1

1. EQUACIONS DE PRIMER GRAU EN LA RESOLUCIÓ DE PROBLEMES DE RAONAMENT GEOMÈTRIC

Problemes de plantejament. Observacions: Cal començar deixant clares les diferències entre uns conceptes que de vegades es confonen: polinomi, equació, i identitat (d'una banda) i solució i variable (de l'altra)

1) 3x + 1 és un POLINOMI No es tracta de resoldre res; no té sentit resoldre-ho. La x pot tenir qualsevol valor (s'anomena INDETERMINADA); per a cada x l'expressió tindrà un valor diferent (valor numèric del polinomi).

2) 3x + 1 = 7 és una EQUACIÓ L'objectiu és veure quin és el valor de x que la verifica; aquest s'anomena SOLUCIÓ. En principi, només hi ha un valor de x que verifiqui la igualtat, és a dir, no sempre és veritat la igualtat; només ho és quan la x val 2 (és la SOLUCIÓ).

3) (3x + 1)2 = (3x)2 + 2 . 3x . 1 + 12 és una IDENTITAT no té sentit resoldre res; sempre és veritat, no depèn del valor de la x. Problemes resolts

Aquest problema es pot resoldre de dues formes: 1) sense equacions fem el gràfic següent:

per tant, fent les corresponents multiplicacions, el camí recorregut és 1.000 km 2) amb equacions

2.1 Esquema del problema:

1. Una persona fa les 3/5 parts d'un viatge en avió, les 7/8 parts de la resta en tren i els 50 km finals en autobús. Quants quilòmetres ha recorregut en total?

2

2.2. Equació:

2.3 Resolució:

2.4 Comprovació del resultat:

Cal veure si el resultat obtingut verifica les condicions de l'enunciat:

x = longitud total de la peça de tela. El tros de tela que la persona compra: A casa, se’n adona: El perímetre és la suma de les longituds dels seus 12 costats o arestes. Tots mesuren igual. Diem a = aresta. És

2. En una sastreria una persona compra un tros de tela rectangular per fer-se un vestit, retallada d’una peça més gran. La longitud del tros són els tres quarts de la longitud total de la peça gran. Quan arriba a casa, la persona s’adona que amb 6 metres en té prou, i que aquesta mida són els dos terços del tros que ha comprat. Quina era la longitud total de la peça gran?

3 x4⋅

2 3 2 3 2 1x 6 x x x 6 x 2 6 12 m3 4 3 4 4 2

⋅ ⋅ = → ⋅ = ⋅ = ⋅ = → = ⋅ = ⋅

3. Un hexàedre té un perímetre total de 66 cm. Quant mesura l’aresta?

6612 a 66 a 5,5 cm12

⋅ = → = =

3

2. APLICACIONS PRÀCTIQUES DEL MÒDUL MA2

En aquest últim a p a r t a t has d’aprendre a resoldre problemes on s’ha de calcular alguna dimensió d’una figura, o bé la seva àrea o volum.

Això exigeix conèixer certes figures o cossos elementals, els seus principals elements (base, altura, radi si és el cas, etc.) i els procediments o fórmules de càlcul que permeten obtenir allò que es demana. Tot s'ha estudiat al llarg del mòdul.

A continuació tens un recordatori dels conceptes, figures i fórmules que et convé conèixer (Encara que alguna fórmula te la recordarem si has d’usar-la. El que importa és que sàpigues aplicar-les i emprar les unitats adients: Practica això).

Concepte i/o figura

Què cal saber?

Unitats del sistema mètric decimal i principals equivalències

Recorda que el metre és la unitat bàsica de longitud (és, doncs, un segment), i 1 m = 10 dm = 100 cm, etc.

Però la unitat bàsica de superfície és el metre quadrat, un quadre que conté 10 x 10 = 100 vegades el decímetre quadrat i, conseqüentment, 1 m2 = 100 dm2 = 10000 cm2.

Anàlogament, la unitat bàsica de volum és el metre cúbic i és un cub que conté 10 x 10 x 10 = 1000 vegades el decímetre cúbic, i 1 m2 = 1000 dm3 = 1000000 cm3...

La figura pot representar un metre cúbic subdividit en 1000 dm3. Observa que és un bloc de 10 pisos, on cada pis el formen 10x10 = 100 blocs petits. Els blocs petits són dm3. Per això el metre cúbic té 10 x 10 x 10 = 1000 dm3

.

