el mundo de los vectores

Primera edición

Algebra Lineal

El mundo de los vectores

1Vectores

El vector es un concepto que proviene de la física, en la que se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Mientras que la magnitud escalar se expresa con un número, en la vectorial se necesita además la dirección y el sentido. Por ejemplo, cuando nos referimos a un movimiento, no basta con indicar el desplazamiento, sino también la dirección y el sentido del movimiento.

2

Capitulo 1

Los vectores se introducen formalmente tanto desde un punto de vista algebraico como de uno geométrico. Las operaciones de suma y multiplicación escalar y sus propiedades se desarro-llan primero en los escenarios concretos de R2 y R3 antes de ge-neralizarse a Rn. También se introducen la aritmética modular y el álgebra lineal finita. La sección 1.2 define el producto punto de vectores y las nociones relacionadas de longitud, ángulo y ortogonalidad. El concepto muy importante de proyección (orto-gonal) se desarrolla aquí

Es una introducción básica, aunque amplia, a las líneas y los planos en R2 y R3.

El capítulo concluye con la aplicación vectores código. La mayo-ría de los alumnos disfrutarán la aplicación al Universal Product Code (UPC) y al International Standard Book Number (ISBN).

Sección 1

Geometria y algebra de vectores

3

Vectores en el planoComience por considerar el plano cartesiano con los familiares ejes x y y. Un vector es un segmento de recta dirigido que corresponde a un desplazamiento desde un punto A hasta otro punto B

Componentes de un vectorSon la coordenadas de un vector. Existen 2 formas de expresarlas: vec-tores columna y vectores renglón

Desigualdad de Cauchy-SchwarzSe define como ∣ A • B ∣ ≤∥ X ∥ • ∥ Y ∥

Desigualdad del triánguloDice que en todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cual-quiera es siempre mayor a la longitud del lado restante.

Diferencia de VectoresEs la suma de un vector con el negativo del otro.

Igualdad de VectoresDice que 2 vectores son iguales si tienen la misma dirección y magni-tud.

Producto CruzEl producto vectorial es un vector entre sí mismo, se denota con AxB y el resultante es perpendicular tanto para A como para B

Producto PuntoPara realizarlo los dos vectores a operar tienen que tener mismo numero de componentes , el producto de esta operación será un escalar no un vector. se realiza operando de la siguiente manera .

W = [w1,w2,w3]

A = [a1,a2,a3]

W • A = (w1a1) + (w2a2) + (w3a3)

Teorema de PitágorasEn un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a2 + b2 = c2

Es muy sencillo reformular los conceptos geométricos familiares de longitud, distancia y ángulo en términos de vectores. Hacerlo permitirá usar estas importantes y poderosas ideas en escenarios más generales que R2 y R3. En capítulos posteriores, estas simples herramientas geométricas se usarán para resolver una gran variedad de problemas que sur- gen en aplicaciones, ¡aun cuando aparentemente no haya ninguna geometría!

4

Sección 2

Longitud y Angulo : el producto punto

5

Ángulo entre dos vectores

cos(θ ) =(U1 • V1) + (U2 • V 2)

2 U12 + U22 • 2 V12 + V 22

Distancia entre dos VectoresEs el vector de menor magnitud entre dos vectores

Longitud de Vector BidimensionalA = longitud

a,b componentes

∣ A ∣ = a2 + b2

Longitud de vector tridimensionala=<a,b,c>

∣ A ∣ = a2 + b2 + c2

Todos están familiarizados con la ecuación de una recta en el plano cartesiano. Ahora se considerarán rectas en R2 desde un punto de vista vectorial. La comprensión que se obtenga a partir de este planteamiento permitirá generalizar a rectas en R3 y luego a planos en R3. Mucha del álgebra lineal que se considerará en capítulos posteriores tiene sus orí- genes en la geometría simple de rectas y planos; la habilidad para visualizarlos y pensar geométricamente en torno a un problema le servirá bastante.

6

Sección 3

Rectas y planos

7

Rectas en R2Forma General

Forma Normal

Forma Vectorial

Ecuaciones Paramétricas

Rectas en R3Forma General

Forma Normal

Forma Vectorial


8

PlanosForma Vectorial

Forma Normal

Forma General


A lo largo de la historia, la gente ha transmitido información usando códigos. En ocasiones la intención es disfrazar el mensaje a enviar, como cuando cada letra en una palabra se sustituye con otra diferente de acuerdo con una regla de sustitución. Aunque fascinantes, dichos códigos secretos, o cifrados, no se tratarán aquí; pues son el objetivo del campo de la criptografía. En vez de ello, el texto se concentrará en los códigos que se usan cuando deben transmitirse datos de manera electrónica.

