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El baco

El baco es un instrumento que sirve para facilitar al alumno el aprendizaje delconcepto de sistema posicional de numeracin (en cualquier base), cmo se forman las

distintas unidades que lo conforman, as como para ayudar a comprender lasoperaciones de nmeros naturales (suma, resta, multiplicacin y divisin) y ayudar aafianzar su clculo. Tambin nos va a permitir profundizar en los conceptos declasificacin y ordenacin. Por ltimo podemos desarrollar pequeas investigacionesacerca de la forma de los nmeros y utilizarlo como apoyo en la representacin de losnmeros decimales, as como en la representacin de las unidades de longitud.

Descripcin

El baco es uno de los recursos ms antiguos utilizados en didctica de las

matemticas. Est formado por un soporte de madera y una serie de varillas paralelas(con un nmero variable de ellas) colocadas vertical u horizontalmente (baco vertical obaco horizontal). En estas varillas se van introduciendo bolas de distintos colores, conla condicin de que en cada varilla slo se introducen 10 bolas del mismo color. Cadavarilla representa un orden de unidades: unidades, decenas, centenas, ...; y cada bola decada color ha de ser introducida en su varilla correspondiente.

Para qu sirve?

El baco nos va a ayudar, como cualquier otro material que utilicemos, adespertar en el alumnado una actividad mental que les ayude a comprender el

significado del nmero y el sentido de las operaciones bsicas.

La iniciacin a las operaciones de una manera abstracta puede provocar erroresen la adquisicin de los conceptos. La enseanza de la suma y de la resta con el trucode me llevo una, hace que el alumnado aprenda de manera mecnica las operaciones yque obviemos el verdadero objetivo: aprender el significado del nmero, el sentido delas operaciones y el efecto que estas operaciones hacen sobre los nmeros.

La fase manipulativa, por la que debe pasar cualquier tipo de conocimientomatemtico en la escuela primaria, se cubre con el baco en la enseanza de lossistemas de numeracin posicional.

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Es muy conveniente que, al mismo tiempo que se trabaja manipulativamente conel baco los distintos conceptos, trabajemos a un nivel de abstraccin superior,representando grficamente las operaciones, lo que hacemos en el baco plano. steconsiste en hacer en una hoja de papel una tabla en la que representemos un orden deunidades, escritas de derecha a izquierda y comenzando por las unidades, decenas, ... Es

conveniente hacer uso del color al principio.

Antes de ponernos a trabajar con el baco es conveniente haber trabajado lanocin de cantidad. Una vez trabajadas estas actividades el baco puede convertirse en

un gran aliado para la enseanza aprendizaje del concepto de sistema posicional denumeracin.

El trabajo con el baco puede facilitar ms adelante el clculo mental, lacomprensin de operaciones ms complejas y abstractas, as como el uso racional de lacalculadora.

Qu podemos hacer con el baco?

Con este material podemos trabajar en principio actividades que lleven a laadquisicin de ciertos conceptos previos, que los alumnos ya han trabajado en la etapade Educacin Infantil, como:

Contar acciones o elementos y representarlas en el baco. Separar elementos que no pertenecen a un conjunto. Reconocer ciertas posiciones en el espacio: ms cerca ms lejos; delante

detrs; arriba abajo; derecha izquierda; ... Concepto de cantidad: ms que, menos que, igual que. Composicin y descomposicin de los nmeros hasta el 9 y su representacin en

el baco.

Podemos seguir trabajando actividades encaminadas a:

Establecer distintos convenios de representacin en el baco de ciertas accionesde conteo (procedimiento de representar los nmeros en el baco).

Establecer equivalencias diversas entre bolas de distintos colores. Reversibilidadde esa relacin de equivalencia.

Comprender cmo se forman los nmeros y su representacin en el baco. Comprender cmo se forman las unidades de un orden inmediatamente superior

(decena, ...).

