equacions i sistemes de segon...

27

3Equacions i sistemes de segon grau

Equacions de segon grau. Resolució

1. a) L’àrea del pati d’una escola és quadrada i fa 20,25 m2. Per calcular el perímetre del pati segueix els passos següents:

• Escriu l’equació que planteja aquest problema:

• Quin grau té aquesta equació? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Quina és la longitud d’un dels costats del pati?

• Quin és el perímetre del pati?

Una equació de segon grau és una expressió del tipus ax bx c2 0+ + = en què a, b, i c són nombres reals i a ≠ 0. Si b ≠ 0 i c ≠ 0 es diu que l’equació és completa.

Vegem la resolució d’equacions de segon grau incompletes, és a dir, quan b = 0 o c = 0.

ax c ax c xc

a

c

a2 20

0

+ = ⇒ = − ⇒ = ±−

⇒

−>Si té dues solucioons

Si la solució és

Si no té so

.

.c x

c

a

= =−

<

0 0

0 llució.

ax bx x ax bx

ax b xb

a

21

2

0 00

0+ = ⇒ + = ⇒

=

+ = ⇒ =−

( )

sempre tenen dues solucions.

b) Resol les equacions següents:

4 196 02x − =

3

54 0

2xx− =

( ) ( )x x x− + + = +

1 3 2 37

32

8181_Mates4_Q_03.indd 27 27/02/12 17:10

28

Equacions i sistemes de segon grau 3

2. a) Considera l’equació de segon grau ( )x − =3 252 . Per resoldre aquesta equació segueix els passos següents:

• Extreu l’arrel quadrada en els dos termes.

• Has obtingut dues equacions de primer grau. Resol aquestes dues equacions.

• Comprova que les dues solucions trobades són solucions de l’equació inicial.

Resolució d’equacions de segon grau particulars.

( )( )

( )

( )

px r qx s

px r xr

p

qx s x

+ + = ⇒+ = ⇒ =

−

+ = ⇒ =−

0

0

0

1

2ss

q

sempre tenen dues solucions.

( )px r q px r q xr q

p

q o

+ = ⇒ + = ± ⇒ =− ±

⇒>

2

Si té dues solucioons.

Si té una solució doble.

Si no té soluci

q

q

=<

0

0 óó.


( )( )5 3 2 1 0x x− + =

4 1

43

16

9

2x −+

=

2 3

4

5

16

3 1

84 0

x x x−−

−

−+

=

8181_Mates4_Q_03.indd 28 27/02/12 17:10

29


3. a) Considera l’equació següent: ( )( )x x− + =2 3 6.

• Fes el producte del primer membre.

• Escriu una equació equivalent a la trobada amb el segon membre igual a zero.

• Quin grau té aquesta equació? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• És una equació completa o incompleta? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Per què? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vegem la resolució d’equacions de segon grau completa, és a dir, ax2 + bx + c = 0, a, b, c ≠ 0.

Aplicarem la fórmula general: xb b ac

a=

− ± −2 4

2.

El nombre de solucions d’una equació de segon grau depèn del signe del dis-criminant ∆∆ = −b ac2 4 .

Si ∆ > 0, l’equació té dues solucions diferents:

xb b ac

a1

2 4

2=

− + −

x

b b ac

a2

2 4

2=

− − −

Si ∆ = 0, l’equació té una solució doble: xb

a=

−2

.

Si ∆ < 0, l’equació no té solució.

b) Resol l’equació de segon grau obtinguda a l’apartat a).

c) Resol l'equació següent:

( ) ( )( )x x x x+ − + = − − −3 3 2 2 5 62

8181_Mates4_Q_03.indd 29 27/02/12 17:10

30


Suma i producte de les solucions

4. a) Resol les equacions de segon grau següents i completa la taula.

Equació Solucions

x x2 7 10 0− + =

x1 = x2 =

x x1 2+ =

x x1 2· =

8 2 1 02x x− − =

x1 = x2 =

x x1 2+ =

x x1 2· =

x x2 2 8 0+ − =

x1 = x2 =

x x1 2+ =

x x1 2· =

La suma i el producte de les dues solucions x1 i x

2 d’una equació de segon grau

ax bx c2 0+ + = compleixen les propietats següents:

S x xb

a= + =

−1 2

P x x

c

a= =1 2·

b) Resol mentalment les equacions de segon grau següents:

Equació Solucions

x x2 2 15 0− − = x1 = x2 =

x x2 7 12 0+ + = x1 = x2 =

x x2 12 0− − = x1 = x2 =

x x2 12 0+ − = x1 = x2 =

c) Troba dos nombres tals que la seva suma sigui 13 i el seu producte 40.

8181_Mates4_Q_03.indd 30 27/02/12 17:10

31


Sistemes d’equacions de segon grau

5. a) Resol aquest sistema d’equacions: x y

x y

+ =+ =

7

252 2 , seguint els passos indicats.

• Aïlla la variable x de la primera equació.

• Substitueix x en la segona equació.

