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:Definicin[editar]La definicin de funcin analtica es idntica para los casos real y complejo:

Una funcin real (compleja) f es analtica en un punto x0 de su dominio si existe una serie de potencias centrada en x0:

\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\ldots\,,

que converge en un entorno U R (U C) de x0 y que coincide con la funcin en dicho entorno:

f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\text{ , para cada } x\in U

De esta definicin se puede demostrar la siguiente caracterizacin alternativa

Una funcin analtica en x0 es infinitamente derivable en un cierto entorno U de dicho punto, en el que adems su serie de Taylor:

\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\,,

converge (y coincide con f).

Una funcin se dice analtica en un conjunto U si es analtica en cada punto de U. El conjunto de todas las funciones analticas en un cierto abierto U se denota por C(U).

Varias variables[editar]La definicin de funcin analtica puede extenderse para funciones (reales o complejas) de varias variables (definidas en Rn o Cn), sin ms que considerar series de potencias de varias variables:

\sum_{i_1\ldots i_n=0}^\infty a_{i_1\ldots i_n}\prod_{k=1}^n(x_k-c_k)^{i_k}=a_{0\ldots0}+a_{1\ldots0}(x_1-c_1)+\ldots+a_{0\ldots1}(x_n-c_n)+a_{2\ldots0}(x_1-c_1)^2+a_{11\ldots0}(x_1-c_1)(x_2-c_2)+\ldots

Funciones holomorfas[editar]Artculo principal: Funcin holomorfaEn el caso de las funciones complejas analticas, existe un teorema que las caracteriza de manera mucho ms sencilla, y que constituye uno de los rasgos fundamentales del anlisis complejo:

Una funcin compleja f : D C C derivable en un abierto U, es analtica en U.

Un teorema similar se aplica en el caso de funciones complejas de varias variables que sean diferenciables:

Una funcin compleja f : D Cn C diferenciable en un abierto U es analtica en U.

Funciones suaves no analticas[editar]En variable real pueden encontrarse funciones suaves que no son analticas. Un ejemplo de ello es la funcin:

f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{-1/x^2}\text{ , si }x\neq0\\0\text{ , si }x=0\end{array}\right.

Esta funcin es infinitamente derivable para cualquier x R, y en particular todas sus derivadas en 0 son nulas: f(n)(0) = 0. Por tanto, su serie de Taylor alrededor de 0 es identicamente nula, y en ningn entorno de dicho punto coinciden la funcin y la serie de Taylor.

Referencias[editar]Krantz, Steven; Parks, Harold (1992). A primer of real analytic functions (en ingls). Birkhuser Verlag. ISBN 3-7643-2768-5. Captulo 1.Scheidemann, Volker (2005). Introduction to complex analysis in several variables (en ingls). Birkhuser Verlag. ISBN 3-7643-7490-X. Captulo 1.Enlaces externos[editar]Weisstein, Eric W. Analytic Function. En Weisstein, Eric W. MathWorld (en ingls). Wolfram Research.Weisstein, Eric W. Real Analytic Function. En Weisstein, Eric W. MathWorld (en ingls). Wolfram Research.CategoFunciones Complejas

La primera definicin que haremos es la de una funcin compleja; de hecho se define de la misma manera que una funcin real.

Definicin 1 (Funcin Compleja) Si para cualquier valor de z en un dominio $G\subset C$, le corresponde un nico valor complejo w, entonces el mapeo $ {\cal F} :z\rightarrow w$ es una funcin definida en el dominio G.Definicin 2 (Lmite de una funcin) Una funcin $ {\cal F} (z)$ tiene un lmite A cuando $z\rightarrow a$ \begin{displaymath}\lim_{z\rightarrow a} {\cal F} (z) = A\end{displaymath}

si y solo si se cumple lo siguiente: Para cualquier $\varepsilon >0$ existe un $\delta >0$ tal que si \begin{displaymath}0 < \vert z-a\vert < \delta\end{displaymath}

entonces \begin{displaymath}\vert {\cal F} (z) - A\vert < \varepsilon\end{displaymath}

La continuidad en funciones complejas es similar a la continuidad de las funciones reales:

Definicin 3 (Continuidad) Una funcin $w = {\cal F} (z)$ es continua en el punto z si, para cualquier $\epsilon >0$ existe un un $\delta >0$ tal que: \begin{displaymath}\vert {\cal F} (z+\Delta z) - {\cal F} (z) \vert < \epsilon \......x siempre\;\; que}\hspace{.2in}\vert\Delta z\vert < \delta\end{displaymath}

Definicin 4 (Continuidad Uniforme) Se dice que una funcin $ {\cal F} (z)$ es uniformemente continua en un conjunto G si a cualquier $\varepsilon$ le corresponde un $\delta$ tal que para dos puntos cualesquiera $z,w \in G$ tales que $\vert w-z\vert < \delta$ tenemos \begin{displaymath}\vert {\cal F} (w) - {\cal F} (z)\vert < \varepsilon\end{displaymath}

Si $ {\cal F} (z)$ es continua en un conjunto cerrado y acotado entonces es uniformemente continua.

Definicin 5 (Funcin Holomorfa) Si una funcin es uniforme y continua, y pose una derivada definida y continua en cualquier punto, entonces se dice que es holomorfa en el punto.Definicin 6 (Funcin diferenciable) Sea la funcin $ {\cal F} (z)$ definida en una vecindad del punto z. Si el cociente de la diferencia \begin{displaymath}\frac{\Delta {\cal F} }{\Delta z} = \frac{ {\cal F} (z+\Delta z) - {\cal F} (z)}{\Delta z}\end{displaymath}

tiende a un lmite finito A siempre que $\Delta z$ tiende a cero, entonces el nmero de A es llamada la derivada de F en el punto z y se denota como: \begin{displaymath}{\cal F} '(z) = A = \lim_{\Delta z\rightarrow 0} \frac{\Delta {\cal F} }{\Delta z}\end{displaymath}

Definicin 7 (Funcin Analtica) Una funcin $ {\cal F} (z)$ de una variable compleja z es analtica en z=a si tiene una expansin como serie de potencias \begin{displaymath}{\cal F} (z) = \sum_{r=0}^{\infty} c_r(z-a)^r\end{displaymath}

con coeficientes constantes $c_1, c_2, \ldots $, que converge absoluta y uniformemente en algn crculo |z-a|0.Otro punto de vista de una funcin analtica es respecto a la diferenciabilidad.

Definicin 8 (Funcin Analtica) Decimos que una funcin $ {\cal F} $ es analtica en una regin $G\subset C$ si es diferenciable en cada punto de la regin.De hecho una funcin \( {\cal F} (z)=u(x,y) + iv(x,y)\) es analtica en un dominio G si las funciones u(x,y) y v(x,y) son diferenciables en G y cumplen las ecuaciones de direfenciabilidad de Cauchy-Riemann1.1:

\begin{eqnarray*}\frac{du}{dx} & = & \frac{dv}{dy} \\\frac{du}{dy} & = & -\frac{dv}{dx}\end{eqnarray*}

Si $ {\cal F} (z)$ es analtica y diferente de cero en cualquier punto, en cualquier regin, o en el plano completo, as lo es $\frac {1}{ {\cal F} (z)}$.ras: Anlisis matemticoTipos de funciones