comparar, igualar, comunicar en preescolar
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COMPARAR, IGUALAR, COMUNICAR EN PREESCOLAR: ANÁLISIS DE SITUACIONES D IDÁCTICAS David Block
ANÁLISIS DE SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL APRENDIZAJE DEL NÚMERO EN PREESCOLAR Ligia Ramírez, David Block
Clnvestav-Sede Sur
Departamento de Investigaciones
Educativas
Documento 59
Clnvestav-Sede Sur Departamento de Investigaciones Educativas
Jefe del Departamento David Block Sevilla
Documento DIE Comparar, igualar, comunicar en preescolar: análisis de situaciones didácticas David Block
Análisis de situaciones didáaicas para el aprendizaje del número en preescolar Ligia Ramírez David Block
Coordinación de publicaciones Ariadna Acevedo Rodrigo
Cuidado de edición Laura Reséndiz Susana Quintanilla Verónica Arellano
Diseño de portada e Interiores lván Ávalos
Composición tipográfica Patricia Jardón Dávila
Impresión y encuadernación Juan Manuel Montiel Jesús Esparza
Distribución y venta Alma Becerra Bulmaro Flores
1 •. Reimpresión, junio del 2008 1 •. Edición, septiembre del 2006
Cinvestav-Sede Sur Departamento de Investigaciones Educativas Calzada de los Tenorios 235, Col. Granjas Coapa C. P. 143 30, México D. F.
COMPARAR, IGUALAR, COMUNICAR EN PREESCOLAR: ANÁLISIS DE SITUACIONES DIDÁCTICAS* David Block
En este artículo se analizan algunas situaciones didácticas para favorecer
la construcción de ciertos aspectos de la noción de número en el nivel de
preescolar.
INTRODUCCIÓN:
APRENDER MATEMÁTICAS AL RESOLVER PROBLEMAS
Mariana tiene ocho años. Está iniciando su tercer grado de primaria. Un día me
dijo que me quería mostrar que ya sabía hacer divisiones. Planteó la división
32 : 2 y la resolvió como se muestra en la ilustración 1.
115
2(32 -2
30 '-----------------~ Ilustración 1
Le propuse: "vamos a repartir 32 tazos (pequeños discos de plástico con
una imagen grabada, que salen en las bolsitas de frituras) entre un per rito y un
osito. Tratemos de que les roque lo mismo" . Separamos los 32 tazos y represen
tamos los dos animales con un par de objetos. Le pedí que, antes de hacer el
reparto, tratara de averiguar cuántos le tocaban a cada uno. Pensó un momen
to, se tocó los dedos y contestó: 16. Cuando le pedí que me contara cómo lo
había hecho, tomó el lápiz y ano tó tres veces el número 1 O (ilustración 2).
'-------1_º ____ 1 º ___ l_º __ ___,I 11"'"""" ,
Me explicó: "diez, veinte, treinta, son tres dieces, uno para cada quien, y
del otro, cinco para cada quien, van 15. Más uno de los dos que quedan , 16".
Agregó que se podía hacer de otra manera y escribió lo que se muestra en la
ilustración 3 .
._ __ :_! ______ :_! __ ____,¡ 11""''"'" J
· Publicado en Básica. ReviJla de la escuela y drl maestro. Aiio lll . Núm . 11 . mayo/j unio . 1996, Fundación SNTE para la cultura del maestro mexicano.
pp. 21-33.
Dav id Block
Comparar, igualar, comunicar en preescolar : análisis de situaciones didácticas
Le pregunté si la división que hizo primero era otra
manera de encontrar el resultado. Dijo que no . Este
ejemplo es representativo de uno de los principales
tropiezos de la enseñanza de las matemáticas: se ha pri
vilegiado el aspecto sintáctico del lenguaje formal en
detrimento del aspecto semántico, de la significación.
Algunas veces, los alumnos resuelven los proble
mas matemáticos recurriendo a procedimientos no
formales como el anterior, pero pronto aprenden que
es incorrecto, que debieron haber puesto "la opera
ción''. En el mejor de los casos siguen utilizando tales
recursos a escondidas, y en el peor los dejan de hacer
y, si aún no dominan otro recurso, se quedan blo
queados o eligen una operación casi al azar (Block y
Dávila, 1993). Los mismos problemas que se esco
gen para resolver en clase suelen estar "mandados a
hacer" para que se aplique una operación específica.
Frecuentemente, la pregunta del alumno es ¿con qué
operación o fórm ula se resolverá este problema? La
búsqueda deja de ser una solución creativa que adap
ta los elementos con que ya se cuenta.
Los estudios en didáctica de las matemáticas con
orientación constructivista plantean una relación
esencialmente distinta: los conocimientos matemáti
cos son herramientas que se crean y evolucionan fren
te a la necesidad de resolver ciertos problemas. Los
problemas no son sólo el lugar en el que se aplican
los conocimientos, sino "la fuente misma de los co
nocimientos" (Vergnaud, 1981). Los alumnos apren-
• Reconocer que los alumnos pueden abordar
un problema que implica determinado conoci
miento antes de recibir una enseñanza específi
ca sobre el mismo.
