El método inductivo y deductivo

Proyecto Alianza de Matemáticas y Ciencias del Tura bo (AMCT )

Por: Dr. Marlio ParedesDiciembre 3 de 2011

Este Proyecto es sufragado con fondos del Programa Título II-B, “No Child LeftBehind”,“Math and Science Partnership” del Departamento de Educación

Objetivos

� Entender los diferentes métodos de demostración.

� Aprender a usar los diferentes métodos de demostración.

� Determinar que método de demostración se debe usar en casos concretos.

� Identificar cuando un teorema puede ser demostrado por diferentes métodos de demostración.

Estándares

10.0 Identifica, justifica y aplica las relaciones entre losángulos al describir figuras geométricas.

• G.FG.7.10.1 Desarrolla y sostiene argumentos convincentes • G.FG.7.10.1 Desarrolla y sostiene argumentos convincentes relacionados con relaciones entre ángulos usando modelos y dibujos con y sin ayuda de la tecnología.

Estándares

10.0 Desarrolla, prueba y provee justificaciones basadas en el método inductivo y deductivo para establecer conjeturas que involucran líneas, ángulo s y figuras.

• G.FG.8.10.1 Describe la estructura y relaciones dentro de un • G.FG.8.10.1 Describe la estructura y relaciones dentro de un sistema axiomático (términos sin definir, términos definidos, axiomas, postulados, razonamiento y teoremas).

• G.FG.8.10.2 Examina argumentos deductivos e inductivos concernientes a conceptos y relaciones geométricas como la congruencia, semejanza y la relación pitagórica.

• G.FG.8.10.3 Reconoce defectos o discrepancias en el razonamiento que sostienen un argumento.

Estándares

4.0 Aplica métodos matemáticos de prueba para desarrollar justificaciones para los teoremas básic os de la geometría euclideana.

• G.FG.9.4.2 Prueba, directa o indirectamente, que un enunciado • G.FG.9.4.2 Prueba, directa o indirectamente, que un enunciado matemático válido es cierto. Desarrolla un contraejemplo para refutar un enunciado inválido.

• G.FG.9.4.3 Formula e investiga la validez del inverso de un condicional.

• G.FG.9.4.4 Organiza y presenta pruebas directas y pruebas indirectas utilizando dos columnas, párrafos y diagramas de flujo.

Ejemplo:

Ella dice que los triángulos ABC, ABD y ABE son semejantes

¿Cuál de las siguientes es una razón que demuestra que no son semejantes?

D Los triángulos ABC, ABD y ABE no tienen dos ángulos que sean congruentes.

Pruebas Puertorriqueñas (PPAA):

Además de estar constituidas por ítems en los cuales el estudianteconstruye su propia respuesta e ítems de selección múltiple, lasPPAA consideran los niveles de profundidad del conocimiento (NPC)requerido para las expectativas que se evalúan.

Los ítems están escritos de acuerdo con tres de los niveles deprofundidad del conocimiento según fueron desarrollados porprofundidad del conocimiento según fueron desarrollados porNorman Webb (Web Alignment Tool (WAT) Training Manual,Washington, DC: Council of Chief State School Officers, 2005) yadoptados por el Departamento de Educación de la siguientemanera:

NPC – 1 Recordar y reproducirNPC – 2 Destrezas y conceptos/Razonamientos básicosNPC – 3 Pensamiento estratégico/Razonamiento complejo

Pruebas Puertorriqueñas (PPAA):

La distribución de ítems entre los primeros tres niveles funge comométodo de alineación para examinar el equilibrio entre la demandacognoscitiva de los estándares y la demanda cognoscitiva dela evaluación.

Las nuevas PPAA cumplen con los requisitos de la Ley NCLB (NoChild Left Behind) del 2001. Estas pruebas permitirán entregar alos maestros y administradores valiosa información sobre eldesempeño de los estudiantes. En las manos de maestros yplanificadores escolares, esta información será una herramienta útilpara impulsar a cada estudiante a alcanzar su máximo potencial.

Pruebas Puertorriqueñas (PPAA):

Las Pruebas Puertorriqueñas se basan en la versión revisadade los estándares y expectativas de aprendizaje.

Estos parámetros representan un componente esencial parapromover el cambio en nuestro sistema educativo. Además,promover el cambio en nuestro sistema educativo. Además,contribuyen a conectar los cambios curriculares con eldesarrollo profesional de los maestros, los métodos deenseñanza y la evaluación del aprendizaje del estudiante.

Pruebas Puertorriqueñas (PPAA):

Específicamente, estos estándares requieren que los maestros de matemáticas den especial énfasis e importancia a:

• la solución de problemas• la comunicación en la matemática• el razonamiento matemático• el razonamiento matemático• la representación• la integración de la matemática con otros contenidos• la integración de los temas transversales del currícul o

(Tomado de los Folletos Informativos del Departamento de Educación)

Por todas estas razones es que consideramosimportante hacer énfasis en:

Las demostraciones

Los métodos de demostración

El razonamiento matemático

La lógica matemática

Ejemplo:

DCEBACyBACDEC ∠≅∠∠≅∠

DCEDEC ∠≅∠⇒ Transitividad

Ejemplo:

El error está en la razón del paso 7. Los segmentos mencionadosson la hipotenusa, no los catetos de triángulos rectángulos. No haybase para afirmar que todos los catetos de triángulos rectángulosson congruentes.

