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7/23/2019 Electrotecnia Alvares Julio.pdf

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GENERACIN DE TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES

GENERACION DE TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES

1.1 Funciones senoidales

Los sistemas actuales de generacin de energa elctrica, presentan una caractersticasenoidal, cuya forma genrica para una fuente de tensin es la se muestra en la figura 1.1.

Funcin senoidal

t

Tensin

Figura 1.1 Forma de onda senoidal

u(t) = Umsen t

Siendo: Um: Amplitud de la onda senoidalt : Argumento

: Frecuencia angular (Radianes / segundo)T : Perodo de oscilacin

Se define como frecuencia (f) a la cantidad de perodos por segundo sea:

Luego la frecuencia angular ser:

HertzsegundoporCiclos[Hz]T

1f=

Um

T


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En el caso en que la funcin tenga un ngulo de fase la expresin es la siguiente:

u(t) =Umsen (t + )

En esta funcin el fenmeno ocurre / radianes antes, lo cual indica que la mismaadelanta a u(t) = Umsen t, segn se muestra en la figura 1.2.

Funcin senoidal

t

Tensin

Figura 1.2 Funcin senoidal con ngulo de fase inicial

1.2 Induccin electromagntica

En todo conductor que se mueve a travs de un campo magntico, se induce una fuerzaelectromotriz de acuerdo a la Ley de Faraday. En la figura 1.3 est dibujado un conductor enmovimiento a travs de un campo magntico, el cual se ha representado por sus dos polosmagnticos norte (N) y sur (S).

Figura 1.3 Movimiento de un conductor dentro de un campo magntico

f2T

2=

=

T

Um

N

S

Lneas de campomagntico

Direccin delmovimiento del

conductor


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El sentido de dicha fuerza electromotriz, es tal que la corriente que genera, provoca uncampo magntico alrededor de dicho conductor, cuyo efecto es oponerse a la causa que lo cre.

En el esquema podemos observar que la fuerza electromotriz inducida, tiene sentidoentrante al plano del dibujo, lo que provoca una fuerza en el conductor que se opone al sentido del

movimiento.Dicho sentido se puede obtener de la siguiente forma prctica:

Se coloca la palma de la mano derecha en posicin tal que reciba el flujo originado

por el campo magntico, el pulgar deber tener el sentido del movimiento y el resto

de los dedos nos indica el sentido de la fuerza electromotriz inducida.

El valor de la fuerza electromotriz inducida generada es el siguiente:

Donde: B : Induccin magntica en [Tesla]l : Longitud del conductor bajo la accin del campo magntico [metros]v : Velocidad de desplazamiento del conductor [metros / segundo]d : Distancia recorrida por el conductor en un tiempo t [metros]: Valor del flujo magntico [Weber] = B . d . l

1.3 Generador elemental de tensin alterna

En la figura 1.4, se ha dibujado un generador elemental de corriente alterna.

Figura 1.4 Generador elemental de corriente alterna

)tiempo

magnticoFlujo(

t

t

dlBvlBE ===

Eje degiro

Bobina de N espiras

Escobillas

Anillos rozantes

+ -

S N


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El mismo consta de un imn permanente electroimn, el cual produce un campomagntico constante, representado por su flujo ().

Entre ambos polos (Norte - Sur), se coloca una bobina de N espiras, montada sobre uneje, al cual se le impone un movimiento giratorio constante por medio de una mquina impulsora

(Motor diesel, turbina de vapor, gas, etc.).Los terminales de dicha bobina se conectan a un par de anillos rozantes fijos al eje

(Aislados elctricamente entre si y del eje), lo cual permite a travs de unas escobillas carbones,la continuidad elctrica entre la parte mvil y la fija a la cual se debe llevar la corriente.

Si analizamos los fenmenos que ocurren en la bobina en cuestin a lo largo de un girocompleto observamos:

En la posicin del dibujo la bobina tiene su eje magntico coincidente con el ejemagntico del imn, por lo cual el flujo concatenado por la misma es mximo.

Al comenzar a girar la bobina, el flujo concatenado va disminuyendo hasta hacersecero, despus de rotar un ngulo de 90 .

Continuando en su giro las bobina vuelve a concatenar nuevamente flujo pero ensentido contrario.

Cuando completa un giro de 180 vuelven a estar los ejes magnticos en la mismadireccin con lo cual el flujo concatenado vuelve a ser mximo pero en sentidocontrario al inicial.

A partir de este instante vuelve a disminuir el flujo hasta hacerse cero cuandocompleta un giro de 270

Desde esta posicin la bobina vuelve a concatenar flujo en el sentido inicial, hastahacerse mximo con el giro completo de la misma.

Si analizamos el flujo concatenado para una posicin cualquiera de la bobina en estudio, algirar un ngulo , tal como se observa en el grfico de la figura 1.5.

Figura 1.5 Flujo concatenado por una bobina

= sen (Flujo concatenado)

= t (Velocidad angular por tiempo)

= sen t

La bobina efecta f revoluciones por segundo, siendo f la frecuencia, y como cadarevolucin comprende 360, su velocidad angular en radianes ser:

= 2f

S N


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De acuerdo a la ley de Faraday - Lenz es:

Em= N e = Emcos t

Lo cual nos lleva a obtener una fuerza electromotriz en los terminales de la bobina cuyavariacin en el tiempo es de caractersticas senoidales (debido al instante en el cual se efectu elanlisis en nuestro caso es cosenoidal).

Si se representan los valores instantneos del flujo concatenado por la bobina y la f.e.m.inducida en la misma, vemos que cuando el flujo concatenado es mximo la f.e.m. inducida pasapor su valor mnimo y cuando es mnimo, la f.e.m. inducida es mxima. Esto nos indica que entreambos hay un desfasaje de 90, tal cual se observa en la figura 1.6.

Fuerza electromotrizinducida

t

Flujomagntico

Figura 1.6 Valores instantneos del flujo concatenadoy la fuerza electromotriz inducida

1.4 Corriente alterna

Representacin de funciones senoidales por vectores

y nmeros complejos

Sea una magnitud cualquiera, por ejemplo una tensin de las siguientes caractersticas:

u(t) = Umsen (t + )

Tomemos ahora un par de ejes ortogonales a b, de acuerdo con la figura 1.7.

tcosN

dt

dNe

==


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Figura 1.7 Diagrama de vectores armnicos

Tracemos al origen y con un ngulo respecto de la horizontal, un vector que en la escalaadecuada represente la amplitud Umde la funcin.

Hagamos girar dicho vector, alrededor del origen de coordenadas y con una velocidadangular , en sentido antihorario. Al cabo de un tiempo t dicho vector habr llegado a la posicint + .

Si tomamos la proyeccin de dicho vector sobre el eje vertical, la misma estarrepresentando a travs del tiempo el valor instantneo de la funcin considerada.

Cualquier magnitud cuya variacin en el tiempo sea senoidal, puede ser representada

mediante este diagrama de Vectores armnicos.Si se considera el par de ejes sobre un planocomplejo, en el cual el eje de abscisas es el real y el eje de ordenadas el imaginario, el vectorcorresponder a un nmero complejo, cuyo mdulo es Umy su argumento es el ngulo , el cual sepuede escribir:

Um=Um ej = Um

En forma exponencial y polar respectivamente, siendo:

Al estar girando con velocidad angular , el vector estar representado por la funcin:

Um= Umej(t + ) = Umcos (t + ) + j Umsen (t + )

De aqu observamos, que si trabajamos con una funcin senoidal debemos tomar la parteimaginaria sea:

Um= Imag.[ Umej(t + )] = Umsen (t + )

Si en cambio trabajamos con la funcin coseno, debemos tomar la parte real:

Um= Real [Umej(t + )] =Umcos (t + )

1-j =

Um

Um

Umsen

Umsen (t + )

t

b

a


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Diagramas fasoriales

Si en lugar de utilizar los valores mximos amplitud de las funciones, utilizamos los

valores eficaces a dicho diagrama le daremos el nombre de Fasorial.El valor eficaz de una funcin peridica se define como la raz cuadrada del valor medio del

cuadrado de la funcin. Si la funcin es de la siguiente caracterstica:

u(t) = Umsen (t + ) su valor eficaz ser:

Para una funcin de caractersticas senoidales el valor eficaz de la funcin es:

Un diagrama fasorial muestra la magnitud y el ngulo de fase de cada cantidad fasorial enel plano de los nmeros complejos. Los ngulos se miden en el sentido antihorario y a partir del ejereal positivo, y las magnitudes a partir del origen de coordenadas.

Para indicar que el vector que se est analizando es un fasor, se lo identifica: con la letraen negrita, colocndole una raya un punto sobre la letra.

U, U, U

Tomemos por ejemplo dos funciones como las siguientes:

u(t) = Umsen t y

i(t) = Im sen (t - )

Vemos que la segunda atrasa un ngulo a la primera, por lo tanto su representacinfasorial con sus valores eficaces U e I, para t = 0, es el dibujado en la figura 1.8.

Figura 1.8 Diagrama de fasores

+=T0

22mef )dtt(senU

T

1U

2

UU

mef=

U

I


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Resistores

Al aplicar una tensin alterna senoidal sobre un resistor puro, la corriente que circula por elmismo ser de acuerdo a la ley de Ohm:

u(t) = Umsen t

Ambos valores estn en fase y su representacin instantnea y fasorial (Para t= 0), esdibujada en la siguiente figura 1.9.

Tensin

t

Corriente

Figura 1.9 Diagrama de valores instantneos y fasorialCorrespondiente a carga hmica pura

A los efectos de no trabajar con los valores instantneos de la corriente y la tensin, sedefine el valor eficaz de los mismos.

El valor eficaz de la corriente alterna es igual numricamente a la intensidad de unacorriente continua tal que, en un intervalo de tiempo igual a un perodo, libera en una resistencia

una cantidad de calor igual a la que libera la corriente alterna.

El calor producido en una resistencia por efecto Joule est dado por:

Pcc= I2ccR

En corriente alterna el valor instantneo de la potencia es:

pca= (Imsen t)2R = I2msen

2t R

Como: sen2t = (1 - cos 2t) nos quedar:

pca= (R I2m/2) (1 - cos 2t)

El grfico correspondiente se observa en la figura 1.10.

