el lenguaje de la lógica proposicional

Tema 2. EL LENGUAJE DE LA

LÓGICA PROPOSICIONAL

a) La construcción de fórmulas bien formadas

Cuando el lenguaje falla…

Una oración puede ser defectuosa a 3 niveles:

1. SINTÁCTICO

A esta oración del castellano les falla algo

A este otra oración le fallar todavía más cosa

Última es esta galimatías un oración puro



2. SEMÁNTICO

Esta pitufa del castellano tiene una palabra un poco rara

Las ideas verdes incoloras duermen furiosamente

Confucio es impar

La existencia es el devenir del karma cuántico



3. PRAGMÁTICO

Él ha dicho que le dé la medicina

“Declaro abierta la sesión” (dicho por un conserje del Parlamento)

¿Me da un libro sobre cómo hacer amigos, carahuevo?

3 niveles de análisis del lenguaje

1. SINTAXIS: Centrada en la estructura formal de las oraciones

2. SEMÁNTICA: Centrada en las condiciones de verdad de las oraciones

3. PRAGMÁTICA: Centrada en los efectos del contexto sobre las oraciones

3 niveles de análisis del lenguaje

En lógica sólo nos va a interesar la sintaxis y la semántica.

Dentro de la semántica sólo nos va a interesar la parte formal: el modo en que la disposición formal de los elementos afecta a los valores de verdad

El alfabeto lógico

• Todo lenguaje necesita de:

1. Un alfabeto, i.e., un conjunto de elementos primitivos desde los que construimos sus expresiones

• El alfabeto latino no resulta ser el mismo que el ruso

El alfabeto lógico

• Todo lenguaje necesita de:

2. Reglas de combinación de los elementos primitivos

• Inglés y español comparten alfabeto, pero no admiten las mismas combinaciones:

THR no es una combinación de letras admisible en español

Alfabeto de la lógica proposicional

• El lenguaje de la lógica proposicional (L0) necesita tres tipos distintos de símbolos:

1. CONSTANTES PROPOSICIONALES

2. CONECTIVAS LÓGICAS

3. SÍMBOLOS AUXILIARES


1. CONSTANTES PROPOSICIONALES- Simbolizan oraciones o proposiciones,

i.e., unidades que tienen un valor de verdad

- Son los equivalentes lógicos de ‘llueve’, ‘yo soy Pepe’, ‘mañana es viernes,

‘el universo es una sucesión infinita de transmigraciones cósmicas


1. CONSTANTES PROPOSICIONALES- Utilizaremos las siguientes letras minúsculas:

p, q, r, s, t, u- Si necesitamos simbolizar más oraciones (un

número infinito de ellas), recurrimos a subíndices numéricos:

p1, p2, p3, p4, p5 …


2. CONECTIVAS LÓGICAS- Las oraciones pueden conectarse entre sí por

medio de partículas con valor lógico- Las principales partículas son cinco, que

equivalen a las siguientes:

Y, O, SI…(ENTONCES), SI Y SÓLO SI, NO


2. CONECTIVAS LÓGICAS- Estas partículas caen en dos grupos:a) Binarias: Las que conectan dos oraciones:

‘Hume canta Y Kant humea‘Platón tiene razón O la tiene Aristóteles’‘SI Dios no existe, todo está permitido’‘Aprobaré lógica SI Y SÓLO SI estudio’


2. CONECTIVAS LÓGICAS- Estas partículas caen en dos grupos:b) Monarias: Las que se aplican a una sola

oración:‘NO hay vida más allá de Marte’‘NO todos los filósofos están locos’‘Los filosófos NO están locos’


2. CONECTIVAS LÓGICAS- En lógica estas partículas reciben nombres y

símbolos especiales:

No = NEGADOR

¬

Alfabeto de la lógica proposicional2. CONECTIVAS LÓGICAS- En lógica estas partículas reciben nombres y


Y = CONYUNTOR

∧



O = DISYUNTOR

∨



SI…(ENTONCES) = CONDICIONAL

→



SI Y SÓLO SI = BICONDICIONAL

↔


3. SÍMBOLOS AUXILIARES- Son paréntesis y corchetes, que sirven para

agrupar los otros símbolos de manera que se puedan evitar ambigüedades:

( ) [ ]


He aquí todo de una vez:

CONSTANTES: p, q, r, s, t, u, p1, p2, p3 …

CONECTIVAS: ¬, ∧, ∨, →, ↔AUXILIARES: (, ), [, ]

Recursividad• La mayoría de los lenguajes son recursivos:

empleando un número finito de elementos es posible construir un número infinito de oraciones.

