ENTREGA FINAL TRABAJO COLABORATIVO 2

SISTEMAS LINEALES, RECTAS, PLANOS Y ESPACIOS VECTORIALESUNIDAD 2

ALGEBRA LINEALGRUPO 100408_217

JAMES FABIAN LOPEZ MANJARRESCODIGO: (1121869087)

DERLY JULIETH GONZALEZ CORTESCODIGO (1121873098)

YOHAMER CEDEÑO VALDERRAMACODIGO (11218666540)

DAVID MAURICIO ROJASCODIGO(1121892203)

OSCAR RINCONTUTOR ALGEBRA LINEAL

PROGRAMA DE INGENIERA DE SISTEMASCEAD ACACIAS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA29 DE ABRIL DEL AÑO 2015

VILLAVICENCIO (META)

INTRODUCION

En esta unidad 2, vamos a realizar por medio de ejercicios prácticos paso a pasolos siguientes temas:

sistemas lineales rectas planos vectoriales espacios vectoriales

Para resolver los ejercicios utilizamos métodos como: la eliminación de Gauss – Jordán, la inversa y otros temas tales como: ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta, ecuación general del plano y los puntos de intersección de los planos, además de herramientas tan fundamentales para este proceso como el editor de ecuaciones Word.

La solución de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicación en la ciencia y la tecnología, es por ello que esta materia y las temáticas revisadas en esta unidad son tan importantes en el fortalecimiento de nuestros conocimientos y en nuestro desempeño como profesionales.

1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

Nota: Describa el proceso paso a paso.

1.1.

−x−4 y−11 z=−15x−9 y+z=−8−x+6 z=6

Solución: −1 −4 −111 −9 1

−1 ⊘ 6 −15−86

R3 – R1 R3 −1 ⊘ 61 4 11

615

⊘ 4 17 21

−1 −4 −111 −9 1⊘ 4 17

−15−821

R2 + R1 R2

1 −9 1

−1 −4 −11−8−15

⊘ −13−10 −23

−1 −4 −11⊘ −13 −10⊘ 4 17

−15−23−21

13 R3 + 4R2 R3

⊘ 52 221⊘ −52 −40

273−92

⊘ ¿⊘ ¿

−1 −4 −11⊘ −13 −10⊘ ⊘ 1

−15−23

1 R1 + 11R3 R1

−1 −4 −11⊘ ⊘ 11

−1511 −1 ¿

−1 −4 0⊘ −13 −10⊘ ⊘ 1

−4−23

1 R2 + 10 R R2

⊘ −13 −10⊘ ⊘ 10

−2310

⊘ ¿⊘ −1⊘ −1

−1 −4 ⊘⊘ −1 ⊘⊘ ⊘ 1

−4−11

R1 – 4R2 R1

−1 −4 0⊘ 4 ⊘

−44

−1 ¿

ENTONCES

−1 ⊘ ⊘⊘ −1 ⊘⊘ ⊘ 1

⊘−11

11

0 0

0 1 00 0 1

0 X1 Y1 Z

Y = 0 Y=1 Z = 1

1.2.

−7 x+2 y−z+4w=103 x−5 y−2 z−w=−9

-7 2 -1 4 103 -5 -2 -1 -9

f1/(-7)

1 -0.286 0.1429 -0.571 -1.4293 -5 -2 -1 -9

f2-3*f1

1 -0.286 0.1429 -0.571 -1.4290 -4.143 -2.429 0.7143 -4.714

-7/29*F2

1 -0.286 0.1429 -0.571 -1.4290 1 0.5862 -0.172 1.1379

f1+2/7*f2

1 0 0.3103 -0.621 -1.1030 1 0.5862 -0.172 1.1379

x+0.3103 z−0.621w=−1.103y+0.5862−0.172w=1.1379

2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el método que prefiera para hallar 1A ).

x− y−z=03 x− y+3 z=2−x+z=−1

A ˙ X = B Y = n-1 B

A-1 = 1

(A) ADJ (A)