Qualsevol de les cares del cub (la frontal, per exemple) representa un metre quadrat, dividit en 10 x 10 = 100 dm2.

I no oblidis que la capacitat de un dm3 (o sigui, d’un cub d’un decímetre d’aresta) és exactament d’un litre: 1 dm3 = = 1 litre. Observa, al respecte, els envasos de cartró d’un litre que, tot i no ser cúbics, sinó una mica més prims i més alts, s’assemblen a un cub d’un decímetre d’aresta.

4

Concepte i/o figura

Què cal saber?

Perímetre d’una figura plana

Només cal saber que el perímetre és la suma de tots els costats de la figura.

En el cas del cercle, però, el seu perímetre és la longitud de la circumferència que l’envolta, que es calcula amb les fórmules

L = 2·π·r o L = π·d

on r i d representen el radi i el diàmetre de la circumferència.

Àrees del quadrat i del rectangle

L’àrea d’una figura plana és el nombre total de quadres que conté (posats “com a rajoles”). Els quadres seran metres quadrats o qualsevol altra unitat que hàgim escollit.

Pots comptar el nombre de quadres d’un quadrat o rectangle observant quants hi caben en una fila i quantes files surten, i multiplicant després tots dos nombres. Com que aquests nombres surten de mesurar la llargada i amplada del quadre, d’aquí que les àrees es puguin calcular amb les fórmules

A quadrat = c · c = c 2 A rectangle = b · h

c : costat del quadrat b i h : “dimensions” del rectangle (base i altura, o bé “llargada i amplada”)

Àrees del rombe, romboides i altres quadrilàters

No cal saber fórmules, ja que pots calcular les seves àrees subdividint-los en rectangles i triangles, però convé saber que

l’àrea d’un rombe és la meitat de la d’un rectangle que té com a dimensions les seves diagonals; per això,

A rombe = 21

D · d

i la d’un romboide o paral·lelo-gram és la d’un rectangle que té la mateixa base, b, i la mateixa altura, h (i no s’ha de confondre l’altura del paral·lelogram amb el costat oblic). Així que,

A paral·lelogram = b · h

5

Concepte i/o figura

Què cal saber?

Àrea del triangle

L’àrea d’un triangle és la meitat de la d’un rectangle (o un paral·lelogram, si ho prefereixes) de la mateixa base i la

mateixa altura. Per això, A triangle = 21

b · h

Àrea del polígon regular

Sempre es pot calcular dividint el polígon en triangles iguals (mira el problema resolt nº 40). No és necessari, doncs, aprendre la fórmula

A polígon regular = 21

Perímetre · apotema

Àrea d’un cercle

L’àrea del cercle es calcula amb al fórmula A cercle = π·r2 , on r representa el seu radi.

Procura no confondre-la amb la fórmula de la longitud de la circumferència, que és L = 2·π·r .

Volums de...

un cub

un ortoedre (la “típica capsa”)

un prisma (“típic edifici amb la mateixa planta a tots els pisos”)

un cilindre

El volum d’un cos espacial és el nombre total de cubs que conté. Els cubs seran metres cúbics o altra unitat de volum.

En el cas d’un cub “gran”, ortoedre o prisma, pots comptar el nombre de cubs que hi caben veient quants caben en un pis i quants pisos té, i multiplicant tots dos nombres, és a dir

V cub, ortoedre, prisma = Àrea de la base · altura

Un cilindre ve a ser “un prisma amb infinites cares laterals” i, per tant, el seu volum es calcula igual que el del prisma, canviant l’àrea de la base per la fórmula de l’àrea del cercle.

6

Concepte i/o figura

Què cal saber?

Superfície d’un cub, ortoedre, prisma o cilindre

La superfície d’una figura es calcula sumant les àrees de totes les seves cares (I amb això ja no caldria usar fórmules).

Això sí: En el càlcul de la superfície de prismes rectes sovint es separen les bases (que poden tenir diferents formes) de les cares laterals, que són rectangles.

La superfície lateral del prisma equival a la d’un únic rectangle amb llargada = perímetre de la base i altura = la del prisma (Per entendre’ns: Aquest rectangle seria com “l’etiqueta d’un bot”, cosa que encara es veu més clar en el cas d’un cilindre)

Volum de piràmides i cons

Les parelles piràmide/prisma i con/cilindre s’assemblen a la parella triangle/rectangle, però “en tres dimensions”. I amb els seus volums passa quelcom de semblant amb el que passa amb les àrees del triangle i del rectangle, però “amb un 3 en lloc d’un 2”. Passa el següent (que has de recordar):

Volum de la piràmide (con) = 31

Volum del prisma (cilindre).