• Reconocer que los procedimientos no formales,
p oco sistemáticos, incluso a veces erróneos, que
los alumnos ponen en juego al enfrentar por sí
mismos un problema nuevo para ellos son ex
presión de una verdadera actividad matemática
y forman parte del proceso que les permitirá
comprender el sentido de conocimientos más
formales.
Ante el objetivo de propiciar el aprendizaje de cier
tos aspectos de una noción matemática, un problema
didáctico que se plantea es responde r a las siguientes
preguntas: ¿Cuáles son las situaciones en las que esa
noción constituye una herramienta de solución? ¿qué
problema plantean al alumno, considerando su nivel
de desarrollo cognitivo y sus conocimientos previos?,
¿qué procedimientos iniciales puede poner en mar
cha y cómo propiciar que éstos evolucionen? A partir
de estas preguntas, revisaremos algunas situaciones
didácticas relativas al número y sus relaciones.
SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL
APRENDIZAJE DE C IERTOS ASPECTOS
DE LA NOCIÓN DE N ÚMERO
den matemáticas no sólo para resolver problemas, ¿Qué problemas se resuelven con ayuda de los nú
sino al resolverlos. Se cuestiona el hecho de separar meros y son adecuados para los alumnos del nivel en
el momento en que los niños aprenden las técnicas el que vamos a trabajar? Adecuados significa que los
del momento en que resuelven problemas con ellas educandos comprenden claramente lo que plantea el
(Brousseau, 1994). El significado que para los alum- problema y disponen de recursos para aproximarse
nos tienen los conocimientos matemáticos está dado , a la solución, pero no para encontrarla de manera
principalmente, por los problemas que pueden resol- sistemática, es decir, el problema les presenta una di
ve r con su ayuda, así como por los errores y los cami- ficultad, un reto.
nos largos, poco eficientes, que estos conocimientos El análisis de las situaciones en las que el núme-
evitan. Algunas implicaciones de este enfoque son: ro es funcional lleva a distinguir distintos usos, que
David Block
dan lugar a distintos significados: usamos los núme
ros para exp resar cantidades y operar con ellas , para
ordenar elementos (las personas en una fila, los gana
dores en una competencia, las páginas de un libro)
y para identificar elementos (los números de placas
de los autos, de los teléfonos, de los canales de tele
visión).
Analizaremos algunos problemas de la primera
familia: el número para expresar cantidades . Pueden
distinguirse las siguientes situaciones: las que lle
van a comparar e igualar cantidades, a comunicar la
cantidad de elementos de u na colección, y aq uéllas
en las que es necesario prever, anticipar el resultado
de transformaciones aplicadas a las colecciones, como
agregar o quitar elementos.
SITUAC IONES DE COMPARACIÓN
En muchas situaciones espontáneas o planeadas ex pro
feso se compara la cantidad de elementos d e dos o
más colecciones para saber cuál tiene más , por ejem
plo, quién ganó más puntos en un juego, qué hay
más (niños o niñas) o determinar si sobran o faltan
elementos (por ejemplo , saber si alcanzan los vasos
para los invitados, los lápices para los miembros de
un equipo, etcétera).
Algunas variables didácricas permiten generar y
complejizar situaciones de comparación: colecciones
formadas con objetos o dibujadas, colecciones físi
camente cerca o lejos una de la otra, cantidades de
objetos relativamente grandes o pequeñas, objetos es
paciados entre sí o no (unos muy apretados, otros muy
separados). Estas variables introducen distintas di
ficultades e influye n en los procedimientos que los
niños pondrán en juego.
Comparar, igualar, comunicar en preescolar : análisis de situaciones didácticas
Si la diferencia entre las cantidades es relativamen
te grande (digamos seis y diez) , o si las cantidades son
muy pequeñas (dos y tres), los niños pueden deter
minar cuál es mayor por percepción visual. Resultaría
artificial pedirles que establezcan correspondenc ias
uno a uno entre los objetos . En cambio, si las canti
dades son relativamente grandes y próximas entre sí
(seis y siete), el recurso de la correspo ndencia se dará
naturalmente en muchos niños y será adoptado por
otros. La forma de establecer la correspondencia va
riará: juntar los objetos por pares o , si las colecciones
están dibujadas, tachar alternadamente un objeto de
cada colección , trazar rayas, hacer corresponder los
objetos de dos en dos, etc . Un problema más difícil
se tiene cuando las colecciones no se pueden acercar,
por ejemplo, si se dibujan cada una en un lado dis
tinto de una hoja o si están alejadas y no se permite
acercarlas. Los niños tendrán que acudir a una tercera
colección que jugará el papel de intermediaria. En
la medida en que los niños funcionalicen el conteo,
tenderán a sustituir el recurso de la correspondencia
uno a uno por éste. Veamos algunos ejemplos.