ADJ (A) = B

1 −1 −13 −1 3

−1 0 1

1 −13 −1

−1 ⊘ -1+3+⊘ - (-3 + ⊘ - 1) = 2 – (-4) = 6

ADJ (A) = B11 B12 B13

B21 B22 B23

B31 B32 B33

1 −1 −13 −1 3

−1 ⊘ 1

B11 = -1- (0) = -1 B21 = -1˙ B31= - 3 – (-1) = -4

B12= 3- (-3) = 6˙ B22 = 1-1 = 0 B32 = 3 – (-3) = 6˙

B13 = 0 - (1) = 1 B23 = -1˙ B33 = -1- (-3) = 2

B = −1 −6 −11 ⊘ 1

−4 −6 2 B1 =

−1 1 −4−6 ⊘ −6−1 1 2

A-1 ∙ B = 16

−1 1 −4−6 ⊘ −6−1 1 2

02

−2 =

666

∙ 16 =

110

xyz

3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:

3.1 Contiene a los puntos R=(−6,6,1) y Q=(−10 ,2−3)

Parametricas Simétricas

Y = y1 + atx−x1

a =

y− y1

b =

z−zc

Y= y1 + bt

Y= z1 + ct

V P Q= (-10+6) i + (2-6) j + (-3-2) K

P Q= -4 (i + j +K )

Escogemos R= (-6, 6,1)

X= -6 -4t x+6−4 =

y−6−4 =

z−1−4

Y= 6-4t Simétricas

Z= 1-4t

Parametricas

3.2 Contiene a P= (−5,0 ,−8 ) y es paralela a la recta x−9−1

= y+3−6

= z−5−10

De este modo

V ( -1,-6,-10)

Parametricas Simétricas

X = -5 – t y+5−1 =

y+0−6 =

z+8−10

Y= -6t

Z= -8 -10t

4. Encuentre la ecuación general del plano que:

4.1 Contiene a los puntos S=(1 ,−8 ,−2) , Q=(−3,0 ,−8 ) y T=(5 ,−6,1)

SQ = (-3-1) i + 8 j + (-8+2) K

SQ = -4 i + 8 j- 6K

ST = (5-1) i + (-6+8) j + (1+2) K

ST = 4i + 2 j + 3 K

SQ X ST i j K

−4 8 −64 2 3

= 36i - 12 j -40 K

4.2 Contiene al punto Q=(−7,2,1) y tiene como vector normal a

n=− i−2 j+4 k

Q= (-7, 2,1) U = (-i , - 2 j , 4 K )

-(x+7) -2 (y-2) + 4 (z -1) = ⊘- x -7 -2y+ 4+4z-4 = 0

- x -2y+4z = 7

5. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:π1 :−3x−5 y+z=−2 y π2 :−9 x+7 y+3 z=−10

π1 :−3x−5 y+z=−2 3x + 5y-z = 2π2 :−9 x+7 y+3 z=−10

9x-7y-3z = 10

Reducimos y

3 (7) + 5 (7) y – 7 (7) = 14 x = 64+22 z

66

9(5∙x) – 7(5)y – 3(5)7 = 50

66x -22z = 64 y= z3 +

3233

Encontramos y

(-3) -3x-5y+z = -2

-9x+7y+3z = -10 y=−422 +

211⊘ 22y = -4

Y= −211

Sustituyendo en las ecuaciones paramétricas.

X= 3233 +

13

Y= −211

Z= 3211 + 3t

CONCLUSIONES

En la realización de esta actividad nosotros los estudiantes hemos identificado perfectamente que es una ecuación, sistema de ecuación y sistema de ecuaciones lineales y esta unidad la hemos desarrollado de forma teórica y práctica porque se explican todas las definiciones de los temas para así poder comprender y realizar la parte práctica aplicando los conocimiento adquiridos de la unidad 2.

Cada día es más frecuente encontrarnos casos de estudios como son los temas de algebra lineal para la solución de problemas elementales, es por ello que surge la necesidad de introducir las ecuaciones lineales y los planos como una herramienta fundamental en los estudiantes en un nivel de educación alto.

BIBLIOGRAFIA

Para realizar este trabajo colaborativo realice las siguientes consultas:

-Modulo de la UNAD (unidad 2)

- videos tutoriales de youtube (https://www.youtube.com/watch?v=l7FGkomNpjg)

- curso de algebra lineal (http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/ALGEBRA-LINEAL)