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Comprender que las cifras que forman un nmero tienen un valor relativo,dependiendo de la posicin que ocupen dentro del nmero.

Resolver de manera razonada y no mecnica las operaciones bsicas con nmerosnaturales.

Tambin podemos utilizar el baco como un instrumento para realizar pequeasinvestigaciones con los nmeros, e introducir algunos conceptos nuevos:

Simetras de algunos nmeros (capicas). Nmeros complementarios. Qu nmeros podemos formar con un determinado nmero de bolas? Representacin de los nmeros decimales. Representacin de las unidades de longitud.

Una posible secuencia de actividades

Juego libre Juegos de representacin. Contar elementos o efectuar acciones y representarlas

en el baco. Juegos de clasificacin. Establecer equivalencias diversas a travs de cambio de bolas de distintos

colores. Deshacer las equivalencias efectuadas (reversibilidad en la relacin de

equivalencia). Representar grficamente (en el baco plano) las actividades que realizamos en el

baco. Pasar de la representacin grfica de las actividades (baco plano) a la

representacin de las mismas en el baco Formacin del nmero. Introduccin del sistema decimal. Agrupamientos de 10

en 10. Representacin en el baco. Formacin de la decena. Pasar de la representacin en el baco plano a la representacin en el baco

vertical. Comprender el valor de posicin de las cifras. Reconocer el valor del cero segn su posicin. Iniciacin a la suma (sumas sin llevadas) de forma manipulativa, grfica y

numrica. Iniciacin a la resta (resta sin llevadas) de forma manipulativa, grfica y

numrica. Iniciacin a la suma con llevadas de forma manipulativa, grfica y numrica. Iniciacin a la resta con llevadas de forma manipulativa, grfica y numrica. Pequeas investigaciones con el baco. Introduccin al sistema mtrico decimal. Introduccin a los nmeros decimales. Introduccin a la multiplicacin y divisin por la unidad seguida de ceros.

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Desarrollo de algunas actividades

1. Jugamos con el bacoEl objetivo de esta actividad es la manipulacin libre por parte del nio del

baco, para que vaya explorando las distintas posibilidades que el material le ofrece.Al principio el juego puede ser individual, pero es conveniente que se vayanagrupando y que el juego se vaya verbalizando entre ellos. En principio se juega sinningn tipo de reglas, pero a medida que se avanza en la actividad conviene daralgn tipo de orden (las bolas de un mismo color en la misma varilla; tres bolas encada varilla; ...).

2. Experiencias prenumricas y clasificacionesTeniendo en cuenta que los objetivos que pretendemos alcanzar (entre otros) con

este material son el aprendizaje de la numeracin y la adquisicin del concepto decantidad, es conveniente trabajar algunas actividades tales como:

Agrupar el material en distintos conjuntos. Separar un conjunto en subconjuntos (bolas de distintos colores, tapones de

distintas formas, chapas de distintos refrescos, cromos, ...) Trabajar los conceptos ms que, menos que, igual que. Contar elementos (bolas, tapones, chapas, ...)

3. Contamos y representamos en el baco De lo que se trata es de contar palillos, palmadas, palabras, pasos, saltos ...,

todo lo que se nos ocurra; y pedirles a los nios y nias que utilicen las bolasy el baco para representar esas acciones. No hay reglas en la representacin.En un principio vamos a contar elementos hasta el 9. El primer convenio alque tenemos que llegar con los alumnos es a que estas acciones lasrepresenten, todos, en la barra de la derecha.

4. Cambiamos en el banco unas bolas por otras El objetivo de esta actividad es establecer equivalencias diversas a travs de

sucesivos cambios de bolas de distintos colores. Se pretende que a partir deestos juegos, los nios se vayan acercando a la comprensin de los distintosrdenes de unidades que conforman el nmero.En primer lugar hay que llegar a un acuerdo con los alumnos el cambio quevamos a efectuar: por ejemplo, una bola roja vale por tres bolas azules.Este acuerdo se puede llegar a realizar dentro de una historia Representamosen la pizarra la equivalencia que se ha establecido para que est bien visible,y al mismo tiempo podemos ir anotando en una cartulina los distintoscambios que vamos adoptando cada vez:

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CAMBIOS

Se realizan varios cambios, hasta que los nios se familiaricen con laactividad. Los cambios los haremos entre los nmeros 1 al 9.