IR

U

tsenR

U

R

u(t)(t)

mRi ==

u R

iR+

-


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Potencia

t

Corriente

Figura 1.10 Valores instantneos de la potencia sobre un resistor

Se hace notar que la funcin potencia en corriente alterna es de frecuencia doble de lacorriente que circula. La potencia media se obtiene hallando el valor medio de la expresin de pcasea el rea bajo la curva de pcay dividindola por el perodo, siendo su valor:

Inductores

En un inductor ideal, por el cual circula una corriente de valor:

iL(t) = ILmsen t Aparecer en sus bornes una tensincuyo valor estar dado por:

Llamaremos a L = XL Reactancia inductiva []

Um= ILmXL

2

I

2

II:eficazvalorsuSiendo

2II:aquDe

2IRRI

Luego2

IRp

m2

mef

2

m2cc

2

m2cc

2m

ca

==

==

=

)2

t(senLItcosILu(t)

Henry)encinAutoinduc:(Ldt

diLu(t)

LmLm

L

+==

=L

-

u

iL+


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Observamos que la tensin tiene un adelanto de 90, con respecto a la corriente, con loque sus diagramas de valores instantneos y fasorial (Para t = 0) son los dibujados en la figura1.11.

Tensin

t

Corriente

Figura 1.11 Diagrama de valores instantneos y fasorialcorrespondiente a carga inductiva pura

Las relaciones entre los valores eficaces est dado por:

U = XLIL

Si tenemos en cuenta estos valores como fasores:

U= L ILej/2= j L IL e

j/2 = j

O sea que la multiplicacin por j hace girar el vector un ngulo de 90 en el sentidoantihorario, con lo que nos queda expresado matemticamente el desfasaje de 90 entre un fasor yel otro.

Por lo tanto para dejar expresado este desfasaje que se produce en un inductor,asociaremos j a su reactancia y al conjunto lo llamaremos impedancia inductiva:

ZL = j XL[]

Capacitores

En un capacitor ideal al cual le aplicamos una tensin

u(t) = Umsen t

La corriente que circular por el mismo ser:

U

IL


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En este caso la corriente tiene un adelanto de 90 con respecto a la tensin, lo que seobserva en los diagramas de la figura 1.12

Lo cual se toma en cuenta en el clculo fasorial

Llamaremos a ZC = - j XC Impedancia capacitiva []

Tensin

t

Corriente

Figura 1.12 Diagrama de valores instantneos y fasorial correspondiente acarga capacitiva pura

Xc

UI

][capacitivaReactanciaXcC

1:aLamaremos

)2

t(senCUtcosUC(t)i

Faradios)en(CapacidadC

dt

duC(t)i

m

Cm

mmC

C

=

=

+==

=

Xcj-

Ue

Xc

UI 2

j-

C ==

IC

U

C

-

u

iC+


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1.5 Agrupamiento de impedancias

Conexin en serie de resistor, inductor y capacitor

Figura 1.13 Agrupamiento de impedancias en serie

Conectando una impedancia a continuacin de la otra, efectuamos una conexin que sedenomina serie, segn se observa en la figura 3.13. Si a este agrupamiento le aplicamos unatensin U,circular una corrienteI, que es la misma en cada elemento.

Las cadas de tensin en cada elemento estn dadas por:

UR= R I

UL = j XLI

UC= - j XCI

De acuerdo a la segunda ley de Kirchhoff, la tensin aplicada ser igual a la suma fasorialde las tensiones parciales. Luego:

U= UR+ UL+ UC y reemplazando nos queda:

U= RI+ j XLI- j XCI = I (R + j XL- j XC) = I[R + j (XL- XC)]

El trmino R + j (XL- XC) es la impedancia equivalente entre los terminales A - B

Z= R + j (XL- XC) ZUI =

Esta impedancia equivalente tiene un mdulo dado por:

)R

XX(tgArc

:porodeterminadngulouny)X-(XRZ

CL

2CL

2

=

+=

j XL

- j XC

R

U

I

+

-

UR UL

UC


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La representacin vectorial de la impedancia se puede observar en el grfico de la figura1.14.

Figura 1.14 Diagrama vectorial de impedancias

Resonancia serie

La impedancia de un circuito serie est dada por la siguiente expresin:

Cf2

1jLf2jR

+=Z

En esta se observa que manteniendo constantes R, L y C, a medida que la frecuencia

aumenta, la reactancia inductiva aumenta y la capacitiva disminuye, lo cual nos lleva a quepartiendo de un circuito con caractersticas capacitivas, al aumentar la frecuencia pasa a tenercaractersticas inductivas.

Cuando las partes reactivas toman el mismo valor, se compensan y el circuito presenta lascaractersticas de una resistencia para la fuente que lo alimenta.

Por ejemplo si tenemos un circuito alimentado por una fuente a la que le podemos variar lafrecuencia, vamos a tener un valor de la misma en que se cumple que X L= XC, o sea que:

Cf2

1Lf2

RR

=

Siendo fR la frecuencia para la cual se igualan las reactancias y que llamaremos de

resonancia, y cuyo valor ser:

L.C

1

2

1fR

=

En la figura 1.15 vemos lo aqu analizado, siendo el valor de la resistencia mayor al de lasreactancias cuando el circuito se hace resonante.

En este caso siendo la corriente nica, las cadas de tensin en las reactancias sernmenores que en la resistencia, por lo tanto no aparecern tensiones mayores que los de la fuente,o sea:

UR= R. I= UFUENTE UL = j XLI UC = - j XCI UL+ UC= 0

En la figura 1.16 se observan las tensiones sobre los elementos componentes de circuito.

j

j XL

- j XC

R

Z

De acuerdo a los valores deXL XC, la impedanciaresultante tendrcaractersticas hmico -inductivas u hmico capacitivas. En el grfico seha representado unaimpedancia en la queprepondera la reactanciainductiva


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alor de la impedancia en funcin de la frecuencia

Frecuencia [Hz]

R,

XL,

Xc,

Z

Figura 1.15 Valor de las impedancia en funcin de la frecuenciapara R XL y XCen resonancia

Tensiones en funcin de la frecuencia

Frecuencia [Hz]

Tensiones[V]

Figura 1.16 Tensiones sobre los elementos componentes del circuito,para R XL y XCen resonancia

RZ

XL

XC

(XL - XC)

fR

fR

URUL

UC


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En la figura 1.17, se analiza el caso en que la resistencia es menor que las reactanciascuando el circuito es resonante, y en la figura 1.18 las tensiones que aparecen sobre loselementos.

Valor de la impedancia en funcin de la frecuencia

Frecuencia [Hz]

R,XL,Xc,Z

Figura 1.17 Valor de las impedancia en funcin de la frecuenciapara R XL y XCen resonancia

Variacin de la tensin en los elementos con la frecuencia

Frecuencia [Hz]

Tensin

[V]

Figura 1.18 Tensiones sobre los elementos componentes del circuito,para R XL y XCen resonancia

En este caso aparecen sobre tensiones sobre los elementos reactivos, pudiendo ser

mayor en la reactancia inductiva o capacitiva de acuerdo al valor que tome la frecuencia

Z

R

XL

XC

(XL- XC)

fR

UL

fR

UR

UC


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1.5.2 Conexin en paralelo de resistor, inductor y capacitor

En este tipo de conexin todos los elementos reciben la misma tensin segn se observaen la figura 1.19.

Figura 1.19 Impedancias conectadas en paraleloLas corrientes que circularn por cada elemento tendrn los siguientes valores:

La corriente total est dada por la suma fasorial de las corrientes en cada elemento:

I = IR + IL + IC Que reemplazando sus valores nos queda:

I= U(G - j BL+ j BC)

Siendo la admitancia del circuito:

Y= G - j BL + j BC (Inversa de la impedancia equivalente)

I= U. Y

CC

LLR

Xj-

Xj

R

UI

UI

UI ===

)Xj

1

Xj

1

R

1(Xj-XjR CLCL

++=++= UUUU

I

[Siemens]capacitivaiaSusceptancBjXj-

1

[Siemens]inductivaiaSusceptancBj-Xj

1

[Siemens]iaConductancG

R

1:llamamosSi

CC

LL

=

=

=

IR IL IC

U

I

+

-

R - j XCj XL


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Su representacin grfica es la de la figura 1.20.

-

Figura 1.20 Diagrama vectorial de admitancias

Resonancia paralelo

En forma anloga al estudio de un circuito serie, en paralelo tenemos:

Lf2

1jCf2jG

+=Y Las partes reactivas se igualan para una frecuencia

L.C

1

2

1fR

=

Por lo tanto se puede realizar el mismo anlisis que para el circuito serie, trabajando conlas admitancias, tal cual se observa en las figuras 1.21.

G)B(BtgArc

)B(BGY:Donde

LC

2LC

2

=

+=

j

j BC

- j BL

G

Y


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alor de la admitancia en funcin de la frecuencia

Frecuencia [Hz]

G,BL,Bc,

Figura 1.21 Valor de la admitancia en funcin de la frecuencia

Ejercicio N 1: Para el circuito de la figura hallar el valor de la corriente, las tensiones y dibujar elfasorial correspondiente.

XL= L = 2. 50. 50. 10-3= 15,71

XC= 1/C = 106/2. 50. 150 = 21,22

Z= R + j XL - j XC= 10 + j 15,71 - j 21,22 = 10 - j 5,51 = 11,42 - 28,85

[V]31,15-408,758,8519,2690-21,12IXj-

[V]148,85302,5758,8519,269015,71IXj

[V]58,85192,658,8519,2610R

[A]58,8519,2628,85-11,42

30220

CCD

LBC

AB

===

===

===

=

==

U

U

IU

Z

UI

50 mH

150 F

10

U= 220 30 [V]50 Hz

I

+

-

A B C

D

Y

BL

BC (BC BL)

G

fR


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Ejercicio N 2: Para el circuito de la figura hallar el valor de las corrientes y tensiones y dibujar elfasorial correspondiente

XL = L = 250. 50. 10-3= 15,7

XC = 1/C = 106/2500 = 6,37

ZRC= 5 - j 6,37 = 8,1 - 51,87 YRC= 1/ZRC= 0,123 51,87 S

ZRL= 5 + j 15,7 = 16,48 72,33 YRL= 1/ZRL= 0,061 - 72,33 S

YBC=YRC +YRL= 0,076 + j 0,097 + 0,019 - j 0,058 = 0,095 + j 0,039

YBC= 0,103 22,32 S ZBC= 1/YBC= 9,71 - 22,32

Z= 10 0 + 9,7 - 22,32 = 10 + 8,98 - j 3,69 = 18,98 - j 3,69

Z= 19,34 - 11

I = U/Z =220 90 / 19,34 - 11 = 11,38 101 A

UBC= I. ZBC= 11,38 101 . 9,71 - 22,32 = 110,5 78,68 V

A

B

C

DUAB

UBC

UCD

UAD

30

58,85

I

IRL IRC

U= 220 90 [V]50 Hz

I

+

-

5

500 F50 mH

5

10 A B

C


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IRL= UBC .YRL= 110,5 78,68. 0,061 - 72,33 = 6,74 6,35 A

IRC= UBC. YRC= 110,5 78,68. 0,123 51,87 = 13,59 130,55 A

UAB= 10 0. 11,38 101 = 113,8 101 V

I

IRL

IRC

UAB

UBC U


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POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFSICOS

POTENCIA EN CIRCUITOS MONOFASICOS

2.1 Generalidades

En todo circuito elctrico es de suma importancia determinar la potencia que se genera yque se absorbe.

