El desarrollo de una disposicioacuten hacia el estudio de la matemaacutetica en los estudiantes ha sido una preocupacioacuten constante en la instruccioacuten matemaacutetica Esta es en gran medida la razoacuten de ser de laDidaacutectica de la Matemaacutetica Pero iquestQueacute es la Didaacutectica de la matemaacuteticaEn una primera aproximacioacuten diremos que la Didaacutectica de la Matemaacutetica es la ciencia que estudia todos los aspectos pedagoacutegicos psicoloacutegicos epistemoloacutegicos socioloacutegicos histoacutericos y filosoacuteficos que influyen en el aprendizaje y asimilacioacuten de la matemaacutetica escolar es decir en los contenidos y meacutetodos reconocidos actualmente por la comunidad cientiacutefica como apropiados para determinado nivel educativoLa Didaacutectica de las Matemaacuteticas tiene como objeto de estudio el sistema didaacutectico formado por el docente el alumno el saber matemaacutetico El determinismo de este objeto lo constituyen las distintas estrategias pedagoacutegicas mediante las cuales la ciencia matemaacutetica se transforma en un objeto de conocimiento para el alumno (a) Este objeto de conocimiento lo llamaremos ldquoasignatura matemaacuteticardquoPartimos del hecho de que el proceso ensentildeanza aprendizaje de la matemaacutetica es una continua accioacuten mental donde el estudiante desarrolla diversas habilidades y utiliza diferentes estrategias con el fi n de descubrir el conocimiento matemaacuteticoA estas acciones mentales es lo que llamamos ldquoproceso de construccioacuten del conocimientordquoDesde esta perspectiva el alumno elabora conceptos realiza demostraciones construye algoritmos resuelve problemas etc La columna vertebral del texto se refiere a los enfoques didaacutecticos de estas acciones mentales

Funcioacuten de la Asignatura de Matemaacutetica en la Escuela PrimariaA la luz de las exigencias del Ministerio de Educacioacuten y tomando en cuenta lo esencial de la asignatura se concluye que las funciones de la asignatura matemaacutetica en la escuela primaria son1048757 Dotar al alumno o alumna de un instrumento loacutegico que incorporado como parte de su cultura le permitan pensar y actuar cientiacuteficamente en las circunstancias que el medio presente1048757 Proporcionarle al alumno o alumna estrategias efectivas de planificacioacuten y organizacioacuten de sus actividades mediante la cuantificacioacuten consciente del tiempo y del espacio1048757 Desarrollar la imaginacioacuten y la creatividad del estudiante en la formulacioacuten de estrategias para abordar con eacutexito las situaciones problemaacuteticas de su medio1048757 Aplicar correctamente los algoritmos de las operaciones fundamentales en el conjunto de los nuacutemeros naturales y el conjunto de los nuacutemeros fraccionarios mediante el conocimiento de las leyes loacutegicas que los rigen1048757 Dotar al alumno o alumna de la sensibilidad cientiacutefica que le permita valorar la importancia de los modelos geomeacutetricos como aproximacioacuten aceptable de las formas y tamantildeos de los objetos los elementos que se pueden definir en dichos objetos y las relaciones entre estos elementos1048757 Desarrollar el pensamiento espacial

PRINCIPIOS PEDAGOacuteGICOS FUNDAMENTALESEN EL ESTUDIO DE LA GEOMETRIacuteAParticularmente creemos que la ensentildeanza de la geometriacutea en el nivel primario y medio es de mucha importancia por las siguientes razones1 Estimula el pensamiento espacial y la fantasiacutea matemaacutetica En efecto los conceptos de formas y tamantildeo de los objetos contribuyen a dar un ordenamiento loacutegico al pensamiento del estudiante2 La Geometriacutea es un instrumento valioso para analizar las relaciones aritmeacuteticas y algebraicasEl ejemplo maacutes sencillo y conocido lo tenemos en la recta numeacuterica La correspondencia entre los puntos de una recta y los nuacutemeros reales establece un puente de valor pedagoacutegico inmenso para la visualizacioacuten y anaacutelisis de cuestiones como la solucioacuten de inecuaciones sin contar con el uso que se puede hacer de los rectaacutengulos y los cuadrados para demostrar el trinomio cuadrado perfecto la diferencia de cuadrados etc3 Las construcciones geomeacutetricas contribuyen al desarrollo de las habilidades manuales en su respectiva incidencia en el desarrollo intelectual4 Dado que la geometriacutea constituye un cuerpo axiomaacutetico bien estructurado su estudio permite desarrollar los niveles de abstraccioacuten en el alumnoDada la importancia del estudio de la disciplina nos parecioacute pertinente dedicar un capiacutetulo completo al anaacutelisis de las diferentes teoriacuteas que se han formulado respecto a coacutemo debe conceptualizarse y coacutemo debe presentarse la geometriacutea en la escuela y para dotar al docente de los instrumentos metodoloacutegicos necesarios y suficientes para convertir la clase de geometriacutea en algo faacutecil interesante y sencillo