Para corregir el error hay que decir que la suma de dos segmentosiguales ( ) es igual a la suma de los otros segmentosiguales a ellos ( ) o que estos dos segmentos son

AEEC ≅EBDE ≅iguales a ellos ( ) o que estos dos segmentos son

congruentes debido a la propiedad transitiva.EBDE ≅

EBAEECDE ≅≅≅ EBDEECAE +=+⇒

DBAC =⇒

¿Qué es una demostración matemática?

La idea de demostración rigurosa ha variado a lo largo deltiempo; depende del contexto y del entorno cultural. En losescritos matemáticos ordinarios (incluso los de hoy en día), sólose detallan los pasos no puramente mecánicos; aquellos quesuponen una idea nueva, una construcción original o lasuponen una idea nueva, una construcción original o laintroducción de algún elemento novedoso. Sin embargo, elconsenso sobre lo que es o no un paso obvio o trivial, ha idocambiando a lo largo de la historia. Incluso en los aparentementesólidos Elementos de Euclides se pueden encontrarconstrucciones no claramente justificadas con la sola asunción delos 5 Postulados fijados por el autor.

Fernando Bombal Gordón, Catedrático Universidad Complutense de Madrid.

¿Qué es una demostración matemática?

Todo el mundo sabe qué es una demostración matemática. Unademostración de un teorema matemático es una sucesión depasos que conducen a la conclusión deseada. Las reglas quedichas sucesiones de pasos deben seguir fueron hechasexplícitas cuando fue formalizada la lógica al principio de esteexplícitas cuando fue formalizada la lógica al principio de estesiglo, y no han cambiado desde entonces. Estas reglas puedenser usadas para refutar una pretendida demostración localizandoerrores lógicos; sin embargo, no pueden ser usadas paraencontrar una demostración que no se tenga de una conjeturamatemática.

Gian Carlo Rota, La fenomenología de la demostración matemática.

Métodos de Demostración:

1. Método Directo

2. Método indirecto

3. Método de contradicción o reducción 3. Método de contradicción o reducción al absurdo

4. Método del contraejemplo

5. Método de inducción

Método Directo

Ejemplo: Demostrar que si n es un número par entonces n2 también es un número par.

enteroun ,2 par es kknn =⇒

( ) 222 42 kkn ==⇒

( )22 22 kn =⇒

par es 2n⇒

Lo que tenemos aquí es lo que se conoce como unaimplicación o condicional:

Si n es par entonces n2 es par

Si p entonces q

qp ⇒ :enteSimbólicam

p es llamada la hipótesis

q es llamada la tesis o conclusión

Método Directo

El Método Directo es el mas comúnmente usado.

En este método el resultado que se quiereEn este método el resultado que se quieredemostrar se deduce directamente medianterazonamiento lógico a partir de las hipótesis osuposiciones y utilizando resultados yademostrados y/o definiciones dadas.

Método Indirecto

Ejemplo: Demostrar que si n2 es un númeroimpar entonces n también es un número impar.

Para demostrar que esta afirmación es verdadera podemosargumentar de la siguiente manera:

¿Qué sucedería si n fuera par?

Si n es par entonces n2 debe ser par (debido al resultado ya probado)

Por tanto n no puede ser par y en consecuencia n debe ser impar

En el Método Indirecto , expuesto en el ejemplo anterioren realidad estamos usando una equivalencia bien conocida en la lógica matemática:

pqqp ~~ ⇒≡⇒

En el ejemplo: p: n es par y q: n2 es parEn el ejemplo: p: n es par y q: n2 es par

~p: n no es par o equivalentemente ~p: n es impar

~q: n2 no es par o equivalentemente ~q: n2 es impar

~p es llamada la negación de p y se lee “no p”

Es decir que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

⇒

⇒

n es par n2 es par

n2 es impar n es impar

:qp ⇒

:~~ pq ⇒

pqqp ~~ ⇒≡⇒

pq ~~ ⇒ qp ⇒

pq ⇒ qp ⇒

es llamada la contrarrecíproca de

es llamada la recíproca de

Ejemplo: Usando el método directo también podemos probar la siguiente afirmación:

Si n es un número impar entonces n2 es impar

Ejemplo: Usando el método indirecto también podemos probar la siguiente afirmación:

