El fracaso de la matemtica moderna. Por qu Juanito no sabe sumar?Morris KlaneLe he dado un argumento, pero no estoy obligado a hacrselo comprender. Samuel JohnsonLa crtica ms importante, que se dirige contra el lgebra en particular, es que impone un proceso mecnico y por tanto fuerza al alumno a confiar sobre todo en la memoria antes que en la comprensin. En cada caso se les pide que imiten lo que el maestro y el libro hacen. Por tanto, los alumnos se enfrentan con una variedad desconcertante de procedimientos que aprenden de memoria a fin de dominarlo. Casi siempre el aprendizaje es completamente memorstico.En matemticas es fundamental el concepto de demostracin y as en geometra los alumnos tienen la oportunidad de aprender lo ms caracterstico de la asignatura. Pero puesto que la demostracin final deducida de un teorema es generalmente el resultado final de un montn de conjeturas y experimentaciones () la demostracin no es necesariamente natural, es decir, la que se le ocurrira inmediatamente al adolescente. Por otra parte, el argumento deductivo no da idea de las dificultades que hubo que superar al hacer por primera vez la demostracin. As pues, el alumno no puede comprender el razonamiento de sta y hace en geometra lo mismo que en lgebra. Aprende de memoria la demostracin.Con o sin demostracin, el mtodo de enseanza tradicional es el resultado de un tipo de enseanza: la memorizacin. La verdadera matemtica, como deca el famoso matemtico de este siglo Hermann Weyl, tiene las propiedades inhumanas de la luz de las estrellas, es brillante y ntida, pero fra. Tambin es abstracta. Trabaja con concepto, aunque algunos, tales como los geomtricos, pueden visualizarse. Por ambos motivos, la frialdad y la abstraccin muy pocos estudiantes se sienten atrados por la materia.Por qu es importante saber que los ngulos opuestos de un paralelogramo son iguales o que las alturas de un triangulo se cortan en un punto?Las matemticas atraen a unos pocos estudiantes por estmulo intelectual o porque les gusta algo que esperan hacer bien. El raro estudiante que experimenta este estimulo puede verdaderamente sentirse intrigado como algunos matemticos- por el hecho de que slo haya cinco poliedros regulares. Sin embargo, por lo que respecta a la mayor parte de los estudiantes, el mundo sera igualmente cmodo si hubiera un nmero infinito de ellos. De hecho, hay un nmero infinito de polgonos regulares y nadie parece deprimirse por ello.Verdaderamente hay un valor intelectual en las matemticas. Pero cabe preguntarse si los jvenes pueden apreciarlo, de igual manera que cabe preguntarse si un nio de seis aos puede apreciar la msica de Beethoven. Si el profesor demuestra un teorema de matemticas, el alumno an estar luchando por comprender el teorema, su demostracin y su significado. Mientras el estudiante libre tales luchas no es probable que se impresione con el contenido intelectual y los logros de la mente humana. En l, el teorema y la demostracin producen desconcierto y confusin. Todos estos problemas son desesperadamente artificiales y no convencern a nadie de que el lgebra es til.An el uso de la palabra aplicacin es a menudo molesto. () ya que la matemtica no es ms que una descripcin de la fsica y un medio de resolver problemas fsicos y de otro tipo. Si no se da significado a las matemticas es como si se enseara a los estudiantes a leer la notacin musical sin permitirles interpretar la msica. El plan tradicional ha sido fielmente reproducido en miles de libros de texto. La impresin ms general sobre los textos tradicionales es que son insufriblemente pesados. La mayor parte de los autores de libros de texto parecen creer que una obra cientfica debe ser fra, sin imaginacin, mecnica y seca. Estos libros no tienen autor. No slo estn impresos por mquinas, tambin estn escritos por mquinas.Los autores de libros de texto tambin parecen estar excesivamente orgullosos de su brevedad, la cual, a menudo, puede interpretarse como incomprensibilidad. Las razones de los pasos o no se dan o se dan de forma tan breve que la exposicin resulta casi intil para el estudiante. Muchos de los autores parecen estar diciendo: Yo he aprendido este tema y ahora le desafo a usted que lo aprenda. La brevedad en la exposicin matemtica es la esencia de la estupidez y la oscuridad.La mayor parte de los textos de matemticas tradicionales parecen trabajos comerciales que slo contribuyen a llenar el bolsillo del autor. La experiencia, sin embargo, ensea que para la mayora de la gente culta, e incluso de los cientficos, las matemticas siguen siendo la ciencia de lo incomprensible Alfred Pringsheim.La misma gran ciencia (las matemticas) emplea al menos tanto el poder de la imaginacin como el poder de las conclusiones lgicas Johann Friedrich HerbartUna de las crticas fundamentales al plan tradicional es que los alumnos aprendan a hacer las matemticas maquinalmente, memorizando procedimientos y demostraciones. Las matemticas han sido creadas, despus de todo, por seres humanos que indudablemente las comprendan. Cmo llegaron los maestros Euclides, Arqumedes, Newton, Euler y Gauss a comprender las matemticas? Las matemticas en el sentido estricto se inician con las contribuciones de los egipcios y babilonios durante un periodo aproximado que va desde el ao 3000 al 300 a. de J.C. Estos dos pueblos crearon los rudimentos de la aritmtica, el lgebra y la geometra. La primera civilizacin en la que se puede decir que florecieron las matemticas fue la de la Grecia clsica; esta civilizacin. El uso de una letra para representar un nmero fijo pero desconocido proviene de los griegos. Leibniz fue igualmente desafortunado en muchos de sus artculos. Su primer artculo fue descrito por los famosos hermanos Bernoulli, James y John, como un enigma ms que una explicacin. Eran tan grandes las dificultades para clarificar los conceptos bsicos del clculo, que el famoso matemtico del siglo XVIII Jean LeRond dAlembert tuvo que advertir a los estudiantes: Insistid y la fe vendr a vosotros.Adems, cuando fueron aceptados [los conceptos] no fue la lgica la que indujo a ellos a los matemticos [a los avances], sino los argumentos por analoga, el significado fsico de algunos conceptos y la obtencin de resultados cientficos correctos. En otras palabras, fue la evidencia intuitiva lo que indujo a los matemticos a aceptarlos. La lgica siempre ha venido mucho despus de la intuicin. As, la historia de la matemtica sugiere, aunque no lo apruebe, que es ms difcil el planteamiento lgico. Ensear cientficamente slo quiere decir inducir a pensar cientficamente, de ningn modo enfrentar al alumno, desde el principio, con fros sistemas cientficamente pulidos. Un obstculo esencial para la difusin de tal mtodo, natural y verdaderamente cientfico, es la falta de conocimientos histricos que tan a menudo se hace notarHacia la mitad del siglo XIX se establecieron los diversos tipos de nmeros y sus propiedades sobre la base que se haca de ellos.Los matemticos se ocuparon entonces de la construccin lgica de los fundamentos de las propiedades que haban empleado. De hecho, la lgica tena que justificar aquellas propiedades, antes que determinarlas.