iquestQueacute ocurre con la GeometriacuteaUn objeto cualquiera -digamos un libro una mesa el aire el agua- son ejemplos de cuerpos fiacutesicos y cuerpos materiales Todos los cuerpos materiales gozan de dos propiedades generales que son de nuestro intereacutes su extensioacuten y su impenetrabilidadLa extensioacuten es la propiedad que tienen los cuerpos de ocupar un lugar en el espacio y la impenetrabilidadse enuncia diciendo que dos cuerpos no pueden ocupar el mismo lugar en el espacio

Por otra parte los cuerpos fiacutesicos o materiales poseen un sinnuacutemero de caracteriacutesticas como formatamantildeo color textura etc De todas estas caracteriacutesticas soacutelo le interesa la FORMA Desde estaperspectiva una bola de billar una pelota de goma o una bola para jugar voleibol son geomeacutetricamenteel mismo objeto todos ellos son ldquoobjetos esfeacutericosrdquoPero el concepto ldquoesferardquo es solo un refl ejo mental de la forma del objeto y por lo tanto no existeen la realidad Las esferas no existen lo que existen son objetos de forma esfeacuterica En general loscuerpos geomeacutetricos no existen son entes imaginarios de nuestra mente Sin embargo los cuerposgeomeacutetricos estaacute representados en la realidad por los cuerpos fiacutesicos que los originanLa transformacioacuten de un cuerpo natural a un cuerpo geomeacutetrico es una operacioacuten mental llamadaABSTRACCIOacuteN cuya realizacioacuten requiere de la aplicacioacuten de determinadas leyes las cuales estaacuteniacutentimamente relacionadas con el desarrollo intelectual del nintildeoDe lo anterior es faacutecil concluir que aunque la geometriacutea como ciencia es un cuerpo abstractode axiomas postulados defi niciones y teoremas la Geometriacutea como asignatura especialmenteen primaria es un conjunto de modelos matemaacuteticos que el estudiante deberaacute construir a partirde las observaciones y el anaacutelisis de las formas de los objetos de un medio respetando las leyes psicoloacutegicas del desarrollo intelectual en el proceso de abstraccioacuten Cada fi gura geomeacutetrica cadacuerpo geomeacutetrico es un refl ejo mental conciente producto de la abstraccioacuten

ESTRATEGIAS BAacuteSICAS A TOMAR EN CUENTA EN LA CONSTRUCCIOacuteN Y APLICACIOacuteN DE ALGORITMOS

La Didaacutectica de la Matemaacutetica no soacutelo se ocupa de la elaboracioacuten de conceptos demostracionesde proposiciones y resolucioacuten de problemas sino y fundamentalmente de procesos algoriacutetmicosEjemplos claacutesicos son en primaria los algoritmos de las operaciones fundamentales y en secundarialos procedimientos para la resolucioacuten de sistemas de ecuaciones (el algoritmo de Gauss)