En la actividad 1 que se plantea en la ilustrac ión 4, los
niños deben igualar varias colecciones. Para ello, pueden
recurrir a la correspondencia uno a uno o al conteo.
En el ejemplo de la ilustración 52, la tarea pue
de ir más allá de la comparación de colecciones al
realizar un trabajo inicial de análisis de la informa
ción. Se puede empezar con comentarios libres acerca
de lo que expresa la ilustración, de lo que sucede en
ella. Después se puede preguntar: ¿Cuántos años va
a cumplir la niña? , ¿alcanzarán las sillas para los am i
gos? Luego se puede pedir a los niños que planteen
preguntas que se respondan co n la informac ión de la
ilustración.
' Block, D .. l. Fuenlabrada , A . Carvajal, P. Marcínez, MatrmáticaJ Primer grado, SEP. México , 1993 . 1 ERMEL, ApprrntiuagtJ numiriqutJ tt résolution de problimes. Co urs l'réparatoirr , Hacier, Fra ncia, 1993 .
David Block
Comparar, igualar, comunicar en preescolar: análisis de situac iones did;icticas
Ilustración 4
SITUACIONES DE IGUALACIÓN
Se trata de construir una colección con la misma
cantidad de elementos que otra3. Muchas situaciones
pueden dar lugar a esta actividad: cuando se pone
la mesa, por ejemplo, se iguala la cantidad de cu
biertos y platos a la de lugares o personas que van a
comer. Cuando se reparte material (una unidad para
cada quien), se iguala la cantidad de unidades que
se reparten entre las personas indicadas, etc. Quizá
la variable didáctica más importante es la presencia
o ausencia de la colección que se va a igualar en el
momento de construir la otra colección.
Por ejemplo, supongamos que se van a repartir
lápices a los niños, uno a cada uno. Los niños están
se ntados en grupos de tres a ocho. Si la maestra en
trega a un niño de cada equipo un lote de lápices para
que reparta uno a cada quien, el niño dará uno a cada
uno de sus compañeros. No hay mayor herramienta
matemática pues ta en juego que la comprensión de
la tarea: uno a cada quien y no dos , ni ninguno a
cada quien. La situación se hace más compleja si el
niño debe buscar los lápices en algún lugar del salón.
Si le faltan, dará más viajes; si le sobran, tendrá que
regresados. Tenderá, en todo caso, a tomar más de los
necesarios. Si la maestra pone, en algún momento y
en calidad de juego, la condición de que sólo se podrá
hacer un viaje y que ganarán los equipos a los que no
les falten ni sobren lápices, entonces se habrá puesto
una dificultad que pone en juego una herramienta
matemática más elaborada: el número que indica la
cantidad de niños y que, por lo tanto , corresponde
a la cantidad de lápices . Dependiendo de su nivel
de desarrollo cognitivo y de sus conocimientos pre
vios, los niños pueden:
• Limitarse a estimar de manera gruesa la canti
dad, tomando un haz de lápices más o menos
grande y dejando a la suerte el atinarle o no.
• Subdividir física o visualmente la colección ini
cial en dos o tres subcolecciones cuyas cantida
des puede visualizar o contar: uno para mí, y
dos y tres .
' Est a id ea de "igualación" no debe confundirse con lo que se ve en el coniexw de los problemas adi tivos, en donde " igualar" remite a determinar lo que
le falta a una cantidad para que sea igual a otra.
David Block
Ilustración 5
• Apoyarse en una colección intermedia, con el
mismo número de elementos, por ejemplo, re
presentar con un dedo a cada niño o dibujar un
palito por niño.
• Intentar contar el número de elementos de la co
lección. En la medida en que lo logren, afirmarán
el carácter funcional e idóneo de ese recurso.
Este es un buen ejemplo de problema que implica
poner en juego el recurso que se quiere hacer apro
piar por los niños . Además:
• Admite varios procedimientos con distinto gra
do de complejidad y con distinta eficacia.
• Permite a los niños validar por sí mismos sus en
sayos. Al llegar a su mesa y repartir los lápices,
se darán cuenta no sólo de si hubo error, sino del
tamaño del error. Esto permite propiciar un
diálogo, entre los niños y la situación, más libre de
las expectativas que puede tener el adulto.
• Los niños pueden conocer los recursos que utili
zan sus compañeros, lo cual es importante en el
proceso de evolución de sus recursos .
El problema tiene un punto débil: dado que se
trata de entregar algo a los compañeros de equipo y
Comparar, igualar, comunicar en preescolar : análisis de situaciones didácticas
éstos son conocidos de nuestro niño, él puede pasar
por alto el aspecto cuantitativo, centrándose en las
personas: "Uno para Luisa, uno para Ernesto, etc."
No obstante, hay otras situaciones con la misma es
tructura, por ejemplo, los niños tienen cierta canti
dad de "platos" sobre su mesa y deben traer cucharas,
una para cada plato. El reparto también da lugar a
formar colecciones con la misma cantidad de objetos,
aunque va más allá de ello. Por ejemplo, repartir 15
objetos entre cinco niños, con la condición de que
a todos les toque lo mismo. La situación, al final,
implica construir cinco colecciones iguales , aunque
previamente requiere poner en marcha un procedi
miento para realizar la repartición, por ejemplo, la
distribución cíclica.
