVIDAD DE INICIO
ESTUDIANTE: ___________________________________________________________________
CURSO______________ FECHA: __________________
ASPECTOS GENERALES DE LA GUÍA
PROPÓSITO GENERAL:
Aplicar la tercera ley de Kepler en el cálculo de la masa del Sol como objeto central.
Reconocer las diferentes escalas que se utilizan para medir distancias y tiempo.
META:
Determina la masa de un objeto central como el Sol empleando sus conocimientos y los
datos reconocidos de los planetas internos del sistema solar.
INDICADOR DE DESEMPEÑO:
Utiliza la tercera ley de Kepler para calcular masas centrales, comparando sus resultados
con el trabajo realizado dependiendo de las escalas utilizadas.
TIEMPO DE TRABAJO:
Una hora previa a la sesión de trabajo en clase.
MATERIALES DE TRABAJO:
Guía de trabajo.
Fuentes de información como Internet o Libros de divulgación.
METODOLOGÍA:
58 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando
imágenes astronómicas y la tercera ley de Kepler con estudiantes de
educación media
Título de la tesis o trabajo de investigación
Se plantea a los estudiantes esta guía con el fin de determinar el grado de apropiación de
cada uno de los conceptos abordados en cada etapa anterior. Una vez claros estos
elementos se procederán a calcular la masa del Sol proporcionando una serie de datos
necesarios para aplicar la tercera ley de Kepler.
1. Describa las características de las tres leyes de Kepler.
2. Organice una tabla donde se representen las diferentes escalas utilizadas
para medir distancia y tiempo.
3. Indique que entiende por periodo orbital.
4. Busque en la literatura cual es la masa del Sol.
ASPECTOS GENERALES
Kepler publicó sus leyes en 1609 y 1619. Unos años más tarde en 1687, Isaac Newton se
da cuenta que estas leyes son consecuencia de la ley de gravitación universal. La ley de
gravitación universal indica que la fuerza gravitacional actúa en función de la existencia de
dos cuerpos con masa para todo lo que está en el universo, no solo para el Sol y un planeta.
En otras palabras la gravitación explica la caída de una piedra en la Tierra; este hecho
también da sentido a la razón por la cual el movimiento de la Luna se mantiene en su órbita
alrededor de la Tierra y en consecuencia permite explicar la órbita que lleva la Tierra
alrededor del Sol. Esta ley explica claramente cómo actúa esta fuerza en la órbita que lleva
el Sol entorno al centro de la Vía Láctea, así como las orbitas que llevan las estrellas
cercanas a un agujero negro. Desde 1990 los astrónomos, están observando el rápido
movimiento de las estrellas en el centro de la Vía Láctea. ¿Podrían estas grandes
velocidades ser un indicio de la existencia de un agujero negro supermasivo en el centro
de la Vía Láctea?
LAS OBSERVACIONES
Es difícil realizar las observaciones de las estrellas cercanas al centro de la Vía Láctea.
Las estrellas que se encuentran en este lugar se encuentran opacadas por el polvo estelar
existente entre nosotros y el centro de la Vía Láctea, por lo que la pregunta sería ¿cómo
podríamos ver que hay en el centro de la galaxia? Afortunadamente la luz infrarroja tiene
una longitud de onda más grande que la longitud de onda del visible y menos oscura que
la del polvo, lo que nos permite observar las estrellas que tienen trayectorias entorno al
centro. Muchos astrónomos han tomado imágenes en longitudes de onda del infrarrojo del
centro de la Vía Láctea durante varios años, usando los telescopios de la ESO ubicados
en el desierto de Chile.
En imágenes tomadas de forma sucesiva, en diferentes momentos, muestran que las
estrellas cercanas al centro de la Vía Láctea, se mueven rápidamente. Una estrella en
particular, llamada S2, ha mostrado un movimiento que es más evidente a lo largo de los
años, lo que permite un estudio más sencillo de su movimiento, y en torno a que lo realiza.
Marco Teórico 59
EL CÁLCULO DE LA MASA
Antes de iniciar el cálculo es necesario dejar claros algunos aspectos, que tienen que ver
con las orbitas de las estrellas que se mueven alrededor del agujero negro. Observemos
la siguiente imagen:
Esta imagen representa las diferentes orbitas de los las estrellas cercanas al centro de la galaxia, si se
observa las orbitas no se encuentran todas en el mismo plano. Si queremos usar las leyes de Kepler para
determinar el valor de la masa de Sagitario A*, será necesario escoger una de las estrellas cuya orbita tenga
una plano de inclinación lo más cercano a cero.
Por esta razón la estrella que se selecciona es S2, que tiene un grado de inclinación con
el plano pequeño y su órbita elíptica es mucho más evidente. En la tabla 1 se observan los
datos que corresponden a las observaciones de esta estrella durante varios años. Aquí se
evidencia la variación de la posición con respecto al eje x y al eje y del sistema de
coordenadas. Con la posición de S2 que están en la lista presentada en la tabla 1, podemos
determinar la masa de Sagitario A* usando las leyes de Kepler. Las masas son
mencionadas en la tercera ley de Kepler, por lo tanto podemos usarla para determinar la
masa de Sagitario A*.
60 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando
imágenes astronómicas y la tercera ley de Kepler con estudiantes de
educación media
Título de la tesis o trabajo de investigación
AÑO Coordenada x
Segundos de arco
Coordenada y Segundos de
arco
1992,226 0,104 ± 0,003 −0,166 ± 0,004
1994,321 0,097 ± 0,003 −0,189 ± 0,004
1995,531 0,087 ± 0,002 −0,192 ± 0,003
1996,256 0,075 ± 0,007 −0,197 ± 0,010
1996,428 0,077 ± 0,002 −0,193 ± 0,003
1997,543 0,052 ± 0,004 −0,183 ± 0,006
1998,365 0,036 ± 0,001 −0,167 ± 0,002
1999, 465 0,022 ± 0,004 −0,156 ± 0,006
2000,474 −0,000 ± 0,002 −0,103 ± 0,003
2000,523 −0,013 ± 0,003 −0,113 ± 0,004
2001,502 −0,026 ± 0,002 −0,068 ± 0,003
2002,252 −0,013 ± 0,005 0,003 ± 0,007
2002,334 −0,007 ± 0,003 0,016 ± 0,004
2002,408 0,009 ± 0,003 0,023 ± 0,005
2002,575 0,032 ± 0,002 0,016 ± 0,003
2002,650 0,037 ± 0,002 0,009 ± 0,003
2003,214 0,072 ± 0,001 −0,024 ± 0,002
2003,353 0077 ± 0,002 −0,036 ± 0,002
2003,454 0,081 ± 0,002 −0,036 ± 0,002 Ilustración 4-1. Coordenadas de ubicación de la estrella S2 según las observaciones realizadas desde 1992
hasta 2003. Se tienen en cuenta las coordenadas x e y de la estrella con respecto al origen donde se supone
que se encuentra el agujero negro. Para este ejercicio no se tiene en cuenta el valor de la inclinación de la
órbita con respecto al observador.
1. Como propuesta inicial, en una hoja milimetrada se propone reproducir el cuadro
que se presenta a continuación. El estudiante debe ubicar los puntos presentados
en la tabla anterior con el fin de determinar la elipse que describe la trayectoria de
S2, así mismo como el valor del semieje mayor de la elipse. Para determinarla dibuje
la elipse que mejor se ajuste a los puntos, no es necesario que todos los puntos
pasen por la elipse.
Marco Teórico 61
Ilustración 4-2 Sistema de coordenadas. En una hoja milimetrada debe reproducir este plano para ubicar los
puntos de la ilustración 1.
2. Para medir el semieje mayor, estas medidas se dan segundos de arco, tenga en
cuenta que estas medidas debe ajustarlas a la medida dada por la distancia
recorrida por la luz en un día. En consecuencia la distancia de 2 segundos de arco
corresponden a 82 días luz. Tenga en cuenta que en el origen de coordenadas se
considera que está ubicado el agujero negro Sagitario A*.
3. Para hacer un tratamiento estadístico de sus resultados compare su respuesta con las de
sus compañeros, lo que le permitirá estimar el valor promedio de dicha medida así como
su incertidumbre. Determine estos valores siguiendo las recomendaciones de su profesor.
4. Como ejercicio se puede verificar la segunda ley de Kepler, lo cual se puede proponer
como ejercicio de aplicación para la estrella S2 con la gráfica trazada en una hoja
milimetrada. Para ello siga los siguientes pasos:
a. Primero se traza una línea desde el origen, hasta uno de los puntos ubicado según
el año de observación. Luego se traza otra línea desde el origen hasta otro punto
donde se ubica 4 años después.
62 Propuesta didáctica para la medición de un agujero negro utilizando
imágenes astronómicas y la tercera ley de Kepler con estudiantes de
educación media
Título de la tesis o trabajo de investigación
b. Una vez se traza esta porción de la elipse, se calcula el área usando el método
de conteo de cuadros dentro de ese espacio. Calcule otra porción siguiendo
el mismo procedimiento.
5. Determine el periodo en que tarda la estrella S2 en dar una vuelta alrededor del
agujero negro Sagitario A*, teniendo en cuenta la expresión:
𝑇 =∆𝑡
∆𝐴𝐴𝑒𝑙
Donde ∆𝑡 es el tiempo entre los dos puntos seleccionados, ∆𝐴 es la porción de área medida
en el punto anterior y 𝐴𝑒𝑙 es el área de la elipse que se calcula como 𝐴𝑒𝑙 = 𝜋𝑎𝑏. (𝑎 Semieje
mayor 𝑏 semieje menor).
2. Con el periodo determinado calcule la masa usando la expresión:
M =𝜋2
2𝐺𝑇2𝐴3
Tenga en cuenta que 𝐴 es el semieje mayor de la elipse que describe la estrella S2, T es el periodo
calculado en el punto 5 y G es la constante de gravitación universal. La masa de la estrella no se
considera, debido en comparación con la del agujero negro es mucho menor.
INTRODUCCIÓN 63
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