9

Sección 4

Vectores código

10

ISBNEs el Número Internacional del Libro. Es el código de barras de los libros de texto y cuadernos. Pueden estar ubicados en los módulos Z11 o Z14 dependiendo de la cantidad de dígitos del mismo. Para verificar la autenti-cidad del mismo se debe realizar el producto punto del Vector y su Vector de Verificación.

UPCEs el Código Personal de Producto. Son más conocidos como código de barras en la vida diaria. Está ubicado en el módulo Z10.Para verificar la autenticidad del mismo se debe realizar el producto punto de éste y el vec-tor de verificación. El Vector C siempre debe terminar en “1”. y debe estar escrito de la manera C=[...3,1,3...1]Para efectuar el producto punto de és-te se debe sustituir el último dígito del vector V, y si el resultado es el mis-mo número el vector es legítimo.

Binario:

Aquellos vectores cuyos únicos componentes son 0 y 1. Están ubicados en el módulo Z2.

Un ejemplo de éste tipo de vector es:# V=[0,1]

z2 :

Conjunto de número con suma y multiplicación de hasta el número anterior al más alto (n-1).Por ejemplo el módulo Z3:

V=[0,1,2]

En esta sección encontraran un repaso que les ayudara a saber si nivel de aprendizaje.

11

Sección 5

Repaso y entretenimiento REPASO 1.1 Vectores

Comprobar res-puesta

Pregunta 1 de 3Es un segmento de recta dirigido que corresponde a un des-plazamiento desde un punto A hasta otro punto B

A. Vector

B. Escalar

C. Angulo

12

IMAGEN INTERACTIVA 1.1 Crucigrama 1 IMAGEN INTERACTIVA 1.2 Crucigrama 1

13

IMAGEN INTERACTIVA 1.3 Crucigrama 1 IMAGEN INTERACTIVA 1.4 Crucigrama 1

xiv

Alfredo Yuman Reckholder

Interés:

Estudio en la universidad del valle de Guatemala la carrera de Ingeniería en mecatronica ya que lo que mas me gusta conocer el funcionamiento de las maquinas y crear maquinas a mi forma de pensar o buscar soluciones alternativas creando nuevas maquinas. Desde pequeño tengo ese interés ya que siempre desarmaba los juguetes para ver como funcionan y luego mi reto era armarlo y que funcionara .

Desarrolladores

Jonnathan Estuardo Rodriguez Castañeda

Interés:

Estudio ingeniería Mecatronica en la Universidad del Valle de Guatemala, elegí esta carrera porque uno de mis sueños más grandes es poder armar yo mis propios juguetes, Para mi la carrera es un hobbie, en ella encuentro los principios básicos que necesito para disfrutar al máximo mi pasión que es “crear”. Básicamente lo que yo algún día creare serán distintos juguetes motorizados manejables a distancia que es en sí lo que a mi me gusta poder manipular mis propios inventos de la forma que yo quiera.

xv

Jose Armando Urias Carias

Interés:

Estudio Ingeniería Civil en la universidad del Valle de Guatemala. Deseo dedicarme al diseño y construcción de puentes y estructuras sismo-resistentes ya que vivimos en un país altamente sísmico y además siempre he pensado que no hay nada más gratificante que construir.

Maria Jose Chinchilla Godoy

Interés:

Crear automatizar y conocer maquinas ya que le interesa el funcionamiento de las mismas , también me gustaría poder ayudar al ser humano descubriendo las diferentes características y diferentes beneficios de las maquinas.

xvi

Mario Alejandro Alvarez Vidal

Interés:

Estudio ingeniería Mecatronica en la Universidad del Valle de Guatemala, elegí esta carrera porque uno de mis sueños más grandes es poder armar yo mis propios juguetes, Para mi la carrera es un hobbie, en ella encuentro los principios básicos que necesito para disfrutar al máximo mi pasión que es “crear”. Básicamente lo que yo algún día creare serán distintos juguetes motorizados manejables a distancia que es en sí lo que a mi me gusta poder manipular mis propios inventos de la forma que yo quiera.

Ángulo entre dos vectorescos(θ) =

(U1 • V1) + (U2 • V 2)2 U12 + U22 • 2 V12 + V 22

Términos del glosario relacionados

Índice

Arrastrar términos relacionados aquí

Buscar término

Componentes de un vectorSon la coordenadas de un vector. Existen 2 formas de expresarlas: vectores columna y vectores renglón


Índice


Buscar término

Desigualdad de Cauchy-SchwarzSe define como ∣ A • B ∣ ≤∥ X ∥ • ∥ Y ∥


Índice


Buscar término

Desigualdad del triánguloDice que en todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siem-pre mayor a la longitud del lado restante.


Índice


Buscar término

Diferencia de vectoresEs la suma de un vector con el negativo del otro.


