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El Geoplano como Herramienta Didáctica para laEnseñanza de la Geometŕıa
Luis F. Cáceres Ph.DCésar A. Barreto
Universidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de Mayagüez
Abril 30 de 2011
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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¿Que es el Geoplano?
El geoplano es un elemento didáctico que ayuda a introducir yafianzar gran parte de los conceptos de la geometŕıa plana, al seruna herramienta concreta permite a los estudiantes obtener unamayor comprensión de diversos términos de esta materia.
Se pueden formar figuras geométricas.
Los estudiantes puedan establecer semejanzas y diferenciasentre paralelismo-perpendicularidad.
Identificar la relación entre superficie-volumen, entre muchosotros conceptos
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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¿Que es el Geoplano?
El geoplano es un elemento didáctico que ayuda a introducir yafianzar gran parte de los conceptos de la geometŕıa plana, al seruna herramienta concreta permite a los estudiantes obtener unamayor comprensión de diversos términos de esta materia.
Se pueden formar figuras geométricas.
Los estudiantes puedan establecer semejanzas y diferenciasentre paralelismo-perpendicularidad.
Identificar la relación entre superficie-volumen, entre muchosotros conceptos
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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¿Que es el Geoplano?
El geoplano es un elemento didáctico que ayuda a introducir yafianzar gran parte de los conceptos de la geometŕıa plana, al seruna herramienta concreta permite a los estudiantes obtener unamayor comprensión de diversos términos de esta materia.
Se pueden formar figuras geométricas.
Los estudiantes puedan establecer semejanzas y diferenciasentre paralelismo-perpendicularidad.
Identificar la relación entre superficie-volumen, entre muchosotros conceptos
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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¿Que es el Geoplano?
El geoplano es un elemento didáctico que ayuda a introducir yafianzar gran parte de los conceptos de la geometŕıa plana, al seruna herramienta concreta permite a los estudiantes obtener unamayor comprensión de diversos términos de esta materia.
Se pueden formar figuras geométricas.
Los estudiantes puedan establecer semejanzas y diferenciasentre paralelismo-perpendicularidad.
Identificar la relación entre superficie-volumen, entre muchosotros conceptos
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Tipos de Geoplanos
Geoplano Cuadrado: Es el ideal parala describir conceptos tales como seg-mentos, lineas poligonales abiertas,lineas poligonales cerradas, cálculo deáreas y peŕımetros, entre otros.
Geoplano Isométrico: Es tambiénconocido como Geoplano triángular,se contruye a través de triángulosequiláteros. Se usa frecuentemente enla contrucción de figuras tridimensio-nales.
Geoplano Circular: Es útil paraconstruir figuras inscritas, circunscri-tas, poĺıgonos regulares, entre otros.Ayuda a clarificar los conceptos de ra-dio, diámetro y cuerda.
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Tipos de Geoplanos
Geoplano Cuadrado: Es el ideal parala describir conceptos tales como seg-mentos, lineas poligonales abiertas,lineas poligonales cerradas, cálculo deáreas y peŕımetros, entre otros.
Geoplano Isométrico: Es tambiénconocido como Geoplano triángular,se contruye a través de triángulosequiláteros. Se usa frecuentemente enla contrucción de figuras tridimensio-nales.
Geoplano Circular: Es útil paraconstruir figuras inscritas, circunscri-tas, poĺıgonos regulares, entre otros.Ayuda a clarificar los conceptos de ra-dio, diámetro y cuerda.
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Tipos de Geoplanos
Geoplano Cuadrado: Es el ideal parala describir conceptos tales como seg-mentos, lineas poligonales abiertas,lineas poligonales cerradas, cálculo deáreas y peŕımetros, entre otros.
Geoplano Isométrico: Es tambiénconocido como Geoplano triángular,se contruye a través de triángulosequiláteros. Se usa frecuentemente enla contrucción de figuras tridimensio-nales.
