epidemiología matemática: virus, bacterias y…...

Epidemiología Matemática: virus, bacterias y… malware

Ángel Martín del Rey Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Física Fundamental y Matemáticas Universidad de Salamanca, Salamanca, España

[email protected]

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2 de diciembre de 2015 Bachillerato de Investigación y Excelencia, I.E.S. “Vaguada de la Palma”, Salamanca

ÁngelMar*ndelRey,2014

• La Modelización Matemática es una de las ramas de las Matemáticas de mayor uso en Medicina.

• Grosso modo, el objetivo fundamental de la Modelización Matemática es la descripción, simulación y predicción del comportamiento de fenómenos de todo tipo.

Introducción

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Problema existente en el

mundo real

Modelo de Trabajo

Modelo Matemático

Modelo Computacional

Resultados y Conclusiones

Simplificación

Representación

Implementación

Simulación

Interpretación


Introducción

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• ¿Qué buscamos con un modelo matemático?

‣Representación matemática de un determinado fenómeno de tal forma que su análisis teórico y numérico proporcione información para entender mejor los mecanismos que lo rigen.

‣ Implementación computacional para poder realizar simulaciones.

• ¿Cuál es el interés de la modelización matemática?

‣ Interés académico: estudio de las propiedades matemáticas del modelo y sus implicaciones.

‣ Interés práctico: dotar al gestor de una herramienta informática que permita predecir y simular comportamientos y tomar decisiones de control.


La Epidemiología Matemática

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• La Epidemiología Matemática es la disciplina científica que se ocupa del diseño y análisis de modelos matemáticos que simulan la propagación de agentes infecciosos (virus, bacterias,…) y código malicioso (troyanos, gusanos computacionales,…).

• La Epidemiología Matemática trata de dar respuesta a las siguientes preguntas:

‣¿Cuál será el alcance final de la epidemia?

‣¿Cuál será el efecto de las medidas de prevención y de control tomadas?

‣¿Qué medida tomada será más eficiente y eficaz?


La Epidemiología Matemática: algo de historia

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• El primer modelo epidemiológico de carácter matemático apareció en 1760 y es debido a Daniel Bernoulli.

‣Estudiaba la propagación de la viruela.

‣Estaba basado en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

u '(t) = − λ(t) + µ(t)( )u(t)

w '(t) = 1− c(t)( )λ(t)u(t) − µ(t)w(t)

⎧⎨⎪

⎩⎪

u(0) = 1w(0) = 0



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• En 1906, W.H. Hamer propuso un modelo matemático discreto para estudiar la propagación del sarampión.

‣Hamer sugiere que la evolución de una epidemia depende de la tasa de contacto entre los individuos susceptibles de contraer la enfermedad y los individuos infectados con capacidad de transmitirla (individuos infecciosos).

‣Este principio de acción de masas establece que la incidencia (número de nuevos casos por unidad de tiempo) es proporcional al producto de la densidad de individuos susceptibles por la densidad de individuos infecciosos.



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• En 1911, R. Ross desarrolla un modelo matemático basado en ecuaciones diferenciales para predecir el comportamiento de un brote infeccioso de malaria.

‣ En dicho modelo se explica la relación entre el número de mosquitos y la incidencia de la malaria en humanos.


El Modelo de Kermack-McKendrick: Historia

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• El objetivo de este taller es presentar el modelo de Kermack-McKendrick para estudiar la propagación de malware.

• El modelo de Kermack-McKendrick fue inicialmente desarrollado en 1927 para estudiar la propagación de la peste bubónica y es considerado como la piedra angular de los modelos que se propusieron posteriormente.


El Modelo de Kermack-McKendrick

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• Su característica fundamental es que se trata del primer modelo compartimental en el que la población es dividida en tres clases diferentes:

‣ Individuos Susceptibles.

‣ Individuos Infecciosos.

‣ Individuos Recuperados

• Otra aportación extremadamente importante de este trabajo es la introducción del Teorema Umbral que permite determinar cuando un brote infeccioso se convierte en epidémico.

Suscep'ble Infectado Recuperadoba


El Modelo de Kermack-McKendrick: el SEDO

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• La dinámica del modelo viene regida por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

S ' t( ) = −a ⋅S t( ) ⋅ I t( ) I ' t( ) = a ⋅S t( ) ⋅ I t( )− b ⋅ I t( )R ' t( ) = b ⋅ I t( )

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

La variación del número de susceptibles es proporcional a dicho número de susceptibles

La variación del número de recuperados es proporcional al número de infectados

La variación del número de infectados es el balance entre una proporción de susceptibles y una de infectados

Coeficiente de transmisión: a = k ⋅q, Tasa de recuperación: b = T −1,

k : contactos efectivos con infectados por unidad de tiempo,q : probabilidad de que un contacto efectivo acabe en contagio,T : duración del periodo infeccioso.