Índice


Buscar término

Distancia entre dos vectoresEs el vector de menor magnitud entre dos vectores


Índice


Buscar término

EscalaresNúmeros reales


Índice


Buscar término

Igualdad de vectoresDice que 2 vectores son iguales si tienen la misma dirección y magnitud.


Índice


Buscar término

ISBNEs el Número Internacional del Libro. Es el código de barras de los libros de texto y cuadernos. Pueden estar ubicados en los módulos Z11 o Z14 dependiendo de la canti-dad de dígitos del mismo. Para verificar la autenticidad del mismo se debe realizar el producto punto del Vector y su Vector de Verificación.


Índice

Vectores código

Buscar término

Longitud de un vector bidimensio-nalA = longitud

a,b componentes

∣ A ∣ = a2 + b2


Índice


Buscar término

Longitud de un vector tridimensio-nala=<a,b,c>

∣ A ∣ = a2 + b2 + c2


Índice


Buscar término

Magnitud o norma de un vector:Es quien determina la longitud de un vector


Índice


Buscar término

Normalización de un vectorEs obtener un nuevo vector unitario con la misma dirección y sentido.


Índice


Buscar término

Posición estándarCuando el punto inicial de un vector parte del origen.


Índice


Buscar término

Producto cruz o producto vectorialEl producto vectorial es un vector entre sí mismo, se denota con AxB y el resultante es perpendicular tanto para A como para B


Índice


Buscar término

Producto de un escalar por un vec-torEl escalar afecta a todas las componentes del vector y se multiplican por estas.


Índice


Buscar término

Producto PuntoPara realizarlo los dos vectores a operar tienen que tener mismo numero de compo-nentes , el producto de esta operación será un escalar no un vector. se realiza operan-do de la siguiente manera .

W = [w1,w2,w3]

A = [a1,a2,a3]

W • A = (w1a1) + (w2a2) + (w3a3)


Índice


Buscar término

Producto punto o producto escalarEs la suma de la multiplicación de 2 vectores separados por sus componentes (x,y) o (x,y,z) ambos con la misma cantidad de componentes, que al final siempre dará un es-calar.


Índice


Buscar término

Propiedades del producto puntoSon todas aquellas que hacen verdadera la función (Conmutativa, Asociativa,Distributi-va)


Índice


Buscar término

Punto Inicial u origenEs el nombre que se la da al punto donde inicia el vector


Índice


Buscar término

Punto Terminal o punta Es el nombre que se le da al punto donde termina el vector


Índice


Buscar término

R^2Nombre que recibe el plano cartesiano ya que esta compuesto por números reales en x y en y


Índice


Buscar término

Teorema de PitágorasEn un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cua-drados de los catetos.

a2 + b2 = c2


Índice


Buscar término

UPCEs el Código Personal de Producto. Son más conocidos como código de barras en la vida diaria. Está ubicado en el módulo Z10.Para verificar la autenticidad del mismo se debe realizar el producto punto de éste y el vector de verificación. El Vector C siempre debe terminar en “1”. y debe estar escrito de la manera C=[...3,1,3...1]Para efectuar el producto punto de éste se debe sustituir el último dígito del vector V, y si el resultado es el mismo número el vector es legítimo.


Índice

Vectores código

Buscar término

VectorEs un segmento de recta dirigido que corresponde a un desplazamiento desde un pun-to A hasta otro punto B. El término vector es utilizado para indicar una cantidad (como velocidad o fuerza) que tiene magnitud y dirección.


Índice

Vector cero o vector nulo, Vector Columna, Vector en posición estándar, Vector Renglón, Vectores en R^n, Vectores paralelos

Buscar término

Vector BidimensionalEs un par ordenado de números reales. <a1,a2>


Índice


Buscar término

Vector cero o vector nuloEs el vector que tiene como coordenadas [0,0] y se denota 0


Índice

Vector

Buscar término

Vector ColumnaEs una matriz de dimensiones m x1


Índice

Vector

Buscar término

Vector en posición estándarUn vector en posición estándar es cuando el vector está ubicado en el origen.


Índice

Vector

Buscar término

Vector RenglónEs una matriz de dimensiones 1xN


Índice

Vector

Buscar término

Vector TridimensionalEs una triada ordenada de números reales. <a1,a2,a3>


Índice


Buscar término

Vector unitarioEs un vector cuya longitud es 1


Índice


Buscar término

Vectores códigoLos vectores de código son utilizados en la vida diaria para realizar compras o corrobo-rar la autenticidad de un producto.


Índice

ISBN, UPC

Buscar término

Vectores en R^nLos vectores pueden utilizarse en cualquier dimensión(d)


Índice

Vector

Buscar término

Vectores ortogonalesDos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.


Índice


Buscar término

Vectores paralelos2 o más vectores son paralelos cuando un vector es múltiplo escalar del otro (es decir, uno depende linealmente del otro).


Índice

Vector

Buscar término

el mundo de los vectores

Documents