Geoplano Circular: Es útil paraconstruir figuras inscritas, circunscri-tas, poĺıgonos regulares, entre otros.Ayuda a clarificar los conceptos de ra-dio, diámetro y cuerda.
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Uso del Geoplanos como Plano Cartesiano
Otra forma de usar el Geoplano es trabajarlo como un planocartesiano, en donde cada clavo denota un punto en el plano,como se muestra en la figura
El punto (1, 6) representa un movimiento de forma horizontal yluego 6 movimientos de forma vertical. Si en cambio se tomará elpunto (6, 1) este representaŕıa seis movimiento de forma horizontaly luego un movimientos de forma vertical. Es por esto que cadapunto en el plano es una pareja ordenada, es decir, el orden delos números, indica la posición en el que se ubicará el punto en elplano.
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Uso del Geoplanos como Plano Cartesiano
Otra forma de usar el Geoplano es trabajarlo como un planocartesiano, en donde cada clavo denota un punto en el plano,como se muestra en la figura
(1,6)
El punto (1, 6) representa un movimiento de forma horizontal yluego 6 movimientos de forma vertical. Si en cambio se tomará elpunto (6, 1) este representaŕıa seis movimiento de forma horizontaly luego un movimientos de forma vertical. Es por esto que cadapunto en el plano es una pareja ordenada, es decir, el orden delos números, indica la posición en el que se ubicará el punto en elplano.
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Uso del Geoplanos como Plano Cartesiano
Otra forma de usar el Geoplano es trabajarlo como un planocartesiano, en donde cada clavo denota un punto en el plano,como se muestra en la figura
(1,6)
(6,1)
El punto (1, 6) representa un movimiento de forma horizontal yluego 6 movimientos de forma vertical. Si en cambio se tomará elpunto (6, 1) este representaŕıa seis movimiento de forma horizontaly luego un movimientos de forma vertical. Es por esto que cadapunto en el plano es una pareja ordenada, es decir, el orden delos números, indica la posición en el que se ubicará el punto en elplano.
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Recordemos: Áreas y Peŕımetros de Figuras Planas I
Figura Área Peŕımetro
l
l
A = l2 P = 4l
b
h
A = b · h P = 2b+ 2h
h
a
b
c
A =b · h2
P = a+ b+ c
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Recordemos: Áreas y Peŕımetros de Figuras Planas I
Figura Área Peŕımetro
l
l
A = l2 P = 4l
b
h
A = b · h P = 2b+ 2h
h
a
b
c
A =b · h2
P = a+ b+ c
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Recordemos: Áreas y Peŕımetros de Figuras Planas I
Figura Área Peŕımetro
l
l
A = l2 P = 4l
b
h
A = b · h P = 2b+ 2h
h
a
b
c
A =b · h2
P = a+ b+ c
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Recordemos: Áreas y Peŕımetros de Figuras Planas II
Figura Área Peŕımetro
a
b
h
A = b · h P = 2a+ 2b
a
b
B
h
A =(B + b) · h
2P = 2a+B + b
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Recordemos: Áreas y Peŕımetros de Figuras Planas II
Figura Área Peŕımetro
a
b
h
A = b · h P = 2a+ 2b
a
b
B
h
A =(B + b) · h
2P = 2a+B + b
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Ejemplo I
Example
Construya y calcule el peŕımetro de la siguiente figura.
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Solución I
Note que la figura se puede separar en triángulos rectángulos comose muestra a continuación.
Aśı podemos calcular los valores que corresponden a cada uno delos segmentos, utilizando el teorema de Pitágoras
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Ejemplo II
Example
Construya y calcule el área del triángulo sombreado si el área totalde la siguiente figura es 22 unidades cuadradas.
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Solución II
Note que la figura se puede separar como se muestra acontinuación.
AE
B
C
D
Aśı podemos calcular el área como la suma de de cada una de lasfiguras en las que se dividió, es decir:
A = Atotal − (B + C +D + E) = 3
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Ejemplo III-1
Example
Construya y calcule el área y el peŕımetro de las siguientes figuras.
A
B
C
D
E
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Ejemplo III-2
Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.
Figura Área Número de puntos sobre el borde
A
6 14
B
3.5 9
C
2 6
D
9 20
E
1 4
¿ ?
¿Es posible deducir una relación entre el área y elnúmero de puntos sobre el borde?
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Ejemplo III-2
Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.
Figura Área Número de puntos sobre el borde
A 6 14
B
3.5 9
C
2 6
D
9 20
E
1 4
¿ ?
¿Es posible deducir una relación entre el área y elnúmero de puntos sobre el borde?
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Ejemplo III-2
Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.
Figura Área Número de puntos sobre el borde
A 6 14
B 3.5 9
C
2 6
D
9 20
E
1 4
¿ ?
¿Es posible deducir una relación entre el área y elnúmero de puntos sobre el borde?
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Ejemplo III-2
Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.
Figura Área Número de puntos sobre el borde
A 6 14
B 3.5 9
C 2 6
D
9 20
E
1 4
¿ ?
¿Es posible deducir una relación entre el área y elnúmero de puntos sobre el borde?
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Ejemplo III-2
Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.
Figura Área Número de puntos sobre el borde
A 6 14
B 3.5 9
C 2 6
D 9 20
E
1 4
¿ ?
¿Es posible deducir una relación entre el área y elnúmero de puntos sobre el borde?
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Ejemplo III-2
Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.
Figura Área Número de puntos sobre el borde
A 6 14
B 3.5 9
C 2 6
D 9 20
E 1 4
¿ ?
¿Es posible deducir una relación entre el área y elnúmero de puntos sobre el borde?
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Ejemplo III-2
Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.
Figura Área Número de puntos sobre el borde
A 6 14
B 3.5 9
C 2 6
D 9 20
E 1 4
¿ ?
¿Es posible deducir una relación entre el área y elnúmero de puntos sobre el borde?
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Formula de Pick
La formula de Pick relaciona el área de un poĺıgono simple cuyosvértices tienen coordenadas enteras con el número de puntos en suinterior y en su borde.
Formula de Pick (Sin Puntos Interiores)
Sea B el número de puntos en el borde del poĺıgono, entonces elárea A del poĺıgono se puede calcular a partir de la fórmula:
A =B
2− 1
Formula de Pick (Con Puntos Interiores)
Sea i el número de puntos interiores del poĺıgono y B el número depuntos en el borde del poĺıgono, entonces el área A del poĺıgono sepuede calcular a partir de la fórmula:
A = i+B
2− 1
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Formula de Pick
La formula de Pick relaciona el área de un poĺıgono simple cuyosvértices tienen coordenadas enteras con el número de puntos en suinterior y en su borde.
Formula de Pick (Sin Puntos Interiores)
Sea B el número de puntos en el borde del poĺıgono, entonces elárea A del poĺıgono se puede calcular a partir de la fórmula:
A =B
2− 1
Formula de Pick (Con Puntos Interiores)
Sea i el número de puntos interiores del poĺıgono y B el número depuntos en el borde del poĺıgono, entonces el área A del poĺıgono sepuede calcular a partir de la fórmula:
A = i+B
2− 1
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Formula de Pick
La formula de Pick relaciona el área de un poĺıgono simple cuyosvértices tienen coordenadas enteras con el número de puntos en suinterior y en su borde.
Formula de Pick (Sin Puntos Interiores)
Sea B el número de puntos en el borde del poĺıgono, entonces elárea A del poĺıgono se puede calcular a partir de la fórmula:
A =B
2− 1
Formula de Pick (Con Puntos Interiores)
Sea i el número de puntos interiores del poĺıgono y B el número depuntos en el borde del poĺıgono, entonces el área A del poĺıgono sepuede calcular a partir de la fórmula:
A = i+B
2− 1
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano
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Ejemplo IV
Example
Construya y calcule el área de la siguiente figura utilizando laFormula de Pick.
Luis F. Cáceres, Cesar A. Barreto El Geoplano