Todo aparato elctrico tiene una capacidad para transformar energa elctrica en otro tipode energa (Elctrica, calorfica, mecnica, etc.), lo cual hace que el clculo de la potenciaasociada sea de suma importancia.

La potencia instantnea est dada por el producto del voltaje instantneo por la corrienteinstantnea.

A los efectos de definir si la potencia es entregada absorbida por el elemento en estudio,adoptaremos la siguiente convencin de acuerdo a los diagramas de la figura 2.1 y 2.2.

a) Fuentes de tensin

Figura 2.1 Esquemas para determinar el sentidode flujo de potencia en fuentes de tensin

b) Fuentes de corriente

Figura 2.2 Esquemas para determinar el sentido de flujode potencia en fuentes de corriente

u uii

+

-

++++

-

Entrega potencia Absorbe potencia

ui

+

-

ui

-

+Entrega potencia Absorbe potencia


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2.2 Elementos pasivos

El resistor es un elemento que absorbe energa y la transforma en forma irreversible. Elinductor y el capacitor por ser elementos que tienen capacidad de acumular energa en forma decampo magntico y elctrico, lo que permite que absorban entreguen energa durante pequeoslapsos de tiempo.En la figura 2.3 se muestra los sentidos del flujo de potencia en los elementosconsiderados pasivos.

Figura 2.3 Esquemas para determinar el sentido de flujode potencia en elementos pasivos

2.3 Potencia instantnea

Figura 2.4 Circuito compuesto por una resistencia y un inductor en serie

Si analizamos la potencia instantnea entregada por una fuente de tensin senoidal a unelemento de un circuito, conformado por un resistor y un inductor como se muestra en la figura 2.4,el valor de la misma esta dado por:

u(t)

i(t)

R

L

+

-

u u+ -

i R

Absorbe potencia

- +

iR

Absorbe potencia

Ci

+ -u

Absorbe potencia

Ci

- +u

Entrega potencia

Li

+ -

u

Absorbe potencia

Li

- +

u

Entrega potencia


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p(t) = u(t) . i(t) Siendo :

u(t) = Umsen t

i(t) = Imsen (t - )

p(t) = Umsen t . Imsen (t - )

De acuerdo a la siguiente identidad trigonomtrica:

sen (t - ) = sen t cos - cos t sen con lo que nos queda:

p(t) = UmImsen t (sen t cos - cos t sen )

p(t) = UmIm(sen2t cos - sen t cos t sen )

De acuerdo a la definicin de valores eficaces esta ecuacin quedar:

p(t) = U.I cos - U.I cos 2t cos - U.I sen 2t sen

De la cual podemos analizar lo siguiente:

El primer trmino de la ecuacin es constante y representa el valormedio de la funcin, ya que los dos trminos siguientes alintegrarlos en un perodo, su valor es cero, sea que

P = U.I cos (Potencia media, Potencia activa) La frecuencia de la potencia instantnea es dos veces la frecuencia

de la corriente de la tensin.

En el grfico de la figura 2.5 vemos superpuestos los valores de tensin, corriente ypotencia instantneos, para un circuito que presenta caractersticas hmico-inductivas.

R

LtgArc

LR

U

222

mmI

=

+=

]sent2sen-cost)2cos-[(12

IUp(t)

2

t2sentcostsen

2

t)2cos-(1tn

mm

2

=

=

=

se


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Potencia

t

Tensin

Corriente

Figura 2.5 Valores instantneos de tensin, corriente y potencia en un circuito R-L

Vemos que la potencia instantnea, puede ser negativa y ello se debe a que siendo la redpasiva, se est extrayendo energa almacenada en el campo magntico de los inductores en elcampo elctrico de los capacitores. De la figura podemos efectuar el siguiente anlisis, utilizando lasiguiente convencin de signos:

Entre los instantes 0 y 1, la tensin tiene signo positivo y la corriente negativo,lo cual nos indica que la corriente est saliendo por el borne positivo de laimpedancia, por lo tanto en este lapso de tiempo la impedancia entregaenerga al sistema la cual estaba almacenada en el campo magntico de labobina (Es el caso que estamos analizando)

Entre los instante 1 y 2 tanto la tensin como la corriente tienen signo positivo,o sea que la corriente entra por el borne positivo de la impedancia, por lo tantoen este lapso de tiempo la misma absorbe energa del sistema.+ -u

i

+ -u

i

01 2

3 4+ +

- -

P

u+ -

i

La onda de tensin espositiva con esta polaridad

sobre la impedancia.

La onda de corriente espositiva con este sentido


u- +

i

La onda de tensin esnegativa con esta polaridad


La onda de corriente esnegativa con este sentido



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Entre los instantes 2 y 3, la tensin tiene signo negativo y la corriente positivo,

lo cual nos indica que la corriente est saliendo por el borne positivo de laimpedancia, por lo tanto en este lapso de tiempo la impedancia entregaenerga al sistema.

Entre los instante 3 y 4 tanto la tensin como la corriente tienen signo negativo,o sea que la corriente entra por el borne positivo de la impedancia, por lo tantoen este lapso de tiempo la misma absorbe energa del sistema.

Del anlisis de las curvas, se llega a la conclusin, que parte de la potencia que entrega lafuente que alimenta el sistema, se absorbe y consume en forma irreversible y parte de ella seacumula en los campos magnticos elctricos durante ciertos intervalos de tiempo, y a

continuacin esta es devuelta al sistema. Esta energa acumulada en los campos mencionados,oscila en el sistema entre la fuente y los elementos acumuladores, sin que la misma se consuma,pero tanto la fuente como los conductores que la transportan deben tener la capacidad suficientepara generar y transportar ambas.

2.3.1 Resistor puro

Figura 2.6 Carga resistiva pura

En el caso de tener un resistor puro, segn se muestra en la figura 2.6, la tensin y lacorriente sobre el mismo estn en fase por lo que = 0, luego, la potencia instantnea toma elsiguiente valor:

p(t) = U.IRcos - U.IRcos 2t cos

p(t) = P - P cos 2t

A este valor de potencia se le da el nombre de Potencia activa instantnea, denominandoP a la potenciaactiva, valor que se utiliza para describir la potencia que se transforma de formaelctrica a no elctrica, que en el caso de un resistor, la transformacin es a energa trmica.

En el grfico de la figura 2.7 se observan los valores de tensin, corriente y potenciainstantneos. Cada medio perodo las dos funciones se hacen cero, simultneamente.

+

-

u(t)

iR(t)

R

- +u

- +u

i

i


26/313


Potencia

t

Corriente

Figura 2.7 Valores instantneos de tensin, corriente y potenciacon carga resistiva pura

Analicemos que ocurre en la resistencia con la tensin y la corriente:

Entre los instante 0 y 1 tanto la tensin como la corriente tienen signo positivo,o sea que la corriente entra por el borne positivo de la impedancia, por lo tantoen este lapso de tiempo la misma absorbe energa del sistema.

Entre los instante 1 y 2 tanto la tensin como la corriente tienen signo negativo,o sea que la corriente entra por el borne positivo de la impedancia, por lo tantoen este lapso de tiempo la misma absorbe energa del sistema.

Se observa que la potencia instantnea siempre tiene signo positivo, ya que no se puedeextraer potencia de una red puramente resistiva.

El valor medio de la potencia est dado por:

La unidad que se utiliza es el watt [W]

RIR

UIUP 2R

2

R ===

+ -

u

iR

- +u

iR

+ +P = U.IR

2 .U.IR

Tensin

0 1 2


27/313


2.3.2 Inductor puro

En la figura 2.8 vemos un circuito con una carga inductiva pura.

Figura 2.8 Carga inductiva pura

Con este tipo de circuito, la corriente atrasa 90 a la tensin sobre la inductancia.Por lo tanto la potencia instantnea queda como:

p(t) = - U.ILsen 2t

Vemos que la potencia media tiene valor cero, sea que no hay transformacin deenerga, si no que la misma oscila entre el circuito y la fuente que lo alimenta.

El grfico de tensin, corriente y potencia instantnea es el de la figura 2.9, en la cualvemos que cada cuarto de perodo, una de las funciones se hace cero (Tensin corriente).

Potencia

t

Tensin

Figura 2.9 Valores instantneos de tensin, corriente y potenciaen un inductor puro

Entre los instantes 0 y 1, la tensin tiene signo positivo y la corriente esnegativa, lo cual nos indica que la corriente est saliendo por el borne positivode la bobina, por lo tanto en este cuarto de perodo la bobina entrega energaal sistema la cual estaba almacenada en su campo magntico.

Entre los instante 1 y 2 tanto la tensin como la corriente tienen signo positivo,

o sea que la corriente entra por el borne positivo de la bobina, por lo tanto eneste lapso de tiempo la misma absorbe energa del sistema, y la acumula enforma de campo magntico.

0 1 2 3

4

++

- -

Corriente

+

-

u(t)

iL(t)

L

+ -u

iL

+ -u

iL


28/313


Entre los instantes 2 y 3, la tensin tiene signo negativo y la corriente espositiva, lo cual nos indica que la corriente est saliendo por el borne positivode la bobina, por lo tanto en este lapso de tiempo la bobina entrega energa al

sistema.

Entre los instante 3 y 4 tanto la tensin como la corriente tienen signo negativo,o sea que la corriente entra por el borne positivo de la bobina, por lo tanto eneste lapso de tiempo la misma absorbe energa del sistema.

Se observa que durante un cuarto de perodo, la potencia es positiva, o sea que sealmacena en forma de campo magntico en la inductancia y durante el cuarto de perodo siguientela potencia es negativa lo cual nos indica que se extrae potencia del campo magntico.