El desarrollo de esta actividad puede ser: Se elige un lugar de la clase que

haga de banco; y a un alumno que haga de banquero (se van cambiando).Podemos tambin incluir la figura del inspector, que velar porque loscambios se efecten bien. Se coloca el cartel con el cambio aceptado portodos y se les da a los nios una serie de bolas de distintos colores, que

podrn ir al banco a cambiar. Una vez que todos han efectuado el cambiocuentan el nmero de bolas que tienen y dicen el color. Los cambios los

podemos ir haciendo cada vez ms complejos, dependiendo del grado decomprensin que vayan adquiriendo los alumnos.

Esta actividad debe terminar deshaciendo el cambio, es decir, los alumnosirn al banco y cambiarn las bolas azules por las bolas rojas

correspondientes. Se har una reflexin acerca del nmero de bolas quetenamos al principio y el nmero de bolas que tenemos al final, en cada unode los cambios que hagamos.

5. Cambio bolas en mi baco Antes de introducir al nio en el sistema de numeracin decimal, vamos a

realizar una serie de cambios que les conduzca a comprender el orden deunidades. Para ello le vamos a dar a cada nio una serie de bolas de un colordeterminado, por ejemplo 7 bolas azules, y las van a colocar en la varilla dela derecha, la que ser posteriormente la varilla de las unidades. El orden de

las varillas van a tomar ya importancia a la hora de cambiar. En la cartulinade cambios anotamos la equivalencia que estimemos conveniente, o la quelos nios digan. Por ejemplo:

Empezaremos diciendo que, por cada dos bolas azules te las cambiar poruna bola roja, que las irs colocando en la varilla que est a continuacin.Preguntaremos cosas, tales como:Cuntas bolas rojas tienes? Y azules? Cuntas bolas azules tenas alcomienzo del juego? Te quedan ms bolas azules? Puedes cambiarlas porms bolas rojas?Inmediatamente hacemos la actividad recproca, es decir, vamos a cambiarlas bolas rojas por las bolas azules. Por cada bola roja que quites de la

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segunda varilla, te dar dos bolas azules que colocars en la varilla de laderecha. Preguntaremos. Cuntas bolas azules hay en la varilla de laderecha? Hay ms o menos que al principio?.Se irn repitiendo cambios idnticos con distintos nmeros de bolas ydiferentes colores.

6. Del baco vertical al baco plano Se trata de pasar de la fase representativa o manipulativa, a la fase grfica en

la construccin del conocimiento matemtico. Utilizamos para ello el bacoplano, en el que en la fila superior, representamos las bolas con los mismoscolores y en la misma posicin que en el baco vertical. La actividad consisteen dibujar tantas bolas, del mismo color y en la misma posicin, en el baco

plano, como bolas hayamos puesto en el baco vertical:

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Hay quien piensa que es bueno ir cambiando los colores de las bolas y suposicin en el baco, para que as, posteriormente, el nio no llegue a asociarun color con un determinado orden de unidades.En el baco plano, cuando introduzcamos los conceptos de unidad, decena,centena ..., aadiremos una columna a la derecha, donde representaremos el

nmero con cifras.Pero la introduccin de estos conceptos tienen que efectuarse una vez que losnios y nias hayan trabajado todo lo relativo a agrupaciones y cambios.Como en todas las actividades anteriores, es conveniente hacer la actividadinversa, es decir, pasar de la representacin grfica que tenemos en el baco

plano, a la representacin en el baco vertical.