SITUACIONES DE COMUNICACIÓN
Estas situaciones presentan una gran riqueza desde el
punto de vista didáctico. Se utilizan para propiciar la
creación y uso de un lenguaje (oral, pictórico , o gráfi
co-simbólico). Al modificar la situación de los lápices
que se deben entregar a los integrantes de cada equi
po, se puede pedir a los alumnos que los soliciten al
encargado del depósito de lápices, de manera oral o
"por carta". Si es oral, los niños deberán contar la co
lección o las subcolecciones: "necesito uno, dos, tres,
cuatro lápices". Cuando la comunicación sea por es
crito, pueden dibujar cada lápiz o rayitas, escribir la
serie de números hasta el que corresponde a la canti
dad o anotar el número correspondiente.
Esta actividad da un sentido a la representación de
cantidades al hacerla funcional: los niños representan
una cantidad porque, en una situación de juego, ne
cesitan recibir esa cantidad y no como respuesta a la
demanda de un adulto. Quienes reciben el mensaje
(los que atienden el depósito) deberán interpretar
el mensaje, concretando la colección. Al recibir el
pedido, los niños tienen la posibilidad de verificar
Is David Block
Comparar, igualar, comunicar en preescolar : análisis de situaciones didácticas
el éxito de la comunicación. Los errores suelen ser
frecuentes porque los niños están aprendiendo a con
tar. La posibilidad de comprobar el error (¡faltaron
lápices! ) constituye una retroalimentación que los
ayuda a aprender.
Con un "caminito" se pueden hacer actividades
similares, más fáciles de organizar: se pone una ficha
en un casillero y se debe decir "cuánto se avanzó" a
otro equipo, para que éste sepa en qué casillero se
encuentra la ficha. No se vale decir los nombres de las
cosas dibujadas. Para verificar, el equipo que recibe el
mensaje dice lo que hay en ese casillero4
Por otra parte, en la comunicación espontánea
con los niños se transmiten también, constantemen
te, mensajes en los que subyacen nociones matemá
ticas relativas al número como cardinal (tráeme dos
láp ices , tengo cinco años), ordinal (¿ quién llegó prime
ro?) o código (mi casa es la siete, lo vimos en el canal
6) . Es provechoso tener presentes estas situaciones
para propiciarlas cada vez que sea posible.
UN COMENTARIO SOBRE LA ESCRITURA
DE LOS NÚMEROS
Los niños suelen tener contacto con la numeración
escrita fuera de la escuela y elaboran por su cuenta
conocimientos considerables sobre ésta. En un es
tudio con niños de seis años que inician su primer
grado de primaria (Lerner y Sadovsky, 1994), las in
vestigadoras ponen en evidencia algunos de estos
conocimientos: unos niños saben, por ejemplo, que
un número es más grande que otro si tiene más ci
fras que éste o si aparece después al recitar la serie
numérica. Otros saben que si dos números tienen la
misma cantidad de cifras la primera es "la que man
da", es decir, determina qué número es m ayor. Otros
más saben que los números que se pronuncian con
"cien" se escriben con tres cifras. Al mismo tiempo,
muestran una tendencia a escribirlos traduciendo la
numeración hablada, lo que los lleva a escribir, por
ejemplo, el dieciocho así: 108.
El estudio muestra el papel constructivo que
pueden jugar, a partir de cierto momento, los con
flictos entre ideas contradictorias de los niños acerca
de la numeración escrita. Las autoras mencionan el
caso de Nadia, quien sabe que 3000 australes es más
que 2350 australes. Sin embargo, al escribir las can
tidades pone: 3000 y 200030050. Se desconcierta al
observar que el número que consideró más pequeño
se escribe con más cifras . Luego comenta que hizo
todo mal y demuestra saber cómo se escriben núme
ros de dos cifras y más. Para 2558, por ejemplo, es
cribe primero 2000 y, sobre los ceros, anota 558. Al
considerar estos resultados, entendemos que hemos
avanzado mucho desde que comprendimos que la
noción de número va más allá de su representación
simbólica, pero la reacción contra aquellas prácticas
centradas en la representación (planas de números ,
series del 1 al 1000, etc.) nos llevó al extremo de
proscribir del aula preescolar todo contacto con la
escritura de los números.
Estudios como el mencionado no sugieren volver
a tales prácticas ni esperar que los niños sean capaces
de representar simbólicamente números al terminar
preescolar. Sólo plantean que multipliquemos las oca
siones en que los niños expresen y discutan lo que
piensan acerca de la numeración oral y escrita. Por
ejemplo, que digan y escriban el número más gran
de que se saben, que digan fragmentos de la serie que
han aprendido, que discutan cómo creen que se escri
be un número o cuál de dos números es más grande,
que pongan precios a distintas mercancías o digan
cuál es más cara.
