Ingeniera en Electrnica y TelecomunicacionesMtodos NumricosEnero-Abril 2015

EP5. Soluciones de races de ecuaciones en reas aplicadas.

Resuelve los siguientes problemas. Todos los procedimientos y grficas deben estar elaborados a computadora. Expresa tus resultados con una precisin de 8 cifras decimales.1.

[5 pts] Circuito RC en paralelo. Considera el circuito que se muestra en la figura. Este circuito puede considerarse como un sistema de tiempo continuo, con una entrada igual a la corriente dentro de la conexin en paralelo, y con una salida igual al voltaje en las terminales del capacitor. Por la ley de corriente de Kirchhoff

(1)

donde es la corriente en el capacitor e es la corriente en el resistor. Se tiene que

(2)e (3)De donde, sustituyendo (2) y (3) en la ecuacin (1)

(4)

La ecuacin diferencial (4) se conoce como ecuacin diferencial de entrada/salida del circuito. Proporciona una relacin implcita entre la entrada y la salida . La salida resulta de una entrada que puede generarse resolviendo la ecuacin diferencial de entrada y salida (4). Suponga que la entrada es igual a la funcin escaln unitario , y la condicin inicial . Entonces, la respuesta para es la solucin a la ecuacin diferencial

(5)

con la condicin inicial .a) Obtn la solucin analtica de la ecuacin (5) Teniendo la ecuacin diferencial:

Resolvemos mediante transformada de Laplace:

Para resolver, es necesario descomponer en fracciones parciales:

Habiendo descompuesto la expresin de Y en fracciones parciales, la solucin analtica para y(t):

b)

Con la el uso de la solucin analtica, calcula los valores de la salida desde hasta , con y , con intervalos de medio segundo.

ty(t)

00

0,50,78693868

11,26424112

1,51,55373968

21,72932943

2,51,83583

31,90042586

3,51,93960523

41,96336872

4,51,97778201

51,98652411

c) Obtn la solucin numrica mediante el Mtodo de Euler.Obtenemos la solucin numrica a la ecuacin diferencial:

d)

Usa el mtodo de Euler para resolver la ecuacin (5) desde hasta , con un tamao de paso de .ty(t)

00

0,51

11,875

1,52,640625

23,31054688

2,53,89672852

34,40963745

3,54,85843277

45,25112867

4,55,59473759

55,89539539

e) En una misma grfica compara ambas soluciones.

En el grfico, se puede observar el comportamiento de y(t) segn la solucin numrica y la analtica, en este caso, aunque al principio parece ser que ambas soluciones siguen la misma tendencia, pronto la solucin numrica comienza a alejarse de la analtica, esto puede solucionarse disminuyendo el tamao de paso.2.

[5 pts] Circuito RC en serie. Considera el circuito de la figura. Como se muestra, la entrada es el voltaje que se aplica a la conexin en serie, y la salida es igual al voltaje a travs del capacitor. Por la ley de voltaje de Kirchhoff, la suma de los voltajes alrededor de la malla es igual a cero y, por lo tanto,

donde es la corriente en la malla. Se tiene que , por lo que

.

Dividiendo ambos lados entre y reacomodando los trminos, se obtiene la ecuacin diferencial lineal de entrada/salida

,

a)

Obtn la solucin analtica de la ecuacin diferencial de entrada/salida con las condiciones iniciales y

Dada la ecuacin diferencial:

Resolvemos mediante transformada de Laplace:

Para resolver, es necesario descomponer en fracciones parciales:

Habiendo descompuesto la expresin de Y en fracciones parciales, la solucin analtica para y(t):

b)

Con la el uso de la solucin analtica, calcula los valores de la salida desde hasta , con y , con intervalos de medio segundo.ty(t)

00

0,50,39346934

10,632120559

1,50,77686984

20,864664717

2,50,917915001

30,950212932

3,50,969802617

40,981684361

4,50,988891003

50,993262053

5,50,995913229

60,997521248

6,50,998496561

70,999088118

7,50,999446916

80,999664537

c) Obtn la solucin numrica mediante el Mtodo de Euler.

d)

Usa el mtodo de Euler para resolver la ecuacin (5) desde hasta , con un tamao de paso de .ty(t)

00

0,50,5

10,75

1,50,875

20,9375

2,50,96875

30,984375

3,50,9921875

40,99609375

4,50,998046875

50,999023438

5,50,999511719

60,999755859

6,50,99987793

70,999938965

7,50,999969482

80,999984741

e) En una misma grfica compara ambas soluciones.

En el grfico, se puede observar el comportamiento de y(t) segn la solucin numrica y la analtica, se logra visualizar que aunque la solucin numrica por momentos parece alejarse, termina aproximndose relativamente bien a la solucin analtica.

3.

[2 pts] Una carga total se encuentra distribuida en forma uniforme alrededor de un conductor en forma de anillo con radio . Una carga se localiza a una distancia del centro del anillo. La fuerza que el anillo ejerce sobre la carga est dada por la ecuacin

Donde . Encuentra la distancia donde la fuerza es de , si y son para un anillo con un radio de . Utiliza a) el mtodo grfico, b) el mtodo de la secante, con un correspondiente a cinco cifras significativas.a) Mtodo Grfico. Para hallar una posible valor de x que satisfaga la condicin, se procede a generar una nueva funcin F(x):

Usando esta nueva funcin se realiza una tabulacin con diferentes valores de x:xF(x)

0-1,25

0,15-0,53973281

0,2-0,33207233

0,25-0,14668706

0,30,01375925

0,350,1479822

0,40,25594547

De la cual se desprende la siguiente grfica:

Del mtodo grfico, se deduce que el valor de x en el que la fuerza es igual a 1.25 N es aproximado a 0.3m. b) Mtodo de la secante iterxi-1xif(xi-1)f(xi)xi+1ea

00,30,320,013759250,070623190,29516064

10,320,295160640,07062319-0,000634130,295381690,07483556

20,295160640,29538169-0,000634132,869E-050,295372120,00323928

30,295381690,295372122,869E-051,0629E-080,295372121,2006E-06

La carga q y la carga total Q, deben encontrarse a x=0.29537212m de distancia para lograr una fuerza de 1.25N.4. [3 pts] En la figura se muestra un circuito con una resistencia, un inductor y un capacitor en paralelo. Para expresar la impedancia del sistema se emplean las leyes de Kirchhoff, as:

donde impedancia y frecuencia angular. Encuentra la que da como resultado una impedancia de , con el uso tanto del mtodo de biseccin como el de la falsa posicin, con los parmetros siguientes: , y . Determina el nmero de iteraciones necesarias con cada tcnica a fin de encontrar la respuesta con . Utiliza el enfoque grfico para determinar los valores iniciales para el clculo.5.

[2 pts] Los ingenieros mecnicos, as como los de otras especialidades, utilizan mucho la termodinmica para realizar su trabajo. El siguiente polinomio se emplea para relacionar el calor especfico a presin cero del aire seco, , a temperatura :

Determina la temperatura que corresponda a un calor especfico de . Utiliza el mtodo de Mller para calcular la solucin con correspondiente a cinco cifras significativas. Utiliza el mtodo grfico para elegir valores iniciales.SOLUCIN:Para hallar la temperatura requerida, se genera la nueva funcin F(T):

Se dan valores a T, que se presentan en la siguiente tabla:T F(T)

-0,000060,10104007

-0,000050,01382749

-0,00004-0,04463369

-0,00003-0,08009375

-0,00002-0,09830296

A travs de los valores de la tabla, se desprende la siguiente grfica:

Habiendo visualizado la posible raz, a travs del mtodo de Mller se aproxima su valor:iterx0x1x2f(xo)f(x1)f(x2)hoh1

1-0,00006-0,00005-0,000040,101040070,01382749-0,044633690,000010,00001

2-0,00005-0,00004-4,8025E-050,013827492-0,044633690,000181930,00001-8,0246E-06

3-0,00004-4,8025E-05-4,7997E-05-0,044633690,000181934,2043E-07-8,0246E-062,7389E-08

s0s1abcx3ea

-8721,25783-5846,11783143757000-4408,54783-0,04463369-4,80246E-05

-5846,11783-5584,80676132279978-6646,295480,00018193-4,79972E-050,05706314

-5584,80676-6627,32217130360508-6623,751764,2043E-07-4,79971E-050,00013224

En conclusin, -4.79971x10-5 K es el valor de temperatura correspondiente a un calor especfico de 6. [2 pts] En ciertas ocasiones los ingenieros aeroespaciales deben calcular las trayectorias de proyectiles, como cohetes. Un problema parecido tiene que ver con la trayectoria de una pelota que se lanza. Dicha trayectoria est definida por las coordenadas , como se ilustra en la figura. La trayectoria se modela con la ecuacin

Calcula el ngulo inicial apropiado si la velocidad inicial y la distancia al ctcher es de . Observa que la pelota sale de la mano del lanzador con una elevacin , y el cacher la recibe a . Expresa el resultado final en grados. Para utiliza un valor de . Emplea el mtodo a) grfico; b) de Newton-Raphson con .7. [5 pts] Calcula las races positivas de las siguientes ecuaciones por el mtodo de punto fijo, con .a)

b) c) d) SOLUCIN:a)

Basndose en el mtodo grfico:

Se halla una sola raz positiva, misma que se calcula utilizando

Misma que se muestra en la siguiente tabla: iterxiea

10,6

20,5685633875,52913075

30,5836685512,58796955

40,5763219411,27474062

50,5798744420,61263272

60,5781517460,297966

70,5789859850,14408624

80,5785817260,06987074

90,5787775610,03383598

100,5786826780,01639637

110,5787286460,00794289

120,5787063750,00384836

130,5787171650,00186441

140,5787119370,00090328

Entonces, el valor de la primera (y nica) raz real de f(x)=Seno(x)+Ln(x) es aproximadamente: x=0.57871183b)

Basndose en el mtodo grfico:

Se pueden visualizar dos races reales positivas, mismas que se calculan a continuacin:

PRIMERA RAZ POSITIVA Usando:

iterxiea

10,9

21,18463931124,0275085

31,2739753147,01238101

41,2980496571,85465501

51,3042310360,47394815

61,3057976470,11997348

71,3061933650,03029549

81,3062932360,00764542

91,3063184360,00192911

101,3063247950,00048674

El valor aproximado de la primera raz real positiva es x=1,30632479 SEGUNDA RAZ POSITIVA

iterxi ea

11

21.2182829117.9172591

31.283254625.06304147

41.300447361.32206377

51.30483970.33661915

61.305951460.08512982

71.306232190.02149165

81.306303030.00542334

91.306320910.00136841

101.306325420.00034526

El valor aproximado de la primera raz real positiva es de x= 1.30632542

c)

d)

Mtodo Grfico.

xf(x)

-8-437

-7-278

-6-161

-5-80

-4-29

-3-2

-27

-14

0-5

1-14

2-17

3-8

419

570

6151

7268

8427

Ing. Genaro Luna Tapia 2015. Ao Internacional de la Luz y de las tecnologas basadas en ella