7. Juntamos tus bolas y las mas Esta actividad va encaminada a introducir la operacin suma de forma

manipulativa y grfica. Empezamos desde el principio a darle sentido a la

operacin y no a darle importancia al algoritmo para resolverla.Vamos a trabajar por parejas, y cada pareja utilizar tres bacos. Cadaalumno tendr un baco, el tercero lo utilizaremos para representar elresultado final.Definimos al comienzo un tipo de agrupamiento, por ejemplo:

En cada baco de los alumnos hay representadas ciertas cantidades, porejemplo:

Cada alumno copia en un baco plano el nmero de bolas que ha puesto en subaco vertical. Se verbalizan las bolas que tienen cada uno.

A continuacin se les pide a cada pareja que junten sus bolas y representen lacantidad resultante en el tercer baco. Cuntas bolas tenis ahora? Quhemos hecho? Puedo cambiar bolas azules por rojas?

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Una vez efectuado el cambio, podemos seguir preguntando, cuntas bolastengo ahora?Esta actividad se puede hacer grficamente, con bacos planos, de lasiguiente forma:

8. Construimos los nmerosDe aqu en adelante vamos a trabajar conjuntamente con el baco plano y elbaco vertical. Cada representacin que hagamos en el baco vertical, la vamosa hacer en el baco plano, y viceversa, al que le hemos aadido una columna a laderecha para representar con nmeros las acciones que representamos en elbaco vertical.

Partimos de una situacin de conteo, como las que tenamos al principio.Queremos contar palmadas, sillas, ... Por cada palmada que demos, larepresentamos en el baco, introduciendo una bola azul en la varilla de laderecha. Este tipo de convenio ya se utiliz al principio, por lo que el alumnoest familiarizado con l.

Empezamos contando y representado acciones u objetos hasta el 9.Nmero

7

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Qu pasar cuando queramos contar diez cosas? Cmo lasrepresentaremos? Evidentemente, todos los alumnos introducirn las diez

bolas azules en la varilla correspondiente. Tendremos que inventarnos algopara construir nuestro sistema de numeracin decimal.

Os acordis de los cambios de bolas que hacamos? Bien, pues el cambioque vamos a hacer es que por cada diez bolas azules que tengamos las vamosa cambiar por una bola roja, que introduciremos en la varilla siguiente.El convenio de que una bola roja en la segunda varilla vale por diez bolasazules en la primera varilla, nos va a permitir seguir avanzando en laconstruccin del sistema posicional de base 10. A partir de aqu,introducimos el concepto de decena. Los alumnos representarn, sin mayordificultad, los nmeros, entendiendo por qu se escriben as. Ms adelanteharemos actividades para construir decenas completas, trabajar el valor de

posicin de las cifras de un nmero, as como reconocer el valor del cerosegn la posicin que ocupe.

La primera dificultad con la que nos vamos a encontrar a la hora de construirnuestro sistema de numeracin decimal es la formacin de la primera decena(la construccin del 10). Es imprescindible que el nio asimile laequivalencia establecida, y que le ayudemos a comprender que el cerosignifica que no hay bolas azules en la varilla de la derecha. Por eso la grafadel diez en el baco plano es 1 (una bola roja en la segunda varilla) y 0(ninguna bola azul en la varilla de la derecha).

C D U Nmero10

11

12

Para seguir contando no tenemos ms que seguir aadiendo bolas azules

sucesivamente en la varilla de la derecha y respetar el convenio de que por

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cada diez bolas azules en la varilla de la derecha, la cambiamos por una bolaroja que introducimos en la varilla que est inmediatamente a su izquierda.

Otra forma de actuar para que los nios comprendan por qu el diez se escribeas (10), es contar hacia atrs en un baco. Supongamos que tenemos

representado el 15, si le decimos a los alumnos que vayan poniendosucesivamente en el baco el 14, 13, 12, 11 y 10, llegarn por s mismos acomprender que la representacin de ese nmero es una bola roja en lasegunda varilla y ninguna bola azul en la varilla de la derecha.