'Ve r, por eje mpl o, "El camini rn", en Fichero de acrividadts didácticas. Maumáticas . !'rima grado, SEP. 1994.
David Block
SITUACIONES DE TRANSFORMACIÓN
Los nú meros o, más precisamen te, las operaciones
con los números constituyen un medio para prever,
anticipar, el resultado de cierras transformaciones so
bre las cantidades. Veamos "La caja"5: se meren cinco
objetos en una caja, todos los niños los ven, los cuen
tan. En seguida alguien saca algu nos y los muestra a
los demás . Se trata de averiguar cuántos quedaron en
la caja. Todos dicen su "apuesta" y se saca lo q ue hay
dentro para verificar.
UN COMENTARIO SOBRE EL CONTEO
El conreo es una herramienta útil para establecer di
versas re laciones entre cantidades, compararlas, igua
larlas, ordenarlas, comunicarlas, sumarlas.
No obstante, es conceptualmente complejo. Contar
implica, además de recitar la serie, establecer una re
lación uno a uno entre los términos de la serie y los
elementos de la colecció n que se cuenta y, lo m ás
difícil, identificar el último término pronunciado
como rep resentante de la cantid ad.
Seguramente rodos los maestros de preescolar han
visto más de una vez niños que, al "contar", pasan
más de un objeto por cada término que recitan, o di
cen va rios términos mientras pasan un solo objeto o,
incluso, cuentan correctamente una cantidad y, cuan
do se les pregunta por ésta, d icen otra. Es claro en ron
ces que saber recitar la serie no significa saber contar.
Sin embargo, para que los niños empiecen a utilizar
es te extraordinario recurso es necesario que, mientras
alcanzan cierta madurez, conozcan un pequeño tramo
de la serie y tengan oportunidades de usarlo.
Comparar, igualar, comunicar en preescolar: análisis de situaciones didácticas
Para memorizar pequeños tramos de la serie hay
numerosos recursos tradicionales adecuados (cancio
nes , por ejemplo) . Con el fin de funcionalizar dicha
serie como herramienta para trabajar con cantidades,
se necesita de experiencia y riempo6.
APERTURA DE LAS SITUACIONES
Y EXPECTATIVAS DEL MAESTRO
Las situaciones revisadas se caracterizan por propiciar
el uso de los números como herramienta de resolu
ción, pero también por admitir la puesta en juego de
este recurso en distin ros niveles de conceptualización
y formalización: la percepción gruesa de la cantidad a
nivel visual, la correspondencia uno a uno, el conteo,
el uso de representaciones gráficas de la cantidad.
Esta variedad de formas de abordar una situación es
lo que le da su carácter "abierto".
Así , se ofrece a los niños la posibilidad de acercar
se a las situaciones desde sus conocimientos previos,
informales , propiciando la evolución de éstos a partir
de la experiencia personal, al enfrentar los proble
mas , y de los aportes del grupo y del maestro. Estos
conocimientos informales, poco sistemáticos, lentos ,
incluso a veces erróneos, expresan la creatividad
matemática de niños y son la base que les permitirá
acceder a conocimientos más formales, con signifi
cado para ellos . Conforme los niños van dominando
un recurso sistemático de solución , la situación tien
de a cerrarse, es decir, deja de admitir acercamientos
diversos. Una misma situación puede ser cerrada para
unos y abierta para otros.
El grado de apertura de una situación depende
también de lo que el maestro espera, o exige, que los
' Ver Fichrro de actividadrs didácticas. Mattmdticas. l'rimrr grado, SEP. México, 1994 .
'' El conocimiento de los conceptos lógi cos que subyacen en la construcción de la noción de número (conservación , se riación, inclusión de clases) con
tribuvó a pone r de manifiesto el carác ter mecánico , poco significativo que tenían para los niños much as de las tareas que se planteaban en torno de esta
noción. Se consideró entonces que había que esperar al desarrollo de dichas capacidades para propo ner tareas que implicaban destrezas de cuantificación .
Si n em bargo, se ha mostrado que ciertas destrezas de cuantificación, en panicular el conteo, pueden contribuir al desarrollo de la noción de número
(Hieberc, 1989).
David Block
Comparar, igualar, comunicar en preescolar : anális is de situac iones didácticas
alumnos hagan. Si al plantear la situación el maestro
dice cómo debe resolverse, la cierra de inmediato,
evitando el proceso de creación personal de los ni
ños. De igual manera, si sólo valora una forma de
resolución, tenderá a cerrarla muy pronto.
Un típico problema de suma, como "La ardillita
tenía diez nueces. Llegó una niña y le regaló tres nue
ces más. ¿Cuántas nueces tiene ahora?", puede ser
adecuado para niños de preescolar si se considera
valioso que utilicen sus deditos para llevar la cuen
ta , y si se acepta que pueden no llegar al resultado.
Puede no ser adecuada si se espera que resuelvan
la cuenta por escrito con la técnica usual. Decidir
qué situación es conveniente o no para preescolar de
pende de lo que se espera de los niños. Puede ser con
veniente en la medida en que no esperemos la apli
cación de procedimientos formales , ni la obtención
de una respuesta específica, sino la pues ca en marcha de
un razonamiento frente a un problema.
PARA TERMINAR: ¿SITUACIONES
ESPONTÁNEAS O PLANEADAS?
Diseñar una buena situación didáctica no siempre es
sencillo. La situación debe implicar el conocimien
to que se desea apropiar, debe ser accesible pero a
la vez presentar un reto, debe permitir a los niños
validar por sí mismos el resultado de sus intentos
de resolución; algunas veces debe ser parte de una
secuencia de situaciones que se van complejizando
poco a poco. Por canto, es difícil obtener escas si
tuaciones de manera no planeada, exclusivamente a
partir de los sucesos espontáneos que se dan en el
desarrollo de "proyectos integradores'', pues se corre
el riesgo de obten er efectos no deseados: situaciones
pobres, mal aprovechadas, o la aparición de proble
máticas demasiado complejas para poder ser tratadas
o la creación de situaciones para enseñar matemáticas
Dav id Block 8
por separado, pero con un enfoque pobre, basado en
la repetición y en la memorización.
Las opciones "situaciones integradoras" y "situa
ciones específicas para matemáticas" son necesarias.
El maestro podría disponer de situaciones didácticas
de buena calidad para enseñar matemáticas y procu
rar, en la medida de lo posible, recrearlas a parcir de
los proyectos integradores. "Una situación didáctica
debe ser, anees que buena, posible", escribió una vez
un investigador en didáctica (Chevallard, 1999). Lo
mismo puede decirse, y con mayor razón, de una pro
puesta didáctica.
BIBLIOGRAFÍA
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Trillas.
ANÁLISIS DE SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL APRENDIZAJE DEL NÚMERO EN PREESCOLAR* Ligia Ramírez y David Block
INTRODUCCIÓN
La situación conocida en México como "Platos y Cucharas" 1 corresponde a lo
que se ha llamado en la Teoría de las Situaciones Didácticas (El Bouazzoui,
1982; Brousseau, 1986), "La Situación Fundamental del Número". Constitu
ye una situación de igualación y comunicación de cantidades que puede ser
abordada por alumnos que están en proceso de construir la noción de número
natural y que, mediante la manipulación de determinadas variables, permite
generar una secuencia didáctica amplia.
Dicha secuencia fue adaptada y aplicada a un grupo de alumnos de tercer
grado de preescolar en México, en un estudio exploratorio (Ramírez, 2003 ).
En este texto presentamos un avance de los resultados obtenidos. Previamen
te, hacemos una breve retrospectiva de la forma en que, los distintos aspectos
que componen la noción de número, han sido considerados en las sucesivas
propuestas para la enseñanza de esta noción a lo largo de lo años.
BREVE RETROSPECTIVA DE LA ENSEÑANZA
DEL NÚMERO NATURAL
Vamos a planteamos dos preguntas: ¿qué es el número? y ¿cómo se aprenden
los números? Y vamos a ver cómo fueron cambiando las respuestas a estas pre
guntas a lo largo de los años.
Las situaciones didácticas que se diseñan para enseñar una noción , depen
den de la manera en que se concibe esa noción, y de la manera en que se piensa
que se aprende (Block y Álvarez, 1999).
'Co nfere ncia p rese n tada en el 2º Foro Nac io nal de Educació n Preescolar. "Los co nt enid os en p reescolar y sus implicaciones en la prác t ica, un nuevo reto",
Aguascalien res, octubre del 2001 .
'Ve r SEP, 1994 , Fichrro de actividadn didácticas, Matemáticas. Primer grado, Méxi co, Comisión Nac io nal de los Libros de Texto G raruirns.
ligia Ramirez y David Block
Aná li sis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
Primera definición: por la representación
La primera imagen que suele venir a la cabeza frente a
la pregunta ¿qué es un número? es, precisamente, un
número, por ejemplo, 2.
Oiríamos:
2
DOS
"esto es un número"
Saltan a la vista grandes limitaciones de esta de
finición :
• Es circular: el número es esto ("2 "), y ¿qué es
eso ?, es un número.
Lo que estamos señalando es nada más una
palabra o un garabato, y un número es más
que una palabra o un garabato.
Estamos sei'talando aquello que se usa para repre
sentar un número, para "vestirlo", para hacerlo visi
ble y audible; el continente, pero no el contenido; el
significante, pero no el significado; la representación
pero no lo representado.
Bajo esta definición pobre, la enseñanza sería tam
bién pobre: enseñar cada pareja "palabra-garabato" :
2 DOS
El aprendizaje consistiría en: memorizar la rela
ción "palabra garabato", y rambién en perfeccionar el
trazo del garabato mediante ejercicios (como el bo
leado) indicados por el maestro.
Ligia Ramírez y David Block
Segunda definición : por algunas propiedades
{sintácticas)
Podemos ampliar nuestra primera definición inclu
yendo las relaciones típicas que se establecen entre.
los números. Por ejemp lo, en primer lugar, refirién
donos al hecho de que se pueden seriar:
Los números son cosas que se recitan en determi
nado orden: "], 2, 3, 4, 5".
Podemos también considerar las operaciones que
se hacen con los números e incluir en la definición
frases como:
2 es el número que es igual a
1+1, o a 5 - 3, etcétera
Esto está un poco mejor, porque no nos limita
mos a dar la palabra y el garabato, ya estamos pro
porcionando las reglas que permiten relacionar esos
garabatos .
¿Qué le falta a es ta definición? , ¿por qué nos pare
ce incompleta? Porque los garabatos no representan
nada y las reglas para manipularlos tampoco. Es de
cir, los significados siguen ausentes .
Por ello, nunca se han enseñado así los números.
En todas las propuestas de enseñanza, por pobres que
sean, se ha considerado el significado. Veamos esto
más de cerca.
Tercera definición : incluyendo el s ignificado
¿Cuál es el significado de los números? y ¿cómo se
enseña?
Los significados de los conocimientos se encuen
tran, en gran medida, en los usos que hacemos de
ellos. Uno de los principales usos de los números es
expresar una cantidad de cosas. Los números sirven
para decir cuánto hay.
Análisis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
A partir de esta idea simple podemos tratar de en
riquecer la definición de los números y la forma de
enseñarlos.
¿Qué es el número dos?:
Es la cantidad de cosas que hay aquí:
I ~ o Se dice "dos" y se representa así: "2".
Pero aquí enfrentamos una dificultad: un alumno
podría confundir el dos con los ojos. Podemos enton-
mero de cosas. La dificultad radica en que el número
de cosas no se ve, como se ven los zapatos.
Pese a esta dificultad, tenemos aquí una definición
de número y una propuesta de enseñanza más viables
que las dos primeras:
• Cada número tiene un nombre y tiene un ga
rabato que hay que aprender.
• Los nombres se recitan en cierto orden que
también hay que aprender.
• Pero también tienen un significado: expresan
la cantidad de cosas que hay en diferentes co
lecciones de objetos (dos ojos, dos orejas, dos
manos, dos lápices).
ces poner también dos orejas , dos zaparas, dos casas, Para enseñar cada número, por ejemplo el 3 , po-
dos personas ... y decir, cada vez, "aquí hay dos" ... demos mostrar su nombre, mostrar su símbolo y
mostrar su significado, éste último mediante varias
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colecciones con tres cosas.
Intercalamos ejercicios:
Dada una colección, el alumno debe poner el número;
dado un número, el alumno debe dibujar la
colección;
dado el nombre de un número, debe poner el
numeral;
dado un numeral, debe repetirlo para mejorar
el trazo.
Esta fue más o menos la propuesta más antigua
que conocemos para la enseñanza del número a niños
pequeños. Es la que proponían los libros hasta 1970.
"Mi c uade rno d e trabajo de primer año''. - Debido a que es más fácil mostrar la palabra, el
(pág . 77). S EP. 1960 garabato, la serie, las reglas, etc., que mostrar el signi-
ficado , en las propuestas antiguas se le dio más impor
.. . con la esperanza de que después de un rato, el tancia a lo primero; es decir, se enfatizó el aprendizaje
alumno entienda que nos referimos a algo que no son de los nombres y los garabatos, de la serie y de las
los ojos, no son las orejas, ni los zapatos, sino el nú- operaciones con números.
Ligia Ramirez y David Block
Análisis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
La cuarta y la quinta definiciones:
Finalmente, con esos conceptos, se da la siguiente
En los años 70 ocurrieron grandes cambios en las definición que podemos considerar aquí como nues
propuestas para enseñar el número. Hubo dos pro- tra cuarta definición de número natural: un número
ragonistas: los matemáticos y los psicólogos. Ambos es un conjunto de conjuntos equipolentes.
aporraron formas nuevas de comprender el concepto
de número y el proceso de aprendizaje.
Los aportes de los matemáticos:
En la teoría matemática de los conjuntos, para defi
nir la noción de número natural, primero se define
la noción de correspondencia biunívoca (uno a uno)
entre dos conjuntos:
Es una relación en la que a cada objeto del primer
conjunto le corresponde un solo objeto en el segundo Esta definición es muy abstracta, pero aporta algo
y viceversa. importante: nos deja saber algo de la noción de nú
Después, se les llama conjuntos equipotentes a
dos conjuntos entre los cuales se puede establecer
una relación de este tipo:
Ligia Ramirez y David Block
mero más allá de las formas de representarlo, e inde
pendiente de las reglas de escritura y de orden de los
números.
Gracias a esta definición, por primera vez sabemos
que los alumnos pueden aprender algo de la noción
de número antes de aprender a recitarlos en orden y
antes de saber escribirlos. Pueden:
Comparar colecciones de objetos mediante
correspondencias uno a uno, es decir, deter
minar cuando hay más , cuando hay menos, y
cuando hay igual, antes de saber contar, for
mando parejas de objetos.