• Resol l’equació de segon grau que has trobat.

• Substitueix aquests valors en l’expressió aïllada de x.

• Les solucions del sistema són: x1 = . . . . . . . . . . , y

1 = . . . . . . . . . . i x

2 = . . . . . . . . . , y

2 = . . . . . . . . .

Un sistema és un sistema d’equacions de segon grau quan, en aplicar algun mètode algèbric, ens porta a resoldre una equació de segon grau.

Per resoldre sistemes de segon grau utilitzarem qualsevol dels mètodes algèbrics: substitució, reducció o igualació.

b) Resol aquest sistema d’equacions: x y

x y

2 2

2 2

13

4 3 24

+ =− =

, seguint els passos indicats.

• Multiplica la primera equació per 3.

• Suma aquesta equació amb la segona equació del sistema.

• Resol l’equació de segon grau que has trobat.

• Substitueix aquests valors en la primera equació i resol les equacions de segon grau obtingudes.

• Les solucions del sistema són: x

1 = . . . . . . . , y

1 = . . . . . . . , x

2 = . . . . . . . ., y

2 = . . . . . . . x

3 = . . . . . . . , y

3 = . . . . . . . i x

4 = . . . . . . , y

4 = . . . . . . .

c) Quin mètode de resolució has fet servir en l’apartat a)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I en l’apartat b)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

8181_Mates4_Q_03.indd 31 27/02/12 17:10

32


6. a) Resol aquest sistema d’equacions:

x y

x y

2 2 33

3

− = −+ = −

En general, el millor mètode algèbric per resoldre sistemes d’equacions de segon grau és el de substitució, encara que podem trobar-nos davant situacions par-ticulars en què resulta més ràpid utilitzar un dels altres dos mètodes.

b) Resol els sistemes d’equacions de segon grau següents:

x y

x y

+ =− + = −

3 5

7 2 32( )( )

2 103

4 677

2 2

2 2

x y

x y

− =+ =

( ) ( )

( ) ( )

x y

x y

− + − =− − + = −

4 3 8

4 3 8 5 84

2 2

8181_Mates4_Q_03.indd 32 27/02/12 17:10

33


Equacions biquadrades

7. a) El producte de dos nombres és 75 i la diferència entre els seus quadrats és 616. Planteja el sistema per resoldre aquest problema:

• Aïlla la variable x de l’equació de primer grau i substitueix-la a l’equació de segon grau:

• Arregla l’equació obtinguda, eliminant el denominador i passant tots els termes al mateix costat de l’igual:

• L’equació obtinguda és de . . . . . . . . . . . . . grau, els exponents de la variable x són . . . . . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . . . . . .

Una equació de quart grau s’anomena biquadrada si té l’expressió algebraica:

ax bx c4 2 0+ + = , en què a, b i c són nombres reals i a ≠ 0.

Si fem el canvi d’incògnita x2 = t podem transformar aquesta equació biquadra-da en l’equació de segon grau at bt c2 0+ + = i ens permet resoldre l’equació.

tb b ac

at

b b ac

a1

2

2

24

2

4

2=

− + −=

− + −,

x t x t1 1 2 2= ± = ±,

b) Acaba de resoldre el sistema de l’apartat a):

c) Resol les equacions biquadrades següents:

x x4 24 3 0− + = ( ) ( ) ( )x x x2 23 1 1− = − +

8181_Mates4_Q_03.indd 33 27/02/12 17:11

34


Equacions irracionals

8. a) Resol l’equació següent: x x− + =1 3 , seguint els passos indicats.

• Aïlla l’arrel en el primer membre:

• Per treure l’arrel eleva al quadrat els dos membres de la igualtat:

• Resol l’equació de segon grau obtinguda:

• Comprova si els valors obtinguts són solució de l’equació inicial:

• Dels dos valors obtinguts, el valor . . . . . . . . . . . . . és una solució real i el valor . . . . . . . . . . . . .és una solució fi ctícia, és a dir, no compleix la igualtat.

Les equacions irracionals són aquelles que tenen la incògnita sota el signe

radical. Per exemple: 1 25 2+ − =x x .

Per resoldre aquestes equacions hem d’aïllar primer l’arrel en un dels termes i després elevem els dos termes al quadrat. Resolem l’equació de segon grau obtinguda.

Al fi nal s’haurà d’esbrinar si les solucions obtingudes són solucions de l’equació irracional, ja que, a vegades, en elevar al quadrat els dos membres s’hi pot intro-duir una equació fi ctícia.

b) Resol les equacions irracionals següents. En aquest cas hauràs d’elevar al quadrat l'equació dues vegades:

4 1 2 5x x+ + + =

8181_Mates4_Q_03.indd 34 27/02/12 17:11

35


Altres tipus d’equacions

9. a) Observa les equacions següents, digues de quin grau són i aplica els passos indicats per resoldre-les:

4 32 03x + =

Grau: . . . . . . . . . . . . . . .