Se efectuarn todas las representaciones que hagan falta para que el alumnocomprenda cmo se forman los nmeros y el por qu de su grafa. Lesharemos preguntas como:Cuntas bolas azules tienes? Y rojas?Si cambio las rojas por azules, cuntas azules tengo?Encaminadas a la comprensin de que la decena est formada por diez

unidades del orden inmediatamente inferior.

A continuacin podemos hacer la actividad recproca, es decir, le damos a losalumnos nmeros escritos en el baco plano y stos tienen que hacer larepresentacin en el baco vertical.

9. Escribimos el siguiente de un nmero Esta actividad la pueden realizar por parejas. Un alumno representa un

nmero en el baco vertical y lo escribe en el baco plano. El compaerotiene que hacer la representacin del nmero siguiente y efectuar la mismaoperacin.

La dificultad, y por tanto el punto de aprendizaje, se presentar cuando hayaque construir una nueva decena. La accin que tenemos que valorar es ver siel alumno, efectivamente, cambia las 10 bolas azules de la varilla de laderecha, por una bola roja, y la introduce en la varilla siguiente.

10.Quin es mayor? Con esta actividad queremos trabajar el valor de posicin de las cifras, que el

alumno comprenda que el valor de la cifra 1 en los nmeros 18 y 31 no es el

mismo.

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Podemos empezar representando en el baco distintos nmeros de dos cifras.A continuacin, el maestro representar en dos bacos distintos, dos nmeros,

por ejemplo el 18 y el 31. La pregunta es: Qu nmero es ms grande? Si elalumno se fija en el nmero de bolas, evidentemente la representacin delnmero 18 en el baco tiene ms bolas que la representacin del numero 31.

El punto de enseanza est en hacer que el nio comprenda que la cifra queocupa el lugar de las decenas es en la que nos tenemos que fijar para saberqu nmero es mayor.Para los alumnos que pudieran haberse dejado llevar por la percepcin visual,y hubieran dicho que el 18 es ms grande 1ue el 31, podemos efectuar elcambio: una bola roja en la segunda varilla, vale por 10 bolas azules en lavarilla de la derecha. Entonces haremos que el nio cuente las bolas azulesque hay en cada representacin. Volveremos a pedirle al alumno que deshagael cambio para que queden los nmeros representados como al principio.Preguntamos de nuevo: Qu nmero es, entonces, ms grande?

11.Nmero con ceros La idea a trabajar con esta actividad es que cuando no haya bolas en una

varilla, lo representamos con la cifra cero. As, el alumno tendr quedistinguir entre la representacin del 05 y del 50.El proceso sera parecido a que empezramos construyendo, al mismotiempo, en el baco vertical y en el baco plano, las decenas completas hastael 90, a travs de situaciones de conteo que fueran mltiplos de 10. En otrobaco, representaremos, tambin a travs de situaciones de conteo, los

nmeros del 1 al 9.

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Preguntar si los dos nmeros representados, cada vez, son iguales. Cul esmayor? Por qu? Los alumnos tendrn que efectuar mentalmente el cambio de las

bolas que representan las decenas (rojas) por las bolas que representan las unidades(azules).

12.Iniciacin a la suma Los alumnos ya saben juntar las bolas de dos bacos en un tercero y hacer los

agrupamientos pertinentes. Vamos a pasar de la fase manipulativa y grfica, auna fase ms abstracta: la representacin numrica en el baco plano delresultado de la operacin. En un principio no introducimos el algoritmoclsico de la suma. Se har posteriormente, cuando el alumno hayainteriorizado el sentido de la operacin a travs de diversas situaciones comola que a continuacin explicitamos:

La actividad la realizamos por parejas. Cada pareja cuenta con tres bacos.Cada alumno representa en su baco (tanto en el vertical, como en el baco

plano) un nmero (estaremos pendientes de que las bolas que se introduzcanen las varillas equivalentes de los dos bacos, al sumarlas, no superen ladecena). Por ejemplo:

A continuacin, cada uno de los alumnos traspasa las bolas de su baco, al tercerbaco, a las varillas equivalentes, respetando el orden de stas, es decir, las bolasazules en la varilla de la derecha y las bolas rojas en la varilla siguiente. Estamosefectuando la operacin. Cada alumno anota el resultado en su baco plano.Como en la realizacin del algoritmo habitual de la suma, en el bacointroducimos primero las bolas que corresponden a las unidades y

posteriormente las que corresponden a las decenas.

D U UD

5 0 50

D DU U

3 1 2 5

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Un punto de estudio interesante es dar a los alumno un nmero en el baco planoy que ellos hagan la representacin en dos sumandos en los bacos verticales.

Cuando hayamos hecho varias actividades de este tipo, conviene que losalumnos hagan cada suma en el papel (en el mismo baco plano), y que se

percaten que las unidades se suman con las unidades; y las decenas con lasdecenas.

Si los alumnos han comprendido el proceso llevado hasta ahora, estamos endisposicin de introducir la suma con llevadas. La manera de proceder es lamisma: trabajo por parejas, cada pareja con tres bacos. Decimos a cada alumnoque represente un nmero en su baco (ahora tendremos que estar pendientesque esos nmeros sobrepasen, al sumarlos, la decena en el orden de lasunidades). Por ejemplo:

En el tercer baco, al juntar las bolas de los dos bacos correspondientes a lasunidades, nos encontramos con que en la varilla de la derecha tenemos queintroducir 14 bolas azules. Es el momento de recordar el trabajo previo con losagrupamientos y el cambio de bolas. Cada 10 bolas azules en la primera varilla,

las cambio por 1 bola roja en la varilla siguiente (empieza a tener sentido la

D U

5 6

D U

5 82

D U

62

D U

2

13

5 6

5

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coletilla me llevo una). Por lo tanto el resultado, despus de contar las bolas enel baco ser:

Como en toda operacin, la idea es ir dejando paulatinamente el apoyomanipulativo y el apoyo grfico, para terminar con la representacin abstracta de

los nmeros y de la operacin que realizo con ellos.

13.Iniciamos la resta El comienzo de esta actividad es muy parecido al proceso seguido con la

suma. Conviene plantear la suma y la resta de manera simultnea. El ordenen la que se presentan aqu es pura ancdota.Empezaremos trabajando por parejas. Cada nio tendr un baco. Les

pediremos que representen cada uno de ellos un nmero en su baco(concuidado de que uno de ellos sea mayor que el otro en todos sus rdenes deunidades). Al igual que en la suma, no introducimos el algoritmo hasta que sehayan trabajado suficientes actividades de este tipo. Por ejemplo:

La primera pregunta que les hacemos a los nios es: Cul de los dosnmeros es mayor? Una vez solucionada la pregunta, iremos quitando alnmero mayor tantas bolas azules y tantas bolas rojas como bolas azules yrojas hay en el otro baco. Este proceso conviene que lo hagamos de maneraordenada, para no confundir a los alumnos: por cada bola que quito en elbaco del nmero menor, quito una bola en el baco del nmero mayor delmismo color y de la misma varilla. Por ltimo representamos en el baco

plano el resultado obtenido.