A partir de conocimientos psicoloacutegicos amplios acerca de la asignatura surge en el curso escolarde Matemaacutetica la necesidad de concederle un lugar importante en la ensentildeanza de la matemaacuteticaal pensamiento y al proceder algoriacutetmicoLa ensentildeanza de la matemaacutetica ofrece numerosas posibilidades para describir algoriacutetmicamenteprocedimientos y reglas asiacute como para aplicarlos en efecto en la mayoriacutea de los programas de laregioacuten son objetivos comunes los siguientesndash El trabajo seguro con las operaciones baacutesicas de caacutelculo en el dominio de los nuacutemeros naturalesfraccionario racionales y realesndash Habilidades en la solucioacuten de ecuaciones y sistemas de ecuacionesndash Habilidades en el campo de periacutemetros aacutereas voluacutemenesLo anterior pone de manifi esto el gran valor que los programas le dan a la formacioacuten de capacidadesen la aplicacioacuten se sucesiones de indicaciones con caraacutecter algoriacutetmico Por esa razoacuten debemosocuparnos de su tratamiento metodoloacutegico en la ensentildeanza de la matemaacuteticaLos algoritmos como toda accioacuten mental tienen una base loacutegica y en esto radica la importancia desu construccioacuten en el aula Cuando el alumno construye un algoritmo no solamente se apropia dela loacutegica que lo sustenta sino que descubre los alcances y limitaciones del mismoLa constriccioacuten de un algoritmo obedece a ciertas etapas que si se observan ordenadamente vancreando en el alumno (a) una estructura mental que maacutes tarde se convierte en un meacutetodo de trabajoConocer la justifi cacioacuten de cada uno de los ldquopasosrdquo del algoritmo no solo proporciona confi anzaal estudiante sino que evita los errores en que a menudo cae el alumno (a) cuando lo aplica mecaacutenicamenteEs nuestro intereacutes en este capiacutetulo analizar las razones matemaacuteticas que sustentan determinadoalgoritmo a fi n de que la construccioacuten del mismo resulte una actividad interesante y atractivaDEFINICIOacuteN DE ALGORITMOEl concepto ldquoalgoritmordquo es un concepto estrictamente matemaacutetico Seguacuten Landa1 ldquoun algoritmo esuna sucesioacuten de indicaciones exacta y determinada uniacutevocamente para la realizacioacuten de una serie de operaciones elementales (o sistemas de tales operaciones) para resolver ejercicios de unadeterminada clase o de un determinado tipordquo

PRINCIPIOS PEDAGOacuteGICOS FUNDAMENTALESEN EL ESTUDIO DE LA GEOMETRIacuteAParticularmente creemos que la ensentildeanza de la geometriacutea en el nivel primario y medio es de mucha importancia por las siguientes razones1 Estimula el pensamiento espacial y la fantasiacutea matemaacutetica En efecto los conceptos de formas y tamantildeo de los objetos contribuyen a dar un ordenamiento loacutegico al pensamiento del estudiante2 La Geometriacutea es un instrumento valioso para analizar las relaciones aritmeacuteticas y algebraicasEl ejemplo maacutes sencillo y conocido lo tenemos en la recta numeacuterica La correspondencia entre los puntos de una recta y los nuacutemeros reales establece un puente de valor pedagoacutegico inmenso para la visualizacioacuten y anaacutelisis de cuestiones como la solucioacuten de inecuaciones sin contar con el uso que se puede hacer de los rectaacutengulos y los cuadrados para demostrar el trinomio cuadrado perfecto la diferencia de cuadrados etc3 Las construcciones geomeacutetricas contribuyen al desarrollo de las habilidades manuales en su respectiva incidencia en el desarrollo intelectual4 Dado que la geometriacutea constituye un cuerpo axiomaacutetico bien estructurado su estudio permite desarrollar los niveles de abstraccioacuten en el alumnoDada la importancia del estudio de la disciplina nos parecioacute pertinente dedicar un capiacutetulo completo al anaacutelisis de las diferentes teoriacuteas que se han formulado respecto a coacutemo debe conceptualizarse y coacutemo debe presentarse la geometriacutea en la escuela y para dotar al docente de los instrumentos metodoloacutegicos necesarios y suficientes para convertir la clase de geometriacutea en algo faacutecil interesante y sencillo

iquestQueacute ocurre con la GeometriacuteaUn objeto cualquiera -digamos un libro una mesa el aire el agua- son ejemplos de cuerpos fiacutesicos y cuerpos materiales Todos los cuerpos materiales gozan de dos propiedades generales que son de nuestro intereacutes su extensioacuten y su impenetrabilidadLa extensioacuten es la propiedad que tienen los cuerpos de ocupar un lugar en el espacio y la impenetrabilidadse enuncia diciendo que dos cuerpos no pueden ocupar el mismo lugar en el espacio

