equilibrio entre tarificaciones a priori y a posteriori...

Equilibrio entre Tarificaciones a priori y a posteriori:

Diseño de Sistemas BonusMalus.

Semana del Seguro, Madrid 13 de marzo de 2013

Prof. José Luis Vilar Zanón

Universidad Complutense de Madridy

Actuaris Ibérica

CONFIDENTIAL © 2013 ACTUARIS INTERNATIONAL2

1. Necesidad de implantación de un sistema Bonus Malus. Heterogeneidad residual.

2. Definición de sistema bonus malus.

3. Elementos para el diseño de un sistema bonus malus

4. Propuesta de Competencias y Habilidades en el diseño de bonus malus.

5. Planteamiento del proceso de diseño de un sistema bonus malus (SBM)

6. Ejemplo.

7. Generalización a escalas relativas

8. Referencias.

CONTENIDO:

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En general se pueden aplicar dos pasos en la tarificación: Tarificación a priori:Se supone que el nivel de riesgo de cada póliza λ>0 puede ser explicado solo en parte por unos factores que son observables y cuya influencia se puede estimar por medio de una metodología como la de los Modelos Lineales Generalizados (GLM).Se identifican unos factores de riesgo significativos y su influencia en el nivel de riesgo de la póliza que va a entrar a formar parte de la cartera.Cada factor se segmenta y el producto de factores da lugar a unas celdas caracterizadas por un nivel de riesgo λ en donde se considera que la heterogeneidad es menor que antes de comenzado el proceso.Sin embargo el nivel de riesgo λ también está influido por factores que no son observables y es por ello que todavía dentro de las celdas se observa la existencia de una heterogeneidad residual. Es por esta razón que resulta útil aplicar el segundo paso: Tarificación a posteriori: Se supone que dichas características inobservables se van manifestando a lo largo del tiempo a través de la siniestralidad de la póliza. Con la ayuda de esta siniestralidad podemos ir corrigiendo la prima para aproximarla al nivel de riesgo verdadero de la póliza. La metodología seguida aquí en esta presentación es la de los Sistemas Bonus Malus. (SBM). 3

Tarificación a priori y tarificación a posteriori

1-Necesidad de implantación de un sistema Bonus Malus.


Para una póliza extraída aleatoriamente de la cartera se supone que su nivel de riesgo viene dado por un parámetro λ 0 que representa el número medio de siniestros por unidad de tiempo (p.ej. año). La heterogeneidad consiste en que no podemos conocer λ, y entonces la suponemos una variable aleatoria Λ>0/ Λ~ λ función de estructura de la cartera

El número de siniestros de la póliza es una variable aleatoria (va) N tal que:

Si consideramos las cuantías individuales independientes de y tomamos como la unidad monetaria, entonces la prima pura asignada a la póliza es:

Esto es lo que llamaremos de ahora en adelante la prima colectiva de la cartera o conjunto de pólizas

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El nivel de riesgo de las pólizas


nN Λ λ P λ : P N n Λ λ p λ

n

λΛ n

0

λN P.Ponderada : P N n E p λ e dU λn!

P E N E X E N E Λ

CONFIDENTIAL © 2013 ACTUARIS INTERNATIONAL 5

La estructura de la cartera: un ejemplo.


Estructura de una cartera de 2.870.682 pólizas con 12 meses de exposición al riesgo y características muestrales de N: ∗ 0,078857, ∗ 0,084722, ∗ 3,981568 (Fuente: Vilar, Gil, Heras (2004): Estudiode la estructura de una cartera de pólizas y de la eficiencia de un SBM, Cuadernos de la Fundación nº84,

Editorial Mapfret)

Λ

λ


Podemos comparar el caso en que no imponemos ningún SBM y el caso en que imponemos un sistema de tarificación a posteriori teóricamente perfecto pero comercialmente inviable: la credibilidad exacta Cobramos la prima colectiva a todas las pólizas: la equidad de este “sistema” se puede

representar como la diferencia entre la prima y el verdadero nivel de riesgo de la póliza:

En el caso de la credibilidad exacta se demuestra que asintóticamente esta diferencia es Luego gráficamente tenemos:

6

Dos situaciones límite: prima colectiva y credibilidad exacta


1y λ E Λ λ

0y λ

0y λ 0

1y λ

El asegurado pierdeLa Cía gana

El asegurado ganaLa Cía pierde


Al implantar un SBM nos gustaría obtener una situación intermedia entre la de la credibilidad exacta (imposible en el mercado) y la de la prima colectiva que es mala porque: Los asegurados buenos pueden querer marcharse: Λ λ Los asegurados malos pueden querer quedarse: Λ λ

Nos gustaría poder representar la equidad del nuevo sistema(BM) y que esta se representase a ser posible lo más cerca posible de la gráfica azul:

7

A la búsqueda de una situación intermedia


0y λ

1y λ


Un SBM está vigente cuando las siguientes condiciones se dan: Existen un número finito de clases , … , , tales que cada póliza permanece en una

clase en cada periodo. La prima de cada póliza depende únicamente de la clase en que está la póliza. La clase para un periodo está determinada por la clase en el periodo anterior y el

número de siniestros declarado durante ese periodo. (Propiedad markoviana)

Un SBM queda determinado por tres elementos, que conforman su DISEÑO Las reglas de transición: son las reglas que permiten transferir una póliza desde la clase

a la clase en el siguiente periodo La clase inicial para las nuevas pólizas. La escala de primas , … , en donde es la prima para las pólizas en la clase i.

consideramos a clase como la de mayor descuento.

8

Definición

2-Definición de sistema bonus malus.


Los SBM se pueden expresar como cadenas de Markov: La matriz de transición condicional (dada una póliza con parámetro de riesgo

Λ λ

en donde λ es la probabilidad de pasar de la case a i a la j para una póliza de parámetro Λ λ. Se supone que la cadena reúne una serie de propiedades: homogeneidad, ergodicidad, no existencia de ciclos⇒ adena regular. Para cadenas regulares: Dada la distribución de las póliza de parámetro Λ λ, a través de la clases de BM,

en el periodo t

que se calcula así:

Existe la distribución estacionaria condicionada (Λ λ):

y la distribución estacionaria descondicionada con componentes

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Modelo matemático para SBM: cadenas de Markov


, 1,...,ij i j n

M p

1,...,

n

t t t

1 0, 0,1, , fijada.t t M t

1

, tal que 1n

ii

M

0

i i dU


El estado estacionario es el que se alcanza cuando la distribución de las pólizas a través de la clases de BM es λ (condicionada) o (descondicionada). El número de periodos que tarda en alcanzarse dependerá del número de Clases BM. A lo largo de la exposición supondremos que :

La cartera está cerrada para la cohorte de pólizas presentes en el periodo 0. NO estamos considerando el fenómeno del hambre de bonus de manera que los

siniestros declarados y sucedidos coinciden.

El estado transitorio es el que precede al estado estacionario: cuando las distribuciones de las pólizas a través de las clases de BM difieren todavía de las estacionarias.

A LO LARGO DE LA EXPOSICIÓN NOS SITUAMOS EN LA FASE ESTACIONARIA.

λ y se interpretan como la proporción de pólizas (de parámetro λ o independientemente del parámetro de riesgo) que pertenece a la clase cuando el estado estacionario ha sido alcanzado.

10

Estados transitorio y estacionario.



Hasta ahora hemos introducido la escala de primas absolutas . Esta escala es adecuada si estamos tratando con un colectivo de pólizas (cartera) al

cual no se le ha aplicado ningún sistema de tarificación a priori. Tenemos entonces una única función de estructura (celda=carera) y se trata entonces de calcular directamente la prima correspondiente a cada clase de BM.