D U

2 65 8

8 4

D U D U

7 5 5 3

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D U

D U D U

Al igual que con la suma, si los alumnos han comprendido bien esteproceso, es hora de introducir la resta con llevadas. Tenemos que empezarrecordando a los alumnos los juegos de cambios de bolas que hacamos al

principio. De igual forma, hemos de trabajar los cambios recprocos

(deshacer los cambios).El proceso podra ser como sigue. Seguimos trabajando por parejas. Losalumnos anotan en sus bacos una cantidad (cuidaremos que la cifra de lasunidades del minuendo sea ms pequea que la del sustraendo).Comparamos las cantidades y elegimos el nmero mayor. Y empezamos aquitar bolas del baco del nmero mayor ... Nos daremos cuenta que nosfaltan bolas. Este es el momento en el que preguntamos Qu hacemos?Recordamos las equivalencias entre las bolas y repasamos que una bola rojaen la segunda varilla, vale por diez bolas azules en la varilla de la derecha.Si no tenemos bolas suficientes, por qu no cambiamos una bola roja en el

banco? De esta manera tendremos una bola roja menos, pero tendremos diezbolas azules ms. As, si que puedo quitar ya las bolas azules.Por ejemplo: Representamos las cantidades 53y 28 en dos bacos.Comparamos las cantidades y decidimos cul es la mayor. Una vez elegida,comenzamos a quitar bolas, empezando por la varilla de las unidades.

Efectuamos el cambio:

Por lo que tenemos en el baco que hace de minuendo, 4 bolas rojas (unamenos de las que tenamos) y 13 bolas azules, diez ms de las que tenamos.Lo que hay que hacerles ver a los alumnos es que, aunque tengamos distintonmero de bolas, el nmero representado es el mismo. Y por lo tanto, ahora

si podemos ir quitando bolas, como lo hacamos antes, y el resultado es:

2 2

5 3 82

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D U

D U D U

El algoritmo para la resolucin de la operacin es el de todos conocidos:

14.Pequeas investigaciones con el baco

Vamos a presentar en este apartado una serie de actividades tipo que se podrnadaptar a los distintos niveles de aprendizaje, con slo elegir los nmeros dentrodel campo numrico en el que estemos trabajando.Una consideracin importante es que las bolas van a perder la propiedad delcolor, es decir, tomarn el valor dependiendo de la varilla en la que laintroduzca. Es un paso ms en la adquisicin del valor de posicin de la cifra.

Qu nmeros de dos, tres, cuatro, ..., cifras, necesitan para anotar susiguiente, desplazar ms de una bola a las varillas de la izquierda.

Con una bola, qu nmeros podemos representar en un baco de dosvarillas? Y de tres varillas?...

Con cinco bolas, cuntos nmeros puedes representar en un baco de tresvarillas?

2 5

5 382

48213

52

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(En este tipo de actividad se puede jugar con las variables n de bolas y n devarillas del baco)Cul es el mayor de los nmeros formados? Y el menor?Cules de estos nmeros tendrn un cero? Y un uno?...

Representar en un baco (definimos nmero de varillas segn la necesidad)nmeros con ceros y unos solamente, empleando, una bola, dos, ...(definimos el nmero de bolas segn la necesidad)

Representar nmeros pares. Con cuntas bolas, como mnimo, puedo formarun nmero par en la varilla de la derecha?

Con una bola, en un baco de tres varillas, cuntos nmeros pares puedorepresentar?

Representar nmeros impares. Con cuntas bolas, como mnimo, puedoformar un nmero impar en la varilla de la derecha?

Con dos bolas, en un baco de tres varillas, cuntos nmeros impares puedorepresentar?

Nmeros capicas son aquellos que se leen igual de derecha a izquierda, quede izquierda a derecha.

Si tienes un baco de cuatro varillas y tienes 8 bolas, qu nmeros capicaspuedes formar? Cul es el mayor? Y el menor?Si formas un nmero capica (con un determinado nmero de bolas y en undeterminado baco), cul es el siguiente capica que puedes formar?

Nmeros complementarios son aquellos que al sumarlos, resulta un nmerocon todas sus cifras iguales.

Con dos bacos de tres varillas y 7 bolas para cada baco, forma dos nmeroscomplementarios.

Con dos bacos y 12 bolas, forma nmeros complementarios.