Por otra parte los cuerpos fiacutesicos o materiales poseen un sinnuacutemero de caracteriacutesticas como formatamantildeo color textura etc De todas estas caracteriacutesticas soacutelo le interesa la FORMA Desde estaperspectiva una bola de billar una pelota de goma o una bola para jugar voleibol son geomeacutetricamenteel mismo objeto todos ellos son ldquoobjetos esfeacutericosrdquoPero el concepto ldquoesferardquo es solo un refl ejo mental de la forma del objeto y por lo tanto no existeen la realidad Las esferas no existen lo que existen son objetos de forma esfeacuterica En general loscuerpos geomeacutetricos no existen son entes imaginarios de nuestra mente Sin embargo los cuerposgeomeacutetricos estaacute representados en la realidad por los cuerpos fiacutesicos que los originanLa transformacioacuten de un cuerpo natural a un cuerpo geomeacutetrico es una operacioacuten mental llamadaABSTRACCIOacuteN cuya realizacioacuten requiere de la aplicacioacuten de determinadas leyes las cuales estaacuteniacutentimamente relacionadas con el desarrollo intelectual del nintildeoDe lo anterior es faacutecil concluir que aunque la geometriacutea como ciencia es un cuerpo abstractode axiomas postulados defi niciones y teoremas la Geometriacutea como asignatura especialmenteen primaria es un conjunto de modelos matemaacuteticos que el estudiante deberaacute construir a partirde las observaciones y el anaacutelisis de las formas de los objetos de un medio respetando las leyes psicoloacutegicas del desarrollo intelectual en el proceso de abstraccioacuten Cada fi gura geomeacutetrica cadacuerpo geomeacutetrico es un refl ejo mental conciente producto de la abstraccioacuten

ESTRATEGIAS BAacuteSICAS A TOMAR EN CUENTA EN LA CONSTRUCCIOacuteN Y APLICACIOacuteN DE ALGORITMOS

La Didaacutectica de la Matemaacutetica no soacutelo se ocupa de la elaboracioacuten de conceptos demostracionesde proposiciones y resolucioacuten de problemas sino y fundamentalmente de procesos algoriacutetmicosEjemplos claacutesicos son en primaria los algoritmos de las operaciones fundamentales y en secundarialos procedimientos para la resolucioacuten de sistemas de ecuaciones (el algoritmo de Gauss)

A partir de conocimientos psicoloacutegicos amplios acerca de la asignatura surge en el curso escolarde Matemaacutetica la necesidad de concederle un lugar importante en la ensentildeanza de la matemaacuteticaal pensamiento y al proceder algoriacutetmicoLa ensentildeanza de la matemaacutetica ofrece numerosas posibilidades para describir algoriacutetmicamenteprocedimientos y reglas asiacute como para aplicarlos en efecto en la mayoriacutea de los programas de laregioacuten son objetivos comunes los siguientesndash El trabajo seguro con las operaciones baacutesicas de caacutelculo en el dominio de los nuacutemeros naturalesfraccionario racionales y realesndash Habilidades en la solucioacuten de ecuaciones y sistemas de ecuacionesndash Habilidades en el campo de periacutemetros aacutereas voluacutemenesLo anterior pone de manifi esto el gran valor que los programas le dan a la formacioacuten de capacidadesen la aplicacioacuten se sucesiones de indicaciones con caraacutecter algoriacutetmico Por esa razoacuten debemosocuparnos de su tratamiento metodoloacutegico en la ensentildeanza de la matemaacuteticaLos algoritmos como toda accioacuten mental tienen una base loacutegica y en esto radica la importancia desu construccioacuten en el aula Cuando el alumno construye un algoritmo no solamente se apropia dela loacutegica que lo sustenta sino que descubre los alcances y limitaciones del mismoLa constriccioacuten de un algoritmo obedece a ciertas etapas que si se observan ordenadamente vancreando en el alumno (a) una estructura mental que maacutes tarde se convierte en un meacutetodo de trabajoConocer la justifi cacioacuten de cada uno de los ldquopasosrdquo del algoritmo no solo proporciona confi anzaal estudiante sino que evita los errores en que a menudo cae el alumno (a) cuando lo aplica mecaacutenicamenteEs nuestro intereacutes en este capiacutetulo analizar las razones matemaacuteticas que sustentan determinadoalgoritmo a fi n de que la construccioacuten del mismo resulte una actividad interesante y atractivaDEFINICIOacuteN DE ALGORITMOEl concepto ldquoalgoritmordquo es un concepto estrictamente matemaacutetico Seguacuten Landa1 ldquoun algoritmo esuna sucesioacuten de indicaciones exacta y determinada uniacutevocamente para la realizacioacuten de una serie de operaciones elementales (o sistemas de tales operaciones) para resolver ejercicios de unadeterminada clase o de un determinado tipordquo

