Eliminacin de Gauss-JordanDe Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegacin, bsqueda En matemticas, la eliminacin de Gauss-Jordan, llamada as debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del lgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el mtodo de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reduccin del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuacin tiene una incgnita menos que la anterior. El mtodo de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El metodo de Gauss-Jordan contina el proceso de transformacin hasta obtener una matriz diagonal unitaria. El mtodo fue presentado por el matemtico Carl Friedrich Gauss, pero se conoca anteriormente en un importante libro matemtico chino llamado Jiuzhang suanshu o Nueve captulos del arte matemtico.[cita requerida]

Contenido[ocultar]

1 Anlisis de Complejidad 2 Algoritmo de eliminacin de Gauss-Jordan 3 Ejemplo 4 Forma escalonada y escalonada reducida 5 Otras aplicaciones o 5.1 Encontrando la inversa de una matriz 6 Vase tambin 7 Enlaces externos

[editar] Anlisis de ComplejidadLa complejidad computacional de la eliminacin gaussiana es aproximadamente n3. Esto es, el nmero de operaciones requeridas es n3 si el tamao de la matriz es n n.

[editar] Algoritmo de eliminacin de Gauss-Jordan1. Ir a la columna no cero extrema izquierda 2. Si el primer rengln tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo tenga 3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando mltiplos adecuados del rengln superior a los renglones debajo de l

4. Cubrir el rengln superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma de escaln) 5. Comenzando con el ltimo rengln no cero, avanzar hacia arriba: para cada rengln obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de ste sumando mltiplos correspondientes a los renglones correspondientes Una variante interesante de la eliminacin de Gauss es la que llamamos eliminacin de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) as para cuando estos finalicen ya se obtendr la matriz en forma escalonada reducida

[editar] EjemploSupongamos que es necesario encontrar los nmeros x, y, z, que satisfacen simultneamente estas ecuaciones:

Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:

Multiplicar una ecuacin por un escalar no nulo. Intercambiar de posicin dos ecuaciones Sumar a una ecuacin un mltiplo de otra.

Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan tambin en otros procedimientos como la factorizacin LU o la diagonalizacin por congruencia de una matriz simtrica. En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuacin sumando 3/2 veces la primera ecuacin a la segunda y despus sumamos la primera ecuacin a la tercera. El resultado es:

Ahora eliminamos y de la primera ecuacin sumando -2 veces la segunda ecuacin a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuacin a la tercera para eliminar y.

Finalmente eliminamos z de la primera ecuacin sumando -2 veces la tercera ecuacin a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuacin a la segunda para eliminar z.

Despejando, podemos ver las soluciones:

Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notacin matricial: Primero:

Despus,

Por ltimo.

Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraramos con una fila como esta:

Que representa la ecuacin:

, es decir,

que no tiene solucin.

[editar] Forma escalonada y escalonada reducidaArtculo principal: Matriz escalonada.

Dos formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonada reducida. Una matriz puede tener las siguientes propiedades: 1. Todas las filas cero estn en la parte inferior de la matriz. 2. El elemento delantero de cada fila diferente de cero, ste es llamado "pivote"; stos estn a la derecha del elemento delantero de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero). Si una matriz A cumple con esas propiedades, se dice escalonada. Adems, cumpliendo estas otras condiciones, decimos que la matriz se encuentra en la forma reducida de rengln escaln o tan solo en forma escalonada reducida. 1. Todos los elementos delanteros ("pivotes") son iguales a 1 2. Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos. Cuando una matriz representa a un sistema de ecuaciones situaciones como tener una columna de ceros parece imposible ya que correspondera a una variable que nunca habra aparecido. Sin embargo esta situacin puede presentarse (imaginemos la ecuacin de un plano en el espacio en la que no aparece alguna de las componentes, por ejemplo y+z=0). As la matriz

tambin es una matriz escalonada. Una vez que la matriz del sistema se ha transformado hasta obtener una matriz escalonada reducida es muy fcil discutirlo (es decir, determinar cuntas soluciones tiene): 1. Cuando aparece un pivote en la columna de los trminos independientes el sistema es incompatible (no tiene ninguna solucin). 2. En otro caso el sistema es compatible. Si adems el nmero de pivotes coincide con el nmero de incgnitas el sistema es compatible determinado (tiene una nica solucin). Cuando el nmero de pivotes es menor que el nmero de incgnitas el sistema es indeterminado (tiene infinitas soluciones que dependen de tantos parmetros como indique la diferencia entre el nmero de incgnitas y el nmero de pivotes).

[editar] Otras aplicaciones[editar] Encontrando la inversa de una matrizEs posible usar la eliminacin gaussiana para encontrar inversas de matrices n n. Para ello se aumenta la matriz dada, digamos A con una matriz identidad simplemente escribiendo las filas de la identidad a continuacin de las de nuestra matriz A, por ejemplo dada:

se construira

y ahora se realizan las operaciones elementales sobre las filas de la matriz aumentada que sean necesarias para obtener la forma escalonada reducida de la matriz A; sumando tanto a la segunda como a la tercera fila la primera obtenemos

multiplicamos la segunda fila por -1 y la intercambiamos con la primera

ya tenemos el pivote de la primera fila que usamos para hacer ceros debajo

ahora usamos el pivote de la segunda fila

y por ltimo cambiamos de signo la tercera fila y usamos el pivote correspondiente

El proceso ha finalizado porque en la parte izquierda tenemos la forma escalonada reducida de A y puesto que sta es la matriz identidad, entonces A tiene inversa y su inversa es la matriz que aparece a la derecha, en el lugar que al principio ocupaba la identidad. Cuando la forma escalonada reducida que aparece no es la identidad es que la matriz de partida no tiene inversa.

6.1.4 Mtodo de Gauss-JordanComo hemos visto, el mtodo de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El mtodo de Gauss-Jordan contina el proceso de transformacin hasta obtener una matriz diagonal unitaria (aij=0 para cualquier ).

Veamos el mtodo de Gauss-Jordan siguiendo con el ejemplo empleado en el apartado anterior. Aplicando el mtodo de Gauss habamos llegado a la siguiente ecuacin:

Ahora seguiremos un procedimiento similar al empleado en el mtodo de Gauss. Tomaremos como pivote el elemento a44=-3; multiplicamos la cuarta ecuacin por restamos a la primera: y la

Realizamos la misma operacin con la segunda y tercera fila, obteniendo:

Ahora tomamos como pivote el elemento a33=2, multiplicamos la tercera ecuacin por y la restamos a la primera:

Repetimos la operacin con la segunda fila:

Finalmente, tomamos como pivote a22=-4, multiplicamos la segunda ecuacin por sumamos a la primera:

y la

El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fcil de resolver. Empleando la ecuacin (46) obtenemos las soluciones: