EL CASO DE LOS 3 METODOS

PARA COMPARAR UNA SOLA AREA

CALCULO INTEGRAL

INTRODUCCION

EL CASO (PARA ESTE TEMA) ES EN QUE HAY TRES METODOS

PARA CALCULAR EL AREA BAJO UNA CURVA, EL PRIMERO ES POR

EL METODO DE LOS TRAPECIOS, EL SEGUNDO POR FORMULA

SIMPSON Y EL TERCERO POR LA INTEGRAL DEFINIDA.

VEAMOS DOS EJEMPLOS PARA COMPRENDER ESTE TEMA…

FORMULA DE LOS TRAPECIOS

La aplicación de esta fórmula es útil cuando la integración en 𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 es

difícil o no se efectúa en términos de funciones elementales.

El valor numérico exacto de 𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 es la medida del área de la superficie

limitada por la curva y = 𝑓 𝑥 , el eje de las X y las ordenadas 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏.

El valor de esta área puede determinarse, aproximadamente, sumando

trapecios.

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =1

2𝑦0 + 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + 𝑦4 +⋯+ 𝑦𝑛−1 +

1

2𝑦𝑛 ∆𝑥

FORMULA DE SIMPSON O PARABOLICA

Uniendo las extremidades de las ordenadas sucesivas por arcos de parábolas y sumandos las áreas bajo dichos arcos se obtiene un mayor aproximación del

área bajo una curva.

Sumando el área de cada una de las tiras parabólicas, obtenemos la formula siguiente:

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =∆𝑥

3𝑦0 + 4𝑦1 + 2𝑦2 + 4𝑦3 + 2𝑦4 +⋯+ 𝑦𝑛

INTEGRAL DEFINIDA

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝐷𝑂𝑁𝐷𝐸:

𝑎 = 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

𝑏 = 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

𝑓 𝑥 = 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑎𝑙

CALCULAR EL AREA DE LA FUNCION

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 9𝑥 CON LOS LIMITES x=2 a x=5

COMO NO ESPECIFICA POR CUAL METODO, INICIAREMOS CON UTILIZAR LA FORMULA DE LOS TRAPECIOS Y

CON ELLO EMPEZAMOS A DETERMINAR LOS VALORES DE Y:

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 9𝑥 𝐶𝑂𝑁 𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅𝑉𝐴𝐿𝑂 [2,5]

ES RECOMENDABLE QUE EL RESULTADO DEL INCREMENTO SEA IGUAL A 1

2= 0.5 PARA TENER UN UNA

CANTIDAD CASI EXACTA CON RESPECTO AL VALOR DEL AREA.

ORDENADA X Y

𝑦0 2 22

𝑦1 2.5 28.75

𝑦2 3 36

𝑦3 3.5 43.75

𝑦4 4 52

𝑦5 4.5 60.75

𝑦6 5 70

Y LUEGO SUSTITUIMOS LOS DATOS SIGUIENTES:

∆𝑥 =𝑏 − 𝑎

𝑛=5 − 2

6=3

6=1

2= 0.5

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =1

2𝑦0 + 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + 𝑦4 +⋯+ 𝑦𝑛−1 +

1

2𝑦𝑛 ∆𝑥

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =1

222 + 28.75 + 36 + 43.75 + 52 + 60.75 +

1

270

1

2

= 11 + 28.75 + 36 + 43.75 + 52 + 60.75 + 351

2=1

2267.25 ≈ 133.625 𝑈2

AHORA USAREMOS LA FORMULA SIMPSON, Y COMO LOS VALORES DE “Y” YA ESTAN DETERMINADOS AL IGUAL QUE EL INCREMENTO, SOLO

VAMOS A SUSTITUIRLOS CON ESA FORMULA YA MENCIONADA:

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =∆𝑥

3𝑦0 + 4𝑦1 + 2𝑦2 + 4𝑦3 + 2𝑦4 +⋯+ 𝑦𝑛

=

12322 + 4 28.75 + 2 36 + 4 43.75 + 2 52 + 4(60.75) + 70

=1

622 + 115 + 72 + 175 + 104 + 243 + 70 =

1

6801 = 133.5 𝑈2

Y PARA FINALIZAR USAREMOS EL METODO DE INTEGRACION DIRECTA:

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2

5

𝑥2 + 9𝑥 𝑑𝑥 =𝑥3

3+ 9

𝑥2

2

5

2=

5 3

3+ 9

5 2

2−

2 3

3+ 9

2 2

2

=125

3+225

2−8

3+36

2=125

3+225

2−8

3−36

2=117

3+189

2= 39 +

189

2

= 133.5 𝑈2

SE OBTIENEN ESTOS RESULTADOS:

POR FORMULA DE LOS TRAPECIOS 133.625 𝑈2

POR FORMULA SIMPSON (PARABOLICA) 133.5 𝑈2

INTEGRAL DEFINIDA 133.5 𝑈2

GRAFICA DE LA FUNCION:

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 9𝑥 𝐶𝑂𝑁 𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅𝑉𝐴𝐿𝑂 [2,5]

CALCULAR EL AREA DE LA SIGUIENTE FUNCION

𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥2 + 4 CON UN INTERVALO DE [-2,0]

NUEVAMENTE NO ESPECIFICA POR CUAL METODO, ASI QUE VOLVEMOS A INICIAR CON LA

FORMULA DE LOS TRAPECIOS Y CON ELLO EMPEZAMOS A DETERMINAR LOS VALORES DE Y:

𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥2 + 4 𝐶𝑂𝑁 𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅𝑉𝐴𝐿𝑂 [−2,0]

ORDENADA X Y

𝑦0 -2 -5.66

𝑦1 -1.5 -3.75

𝑦2 -1 -2.24

𝑦3 -0.5 -1.03

𝑦4 0 0

Y LUEGO SUSTITUIMOS LOS DATOS SIGUIENTES:

∆𝑥 =𝑏 − 𝑎

𝑛=2 − 0

4=2

4=1

2= 0.5

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =1

2𝑦0 + 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + 𝑦4 +⋯+ 𝑦𝑛−1 +

1

2𝑦𝑛 ∆𝑥

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =1

2−5.66 − 3.75 − 2.24 − 1.03 +

1

20

1

2

= −2.83 − 3.75 − 2.24 − 1.03 + 01

2=1

2−9.85 ≈ −4.925 𝑈2

AHORA USAREMOS LA FORMULA SIMPSON, Y COMO LOS VALORES DE “Y” YA ESTAN DETERMINADOS AL IGUAL QUE EL INCREMENTO, SOLO VAMOS A

SUSTITUIRLOS CON ESA FORMULA YA MENCIONADA:

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =∆𝑥

3𝑦0 + 4𝑦1 + 2𝑦2 + 4𝑦3 + 2𝑦4 +⋯+ 𝑦𝑛

=

123−5.66 + 4 −3.75 + 2 −2.24 + 4 −1.03 + 0

=1

6−5.66 − 15 − 4.48 − 4.12 + 0 =

1

6−29.26 = −4.87666 𝑈2

Y PARA FINALIZAR USAREMOS EL METODO DE INTEGRACION DIRECTA:

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = −2

0

𝑥 𝑥2 + 4 𝑑𝑥 =(𝑥2 + 4)3/2

3

0

−2=((0)2+4)3/2

3−( −2 2 + 4)

32

3

=(4)3/2

3−(8)

32

3= 2.66 − 7.54 = −4.88

= −4.88 𝑈2

SE OBTIENEN ESTOS RESULTADOS:

POR FORMULA DE LOS TRAPECIOS −4.925 𝑈2

POR FORMULA SIMPSON (PARABOLICA) −4.87666 𝑈2

INTEGRAL DEFINIDA −4.88 𝑈2

GRAFICA DE LA FUNCION:

𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥2 + 4 𝐶𝑂𝑁 𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅𝑉𝐴𝐿𝑂 [−2,0]

CONCLUSION

VEMOS QUE EN LA FORMULA DE LOS TRAPECIOS EL VALOR DEL AREA

ESTA CASI ALEJADO DEL VALOR QUE TIENE DE LA INTEGRAL

DEFINIDA (CON DIFERENCIA PEQUEÑAS), EN CAMBIO LA FORMULA

SIMPSON CONCUERDA CON EL RESULTADO DE LA INTEGRAL

DEFINIDA.

CONCLUIMOS QUE LA FORMULA SIMPSON ES MAS CERCANA Y EN

OCASIONES EXACTA CON EL VALOR DE LA INTEGRAL DEFINIDA.

BIBLIOGRAFIA

• Garza Olvera, Benjamín, Cálculo Integral, Matemáticas V DGETI, 1ra Edición,

279-287 pág.