2.3.3 Capacitor puro

Sea el circuito con una carga capacitiva pura segn la figura 2.10.

Figura 2.10 Carga capacitiva pura

En este caso la corriente est adelantada 90 a la tensin sobre el capacitor, con lo quela expresin de la potencia queda:

p(t) = U.ICsen 2t

Vemos que aqu tambin la potencia media en un perodo vale cero, o sea que la potencia

oscila entre la fuente que alimenta el circuito y el campo elctrico asociado con el capacitor. En lafigura 2.11 vemos los valores instantneos de tensin, corriente y potencia, observando que cadamedio perodo una de las funciones (Tensin corriente) se hace cero.

+

-

u(t)

iC(t)

C

- +u

iL

- +u

iL


29/313


Potencia

t

Tensin

Figura 2.11 Valores instantneos de tensin, corriente y potenciaen un capacitor puro

Entre los instantes 0 y 1, la tensin tiene signo positivo y la corriente espositiva, lo cual nos indica que la corriente est entrando por el borne positivode la bobina, por lo tanto en este cuarto de perodo el capacitor absorbeenerga almacenndola en su campo elctrico.

Entre los instante 1 y 2 tanto la tensin es positiva y la corriente es negativa, osea que la corriente sale por el borne positivo del capacitor, por lo tanto en estelapso de tiempo el mismo entrega la energa acumulada en su campo elctricoal sistema.

Entre los instantes 2 y 3, la tensin tiene signo negativo y la corriente esnegativa, lo cual nos indica que la corriente est entrando por el borne positivodel capacitor, por lo tanto en este lapso de tiempo el mismo absorbe energadel sistema.

Entre los instante 3 y 4 tanto la tensin tiene signo negativo y la corriente espositiva, o sea que la corriente sale por el borne positivo del capacitor, por lotanto en este lapso de tiempo el mismo entrega energa al sistema.

0

1 2 3 4

+ +

- -

Corriente

+ -u

iC

+ -u

iC

- +u

i

- +u

i


30/313


2.4 Potencia reactiva

La potencia asociada a circuitos puramente inductivos capacitivos, se denomina

Potencia reactiva, cuya expresin para valores instantneos est dada por:

Pr(t) = - U.I sen sen 2t

Siendo el valor medio en un perodo de la misma, igual a cero, pero para poderdimensionar la misma se adopta:

Q = U.I sen Potencia reactiva

Tanto la potencia activa P como la potencia reactiva Q, tienen las mismas dimensiones,pero a los efectos de distinguirlas, se utiliza para la potencia reactiva el trmino VAr (Volt Amperreactivo).

2.5 Potencia aparente

Todo aparato elctrico est diseado para soportar determinados valores de tensin y decorriente. Por tal motivo su dimensionamiento no est dado por la potencia activa (Que depende dela diferencia de fase entre la tensin y la corriente), sino por la potencia aparente, que estrepresentada por el producto de los valores eficaces de la tensin y de la corriente:

S = U.I

De aqu surge que la misma corresponde al valor mximo de la potencia activa.Aunque la potencia aparente tiene las mismas dimensiones que las potencias activa y

reactiva, para diferenciarla se utiliza para su dimensionamiento el VA (Volt Amper).

2.6 Factor de potencia

El ngulo me define el desfasaje entre la tensin y la corriente, siendo en atraso paraun circuito hmico inductivo o en adelanto de ser hmico capacitivo.

El coseno de dicho ngulo se denomina Factor de potencia. El mismo define la relacinque existe entre la potencia activa y reactiva.

De acuerdo a lo visto hasta ahora podemos resumir los valores de las potencias:

P = U.I cos [W] Q = U.I sen [VAr] S = U.I [VA]

S

Pcos

P

Qtg ==

Dado que la potencia activa es la que se transforma en otro tipo de potencia que seaprovecha o utiliza, surge la conveniencia de que en cualquier instalacin elctrica, el factor depotencia sea lo ms cercano a la unidad, ya que en ese caso, se logra un mejor aprovechamientode las instalaciones.

Para un consumo de potencia activa determinada, la corriente es menor a mayor factor depotencia, lo cual permite reducir el tamao de los conductores alimentadores, as como lasinstalaciones previstas para alimentar dicho consumo, ya que el valor de la potencia activa seacerca a la potencia aparente, siendo esta ltima la que determina el dimensionamiento de todoaparato elctrico.

Siendo que las instalaciones elctricas trabajan con un valor de tensin constante,podemos ver que si la potencia activa se mantiene constante, la corriente vara de acuerdo a:

P = U.I cos I = P/U. cos I = K/cos


31/313


O sea que el valor de la corriente es inversamente proporcional al factor de potencia,llegando a valores muy elevados a medida que el ngulo tiende a 90, pudiendo ver dichatendencia en el grfico de la figura 2.12.

= - 90 = 0 = 90

Figura 2.12 Variacin de la corriente con el ngulo de la carga

Cabe mencionar que tambin se vern reducidas las prdidas por transmisin debido a laresistencia hmica propia de los conductores (R. I2) debido a la disminucin de la corriente.

2.7 Potencia compleja

La potencia aparente la podemos calcular como la suma compleja de la potencia activa (P)y la reactiva (Q).

S = P + j QAdoptando la convencin de que la potencia reactiva inductiva tiene signo positivo,

podemos definir la potencia aparente compleja como:

S= U. I*

Producto del fasor tensin por el fasor corriente conjugado.

De esta forma los grficos de potencia para los dos tipos de carga mixta son los de lafigura 2.13.

Figura 2.13 Grficos de potencia

P

S - j QC

P

Sj QL

Carga hmico capacitiva Carga hmico inductiva

I

Imnima


32/313


2.8 Mxima transferencia de potencia

En ciertas ocasiones es importante poder suministrar desde una red a una carga la

mxima potencia posible, sin que el rendimiento del sistema sea lo ms importante.Para analizar en que condiciones se verifica esta situacin, pasaremos a representar lared, vista desde los terminales de la carga, como una fuente real equivalente de Thevenin, deacuerdo a la figura 2.14.

Figura 2.14 Reemplazo de una red de alimentacinpor una fuente equivalente de Thevenin

ETH Tensin equivalente de Thevenin

ZTH = RTH+ j XTH Impedancia equivalente de Thevenin

ZC= RC+ j XC Impedancia de carga

El valor de la corriente que circula por la carga est dado por:

La potencia suministrada a la carga tiene el siguiente valor:

P = I2RC Reemplazando:

En esta expresin las variables independientes son RC y XC, cuyos valores debern sertales que hagan mxima la potencia suministrada. A tales efectos se deber cumplir que:

P/RC= 0 y P/XC= 0 Luego nos queda:

2CTH

2CTH

TH

)X(X)R(R

EI

+++=

2CTH

2CTH

C2TH

)X(X)R(RREP

+++

=

[ ] 22CTH2CTHCTHC

2CTH

2CTH

2TH

C

)X(X)R(R

)R(RR2)X(X)R(RE

R

P

+++

++++=

B

ETH

ZTH

A

ZC

I+

-


33/313


Para que esta ltima ecuacin sea cero se debe cumplir: XC = - XTH (1)

Y para la primera: [(RTH+ RC)2+ (XTH+ XC)

2- 2 RC(RTH+ RC)] = 0

Al cumplirse (1) (RTH+ RC)2= 2 RC(RTH+ RC) De aqu: RC= RTH

Con lo obtenemos que la impedancia de carga debe ser conjugada de la impedanciaequivalente de Thevenin:

2.8.1 Valor de la potencia mxima transferida

Dado que el circuito presenta una impedancia total hmica: Z = RTH+ RC= 2 RC

2.8.2 Rendimiento para potencia mxima transferida

2.9 Compensacin del factor de potencia

La mayora de las cargas industriales presentan un factor de potencia en atraso.Para poder mejorar el factor de potencia de estas cargas se adicionan capacitores a la

lnea que alimenta a las mismas, lo que se observa en la figura 2.15.

Lnea de alimentacin Carga

Figura 2.15 agregado de capacitores a un sistema de cargas

[ ]22CTH2CTHCTHC

2TH

C )X(X)R(R

)X(XR2E

X

P

+++

+=

0,50ER2

ER

E

IR

IE

IR

absorbidaPotencia

tilPotencia

THC

THC

TH

C

TH

2C

=

=

=

==

C

2TH

2C

C2TH

C

TH

R4

E

R4

REP

R2

EI

=

=

=

ZC= ZTH

+-~

I IRL

IC

C


34/313


En funcin de las cargas instaladas, y teniendo en cuenta que no todo funciona en formasimultnea, tendremos un factor de potencia medio de acuerdo al siguiente clculo:

Pm= Potencias activas parciales x Coeficiente de simultaneidad

Qm = Potencias reactivas parciales x Coeficiente de simultaneidad

Al adicionar un elemento reactivo, modificamos la potencia reactiva, de forma tal de llegaral valor deseado, y cuyo ngulo llamaremos R.

En el grfico de la figura 2.16, vemos el diagrama de potencias y como se modifica con elagregado de capacitores en paralelo.

Figura 2.16 Variacin de las potencias con el agregado de capacitores

Del grfico obtenemos:

QR = Qm- QC QC= QT - QR

Qm= Pmtg m

QR = Pmtg R

QC = Pm(tg m- tg R)

Como los capacitores se colocan en paralelo con las cargas:

[F]U.

)tg(tgPC

2Rmm =

m

mm

2m

2mm

P

Qtg

QPS

=

+=

2C

2

C

2

CU

QC

C1

U

X

UQ

=

==

Sm

QC

Qm

QR

Pm

SR

m

R


35/313


Desde el punto de vista de las corrientes, la corriente que alimenta el sistema se reducecon el agregado de los capacitores mencionados, siendo el esquema fasorial correspondiente el dela figura 2.17.

Figura 2.17 Diagrama fasorial resultante del agregado de capacitores en paralelo

Ejemplo N 1:En el circuito de la figura, hallar el balance de potencias en cada elemento.