En este caso se puede considerar como prima inicial la colectiva Λ . Pero si se le hubiese aplicado a la cartera un sistema de tarificación a priori,

entonces la cartera estaría dividida en un conjunto de celdas, cada uno provisto de una prima inicial λ . En vez de calcular una escala de primas para cada celda, lo que resultaría en algo

comercialmente inpracticable… …se trata de calcular una escala relativa, común a todas las celdas, y que representa los

niveles de recargo/bonus en porcentajes respecto de la pirma λ de la celda:

En esta exposición nos vamos a situar en un primer momento en el primer caso para introducir las definiciones y los ejemplos (escalas absolutas) de aplicación de nuestra metodología

En una segunda etapa veremos como se generaliza la metodología al segundo caso (escalas relativas) sin ninguna dificultad.

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Escala de primas absolutas y escala relativa


1, , , 0n ir r r r


Para una póliza con parámetro de riesgo λ, su prima media asintótica es:

Representa la prima media pagada por una póliza de parámetro λ en el estado estacionario.

Una medida para evaluar el principal objetivo de un SBM (acercar la prima al riesgo de cada póliza) es la equidad asintótica del SBM:

Una herramienta principal de diseño de SBM consitirá en calcular escalas de primas óptimas en el sentido de que la equidad asintótica λ esté lo más cerca posible del caso perfecto de la credibilidad bayesiana λ , mejorando al máximo el caso de la prima colectiva. Es decir que la gráfica de λ esté lo más cerca posible del eje de abcisas.

Podemos sumar todas estas equidades “individuales” para obtener una medida de la equidad asintótica global de un SBM APLICADO A UNA CARTERA CON ESTRUCTURA λ : (Reglas R, Escala , colectivo o cartera u):

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La prima media asintótica. Equidad asintótica. Equidad asintótica global del SBM.

3- Elementos para el diseño de un sistema bonus malus

1

, 0n

i ii

b

1

n

i ii

y b

, 01

n

R u i ii

E b E y b dU


Equidad asintótica: algunos ejemplos gráficos.



Equilibrio financiero: el ingreso medio por primas debe igualar al gasto medio por siniestralidad. Expresado matemáticamente: ¿Y por qué no ? ¿ Λ ?

La escala debe satisfacer propiedades que la hagan competitiva desde el punto de vista comercial. Por ejemplo: Desde luego debe de ser monótona. El rango total de la escala debe ser competitivo. Por ejemplo esto lo podemos expresar

así:

Los recargos (resp. bonificaciones) entre dos clases consecutivas también tienen que poder ser controlables. Por ejemplo, esto lo podemos expresar así:

Fijar la clase inicial también define una característica comercial importante del SBM:

Naturalmente que todo ello bajo el criterio de optimizar la equidad asintótica global del SBM, ya que este es el objetivo principal perseguido al implantar un SBM en un colectivo de pólizas. (queremos estar lo más cerca prosible del caso ideal de la credibilidad bayesiana).

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Propiedades deseables de un sistema. Elementos del diseño de SBM


1

n

i ii

b E

1/ (Cte a fijar por el decisor)nb b C

11, , : , 's Ctes a fijar por el decisori i i ii n b cb c

0i

b E


Dada una catera, e.d., una estructura λ

PASO 1: Definir unas reglas de transición. Por ejemplo con respecto a la lista estandar de reglas y a las reglas que están el uso en la competencia.

PASO 2: Restricciones que afectan a la escala de primas:2.1- Fijar la restricción de equilibrio (¿Por qué no desequilibrio favorable?)

financiero.2.2- Fijar todas las características comerciales de la escala de primas.

C, ’s, clase inicial PASO 3: Optimización de la escala, cumplimiento del objetivo ideal del SBM:

3.1- Optimizar la equidad asintótica global (acercar la prima al nivel de riesgo de las pólizas), Sujeta a las restricciones establecidas en el PASO 2.