Si n2 es un número par entonces n es par

Es decir que hemos probado los siguientes resultados:

n es par si y solo si n2 es par

n es impar si y solo si n2 es impar

Ejemplo: irracional númeroun es 2 queDemostrar

racional es no que númeroun es irracional númeroUn

Método de Contradicción

enteros números y con ,

:forma laen escribir pueden

se que números los son todos racionales números Los

nmn

m

racional númeroun es 2 que Supongamos

n

m=2 que supongamosdecir Es

Demostración:

n

comunes. factores

tienenno y quedecir es simple, mas formasu

en estáfracción esta que supongamos Además,

nm

( )2

222

=⇒=n

m

n

m

22 2nm =⇒

2

2

2n

m=⇒

par es 2m⇒ par es m⇒

km 2=⇒

Elevando al cuadrado tenemos:

km 2=⇒

( ) 22 22 nk =⇒ 22 24 nk =⇒ 222 nk =⇒

par es 2n⇒

Sustituyendo arriba tenemos:

par es n⇒

Así, hemos obtenido que m y n tienen un factor común 2.

Lo cual es una contradicción con la suposición inic ial deque m y n no tienen factores comunes.

falsa. es racional númeroun es

2 que de inicial suposición la que entonces deduce Se

racional.

númeroun es no 2 que entonces Concluimos

falsa. es racional númeroun es

.irracional númeroun es 2 palabras, otrasEn

El Método de Contradicción consisteentonces en afirmar o suponer lo contrariode lo que se quiere demostrar para tratar dellegar, mediante un razonamientodeductivo, a una contradicción.

Alcanzar una contradicción indica que esfalsa la premisa o suposición inicial detrabajo y que, por tanto, tiene que ser válidala afirmación o tesis original.

Método del Contraejemplo

Ejemplo: Demostrar o refutar la siguiente afirmación

Si n1 y n2 son números naturales entonces n1 – n2 es unnúmero natural.

Esta afirmación es claramente falsa pues si por ejemplon1 = 3 y n2 = 5 entonces n1 – n2 = 3 – 5 = – 2 que no esun número natural.

El Método del Contraejemplo se utiliza parademostrar que una afirmación es falsa.

El método consiste en exhibir o demostrar laEl método consiste en exhibir o demostrar laexistencia de por lo menos un elemento queno cumple determinada propiedad la cual seesta afirmando que es válida

Ejemplo: Demostrar o refutar la siguiente afirmación

Si r1 y r2 son números irracionales entonces el productor1 x r2 también es un número irracional.

ejemplopor si porque falsa es afirmación La

entonces 2y 2

ejemplopor si porque falsa es afirmación La

21 == rr

( ) 22222

21 ==×=× rr

El Principio de Inducción Matemática

Este es un método de demostración debido a GiuseppePeano (1858 – 1932).

Este método es usado para demostrar teoremas que secumplen para todos los números naturales.cumplen para todos los números naturales.

Ejemplo:

Suponga que usted necesita calcular la suma de todos losnúmeros enteros entre 1 y 100.

¿Cómo podemos hacer esto rápidamente sin tener quesumar los números uno a uno?sumar los números uno a uno?

?

Volveremos sobre este problema mas tarde

¿Cómo demostrar esta fórmula?

EJERCICIOS

Ejercicio 1: Demostrar la siguiente afirmación

“Si n es un número impar entonces n2 es un número impar”

Demostración:

ENUNCIADO RAZONn es número impar12 += knElevamos al cuadrado

Desarrollo del binomio

Factorizamos 2

es impar Definición de número impar

22 )12( += kn

144 22 ++= kkn

2n

1)22(2 22 ++= kkn

Ejercicio 2: Demostrar la siguiente afirmación

“Si n2 es un número par entonces n es un número par”

Demostración:

Para la demostración de este resultado simplemente podemos recordar que

pqqp ~~ ⇒≡⇒

y usamos el ejercicio anterior.

p: n es un número impar q: n2 es un número impar

~p: n es un número par ~q: n2 es un número par

ENUNCIADO RAZONSupongamos que n es impar Negación de la tesis o conclusión

Es decir que usamos el método indirecto:

n2 es impar Por el ejercicio anterior

Esto no puede ser Hipótesis

n debe ser un número par Consecuencia de lo anterior

Ejercicio 3:

Demostrar que si PR = QS entonces PQ = RS.

ENUNCIADO RAZONAdición de segmentosAdición de segmentos

PRQRPQ =+QSRSQR =+

Demostración:

Adición de segmentos

Hipótesis

Propiedad de sustituciónSustracción

QSRSQR =+QSPR =

RSQRQRPQ +=+RSPQ =

Ejercicio 4: Demostrar o refutar la siguiente afirmación

“Si y son números irracionales entonces también 1r

r1r

2r“Si y son números irracionales entonces también

es irracional”.2r

1r2r

Demostración:

Esta afirmación es falsa porque si por ejemplo y entonces

21 =r22 =r

que no es un número irracional.

12

2

2

1 ==r

r

ProyectoAlianza de Matemáticas y Ciencias del Turabo

(AMCT)

Gracias por su atención

Este Proyecto es sufragado con fondos del Programa Título II-B, “No Child Left Behind”,“Math and Science Partnership” del Departamento de Educación.