Volum i superfície de l’esfera

Sense explicacions: Les fórmules pel càlcul del volum d’una esfera de radi R (“el seu contingut”) i de la superfície de l’esfera (“el cuir de la pilota”) són:

3

34 RV π= i 24 RS π=

7

Observacions finals

Quan la figura no és cap de les vistes però és una combinació senzilla d’aquestes, descompon-la en parts i calcula l’àrea o el volum com a suma de la de les parts.

De vegades hauràs d’utilitzar els Teoremes de Tales o Pitàgores, o bé les raons trigonomètriques, per trobar alguna dimensió que necessitaràs pel càlcul final.

Ara et toca estudiar uns problemes resolts (Ja saps com l’has de fer: Llibreta, llapis, intentar fer-los abans de llegir la solució, etc.). Alguns són més difícils que els que surten a la prova final, però sempre es bo entrenar-se amb proves més difícils que les que després has de superar. Per això, si alguns et costen molt, “et superen una mica” o has de deixar-los sense fer, no et preocupis massa ni et desanimis.

Problemes resolts

1. Un d’àrees... potser molt complicat?

Calcula l’àrea d’un triangle rectangle isòsceles la hipotenusa del qual té 24 cm

Aquest és el triangle (tipus escaire). Sembla que s’han de calcular els catets per fer (base·altura)/2

I una solució “intel·ligent“? Recordes que és mig quadrat?

Podríem plantejar

222 24=+ xx (Pitàgores) i aïllar x (Prova-ho).

Podríem obtenir els catets amb les raons de 45º (Prova-ho).

Vist així, té base 24, i altura 24:2 = 12 (evident!).

L’àrea és = 144212·24

= cm2

2. Àrea d’un romboide o paral·lelogram

Calcula raonadament l’àrea d’un romboide sabent que la seva base té 40 cm i el costat oblic té 18 cm i forma amb la base un angle de 76º.

Vist el dibuix, falta l’altura. Precisament, aquesta altura forma un triangle rectangle amb el costat oblic i part de la base... i volem trobar-la...? à T-R-I-G-O-N-O-M-E-T-R-I-A!

5'17º76sin·1818

º76sin ≅=→= hh

cm

Àrea = b·h = 40·17’5 = 700 cm2

8

3. Fent obres

Hem de restaurar una piscina rectangular de dimensions 6’80 m x 4’80 m i 2’20 metres de fondària. Concretament:

a) Hem d’enrajolar el terra amb rajoles quadrades de 40 cm d’amplada. Calcula quantes rajoles necessitarem.

b) Hem de pintar les parets amb pintura impermeable. Quants metres quadrats de pintura necessitarem?

c) La vora superior s’ha d’enrajolar amb unes rajoles llargues i primes (tires com les que es fan servir pels sòcols). Quant metres necessitarem?

d) Finalment s’ha d’omplir d’aigua la piscina. Quants litres hi caben?

a) El terra de la piscina és un rectangle de dimensions 6’80 m x 4’80 m i la seva àrea és, per tant, 6’80 · 4’80 = 32’64 m2.

La rajola, en ser quadrada, té un àrea de 0’4 · 0’4 = 0’16 m2 (Hem agafat el costat en metres, 40 cm = 0’4 m , per després tenir l’àrea em m2, la mateixa unitat que hem fet servir per a la piscina).

Per tant, es necessitaran 32’64 : 0’16 = 204 rajoles (i algunes més que es compren sempre per les que es trenquen o no acaben d’encaixar).

b) La piscina té quatre parets. Cada paret té com a base un dels costats del terra i, com a altura, la fondària de la piscina.

Així que es pot calcular l’àrea total de les quatre parets (els metres quadrats de pintura que es necessiten) fent

6’8 · 2’2 + 4’8 · 2’2 + 6’8 · 2’2 + 4’8 · 2’2 = 51’04 m2

Però també es podria fer (6’8 + 4’8 + 6’8 + 4’8) · 2’2 = 23’2 · 2’2 = 51’04 m2, que equival a multiplicar el perímetre de la base per l’altura (Just el que es fa per calcular àrees laterals de prismes i ortoedres, i la piscina és un ortoedre!)

c) Tants com metres de perímetre té el terra de la piscina, és a dir, 23’2 metres.

d) El volum de la piscina és el producte de les seves tres dimensions,

V = 6’80 · 4’80 · 2’2 = 71’808 m3 = 71.808 dm3 = 71.808 litres

4. Tot sobre rodes

Una roda circular que quan fa una volta avança 47’1 cm, quina àrea té?