La mosca a la que persigue la araña a la que persigue el ratón al que persigue el gato al que persigue el perro es de color negro.

Recursividad

• Una fuente de recursividad es la posibilidad de unir oraciones simples para formar compuestas.

• Las partículas lógicas desempeñan en esto un papel fundamental.

Recursividad• La recursividad comienza por tomar algunos elementos

básicos y definir cómo se construyen los elementos complejos a partir de ellos:

- Dadas las oraciones ‘Hume canta’, ‘Kant baila’, también son oraciones las siguientes:Hume canta y Kant bailaHume canta o Kant bailaSi Hume canta, Kant bailaHume no cantaKant no bailaHume canta si y sólo si Kant baila ETC.

Recursividad• Podemos seguir aplicando esto en general: dadas

las oraciones O y O’, son también oraciones las siguientes:O y O’, O o O’, Si O entonces O’, no O, etc.

• Podemos aplicar la regla cuantas veces queramos: dado que ‘Hume canta y Kant baila’ y ‘Hegel da palmas’ son oraciones, también lo será ‘Si Hume canta y Kant baila, Hegel da palmas’

Recursividad-Hume canta o Kant baila o Hegel da palmas-Hume canta y Kant baila y Hegel da palmas-Hume canta, o Kant baila y Hegel da palmas-Hume canta o Kant baila, y Hegel da palmas-Si Hume canta y Hegel da palmas, Kant baila-Hegel da palmas si y sólo si Kant baila-Si Hume canta, entonces si Kant baila, Hegel da

palmas

Recursividad• La recursividad permite construir algunas oraciones

peculiares:-Hume canta y Kant baila y Hume canta y Kant baila y Hume

canta y Kant baila…-Si Hegel da palmas, Hegel da palmas-Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o

Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta

Son peculiares desde el punto de vista pragmático, pero sintáctica y semánticamente están bien construidas

Recursividad• Nuestro lenguaje lógico también va a ser

recursivo.• Las oraciones en nuestro lenguaje se van a llamar

FÓRMULAS• Comenzaremos por definir cuáles son las

oraciones simples o fórmulas atómicas

• A continuación daremos un método de combinación de fórmulas atómicas para obtener oraciones compuestas o fórmulas moleculares

Fórmulas atómicas• Serán las que correspondan a las oraciones

simples del castellano: sin ninguna partícula lógica.

• Se trata por tanto de las constantes proposicionales:pqr…

son (algunas) fórmulas atómicas

Fórmulas moleculares

• Las formaremos a partir de las atómicas, empleando las conectivas lógicas:

p ∧ q

p ∨ r

q → p

r ↔ q

¬q

son (algunas) fórmulas moleculares

Ambigüedad• En el lenguaje natural con frecuencia

aparecen posibles ambigüedades:

-Hume canta o Kant baila y Hegel da palmas

¿Da o no da palmas Hegel?

Ahora sí: Hume canta o Kant baila, y Hegel da palmas

Ahora no se sabe: Hume canta, o Kant baila y Hegel da palmas

Ambigüedad• En lógica queremos construir fórmulas que

excluyan toda ambigüedad.• En el lenguaje natural usamos diversos

elementos para evitar la ambigüedad, como: 1) pausas prosódicas, 2) signos de puntuación y, 3) el contexto.

• Pero en lógica sólo tenemos un recurso (parecido a 2): construir las fórmulas con reglas muy precisas.

Ambigüedad- Nuestro principal recurso contra la ambigüedad

son los PARÉNTESIS.- Sea: p ≡ Hume canta ; q ≡ Kant baila;

r ≡ Hegel da palmas

p ∨ q ∧ r es AMBIGUA; equivale a:

Hume canta o Kant baila y Hegel da palmas

p ∨ (q ∧ r) ≡ H canta, o K baila y Heg da palmas

(p ∨ q) ∧ r ≡ H canta o K baila, y Heg da palmas

Metavariables- Si la lógica es nuestro lenguaje objeto, el

castellano es su metalenguaje.- Pero necesitamos ampliar nuestro

metalenguaje con algunos símbolos que hacen las veces de abreviaturas.