+ =

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15.Otros usos del baco

Representacin de los nmeros decimales.El baco puede ser una ayuda para representar los nmeros decimales, es unmodelo sugerente que podemos utilizar. Lo primero que tenemos es quedeterminar la varilla correspondiente a las unidades, es decir, dondesituaremos la coma. Una vez definida esta cuestin, las varillas del bacotomarn los valores de los distintos rdenes de unidades.Luego para pasar de una unidad a otra (de una varilla a otra), nicamentehemos de aplicar las reglas ya conocidas:

o Estamos trabajando en un sistema de numeracin posicional.o Cada 10 unidades de un orden cualquiera, forman una unidad del

orden inmediatamente superior, o, cada unidad de un orden cualquiera

forma diez unidades del orden inmediatamente inferior.

El nmero representado en el baco es: 3.256, 34Si queremos pasar este nmero incomplejo a complejo, no tenemos ms queescribir el nmero de bolas de cada varilla y la unidad correspondiente.Si, al contrario, queremos pasar de un nmero complejo a incomplejo, lorepresentamos en el baco, fijamos la varilla donde se representan las unidades(el lugar de la coma), y a continuacin escribimos el nmero, cuyas cifras secorresponden con el nmero de bolas que hay en cada orden de unidades.

Multiplicacin y divisin por la unidad seguida de ceros.La utilizacin del baco, como apoyo material para la realizacin de estasoperaciones, puede ayudarnos a dar una regla para su aprendizaje, as como acomprenderlas. Lo primero que tenemos que hacer es, como en el casoanterior, determinar la varilla correspondiente a las unidades. Una vezdefinida esta cuestin, las varillas del baco tomarn los valores de losdistintos rdenes de unidades.Este material puede permitir que el propio alumno sea capaz de definir laregla para efectuar estas operaciones:

o Una bola en la varilla de la derecha vale uno.o La misma bola situada en la segunda varilla vale 10 veces ms lo quevale en la primera.

cdUC DUM

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o La misma bola situada en la tercera varilla vale 100 veces ms lo quevale en la primera, o 10 veces ms lo que vale la segunda.

o ...Dado un nmero cualquiera representado en el baco, si lo queremos

multiplicar por la unidad seguida de ceros, nicamente hemos de trasladar demanera ordenada todas las bolas desde su varilla, a otra varilla situada a laizquierda, tantos lugares como ceros tiene la unidad. Por ejemplo:

Si queremos multiplicar 725 x 1000, procederemos, primero a representarel nmero en el baco:

Para dividir por la unidad seguida de ceros, el procedimiento es anlogo,nicamente que los desplazamientos se producen hacia la derecha.

Si son nmeros decimales, los desplazamientos los hacemos en funcin de lacoma, a derecha o izquierda, dependiendo si dividimos o multiplicamos. Porejemplo si quiero realizar 725:1000, primero representamos el nmero en elbaco, definiendo previamente el orden de unidades en las varillas:

725 725.000

Y luego, desplazaremoslas bolas, ordenadamente,tres varillas hacia laizquierda.

UD d c mm cdUD mm

725 0725

C C

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Introduccin al sistema mtrico decimal.

La manera de proceder es exactamente la misma que la utilizada pararepresentar los nmeros decimales. Se han de respetar las propiedades del

sistema de numeracin decimal:

o Es un sistema de numeracin posicional, es decir, dependiendo del lugarque la cifra ocupe dentro del nmero, sta tomar un determinado valor.

o Diez unidades de un orden cualquiera, forman una unidad del ordeninmediatamente superior.

El baco tomara esta apariencia:

Para pasar de una unidad a otra, slo tenemos que definir la equivalencia deque una bola situada en una determinada varilla, vale por diez bolas situadasen la varilla que est situada inmediatamente a su derecha. De la mismamanera, 10 bolas situadas en una determinada varilla, vale por una bolasituada en la varilla que est situada inmediatamente a su izquierda.

Para pasar de nmeros complejos a incomplejos; y viceversa, slo tenemosque aplicar lo ya reseado en el punto de los nmeros decimales.

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