Por otra parte los cuerpos fiacutesicos o materiales poseen un sinnuacutemero de caracteriacutesticas como formatamantildeo color textura etc De todas estas caracteriacutesticas soacutelo le interesa la FORMA Desde estaperspectiva una bola de billar una pelota de goma o una bola para jugar voleibol son geomeacutetricamenteel mismo objeto todos ellos son ldquoobjetos esfeacutericosrdquoPero el concepto ldquoesferardquo es solo un refl ejo mental de la forma del objeto y por lo tanto no existeen la realidad Las esferas no existen lo que existen son objetos de forma esfeacuterica En general loscuerpos geomeacutetricos no existen son entes imaginarios de nuestra mente Sin embargo los cuerposgeomeacutetricos estaacute representados en la realidad por los cuerpos fiacutesicos que los originanLa transformacioacuten de un cuerpo natural a un cuerpo geomeacutetrico es una operacioacuten mental llamadaABSTRACCIOacuteN cuya realizacioacuten requiere de la aplicacioacuten de determinadas leyes las cuales estaacuteniacutentimamente relacionadas con el desarrollo intelectual del nintildeoDe lo anterior es faacutecil concluir que aunque la geometriacutea como ciencia es un cuerpo abstractode axiomas postulados defi niciones y teoremas la Geometriacutea como asignatura especialmenteen primaria es un conjunto de modelos matemaacuteticos que el estudiante deberaacute construir a partirde las observaciones y el anaacutelisis de las formas de los objetos de un medio respetando las leyes psicoloacutegicas del desarrollo intelectual en el proceso de abstraccioacuten Cada fi gura geomeacutetrica cadacuerpo geomeacutetrico es un refl ejo mental conciente producto de la abstraccioacuten

ESTRATEGIAS BAacuteSICAS A TOMAR EN CUENTA EN LA CONSTRUCCIOacuteN Y APLICACIOacuteN DE ALGORITMOS

La Didaacutectica de la Matemaacutetica no soacutelo se ocupa de la elaboracioacuten de conceptos demostracionesde proposiciones y resolucioacuten de problemas sino y fundamentalmente de procesos algoriacutetmicosEjemplos claacutesicos son en primaria los algoritmos de las operaciones fundamentales y en secundarialos procedimientos para la resolucioacuten de sistemas de ecuaciones (el algoritmo de Gauss)