- Para referirnos a fórmulas en general usaremos letras griegas:

α β γ …- Las llamaremos METAVARIABLES

Metavariables- Una constante, como p, representa aquello que la

hace verdadera o falsa (llueve; las rosas son rojas, etc)

- Una metavariable, como α, representa cualquier fórmula:

p ; ¬q ; p→r ; p ∧ (q ∨ r) ; p →(p →p)…

- Vamos a definir nuestras reglas de formación de fórmulas de manera más precisa

Reglas de formación

• (i) Toda constante proposicional sola es una fórmula (atómica)

• (ii) Si α es fórmula, entonces ¬α es fórmula• (iii) Si α, β son fórmulas, (α ∧ β), (α ∨ β),

(α → β), (α ↔ β) son fórmulas• (iv) Sólo son fórmulas las secuencias que

satisfacen (i), (ii) o (iii)


• (i) Toda constante proposicional sola es una fórmula

- De este modo obtenemos nuestras fórmulas atómicas:p q r s t

u p1 p2 p3 …

Reglas de formación• (ii) Si α es fórmula, entonces ¬α es fórmula- Dadas las anteriores, también son fórmulas:

¬p ¬q ¬r ¬s ¬t

¬u ¬p1 ¬p2 ¬p3 …

-Podemos aplicar recursivamente (ii) sobre las fórmulas recién obtenidas: ¬¬p ¬¬q … ¬¬¬pTodas estas también son fórmulas


• (iii) Si α, β son fórmulas, (α ∧ β), (α ∨ β), (α → β), (α ↔ β) son fórmulas

-Dadas (i) y (iii) serán fórmulas:(p ∧ q) (p ∧ s) (p ∧ r) … (q ∧p ) …(p ∨ q) (p ∨ s) (p ∨ r) … (q ∨ p) …(p → q) (p → r) …(p ↔ q) (p ↔ r) …



-Si además tenemos en cuenta (ii), son fórmulas:(p ∧ ¬q) (¬p ∧ s) (p ∧ ¬r) … (q ∧ ¬p ) …(¬p ∨ q) (p ∨ ¬s) (¬p ∨ ¬r) … (¬q ∨ p) …(p → ¬q) (¬p → r) (¬p → ¬r) … (¬p ↔ q) (p ↔ ¬r) (¬p ↔ r) …



-Y podemos aplicar otra vez (ii) sobre las últimas fórmulas :

¬(p ∧ ¬q) ¬(¬p ∧ s) ¬(p ∧ ¬r) … ¬(q ∧ ¬p ) …¬(¬p ∨ q) ¬(p ∨ ¬s) ¬(¬p ∨ ¬r) …¬ (¬q ∨ p) …¬(p → ¬q) ¬(¬p → r) ¬(¬p → ¬r) … ¬(¬p ↔ q) ¬(p ↔ ¬r) ¬(¬p ↔ r) …¬¬(p ∧ q) … ¬¬(¬p → ¬q) … ¬(p ↔ ¬¬q) …


- Y podemos seguir aplicando (ii) y (iii) cuanto queramos:

(p ∧ (p ∧ q)) (¬p ∧ (q ∨ ¬s)) (p ∧ ¬r) → (q ∧ ¬p )(p → ((¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬s))) ((¬p ∨ ¬r) ↔ (¬q ∨ p)) ∨ (p → ¬q)…


(iv) Sólo son fórmulas las secuencias que satisfacen (i), (ii) o (iii)

- Esta es una cláusula de cierre, que limita nuestras fórmulas exclusivamente a las formadas por las reglas anteriores.

Reglas de simplificación

• Pueden suprimirse siempre:

(a) Los dos paréntesis externos:

(p → (q ∨ ¬r)) ≡ p → (q ∨ ¬r)

(Nota: El símbolo ≡ se lee como ‘es equivalente a’)

Reglas de simplificación

• Pueden suprimirse siempre:

(b) Los paréntesis internos no precedidos de negador en secuencias compuestas totalmente por conyuntores o totalmente por disyuntores:

(p ∧ (q ∧ r)) ≡ (p ∧ q ∧ r)

pero (p ∧ ¬(q ∧ r)) ≠ (p ∧ ¬q ∧ r) !!