La longitud que recorre una roda en fer una volta és “la de la seva circumferència“, així que l’enunciat cal interpretar-lo com que 47’1 = π · d , on d és el diàmetre de la roda.

D’aquí surt que d = 47’1 : 3’14 = 15 cm

I, amb aquest valor del diàmetre, el radi és d :2 = 7’5 cm, i l’àrea de la roda (o sigui, del cercle) serà A = π r

2 = 3’14·7’5 2 = 3’14·56’25 = 176’625 cm2

9

5. Prisma...

La base d’un prisma recte és el rombe de la primera figura, i el prisma té 45 cm d’altura.

Calcula el seu volum, i quant de paper necessitaríem per folrar les seves cares laterals.

Resulta que el rombe té àrea 120210·24

2· ==dD cm2 (resultat que també pots

obtenir, si no saps la fórmula, fent l’àrea d’un dels quatre triangles que el formen i multiplicant per quatre el resultat... per què no ho proves?).

Llavors, el volum del prisma és V = Àrea base · altura = 120 · 45 = 5400 cm3.

Pel que fa al paper que necessitarem per folrar la seva superfície lateral, mira el dibuix que acompanya a l’enunciat. Concretament, mira “la part desplegable”... La imagines totalment desplegada? La seva base, com que s’ha d’ajustar al contorn del rombe, la formen quatre segments iguals.

Però, quant fa el costat del rombe? Pitàgores diu que c = 169512 22 =+ = 13 cm.

Per tant, el desplegable que has imaginat acaba sent un rectangle de dimensions 13 x 4 = 52 cm (perímetre del rombe) i 45 cm (altura del prisma), i la seva àrea és de 52 · 45 = 2340 cm2. Aquesta és la superfície del paper que necessitaríem.

6... i piràmide

També son ganes: En agafar les mesures d’aquesta piràmide hi ha qui s’ha quedat a mitges (o encara menys). De totes maneres, saps calcular el seu volum?

La piràmide és de base quadrada i regular (això vol dir, per si no es veu clar, que el seu vèrtex es troba directament damunt del centre de la base). Les dimensions indicades com a 10 i 4 són els costats vertical i horitzontal del triangle menor dels dos que es superposen; la dimensió indicada com a 5 és el que resta de 10 per completar l’altura de la piràmide.

Ja es veu que la piràmide té altura 10 + 5 = 15 i que ens falta el costat del quadrat bàsic.

La meitat d’aquest costat, que pots anomenar x, surt, evidentment, de considerar

la proporció x4

1510

= , deduïda del parell de triangles en posició de Tales que

segurament has vist de seguida...

I, com que surt x = 6, ja tenim que el costat del quadrat bàsic és c = 12.

El volum de la piràmide serà V = 31 àrea base · altura =

31 · 122·15 = 720.

10

7. Un d’àrees, amb trigonometria pel mig

El pentàgon de la figura és la unió d’un quadrat i un triangle isòsceles. Amb això i el parell de dades que es donen, calcula la seva àrea.

Calcularem l’àrea com a suma de les àrees del triangle i del quadrat.

· Per a l’àrea del triangle necessitem la base i l’altura.

En dibuixar l’altura el triangle isòsceles queda dividit en dos triangles rectangles, cadascun amb un angle de 70º:2 = 35º i amb hipotenusa a = 14 cm.

Aquestes dades permeten obtenir l’altura del triangle isòsceles, h, i la seva “semi-base”, b, usant raons trigonomètriques:

5'714·5376'014

5376'014

º35sin ≅=→=→= bbb cm

6'1114·8290'014

8290'014

º35cos ≅=→=→= hhh cm

La base completa del triangle és B = 2·b = 15 cm i l’àrea és, doncs,

àrea del triangle = 872

6'11·152· ==alturabase cm2

· L’àrea del quadrat s’obté elevant al quadrat el seu costat, que té 2b = 15 cm :

àrea del quadrat = 152 = 225 cm2

Llavors, és clar que l’àrea del pentàgon és

àrea del triangle + àrea del quadrat = 87 + 225 = 312 cm2

8. Àrees de polígons regulars i cercles, mesclat amb trigonometria

Un enneàgon regular de 2,4 m de costat està inscrit en una circumferència. Calcula raonadament l’àrea del recinte comprés entre totes dues figures.