ZRC= 5 - j 5 = 7,07 - 45 YRC = 1/ZRC= 0,1 + j 0,1 = 0,141 45 S

ZRL= 10 + j 10 = 14,14 45 YRL= 1/ZRL= 0,05 - j 0,05 = 0,0707 - 45 S

YBC=YRC+YRL= 0,1 + j 0,1 + 0,05 - j 0,05 = 0,15 + j 0,05 = 0,158 18,44 S

ZBC= 1/YBC = 1/0,158 18,44 = 6 - j 2 = 6,33 - 18,44

ZAC= 4 + 6 - j 2 = 10 - j 2 = 10,20 - 11,31

UBC= ZBC. I= 6,33 - 18,44. 9,80 11,31 = 62,03 - 7,13 V

IRC= UBC. YRC= 62, 03 - 7,13. 0,141 45 = 8,75 37,87 A

IRL = UBC. YRL= 62,03 - 7,13. 0,0707 - 45 = 4,39 - 52,13 A

=

== 11,319,80

11,31-10,20

0100

AC

AC

Z

UI

UI

IC

IRL

m

R

100 0 [V]

j 10

- j 5 10

5

4 A

C

B

I

IRC IRL+-


36/313


Potenciaactiva

Potenciareactiva

Clculo

ElementoW VAr ---

Resistor de 4 384,16 --- R. I2= 4. 9,802

Resistor de 10 192,72 --- R .I2RL= 10. 4,392

Resistor de 5 382,81 --- R. I2RC= 5. 8,752

Capacitor --- - 382,81 XC. I2

RC= 5. 8,752

Inductor --- 192,72 XL. I2

RL= 10. 4,392

Fuente - 960,97 192,19 S= - (U. I*)

Dado el sentido de la corriente asignado en la fuente la misma entrega potencia por lotanto en el clculo de la potencia le asignaremos signo negativo.

S = - U. I* = - (1000. 9, 80- 11,31) = - 960,97 + j 192,15

Del balance energtico surge que la suma de las potencias activas y la suma de laspotencias reactivas es prcticamente cero, lo que debe ocurrir, siendo su diferencia debido alredondeo en los clculos previos.

Ejemplo N 2: Setienen 3 cargas en paralelo de:

a) 3 kVA, cos = 0,70 capacitivo,b) 7 kVA, cos = 0,80 en atraso, y c) una resistencia de 2 en serie con una

reactancia de 6,37 mH.

Si se las alimenta con una fuente de 220 V - 50 Hz, determinar:

1. La potencia entregada por la fuente y el factor de potencia de la misma.2. El capacitor a colocar en paralelo para que la fuente trabaje con un factor de

potencia igual a 0,95 en atraso.3. El valor de la corriente en el generador en esta ltima situacin.

Carga a Pa = Sa. cos a = 3000 . 0,7 = 2100 W a= 45,57

Qa = Sa. sen a= 3000 . 0,714 = 2142 VAr (Capacitivo)

Carga b Pb = Sb. cos b= 7000. 0,80 = 5600 Wb= 36,87

Qb = Sb. sen b= 7000. 0,6 = 4200 VAr (Inductivo)

Carga c XL= L = 2 50. 6,37. 10-3= 2

ZC= 2 + j 2 = 2,83 45

A45-77,74452,83

0220C =

=I


37/313


Pc = R. I2C= 2. 77,742= 12.087 W

Qc = XL. I2C= 2. 77,74

2= 12.087 VAr (Inductivo)

Sc = U. I = 220. 77,74 = 17.103 VA

Potencia entregada por el generador

P = Pa + Pb + Pc = 2100 + 5600 + 12087 = 19787 W

Q = Qa + Qb + Qc = - 2142 + 4200 + 12087 = 14145 Var (Inductivo)

= 35,51 (En atraso)

Capacitor a colocar:

medio)potenciade(Factor0,81424323

19787

S

Pcos

VA243231414519787QPS 2222

===

=+=+=

A110,6220

24323

U

SI ===

F501220314

)18,19tg-35,51(tg19787C

U

)tgP(tgC

2

2R

=

=

=

A94,6718,19cos220

19787

cosU

PI

:capacitorelenconCorriente

RT =

=

=


38/313

POTENCIA EN SISTEMAS TRIFSICOS

SISTEMAS DE CORRIENTE ALTERNA TRIFASICOS

3.1 Introduccin

La generacin, transmisin y distribucin de energa elctrica se efecta a travs desistemas trifsicos de corriente alterna.

Las ventajas que se obtienen en los sistemas trifsicos con respecto a los monofsicosson:

Ahorro de materiales en equipos, lneas de transmisin y distribucin.

Generacin de campos magnticos rotantes (Principio de funcionamiento de losmotores)

Potencia instantnea constante.

3.2 Fuentes trifsicas

Un generador trifsico de tensin est compuesto por:

Una parte fija o estator, constituido por un paquete de chapas magnticas queconforman un cilindro con una serie de ranuras longitudinales, que en el caso queanalizaremos presenta la cantidad mnima que es de 6 ranuras.Sobre cada par de ranuras opuestas se colocan los lados de una bobina, cuyosprincipios y fin tienen la siguiente designacin:

Bobina 1: u - xBobina 2: v - yBobina 3: w - z

Las bobinas son constructivamente iguales, con el mismo nmero de espiras y conuna distribucin geomtrica tal que sus ejes magnticos forman un ngulo de 120 .

Una parte mvil o rotor, que est ubicada dentro del estator y que consiste de unelectroimn alimentado por corriente continua.El giro de dicho rotor se produce mediante una mquina impulsora (Motor diesel,turbina de vapor, de gas, hidrulica, elica) que mantiene una velocidad angularconstante.


39/313


La figura 3.1 muestra el corte perpendicular a eje de un generador elemental en el cual seha dibujado solo un par de ranuras por fase, y la forma de una de las espiras.

Figura 3.1 Generador de tensiones alternas trifsico

Dado que el electroimn produce un flujo [] de valor constante, las bobinas concatenarnun valor de flujo de acuerdo a la posicin instantnea del rotor.

Si tomamos la bobina u - x de N espiras (La cual en el esquema anterior estrepresentada por una sola espira por razones de simplicidad del dibujo), y llamamos al nguloentre el eje magntico del electroimn y el eje vertical, el flujo concatenado por la bobina para eseinstante es:

= sen

Dependiendo el ngulo de la velocidad angular del rotor y del tiempo transcurrido, o sea; = t,

con lo cual:= sen t

De acuerdo a la Ley de Faraday-Lenz, entre los terminales de las bobinas se inducir una

Esquema de

disposicin dela espira u-x

u

x

Rotor

EstatorLnea de

flujomagntico

u

x

w

y

v

z

S

NICC

Eje magnticode la bobina u-x

Eje magntico delelectroimn para laposicin del dibujo

Eje magnticode la bobina u-x

Eje magntico delelectroimn para ungiro del rotor en unngulo


40/313


fuerza electromotriz cuyo valor es:

eux= N d/dt = N cos t Siendo Emax= N

eux= Emaxsen t

Si analizamos la bobina v - y, vemos que el fenmeno se repite pero con un atraso de 120, debidoa la disposicin geomtrica de ambas, o sea que:

Lo mismo sucede con la bobinaw - z:

De esta manera se ha logrado tener un sistema de tres tensiones alternas desfasadas120 en el tiempo, una de otra.

Si no hay circulacin de corriente la fuerza electromotriz inducida y la tensin en bornes decada bobina son iguales. Esto no es as en el caso de que haya circulacin de corriente ,ya que latensin en bornes vara con el estado de carga, lo que nos conduce a representar cada bobinacomo una fuente de tensin alterna real, compuesta por una fuente ideal E y una impedancia enserie Zi, segn el dibujo de la figura 3.2.

Figura 3.2 Esquema de una fuente de tensin real

Ya que constructivamente las tres bobinas son iguales sus valores mximos tambin losern.

Para la posicin del rotor en el dibujo, el flujo concatenado en ese instante por la bobinau- x, vale cero y por lo tanto la fuerza electromotriz inducida tiene un valor mximo, que nos lleva aque los valores de las tensiones para ese instante sern:

Uux= U 90 Uvy= U 330 Uwz= U 210

En el diagrama de la figura 3.3, se pueden observar los diagramas de valores instantneosde las tres tensiones y el diagrama fasorial correspondiente para el instante t = 0.

)3

2-t(senEe maxVY

=

)

3

4-t(senEe maxWZ

=

U

E

Zi

+

-


41/313


Sistemas de tensiones trifsicas

t

Tensin

Figura 3.3 Valores instantneos de las tensiones y su correspondiente diagrama fasorial

3.3 Ahorro producido por el uso de un sistema trifsico con respecto a

tres sistemas monofsicos equivalentes

Analicemos el caso en el cual a cada una de las tensiones del generador estudiado lecolocamos una carga, representada por una impedancia. En este caso estaramos en la presenciade tres generadores monofsicos con sus correspondientes cargas, tal como se muestra en lafigura 3.4.

Figura 3.4 Esquema de alimentacin de un generador trifsico a tres cargas

uuxuvy

uwz

Uux

UvyUwz

+

-

+

-

+

-

UR

USUT

IR

IS

IT

IR

IT

IS

ZT ZS

ZR

+

++

--

-


42/313


Siendo:UR la tensin de salida de una de las fases del generador cuyo valor para

el instante analizado anteriormente es: U 90 [V]

US la tensin de salida de la segunda fase: U 330 [V]

UT la tensin de salida de la tercera fase: U 210 [V]

ZR, ZSy ZT las impedancias de carga []

IR, ISe ITlas corrientes que circulan por las cargas correspondientes

Teniendo en cuenta en un primer anlisis, que los conductores que unen el generador conlas impedancias de carga son ideales (Impedancia cero), las corrientes estarn dadas por:

R

RR

Z

UI =

S

SS

Z

UI =

T

TT

Z

UI =

Si en el esquema de la figura 3.4, unimos entre si tres terminales de las bobinas, yhacemos lo mismo con las tres impedancias tal como se observa en la figura 3.5, el esquema detensiones y corrientes no se modifica.

Figura 3.5 Esquema de alimentacin de un generador trifsico a tres cargasmodificacin a

De esta forma hemos creado un nodo en donde concurren las tres tensiones del generador

y otro al cual concurren las tres impedancias de carga, lo cual dibujado de otra manera el esquemaes el de la figura 3.6

+

-

+

-

+

-

UR

USUT

IR

IS

IT

IR

IT

IS

ZT ZS

ZR

+

++

--

-

I


43/313


Figura 3.6 Esquema de alimentacin de un generador trifsico a tres cargasmodificacin b

Del esquema anterior, tenemos que entre los nodos creados en el generador y en lacarga, hay tres conductores en paralelo, los cuales los podemos reemplazar por uno slo, por elcual circular la suma de las tres corrientes tal como se muestra en la figura 5.7.