A partir de conocimientos psicoloacutegicos amplios acerca de la asignatura surge en el curso escolarde Matemaacutetica la necesidad de concederle un lugar importante en la ensentildeanza de la matemaacuteticaal pensamiento y al proceder algoriacutetmicoLa ensentildeanza de la matemaacutetica ofrece numerosas posibilidades para describir algoriacutetmicamenteprocedimientos y reglas asiacute como para aplicarlos en efecto en la mayoriacutea de los programas de laregioacuten son objetivos comunes los siguientesndash El trabajo seguro con las operaciones baacutesicas de caacutelculo en el dominio de los nuacutemeros naturalesfraccionario racionales y realesndash Habilidades en la solucioacuten de ecuaciones y sistemas de ecuacionesndash Habilidades en el campo de periacutemetros aacutereas voluacutemenesLo anterior pone de manifi esto el gran valor que los programas le dan a la formacioacuten de capacidadesen la aplicacioacuten se sucesiones de indicaciones con caraacutecter algoriacutetmico Por esa razoacuten debemosocuparnos de su tratamiento metodoloacutegico en la ensentildeanza de la matemaacuteticaLos algoritmos como toda accioacuten mental tienen una base loacutegica y en esto radica la importancia desu construccioacuten en el aula Cuando el alumno construye un algoritmo no solamente se apropia dela loacutegica que lo sustenta sino que descubre los alcances y limitaciones del mismoLa constriccioacuten de un algoritmo obedece a ciertas etapas que si se observan ordenadamente vancreando en el alumno (a) una estructura mental que maacutes tarde se convierte en un meacutetodo de trabajoConocer la justifi cacioacuten de cada uno de los ldquopasosrdquo del algoritmo no solo proporciona confi anzaal estudiante sino que evita los errores en que a menudo cae el alumno (a) cuando lo aplica mecaacutenicamenteEs nuestro intereacutes en este capiacutetulo analizar las razones matemaacuteticas que sustentan determinadoalgoritmo a fi n de que la construccioacuten del mismo resulte una actividad interesante y atractivaDEFINICIOacuteN DE ALGORITMOEl concepto ldquoalgoritmordquo es un concepto estrictamente matemaacutetico Seguacuten Landa1 ldquoun algoritmo esuna sucesioacuten de indicaciones exacta y determinada uniacutevocamente para la realizacioacuten de una serie de operaciones elementales (o sistemas de tales operaciones) para resolver ejercicios de unadeterminada clase o de un determinado tipordquo

A partir de conocimientos psicoloacutegicos amplios acerca de la asignatura surge en el curso escolarde Matemaacutetica la necesidad de concederle un lugar importante en la ensentildeanza de la matemaacuteticaal pensamiento y al proceder algoriacutetmicoLa ensentildeanza de la matemaacutetica ofrece numerosas posibilidades para describir algoriacutetmicamenteprocedimientos y reglas asiacute como para aplicarlos en efecto en la mayoriacutea de los programas de laregioacuten son objetivos comunes los siguientesndash El trabajo seguro con las operaciones baacutesicas de caacutelculo en el dominio de los nuacutemeros naturalesfraccionario racionales y realesndash Habilidades en la solucioacuten de ecuaciones y sistemas de ecuacionesndash Habilidades en el campo de periacutemetros aacutereas voluacutemenesLo anterior pone de manifi esto el gran valor que los programas le dan a la formacioacuten de capacidadesen la aplicacioacuten se sucesiones de indicaciones con caraacutecter algoriacutetmico Por esa razoacuten debemosocuparnos de su tratamiento metodoloacutegico en la ensentildeanza de la matemaacuteticaLos algoritmos como toda accioacuten mental tienen una base loacutegica y en esto radica la importancia desu construccioacuten en el aula Cuando el alumno construye un algoritmo no solamente se apropia dela loacutegica que lo sustenta sino que descubre los alcances y limitaciones del mismoLa constriccioacuten de un algoritmo obedece a ciertas etapas que si se observan ordenadamente vancreando en el alumno (a) una estructura mental que maacutes tarde se convierte en un meacutetodo de trabajoConocer la justifi cacioacuten de cada uno de los ldquopasosrdquo del algoritmo no solo proporciona confi anzaal estudiante sino que evita los errores en que a menudo cae el alumno (a) cuando lo aplica mecaacutenicamenteEs nuestro intereacutes en este capiacutetulo analizar las razones matemaacuteticas que sustentan determinadoalgoritmo a fi n de que la construccioacuten del mismo resulte una actividad interesante y atractivaDEFINICIOacuteN DE ALGORITMOEl concepto ldquoalgoritmordquo es un concepto estrictamente matemaacutetico Seguacuten Landa1 ldquoun algoritmo esuna sucesioacuten de indicaciones exacta y determinada uniacutevocamente para la realizacioacuten de una serie de operaciones elementales (o sistemas de tales operaciones) para resolver ejercicios de unadeterminada clase o de un determinado tipordquo