Aïlla el terme amb x:

Aplica l’arrel cúbica als dos membres:

La solució és: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x 4 16 0− =

Grau: . . . . . . . . . . . . . . .

Aïlla el terme amb x:

Aplica l’arrel quarta als dos membres:

Les solucions són: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x x3 2 0− =

Grau: . . . . . . . . . . . . . . .

Extreu el factor comú x:

Iguala cada factor del producte a zero i resol:


x x4 216 5 405 0−( ) −( ) =

Grau: . . . . . . . . . . . . . . .

Iguala cada factor del producte a zero:

Soluciona cada equació obtinguda:


Per resoldre alguns tipus d’equacions que no són ni de primer ni de segon grau es poden utilitzar diferents mètodes algèbrics:

– Extracció de factor comú.

– Igualació dels factors d’un producte a zero.

– Aïllament i aplicació d’arrels.

8181_Mates4_Q_03.indd 35 27/02/12 17:11

36



x x x3 24 3 0− + = x x x5 35 14 0+ − =

1

1

3

3

2

x

x

−=

−

( )( )x x x2 5 4 3

3

40− − +

=

( ) ( )( )x x x x2 23 9 3 3− − = − + ( )x2 54 32− = −

8181_Mates4_Q_03.indd 36 27/02/12 17:11

37


Resolució de problemes 10. a) El jardí de la Paula té forma de rectangle. Per tancar-lo ha utilitzat 14 m de fi lat i la dia-

gonal mesura 5 m. Quina és l’àrea del jardí? Per trobar-la segueix els passos següents:

• Fes un dibuix de la situació geomètrica que planteja el problema.

• Identifi ca les incògnites: x és la longitud de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y és la longitud de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Planteja l’equació que et proporciona la condició del perímetre:

• Planteja l’equació que et proporciona la condició de la diagonal:

• Resol el sistema de segon grau obtingut:

• L’àrea del jardí és . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A vegades per resoldre problemes s’ha de plantejar i resoldre una equació de segon grau, un sistema de segon grau o bé altres tipus d’equacions.

Els passos per resoldre aquests problemes són:

– Lectura comprensiva del text, identifi cació de les incògnites.

– Traducció del text al llenguatge algèbric i plantejament de les equacions o sistemes d’equacions.

– Resolució de les equacions o sistemes.

– Comprovació que les solucions són coherents amb l’enunciat.

b) En Miquel compra per als seus fi lls llibretes per valor de 30 €. Si cada llibreta hagués costat 50 cèntims menys, n’hauria pogut comprar 3 més. Quantes llibretes ha com-prat? Quin és el preu de cada llibreta?

8181_Mates4_Q_03.indd 37 27/02/12 17:11

38


Activitats fi nals d’avaluació

1. Les solucions de l’equació 3

24 0

2xx− =

són:

a) 8

3i

8

3

−

b)

8

30i

c) −83

0i d) 4

3i 0

2. Els signes de les dues solucions de l’equació x x2 20 0+ − = són:

a) Tots dos positius.

b) Tots dos negatius.

c) Un positiu i l’altre negatiu.

3. L’equació 3 8 4 02x x− + = té:

a) Dues solucions.

b) Una solució doble.

c) No té solucions.

4. Les solucions de l’equació ( )x − =5 492 són:

a) 12 i –12 b) 2 i –2

c) 12 i –2 d) –12 i 2

5. El discriminant de l’equació − − + =4 15 2 02x x és:

a) ∆ = –193 b) ∆ = –257

c) ∆ = 193 d) ∆ = 257

6. L’equació que té com a solucions –4, 3, i 2 és:

a) x x2 5 6 0− + =

b) x x x3 25 6 0− + =

c) ( )( )( )x x x+ − − =4 3 2 0

d) ( )( )( )x x x− + + =4 3 2 0

7. Les solucions del sistema següent són:

xy

x y

=+ =

2

4 2 332 2

a) x y x y

x y

x y

1 1 2 2

3 3

4

1

24

1

24

2 22

2

2 2

= = − =−

=

= =−

= −

, ; ,

,

, 442

2=

b) x y x y

x y

x y

1 1 2 2

3 3

4 4

1

24

1

24

2 22

2

2 2

= = =−

= −

= =

= −

, ; ,

,

, ==− 2

2

8. Comprova si x = 20 és solució de les equacions següents:

Sí/no

x − − =4 5 1

13 4 5 4+ + + =x

3 2 9 5 48x x x− + = + +

9. Quina és l’àrea d’un rectangle si sabem que un dels costats mesura 1 cm més que l’altre i la diagonal fa 2 cm més que el costat petit?

a) 3 3+ cm2 b) 12 cm2

c) 14 cm2 d) 2 3 cm2

10. Si sumem una unitat a l’arrel d’un nom-bre obtenim la meitat del nombre menys tres unitats. Quin és aquest nombre?

a) 16 i 5 b) No té solució

c) –16 d) 16

8181_Mates4_Q_03.indd 38 27/02/12 17:11

equacions i sistemes de segon...

Documents