Figura 3.7 Esquema de alimentacin de un generador trifsico a tres cargasmodificacin c

En el caso particular que las tres impedancias de carga sean iguales, o sea que:

IR

+

-

+

+

UR

USUT IS

IT

IT+ IS+ IT

ZT ZS

ZR

+

++

-


44/313


ZR= ZS= ZT= Z= Z

La suma de las corrientes que pasa por el conductor que une los nodos analizados ser:

Z

UUU

Z

U

Z

U

Z

UIII

TSRTSRTSR

++=++=++

0Z

0

Z

210U330U90UTSR =

=

++=++

III

Como vemos al ser las tres tensiones del generador del mismo mdulo, pero desfasadasentre si en 120 grados, su suma es igual a cero, lo cual nos lleva a que por el conductor analizadono circula corriente, por lo tanto en este caso particular se puede prescindir del mismo, lo cual nos

lleva a que con solo tres conductores podemos alimentar un sistema trifsico de impedancias (Lamitad de lo que necesitaramos con tres sistemas monofsicos equivalentes.En la prctica las tres impedancia no son exactamente iguales, pero se trata de lograr

dicho efecto, repartiendo la gran cantidad de usuarios en las distintas fases, en forma lo msequilibrada posible.

Esto hace que no se prescinda de dicho conductor, pero su seccin es menor que la de losotros tres, ya que la corriente que transporta es ms pequea que las otras.

3.4 Conexin en estrella y tringulo

Generador

Las tres bobinas pueden ser unidas formando una conexin en estrella en tringulo.Uniendo en un punto comn los tres principios o finales de las bobinas, obtenemos una

conexin estrella, llamando a este centro de estrella neutro y lo designaremos con la letraO.

Cada uno de los arrollamientos se llama fase del generador.Podemos entonces representar un generador trifsico en estrella como la unin en un

punto comn de tres generadores monofsicos cuyas tensiones estn desfasadas 120, segn seobserva en la figura 3.8.Los principios de los arrollamientos se conectan a la lnea de alimentacinde las cargas.

Figura 3.8 Esquema de tres generadores monofsicos conectados en estrella

En la conexin tringulo, los arrollamientos de fase se conectan en serie uniendo el

u

vw

+

+

+

-

-

-

x = y = zo


45/313


principio de uno con el final del otro, tal como se muestra en la figura 3.9.

Figura 3.9 Esquema de tres generadores monofsicos conectados en tringulo

El punto comn de los arrollamientos se conecta a las lneas de alimentacin.

Receptor

El receptor para este tipo de generador est compuesto por un sistema de tres cargas, quelas representamos por sus impedancias equivalentes que son las fase del receptor, las cuales sepueden unir de forma tal de quedar conectadas en conexin estrella tringulo.

Identificaremos al punto comn de las cargas conectadas en estrella con la letra O.La forma de conexin del generador y del receptor son independientes, por lo que se

puede utilizar cualquier variante.La unin entre el generador y el receptor se efecta con conductores que llamaremos

Lneas.Si el generador y el receptor estn conectados en estrella, el conductor que une ambos

centros de estrella se llama neutro.

3.5 Tensiones y corrientes. Definicin.

Las tensiones en las fases del generador y del receptor las llamaremos tensiones de fase(UF), y sus corrientes, corrientes de fase(IF).

Las tensiones entre lneas, se llaman tensiones de lnea (UL) y las corrientes por ellassern corrientes de lnea(IL), siendo la tensin entre una lnea y el neutro la tensin de fase.

Por lo tanto en una conexin estrella, las tensiones de fase y las de lnea son distintas, encambio las corrientes de fase y las de lnea son iguales, como se muestra en la figura 3.10.

En una conexin tringulo, las tensiones de fase y de lnea son iguales y las corrientes defase y de lnea son distintas, segn se ve en la figura 3.11.

u = y

v = z

+

-

-

w = x

+

-

+


46/313


Figura 3.10 Tensiones y corrientes en conexin estrella en el receptor

Figura 3.11 Tensiones y corrientes en conexin tringulo en el receptor

O

UFASE GEN

INEUTRO

IFASE CARGA

ILINEA

UFASE CARGA

UFASE

ULINEA

ULINEA GEN ULINEA CARGA

IFASE GEN

O

GENERADOR CARGA

O

UFASE GEN

IFASE CARGA

ILINEA

ULINEA

ULINEA GEN

UFASE CARGA

IFASE GEN

GENERADOR CARGA


47/313


3.5 Denominacin de las redes

Los conductores alimentadores en las redes trifsicas, se los designa con las siguientesletras:

R - S - T para los conductores de fase y O para el conductor neutro.

De acuerdo a esta denominacin tendremos:

URO - USO - UTO Tensiones de fase del generador

URO - USO- UTO Tensiones de fase del receptor carga

UOO Tensin entre el centro de estrella del generador y elcentro de estrella de la carga o tensin de corrimientode neutro.

URS - UTR- UST Tensiones de lnea.

IR- IS- IT Corrientes de lnea

IO Corriente de neutro

3.7 Generador perfecto

El generador que hemos analizado produce en cada fase una fuerza electromotrizsenoidal, de igual mdulo y desfasadas entre si 120 en el tiempo, cumplindose adems que lasuma de las mismas es igual a cero en cualquier instante. El generador que cumple estas

caractersticas se lo llama generador perfecto.

3.8 Secuencia

Hemos representado los diagramas fasoriales de tensiones girando en sentido antihorario.El orden en el cual aparecen los fasores se llama secuencia, siendo positiva o directa(derecha), cuando el orden de aparicin de los fasores es: URO - USO- UTO (R - S -T).Si en cambio los fasores se suceden en el orden : URO UTO USO(R - T - S) la secuencia se llamanegativa inversa. En los diagramas de la figura 3.12 se muestran ambos casos.

Figura 3.12 Secuencias

URO

USOUTO

O

URO

UTOUSO

O

Secuenciaositiva

Secuencianegativa


48/313


Podemos pasar de una secuencia a otra, mediante la transposicin de dos fasescualesquiera y de acuerdo al esquema de la figura 3.13.

Figura 3.13 Cambios en las secuencias

3.9 Relacin entre tensiones de sistemas perfectos

Sea el esquema equivalente de un generador de tensiones trifsicas como el de la figura3.14, en el cual se indican las tensiones de fase y de lnea con su sentido de acuerdo a laconvencin vista.

Figura 3.14 Esquema equivalente de un generador de tensiones trifsico

Si tomamos la tensin de lnea URSy hacemos una circulacin en la malla que contiene aURO y USO, de acuerdo a la segunda Ley de Kirchhoff:

USO- URO+ URS= 0 URS= URO- USO

Como: URO= UF90 USO= UF330

Nos queda: URS = UF 90 - UF330

=+=+= 120U31,50)j0,866(UU2

1jU2

3Uj FFFFFRSU

R

S

T

S

R

T

S

T

R

Secuenciapositiva

Secuenciapositiva

Secuencianegativa

R

T

S

URO

USO

UTO

URS

O


49/313


Anlogamente para las otras tensiones de lnea nos queda:

De aqu podemos observar que el mdulo de las tensiones de lnea y las de fase, cuandoel sistema es perfecto, se relacionan por:

3.10 Receptor conectado en estrella

Receptor equilibrado con conductor neutro

En la figura 3.15 se ha esquematizado un generador y un conjunto de cargas trifsico

Figura 3.15 Generador trifsico alimentando un conjunto de cargasconectadas en estrella

En este caso las impedancias de carga son iguales, y para nuestro anlisis supondremoslas mismas de caractersticas hmico inductivas.

ZR= ZS= ZT= Z = Z

Dada la unin de los centros de estrella del generador y del receptor, las tensiones deambos son iguales.

URO= URO USO = USO UTO = UTO

==

==

0U3

240U3

FTOSOST

FROTOTR

UUU

UUU

FL U3U =

R R ZRIR

S S ZSIS

T T ZTIT

IO

O O

O O

URO URO

USO

UTO

USO

UTO


50/313


Las corrientes sern:

Las corrientes tienen igual mdulo y desfasadas 120 una de la otra y atrasadas un ngulo

respecto de sus tensiones de fase respectivas, siendo el fasorial correspondiente similar al dela figura 3.16.

Figura 3.16 Diagrama fasorial para un sistema de cargas hmico - inductivas

En O se cumple: IR+ IS+ IT + IO = 0

Luego: IO= 0

De aqu surge que en el caso de tener carga equilibrada, la corriente por el conductorneutro es cero, lo cual lleva a que se pueda prescindir del mismo.

Analicemos las ventajas que tienen las redes trifsicas sobre las monofsicas:

-90Z

UZ90U FF

R

RO

R

ROR =

===

Z

U

Z

UI

-330Z

U

Z

330U FF

S

SO

S

SOS =

===

Z

U

Z

UI

-210Z

U

Z

210U FF

T

TO

T

TOT =

===

Z

U

Z

UI

0)( TOSORO

TSR =++

=++Z

UUUIII

URO= URO

USO= USOUTO= UTO

URS

UST

UTR

O = O

IR

IS

IT


51/313


Para transmitir la misma potencia que tres sistemas monofsicos, se reduce lacantidad de conductores de 6 a 4 (Eventualmente 3), lo cual ya habamos analizado.

Hasta ahora habamos adoptado que los conductores eran ideales, o sea sinimpedancia, pero en realidad esta hace que la corriente que circula por los mismosproduzcan una cada de tensin, lo cual nos lleva a que la tensin en la fuente y en lacarga sean distintas.Esta diferencia de tensiones tiene un valor mximo que est normalizado (5% para elcaso de fuerza motriz), cuyo valor no debe ser excedido y en funcin de eso surge laseccin mnima de los conductores a utilizar,Para el clculo de la cada de tensin en un sistema monofsico, debemos tener encuenta que la distancia entre el generador y la carga se toma dos veces, de acuerdoa lo esquematizado en le figura 3.17.

Figura 3.17 Alimentacin de un carga monofsica

La diferencia de tensin entre el generador y la carga se llama cada de tensin, la cualtiene el siguiente valor (Despreciando la reactancia del conductor):

Donde: U = Tensin en bornes del generador - Tensin sobre la carga

R: Resistencia hnmica del conductor alimentador []

: Resistividad del material del conductor (Cobre, Aluminio)[.mm2/m]

S: Seccin del conductor en mm2

L: Distancia entre el generador y la carga en m

: Angulo de desfasaje de la carga

En cambio en un sistema trifsico equilibrado por el conductor neutro no circula corriente,con lo que la cada de tensin se produce solo en la fase, lo que hace que la cada de tensin seala mitad que en el caso de un sistema monofsico.