(p ∨ (¬q ∨ r)) ≡ (p ∨ ¬q ∨ r)

pero (p ∨ ¬(q ∨ r)) ≠ (p ∨ ¬q ∨ r) !!

Conectiva dominante• Consideremos cómo se forman las fórmulas

moleculares:- La última regla de formación que hayamos usado

ha tenido que ser (ii) o (iii), i.e., la última regla ha introducido el negador o una conectiva binaria:

¬p lo último introducido es el negador ¬q ∧ ¬r lo último introducido es el conyuntor ∧p ∨ (q → r) lo último introducido es el disyuntor ∨¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) lo último introducido es ↔

Conectiva dominante• La última conectiva introducida será la

CONECTIVA DOMINANTE de la fórmula.• Es importante distinguirla, porque es a la que

habrá que atender para determinar el valor de verdad de la fórmula.

p ↔ (r → s)¬(p → (q ∨ r))¬p ∨ (p ∧ (p → p))¬((p ∧ q) ∧ ¬(p ∧ q))(((p → q) ∧ p) → q) ∧ p¬(p ∧ ¬(q → r ∧ ¬(p ∨ q)))

↔¬∨

el segundo ∧el primer ¬

no es fórmula

Ejercicio: ¿cuáles son fórmulas?

(¬(p → ¬q)

(p → q) ∨ ¬p → q

((q → (r ∨ ¬s)) → (¬¬p ∧ q)) ↔ ¬r

¬(s → (p ∧ q¬))

¬(p → (¬q → ¬(r →(¬s → t))))

¬¬¬¬¬¬ ¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬p

(¬q ∨ (r → (¬p ↔ q))) ↔ (q → (¬r ∨ (p ↔ ¬q)))

NO

NO

SÍ

NO

SÍ

NO

SÍ

¬

Ejercicio: ¿cuáles son fórmulas?((¬q ∨ r) → ¬(p ↔ q)) ↔ ¬(q → r) ∨ ((p ∧ ¬q) ∨ q)

¬(p → ¬q) → ¬r) →¬s) → t))))

(((p ∨ q ∨ ¬r) → (¬q ∧ ¬p)) ∧ (p ∨ ¬s)) → (¬p ∧ q ∧ r)

(p ∨ (q ∨ ¬p ∧ r)) → (p ∨ q)

(((p → (q ∨ ¬r)) → (¬q ∨ s)) ↔ (s ← ¬p)) ∨ (p ∧ q)

(p ∨ q ∨ ¬r) ∧ (p ∨ ¬q ∨ ¬r) ∧ (¬p ∨ q ∨ r)

(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q)

NO

NO

SÍ

NO

NO

SÍ

SÍ

Ejercicio: conectiva dominante

¬(p → ¬q)

(p → q) ∨ (¬p → q)

((q → (r ∨ ¬s)) → (¬¬p ∧ q)) ↔ ¬r

¬(s → (p ∧ q))

¬(p → (¬q → ¬(r →(¬s → t))))

¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬p

(¬q ∨ (r → (¬p ↔ q))) ↔ (q → (¬r ∨ (p ↔ ¬q)))

el primer ¬

∨↔

¬

el primer ¬

el primer ¬

2º ↔

Ejercicio: conectiva dominante(((¬q ∨ r) → ¬(p ↔ q)) ↔ ¬(q → r)) ∨ ((p ∧ ¬q) ∨ q)

¬((((p → ¬q) → ¬r) →¬s) → t)

(((p ∨ q ∨ ¬r) → (¬q ∧ ¬p)) ∧ (p ∨ ¬s)) → (¬p ∧ q ∧ r)

(p ∨ (q ∨ (¬p ∧ r))) → (p ∨ q)

(((p → (q ∨ ¬r)) → (¬q ∨ s)) ↔ (s ↔ ¬p)) ∨ (p ∧ q)

(p ∨ q ∨ ¬r) ∧ (p ∨ ¬q ∨ ¬r) ∧ (¬p ∨ q ∨ r)

(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q)

2º ∨ el primer ¬

2º→→

3er ∨

cualquier ∧

cualquier ∨

el lenguaje de la lógica proposicional

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