Cal fer un dibuix, ni que sigui aproximat, dividint l’enneàgon en nou triangles iguals. Aquesta forma de “veure” la situació ajuda a trobar les passes a seguir per resoldre el problema.

L’àrea que es demana és la del recinte blau (o és gris?) que, òbviament, s’obté en restar les àrees del cercle i de l’enneàgon. Comencem pel càlcul de l’àrea de l’enneàgon:

Primer calculem l’angle x : x = 360º:9 = 40º.

Ara, igual que al problema anterior, ens dediquem a calcular l’àrea del triangle isòsceles OAB

11

→=→=→= 2'13639'0·2'1

3639'02'1

º20tan hhh

29'33639'0

2'1≅=→ h m

Àrea OAB = 95'32

29'3·4'22·

==alturabase m2

L’àrea de l’enneàgon és, doncs, 9·3’95 = 35’55 m2

Per trobar l’àrea del cercle necessitem el radi, que ara ja es pot calcular de diferents maneres: Pitàgores amb 3’29 i 1’2, emprant el sinus de 20º... Ho farem usant el sinus

51'3342'02'1

2'1342'0·2'1

3420'02'1

º20sin ≅=→=→=→= rrrr

m

I l’àrea del cercle és π·r2 = 3’14·3’512 = 38’69 m2 .

Per tant, l’àrea del recinte comprés entre l’enneàgon i el cercle és

àrea del cercle - àrea de l’enneàgon = 38’69 - 35’55 = 3’14 m2

9. Un de volums, amb Pitàgores pel mig

El dipòsit de la figura és la unió d’un con i una semiesfera. Calcula raonadament la seva capacitat, en litres.

El volum d’aquest cos és la suma del volum de la semiesfera, que ja pots calcular, i el del con.

· El radi de la semiesfera és r = 9:2 = 4’5 dm .

El volum de l’esfera completa seria 5'3815'4·14'3·34

34 23 ≅== rV π dm3

Per tant, el volum de la semiesfera és 381’5:2 = 190’75 dm3

· Per calcular el volum del con necessitem la seva altura, que es pot trobar (figura) utilitzant el Teorema de Pitàgores:

61'675'4325'20645'48 22 ≅=−=−=h dm

Així que el volum del con és

12'14061'6·5'4·14'3·31

31 22 ≅== hrV π dm3

El volum del dipòsit és, doncs, V = 190’75 + 140’12 ≅ 331 dm3. Com que cada dm3 equival a un litre, la capacitat del dipòsit és de 331 litres.

12

10. Un altre de volums, però ara amb Tales

La figura mostra un cilindre inscrit en un con. Troba raonadament el volum del cilindre.

Per calcular el volum del cilindre només necessitem la seva altura, h, perquè ja tenim el radi. El radi i les dades formen part de dos preciosos triangles en posició de Tales (figura).

De la proporcionalitat dels seus costats es dedueix que

156

5'22=

x à 15·x = 6·22’5 à 15·x = 135 à x = 135:15 = 9 cm

L’altura del cilindre és h = 22’5 – 9 = 13’5 cm, i el seu volum,

15265'13·6·14'3 22 ≅== hrV π cm3

11. Un de determinar distàn cies fent servir la trigonometria dues vegades

Un insecte situat al punt P observa, des del terra, un cartell publicitari.

Calcula raonadament l’altura del cartel amb les dades de la figura.

A la figura hi ha tres triangles; dos són rectangles. Vist que hem d’usar raons trigonomètriques, hem de “jugar” amb aquests dos i oblidar-nos del que no és rectangle (Recorda, per si de cas, que les definicions del sinus, cosinus i tangent només es poden aplicar als triangles rectangles... Val?).

Amb el triangle gran es pot calcular l’altura conjunta del cartell i les potes, h1; amb el petit, l’altura de les potes, h2.

Restant-les, s’obté l’altura del cartell. Fem-ho:

36'46·7266'06

7266'06

º36tan 111 ≅=→=→= hhh m

72'16·287'06

287'06

º16tan 222 ≅=→=→= h

hh m

Altura del cartell: h = h1 – h2 = 4’36 – 1’72 = 2’64 m