Si mantenemos la misma cada de tensin en ambos casos, los conductores de unsistema trifsico podrn tener la mitad de la seccin, con el consiguiente ahorro de los mismos.

En la prctica existe un pequeo desequilibrio de las cargas lo que hace que por el neutrocircule una corriente, la cual es pequea y no invalida el anlisis anterior.

cosS

IL2U

S

L2RcosIRU ===

I

UGEN UCARGA

L

GENERADOR CARGA

Conductor

Conductor


52/313


Receptor desequilibrado con neutro

Al tener el neutro conectado los centros de estrella de la carga y del generador son

coincidentes lo que hace que tambin lo sean las tensiones. Las corrientes sern entonces:

IO= - (IR+ IS+ IT)

El diagrama fasorial correspondiente es el de la figura 3.18.

3.18 Diagrama fasorial para un sistema de cargas desequilibrado

RR

F

RR

F

R

RO

R

ROR -90

Z

U

Z

90U

=

===

Z

U

Z

UI

SS

F

SS

F

S

SO

S

SOS -330

Z

U

Z

330U

=

===

Z

U

Z

UI

TT

F

TT

F

T

TO

T

TOT -210

Z

U

Z

210U

=

===

Z

U

Z

UI

URO= URO

USO= USOUTO= UTO

URS

UST

UTR

O = O

IR

IS

IT

R

T

SIO


53/313


Receptor desequilibrado sin neutro

En la figura 3.19, est esquematizado un sistema de cargas trifsico desequilibrado sin la

unin entre los centros de estrella del generador y la carga

Figura 3.19 Alimentacin de un sistema de cargas desequilibrado sin neutro

Al no estar conectado el conductor neutro, las tensiones sobre la carga debern ser talesque se cumpla:

IR+IS+IT= 0

Si hacemos un recorrido en el sentido horario en las tres mallas que se forman, teniendo larama del neutro en comn, se cumple:

-URO +URO +UOO = 0 URO = URO-UOO

-USO +USO+UOO = 0 USO= USO- UOO

-UTO +UTO+UOO = 0 UTO = UTO-UOO

Las corrientes sobre la carga son:

T

TTTO

T

TOT

SSSSO

S

SOS

RRRRO

R

ROR

1

1

1

Z

YYU

Z

UI

ZYYU

Z

UI

ZYYU

Z

UI

===

===

===

R R ZRIR

S S ZSIS

T T ZTIT

UOO

O O

O O

URO URO

USO

UTO

USO

UTO


54/313


Reemplazando:

IR = (U

RO-U

OO).Y

RIS = (U

SO-U

OO).Y

S I

T= (U

TO-U

OO) .Y

T

Sumando las tres corrientes e igualando a cero:

(URO- UOO).YR+ (USO- UOO).YS+ (UTO- UOO).YT = 0

Sacando factor comn:

URO.YR+ USO.YS+ UTO.YT - UOO(YR+YS+YT) = 0

Esta es la diferencia de potencial entre los centros de estrella del generador y el receptor,con la cual podemos calcular las tensiones sobre cada carga y consecuentemente sus corrientesrespectivas. El diagrama fasorial de un sistema trifilar con cargas desequilibradas es el de la figura3.20.

Figura 3.20 Diagrama fasorial de un sistema desequilibrado sin neutro

TSR

TTOSSORROOO

YYY

YUYUYUU

++

++=

URO

USOUTO

URS

UST

UTR

O

URO

USO

UTO

UOOO


55/313


3.11 Receptor conectado en tringulo

Receptor equilibrado

La figura 3.21 nos muestra un sistema trifsico de cargas equilibradas conectadas entringulo:

Figura 3.21 Diagrama de cargas equilibradas conectadas en tringulo

En este caso las impedancias de carga son iguales o sea:

ZRS= ZST= ZTR= Z = Z

Las tensiones de fase sobre las impedancias concuerdan con las tensiones de lnea, debido altipo de conexin de las mismas. El diagrama fasorial de tensiones se muestra en la figura 5.22.

Figura 3.22: Diagrama fasorial de tensiones en una carga en tringulo

Por lo tanto las corrientes en cada fase sern, en concordancia con el diagrama fasorial dela figura 3.22:

URS= UL120

UTR= UL240

UST= UL0

URS

UST

UTR

R

ST

O

R R ZR

IR

S S ZS

IS

T T ZT

IT

ITR

URSIRS

UST

UTR IST


56/313


Las corrientes de lnea surgen de aplicar la primera ley de Kirchhoff en cada nodo:

IR= IRS- ITR IS= IST- IRS IT= ITR- IST

Dado que las corrientes de fase son iguales en mdulo y desfasadas entre s 120, larelacin entre estas y las corrientes de lnea en lo que a mdulo se refiere est dado por:

Receptor desequilibrado

En este caso las impedancias de la carga son distintas, siendo el procedimiento para hallar elvalor de las corrientes similar al caso equilibrado, ya que las tensiones de fase de la carga y las delnea son coincidentes.

ZRS= Z RSRS ZST= ZSTST ZTR= ZTRTR

Las corrientes de lnea se obtienen haciendo la sumatoria de corrientes en cada nodo:

IR= IRS- ITR IS= IST- IRS IT= ITR- IST

-240Z

U

Z

240U

-0Z

U

Z

0U

-120

Z

U

Z

120U

LL

TR

TRTR

LL

ST

STST

LL

RS

RSRS

=

==

=

==

=

==

Z

UI

Z

UI

Z

UI

-120Z

U

Z

120URS

RS

L

RSRS

L

RS

RSRS

=

==

Z

UI

STST

L

STST

L

ST

STST -0

Z

U

Z

0U

=

==Z

UI

-240Z

U

Z

240UTR

TR

L

TRRS

L

TR

TRTR

=

==

Z

UI

FL I3I =


57/313


3.12 Potencia en sistemas trifsicos

La potencia total en un sistema polifsico se obtiene como la suma de las potencias de

cada una de las fases, teniendo en cuenta la caracterstica de las mismas.

3.12.1 Receptor en estrella

Sea un sistema de cargas conectadas en estrella como se muestra en la figura 6.1.

Figura 3.23 Sistema de cargas conectadas en estrella

La potencia activa de un sistema trifsico, es la suma de las potencias activas en cadafase:

PTRIF= PR+ PS+ PT

PTRIF= UROIRcos R+ USOIScos S+ UTOITcos T

La potencia reactiva de un sistema trifsico, es la suma de las potencias reactivas de cadafase, teniendo en cuenta el origen de las mismas y llevando el signo de acuerdo a la convencinadoptada.

QTRIF = QR+ QS+ QT

QTRIF= UROIRsen R+ USOISsen S+ UTOITsen T

La potencia aparente estar dada por:

En el caso particular de que el receptor sea equilibrado, se cumple:

URO= USO= UTO= UF

IR= IS = IT = IL

2TRIF.

2TRIF.TRIF.TRIF.TRIFTRIF. QPSQjPS +==

R

S

T

URO

USO

UTO

IR

IS

IT

O

ZR

ZS

ZT


58/313


R= S= T

Con lo cual nos queda:

3.13 Receptor en tringulo

En la figura 3.24 se observa un sistema de cargas conectadas en tringulo.

Figura 3.24 Sistema de cargas conectadas en tringulo

En forma anloga que en la conexin estrella:

PTRIF= URSIRScos RS+ USTISTcos ST+ UTRITRcos TR

QTRIF=URSIRSsen RS+ USTISTsen ST+ UTRITRsen TR

En el caso de tener el receptor equilibrado:

URS= UST= UTR= UF

fase)decorrientelaconcoincidelneadecorriente(LaIIU3U FLFL ==

LLFFTRIF

LLFFTRIF.

LLFFTRIF.

IU3IU3.S

senIU3senIU3Q

cosIU3cosIU3

==

==

==

P

2TRIF.

2TRIF.TRIF.TRIF.TRIFTRIF. QPSQjPS +==

R

S

T

URS

UST

UTR

IRS

IST

ITR

IR

IS

IT

ZRS

ZST

ZTR


59/313


IRS= IST = ITR = IF

RS= ST= TR

Luego nos queda:

3.14 Potencia trifsica instantnea

Si el sistema generador y receptor es equilibrado, las tensiones de fase son iguales con undesfasaje de 120 elctricos, lo mismo que las corrientes, por lo tanto la potencia instantnea encada fase ser:

pR= uRO iR= 2 UROIRsen t sen (t - )

pS= uSO iS= 2 USOISsen (t - 120) sen (t - 120 - )

pT= uTO iT = 2 UTOITsen (t - 240) sen (t - 240 - )

Sumando las potencias instantneas de cada fase y haciendo los cambios trigonomtricoscorrespondientes nos queda:

p = pR+ pS+ pT

p = [UFIFcos - UFIF cos 2t cos - UFIFsen 2t sen ] +

[UFIFcos - UF IFcos (2t - 120) cos - UFIFsen (2t - 120) sen ] +

[UFIFcos - UFIFcos (2t + 120) cos - UFIFsen (2t + 120) sen ]

Los segundos y tercer trminos de cada corchete tienen un valor cero al sumarlos, con loque la potencia instantnea en un sistema trifsico equilibrado es constante y su valor es:

p = 3 UFIFcos

3.15 Mejoramiento del factor de potencia en redes trifsicas

En toda instalacin elctrica industrial de caracterstica hmica inductiva, el factor depotencia puede ser mejorado, mediante la instalacin de capacitores en el sistema.

La ubicacin de los mismos deber ser analizada en cada caso en particular, en funcin dela operacin de las distintas mquinas elctricas que conforman la instalacin

Dado que la conexin de los mismos puede realizarse agrupndolos en forma estrella tringulo, el valor de los mismos ser diferente.Analicemos una carga a la cual necesitamos compensar su potencia reactiva, de acuerdo

FLFL I3I)fasedetensinlaconcoincidelneadetensin(LaUU ==

LLFFTRIF

LLFFTRIF.

LLFFTRIF.

IU3IU3.S

senIU3senIU3Q

cosIU3cosIU3P

==

==

==


60/313


al esquema de la figura 3.25.