Una vez calculada la escala óptima ∗. Podemos:• Variar las características pedidas en el PASO 1 o en el PASO 2 y comparar las

escalas resultantes hasta declararnos satisfechos.Es teóricamente posible que los deseos del diseñador expresados a lo largo de los PASOS 1, 2 resulten ser no factibles. La metodología nos avisaría de esta situación cuando se produjera, lo que también es un elemento valioso de la misma. 15

Esquema del diseño de SBM



1.Optimizar el objetivo principal de la implantación de un SBM (Equidad Asintótica Global)

Respetando el equilibrio financiero, o imponiendo un cierto desequilibrio fijado de antemano.

Satisfaciendo un diseño comercial: recargos, rango total de la escala, clase de entrada.

Opcionalmente: imponiendo o también midiendo el grado de cumplimiento de otras propiedades establecidas en la literatura: RSAL, elasticidad

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El diseño del SBM desde el punto de vista del cálculo de la escala óptima de primas

4-Competencias y habilidades del diseño de bonus malus


2.Mejorar un SBM existente

Midiendo previamente sus características (Equidad, recargos, equilibrio, etc…)

Para a continuación iniciar al proceso de diseño imponiendo mejores características.

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Mejora de SBM



3.Dada una cartera comparar el efecto de distintas reglas de transición midiendo la equidad asintótica global y los errorres de tarificación.

4.Dada una cartera comparar, fijadas las reglas de transición, distintas escalas de primas (por ejemplo procedentes de requerimientos comerciales variados).

5.Comparar nuestra escala con las obtenidas por otras metodologías menos elásticas (Bayes, escalas lineales,etc…)

6.Dado un SBM, comparar su efecto sobre distintas carteras, e.d., sobre distintas funciones de estructura λ .

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Comparaciones.



Todas esta variedad de análisis se hace posible gracias a nuestra metodología, • De una forma objetiva, científica, y orientada al mejoramiento de nuestro sistema

de tarificación a posteriori, tanto desde le punto de vista de la razón principal de un tal sistema (acercar las primas a

los distintos niveles de riesgo de las pólizas), como desde los puntos de vista de la competencia en el mercado… …y el de la solvencia del negocio.

Pero……¿Cómo es matemáticamente posible realizar todo esto?

Esto es lo que explicamos a continuación…

19

Conclusiones



Podemos expresar todo lo dicho hasta ahora en forma de un programa matemático, con una función objetivo a optimizar con las variables sujetas a unas restricciones:Fijada una cartera (estructura) y dadas unas reglas de transición, se trata de:

• Obsérvese que todas las restricciones son lineales respecto de .• Pero parece que la función objetivo es muy complicada….

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El proceso de optimización

5-Planteamiento del proceso de diseño de un sistema bomus malus

, 01

1

1

1

. : Restricción de equilibrio financiero

, 1, , , 's Ctes a fijar por el decisor /

n

R u i ib bb i

n

i ii

i i i i

n

Opt E b Min E y Min b dU

s a b E

b c b i n cb b C

0 0

(Cte a fijar por el decisor) a fijar por el decisorib E i


…Sin embargo podemos expresar ese objetivo linealmente respecto de gracias a la técnica de programación por metas. Veamos como:• Para poder hacer cualquier cálculo, la estructura debe ser sometida a un proceso de discretización de manera que: λ

,…,

, y nos queda:

• Equidad asintótica global:

• Si la prima asintótica fuese ideal, igualaría al parámetro de riesgo de la póliza:

• Pero como esto solo es un ideal imposible de cumplir, vamos a sumar dos variables de desviación (por defecto y por exceso), para poder seguir escribiendo la igualdad:

• A continuación las incorporamos a nuestro conjunto de restricciones.

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La programación por metas


,1 1

m n

R u i i j j jj i

E b E y b u

1

, 1,...,n

i i j ji

b j m

1

, , 0, 1,...,n

i i j j j j j ji

b y y y y j m


• Pues bien, minimizar la equidad asintótica global equivale entonces a minimizar la suma de las variables de desviación incorporando las anteriores restricciones:

• Y de esta forma ya estamos en condiciones de escribir un PROGRAMA LINEAL resoluble por ejemplo mediante el algorítmo del simplex

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La programación por metas


, 1,

1, , 0, 1,...,

m

j j jb y jR u nb

i i j j j j j ji

Min y y uOpt E b

b y y y y j m


La optimización del SBM


, , 1

1

1 1

, 1,...,. : , Restricciones de equidad

, 0, 1,...,

m

R u j j jb yb j

n

i i j j j ji

j j

n m

i i j ji j

Opt E b Min y y u

b y y j ms a

y y j m

b u

1

1

Restricción de equilibrio financiero

, 1, , , 's Ctes a fijar por el decisor /

i i i i

n

b c b i n cb b C

0 0

(Cte a fijar por el decisor) a fijar por el decisorib E i


En este ejemplo tomamos una inversa Gaussiana IG(mu=0.10108, beta=0.062979)

con lo que tenemos:

Para discretizar se elije el siguiente soporte:

con las siguientes masas , , … , :

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La estructura (cartera)

6-Ejemplo

2

3

1exp , 022

u

0.101081, 0.006044

0.101081, 0.1074470

E Var

E N Var N

48

10.05 : 1,...,32 0.16 0.05 : 1,...,16j i ij

i i i i


La estructura discretizada

6-Ejemplo


Las reglas de transición

6-Ejemplo


La distribución estacionaria descondicionada

6-Ejemplo


Un primer diseño

6-Ejemplo


Un segundo diseño

6-Ejemplo


Las escalas de primas óptimas.

Comparaciones con otras escalas

6-Ejemplo


Satisfacción de los criterios comerciales

6-Ejemplo


Equidad asintótica global: valores óptimos

6-Ejemplo


Equidad asintótica del SBM: representaciones gráficas

6-Ejemplo


Salida de los errores de tarificación.

6-Ejemplo


Salida de los errores de

tarificación óptimos

6-Ejemplo


• v.a. parámetro de Poisson a priori de una póliza seleccionada aleatoriamente (se

determina por la tarificación a priori dando lugar a un conjunto de valores ) . Se tiene que como resultado de la tarifa a priori y también las siguientes probabilidades:

• v.a. heterogeneidad residual debida a los factores inobservables que no han sido

incluidos en la tarifa. Se supone independiente de Λ . Su función de distribución o función de estructura la llamamos

• L= Clases de Bonus Malus= 1,…,s

• La escala relativa

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Hipótesis que incluyen a la tarificación a priori

7-Generalización a escalas relativas

F

1, , , 0L s lr r r r


La probabilidad para la clase l=1,…,L en el estado estacionario viene dada por (*)

La misma probabilidad condicionada a una póliza con heterogeneidad residual θ :

Esta expresión se interpreta como la proporción de pólizas en la clase de BM l=1,…,L una vez

que se ha alcanzado el estado estacionario. En el caso en que discreticemos mediante

, la expresión (*) se convierte en:

Finalmente el equilibrio financiero se expresa ahora así:

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Distribuciones significativas. Equilibrio financiero


0k l k

k

P L l w dF

k l kk

P L l w

F 1,...,j jP p j q

1

qq

k l k j jk j

P L l w p

1LE r E E L E


Para las pólizas con heterogeneidad residual θ, la equidad asintótica de la escala relativa es:

Y la equidad asintótica global:

Si consideramos una versión discretizada de Θ:

38

Equidad asintótica para escalas relativas


ll

r P L l

0

l ll l

E r P L l r P L l dF

1

qq

l j j jj l

r P L l p


Para la restricción de equilibrio financiero escribimos:

Para las restricciones comerciales escribimos:

39

Las restricciones


1l jl

r P L l E

0

min max1

101

l l l l

s

l

d r r dr r D

r


FIN

MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIÓN

equilibrio entre tarificaciones a priori y a posteriori...

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