• El número reproductivo básico asociado al modelo propuesto es:

de manera que se verifica que:

‣Si R0 < 1 no se producirá una epidemia.

‣Si R0 > 1 se producirá una epidemia.

R0 =a ⋅Nb.

El Modelo de Kermack-McKendrick: el R0


Simulación I: R0 > 1


a = 0.001, b = 124, S(0) = 99, I 0( ) = 1, R 0( ) = 0,

R0 ≈ 2.3760.



Simulación II: R0 < 1

a = 0.001, b = 124, S(0) = 30, I 0( ) = 1, R 0( ) = 0,

R0 = 0.96.


• El número reproductivo básico se puede definir como el número esperado de dispositivos infectados causados por el contagio de un único dispositivo infeccioso en una población enteramente susceptible:

R0 =a ⋅Nb

= q ⋅ k ⋅N1/T

= q ⋅ k ⋅T ⋅N .

contactos efectivos de cada dispositivo con el dispositivo infectado durante todo su periodo infeccioso

contactos efectivos de cada dispositivo con el infectado durante todo su periodo infeccioso y que acaban en contagiocontactos efectivos totales con el dispositivo infectado durante todo su periodo infeccioso y que acaban en contagio

k ⋅T =

q ⋅ k ⋅T =

R0 = q ⋅ k ⋅T ⋅N =



• El objetivo en el control de cualquier epidemia es conseguir que el número reproductivo básico sea menor que 1.

• ¿Cómo se consigue ello?

R0 =a ⋅Nb

‣ Disminuyendo a haciendo disminuir el número de contactos k mediante aislamiento.

‣ Disminuyendo a haciendo disminuir la probabilidad q de que un infectado contagie a un susceptible.

‣ Disminuyendo N aplicando programas de vacunación. ‣ Aumentando b mejorando el tratamiento de los infectados.



• Evolución del número de dispositivos susceptibles, S(t):

S t( ) = S 0( ) ⋅e−abR t( )

20 40 60 80 100horas

200

400

600

800susceptibles

0 < S ∞( ) = limt→∞

S t( ) = S 0( )e−abR ∞( ).

El Modelo de Kermack-McKendrick: Soluciones



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• Evolución del número de dispositivos infectados, I(t):

‣ I(t) satisface:

‣ Si , entonces I(t) es monótona decreciente de manera que:

‣ Si , entonces I(t) crece hasta alcanzar su valor máximo:

y posteriormente decrece de manera que:

I t( ) = N − S t( )+ balog

S t( )S 0( )

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.

R0 <1

I ∞( ) = limt→∞

I t( ) = 0.

R0 >1

Imax = N − ba− balog

a ⋅S 0( )b

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟,

I ∞( ) = limt→∞

I t( ) = 0.



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• Evolución del número de infectados, I(t):

20 40 60 80 100horas

50

100

150

infectados

R0 >1

Imax = I (tmax )

I ∞( ) = limt→∞

I t( ) = 0

S(tmax ) = ba

tmax



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• Evolución del número de dispositivos recuperados, R(t):

R t( ) = N − S t( )− I t( ) = − balog

S t( )S 0( )

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.

20 40 60 80 100horas

100

200

300

400

500

600

700

recuperados

R ∞( ) = limt→∞

R t( ) = N − S ∞( )


Algunas conclusiones

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• La mayor parte de los modelos se encuentran basados en SEDOs (son deterministas, globales y continuos).

• Aunque desde el punto de vista matemático se encuentra bien fundamentados y gracias a la Teoría Cualitativa de SEDOs es posible analizarlos en detalle, presentan serios inconvenientes:

‣No tienen en cuenta las características individuales de los dispositivos.

‣ La topología del sistema es homogénea.

‣No son capaces de predecir el comportamiento individual.


Algunas conclusiones

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• Estas deficiencias se podrían subsanar si utilizáramos modelos individuales:

‣Modelos basados en autómatas celulares.

‣Modelos basados en agentes.


Aplicaciones

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• Ejemplo: Brote de ébola


Aplicaciones

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• Ejemplo: Brote de ébola (continuación)


Aplicaciones

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Aplicaciones

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¡Muchas gracias por vuestra atención!

¿alguna pregunta o comentario?

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