Figura 3.25 Esquema de conexin para efectuar compensacin de potencia reactiva

Si la potencia reactiva a compensar es QL(Trifsica), en cada fase habr que colocar uncapacitor que compense la tercera parte de dicha potencia, con lo que la formula genrica estardada de forma anloga que en el anlisis que hiciramos para cargas monofsicas:

Siendo la tensin de fase que aparece en la expresin la tensin aplicada a cada capacitor.El valor de la capacidad obtenida es el que se debe colocar en cada una de las fases.

Capacitores conectados en estrella

En este caso la tensin que reciben los capacitores, es la tensin de fase del sistema.

Capacitores conectados en tringulo

En este caso: UL= UFpor lo que nos queda:

La relacin de capacidades de adoptar una forma de conexin u otra est dada por:

2F

Rm

U3

)tg-(tgPC

=

2L

Rm

U

)tg-(tgPC

=

2L

Rm

U3

)tg-(tgPC

=

:valorsiguienteeltendrfasecadaporcolocaracapacitorelluego

,U3U:pordadaesttensionesderelacinlao,equilibradessistemaelqueDado FL =

3

1

C

C

ESTRELLA

TRIANGULO =

Capacitores acolocar

Carga acompensar

R

S

T

Red de

suministroelctrico


61/313


O sea que conectando los capacitores en tringulo, la capacidad de los mismos es tresveces menor que conectndolos en estrella. Se deber tener en cuenta que en tringulo la tensinque deben soportar los mismos es 1,73 veces mayor que en estrella, pero la corriente es 1,73veces menor.

3.16 Medicin de potencia activa en sistemas trifsicos

En todo sistema trifsico podemos medir la potencia activa total mediante el empleo de unvatmetro en cada fase, midiendo la correspondiente tensin y corriente de fase. El esquema es elde la figura 3.26.

Figura 3.26 Medicin de potencia en un sistema trifsico con tres vatmetros

Las tres bobinas voltimtricas de los vatmetros, se unen a un punto comn, que es elcentro de estrella del receptor O.

PTRIF= W1+ W2+ W3

W1= UROIRcos R= UROIR (Producto escalar de 2 vectores)

W2= USOIScos S= USOIS

W3= UTOITcos T= UTOIT

PTRIF = URO IR+ USO IS+ UTO IT

Si al punto comn de las bobinas voltimtricas de los vatmetros, lo conectamos a un puntoficticio que denominaremos O, de acuerdo al e esquema de la figura 3.27.

R

S

T

URO

USO

UTO

IR

IS

IT

O

ZR

ZS

ZT

W1

W2

W3

R

UROIR

W


62/313


Figura 3.27 Medicin de potencia en un sistema trifsico con tres vatmetros con su bobina

voltimtrica conectada a un punto comn O

W1= URO IR

W2= USO IS

W3= UTO IT

El diagrama fasorial para ambas situaciones es el de la figura 3.28

Figura 3.28 Diagrama fasorial de tensiones

Del diagrama fasorial se obtiene:

URO = UOO +URO

USO = UOO +USO

UTO = UOO +UTO

Reemplazando la indicacin de los vatmetros ser:W1= UOOIR+UROIR

URO

USOUTO

URO

USOUTO

UOO

UOO

URO

USO

UTO

OO

O


63/313


W2= UOOIS+USOIS

W3= UOOIT+UTOIT

Si sumamos las indicaciones de los vatmetros queda:

W1+ W2+ W3= UOOIR+UROIR+UOOIS+USO IS+UOOIT+UTO IT

Sacando factor comn :

W1+ W2+ W3 = UROIR+USO IS+UTO IT+UO O( IR+IS+IT)

Ya que el sistema analizado no tiene conductor neutro, la suma de las corrientes en elnodo Ovale cero, con lo que nos queda:

W1+ W2+ W3 = UROIR+USO IS+UTO IT

Se observa que la suma algebraica de las indicaciones de los vatmetros es la potenciatrifsica del sistema, no dependiendo donde se conecta el punto comn de las bobinasvoltimtricas de los vatmetros.

Ahora bien, si el punto comn lo elegimos de forma tal que sea, por ejemplo una de lasfases, la bobina voltimtrica del vatmetro correspondiente tendr una tensin nula y no darindicacin, lo cual nos permite medir la potencia trifsica del conjunto con dos vatmetros, ya que loanalizado sigue teniendo validez.

El esquema es el que se presenta en la figura 3.29.

Figura 3.29 Medicin de potencia en un sistema trifsico con tres vatmetroscon el punto comn de la bobina voltimtrica sobre una fase

En esta situacin los vatmetros W 1y W2, tienen aplicadas las correspondientes corrientesy tensiones de lnea, no dependiendo de la forma en que estn conectadas las cargas.

Este forma de medir potencia en sistemas trifsicos en los cuales se utiliza (n - 1)vatmetros, se lo conoce por el Mtodo de Arn,siendo n el nmero de conductores del sistema(cuatro para sistemas con neutro y tres para sistemas con neutro aislado) .

La potencia del sistema trifsico es la suma algebraica de las indicaciones de los

vatmetros.

3.17 Receptor equilibrado

R

S

T

URO

USO

UTO

IR

IS

IT

O

ZR

ZS

ZT

W1

W2

W3


64/313


Potencia activa

Cuando el receptor esta equilibrado se cumple:

ZR= ZS= ZT= Z R= S= T= IR= IS= IT

Si efectuamos la medicin de potencia mediante dos vatmetros conectados de la formaesquematizada en la figura 3.30.

Figura 3.30 Medicin de potencia trifsica mediante dos vatmetros

El diagrama fasorial para un receptor de caractersticas hmico-inductivas, y secuenciadirecta es el de la figura 3.31.

Figura 3.31 Diagrama fasorial para una carga equilibradaEn este caso en el cual la secuencia es positiva se cumple:

R

S

T

IR

IS

IT

O

ZR

ZS

ZT

WRT

WST

UTO

30

RT

ST

30

URO

USO

URT

UST

Paralela a URT

Paralela a USO

IR

IS

O


65/313


RT= - 30

ST= + 30

En el caso de tener secuencia negativa el diagrama fasorial correspondiente es el de lafigura 3.32.

Figura 3.32 Diagrama fasorial para cargas equilibradas con secuencia negativa

En este caso se cumple que:

RT= + 30 ST= - 30

La expresin que nos da la potencia activa trifsica es:

PTRIF= URTIRcos RT+ USTIScos ST

PTRIF= URTIRcos (- 30) + USTIScos ( + 30) Para secuencia positiva

PTRIF= URTIRcos (+ 30) + USTIScos ( - 30) Para secuencia negativa

Graficaremos las indicaciones WRTy WST, para distintos tipos de cargas, variables entre,capacitivas puras, hmico-capacitivas, hmico puro, hmico-inductivo, e inductivo puro, de acuerdoa las siguientes expresiones:

WRT= ULILcos RT= K cos (- 30) Secuencia positiva

WST= ULILcos ST= K cos (+ 30) Secuencia positiva

WRT= ULILcos RT= K cos (+ 30) Secuencia negativa

WST= ULILcos ST= K cos (- 30) Secuencia negativa

En el grfico que se encuentra a continuacin se han dibujado las curvas, con lasindicaciones de los vatmetros, tomando los valores referidos a una constante K = 1.

30

RT

ST

30

URO

USO

URT

UST

Paralela a URO

Paralela a UST

IR

IS

O

UTO


66/313

POTENCIAENSIST

EMASTRIFSICOS

Ing.Juliolvarez12/09

66

Indicacindelosvatmetrosde

acuerdoalngulodelaimpedan

ciadecarga

-0,50

0,51

-90

-60

-30

0

30

60

90

Grados

Indicacinunitariadelosvatmetros

WRTParasecuenciapositiva

WSTParasecuencianegativa

WSTP

arasecuenciapositiva

WRTParasecuencianegativa

Cargahmico-inductiva

Cargahmico-

capacitiva


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SISTEMAS DE CORRIENTE ALTERNA TRIFSICOS

Del mismo podemos observar:

Si = 0 , receptor hmico puro, ambos vatmetros tienen igual indicacin y de valorpositivo.

Cuando vara entre 60 y 90, uno de los ngulos (RT ST) vara entre 90 y 120,lo cual hace que la indicacin de uno de los vatmetros se haga negativa (Se deberestar para obtener la potencia trifsica).

Cuando el receptor es de caractersticas hmico-inductivas, siempre es mayor lalectura del vatmetro conectado a la fase que sigue a la fase comn, cuando lasecuencia es positiva y menor cuando es negativa.

Cuando el receptor es de caractersticas hmico-capacitivas, es mayor la lectura delvatmetro conectado a la fase que precede a la fase comn, cuando la secuencia espositiva y menor cuando es negativa.

Cuando el receptor es de caractersticas inductivas capacitivas puras (90), losvatmetros tienen igual indicacin pero con el signo cambiado (PTRIF= 0).

En base a este anlisis podemos determinar la secuencia de una red de acuerdo a laindicacin de los vatmetros, ya que se debe cumplir:

Con carga hmico-inductiva: WRT>WST Secuencia positiva

WRT


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Figura 3.33. Esquema para medicin de potencia reactiva

El vatmetro mide la corriente de una de las fases y la tensin entre las dos restantes, conlo cual su indicacin es la siguiente:

W = USTIRcos (ngulo comprendido entre la tensin USTy la corriente IR)

De acuerdo al diagrama fasorial de la figura 3.34, el ngulo buscado es el siguiente:

Figura 3.34. Diagrama fasorial, para cargas equilibradas

De acuerdo al diagrama el ngulo buscado es igual a (90 - ), con lo que la indicacin ser:

W = ULILcos (90 - ) = ULILsen

Dicha indicacin multiplicada por raz de tres nos da la potencia reactiva del conjunto.

R

S

T

IR

IS

IT

O

ZR

ZS

ZT

W

URO

USO UST

Paralela a UST

IR

O

UTO

Angulo buscado


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Ejercicio N 1: Para el circuito de la figura calcular para secuencia directa y una tensin dealimentacin de 3 x 380 V - 50 Hz :

La tensin de corrimiento de neutro. Las corrientes de lnea. La indicacin de los vatmetros. La potencia activa y reactiva trifsica. Dibujar en escala el diagrama fasorial.

a) YR= 1/ZR= 1/3890 = 0,0263 - 90 [S]

YS= 1/ZS= 1/38- 90 = 0,0263 90 [S]

YT= 1/ZT= 1/220 = 0,04550 [S]

b) IR= URO. YR= URO. YR= 22090 . 0,0263- 90 = 5,790 [A]

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