Construir un nuevo conjunto con tantos obje-
tos como los que otro t ie ne.
La correspondencia uno a uno constituye una
herramienta para comparar cantidades y para crear
cantidades iguales, que puede usarse antes de saber
recitar números y de saber escribirlos.
A partir de este aporre fundamental, en la ense
ñanza elemental se empezó a favorecer el trabajo con
los conjuntos. Por ejemplo, para comparar las can-
Análisis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
tidades de niños y niñas del salón, se pide que cada qué consecuencias tienen para la enseñanza. Cabe
niño tome de la mano a una niña... preguntarse, por ejemplo, que si la noción de número
no puede enseñarse directamente, ¿qué puede hacer
Los aportes de la psicología genética
Sin duda, el aporre más importante de la psicología
genética fue la explicación sobre cómo construyen los
sujetos sus conocimientos racionales.
Contra la idea de que todos los conocimientos
pueden transmitirse por mostración, es decir, pro
porcionando la información a los sujetos, las investi
gaciones en psicología genética demuestran que:
Hay cierro tipo de conocimientos que los su
jetos construyen por sí mismos.
Esta construcción se realiza a través de las in
teracciones complejas del sujeto con su medio,
al enfrentar situaciones que resultan proble
máticas para él.
Con respecto a la noción de número, en particular,
se sostiene que no es de naturaleza empírica, es decir,
no puede percibirse por lo sentidos, no es visible, no
pesa, no huele, etc. Es una estructura mental que el
niño construye a través de la abstracción reflexiva
de sus propias acciones mentales. Los conocimien
tos numéricos son ejemplos típicos de conocimientos
lógico-matemáticos que no pueden enseñarse en el
sentido de "mostrarse", sino que el niño lo constru
ye como parre de su desarrollo intelectual (Barocio,
1996). Estos elementos acusan una quinta definición
del número natural.
Empieza a ser claro que saber recitar y represen
tar los números no es más que una pequeñísima par
te del conocimiento de número. El conocimiento
de los números requiere del desarrollo de una estruc
tura mental, que incluye operaciones lógicas como la
seriación, la clasificación y la conservación.
Sin embargo, no es fácil comprender bien lo que
significan estas afirmaciones, y menos aún saber
la escuela?
Frente a esta pregunta, en los años 70, incluso 80,
se dieron respuestas muy diversas; después se demos
tró que muchas de ellas eran equivocadas. Veamos
rápidamente algunas:
• Considerando que la noción de número se
construye a partir de la síntesis de las operacio
nes lógicas de clasificación y seriación, y dado
que estas se desarrollan de manera espontánea
(sin enseñanza), en la escuela hay que esperar
a que esta síntesis ocurra para enseñar los nú
meros.
O bien:
• En la escuela solamente deben proponerse
actividades pre numéricas, de seriación y cla
sificación, para acelerar el desarrollo de estas
operaciones.
Aquí hubo un cambio en los propósitos mismos
de la enseñanza: ya no el aprendizaje de conocimien
tos matemáticos, sino el desarrollo de las estructuras
lógicas del pensamiento.
En resumen, en los años 70 y 80 las propuestas
orientadas por criterios de la psicología descalificaron
roda posibilidad de ayuda de la escuela para el apren
dizaje de la noción de número, o bien pretendieron
que la ayuda fuera en el desarrollo de las operaciones
lógicas, y no directamente en el desarrollo de destre
zas numéricas.
En ambos casos, la reacción a la vieja enseñanza
que enfatizaba demasiado lo mostrable fue el grito:
¡Fuera lápices del preescolar!
Se perdió de vista un factor fundamental plantea
do por la misma psicología piagetiana: las posibilida-
Ligia Ramirez y David Block
Anál isis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
des de aprendizajes que ofrecen las .interacciones con
un medio favorecedor.
Años más tarde ...
• La idea de "medio favorecedor" se volverá cen
tral (sobre todo gracias a la didáctica).
En la psicología misma hubo cienos cambios
de postura: estudios más recientes demostra
ron que, contrariamente a lo que se pensó en un
principio, los niños pueden desarrollar desde
muy pequeños cierras habilidades numéricas,
el conteo por ejemplo, y el desarrollo de estas
habilidades puede incluso favorecer el desarro
llo de las operaciones lógicas (Hieberr, 1989).
Por lo tanto , se empezó a cuestionar la idea radical
de los 70 y 80 de que es necesario esperar a que cul
mine el desarrollo de ciertas operaciones lógicas para
poder propiciar aprendizajes numéricos.
Veamos en qué punto nos encontramos ahora.
Hacia la sexta definición: aportes de la didáctica
de las matemáticas
Hemos visto que los matemáticos y los psicólogos hi
cieron grandes aportaciones a nuestra comprensión de
la noción de número y de los procesos de aprendizaje.
Sin embargo:
Saber matemáticas no necesariamente implica
saber cómo enseñarlas a los pequeños.
• Y saber cómo se desarrollan las estructuras cog
nitivas generales del pensamiento, tampoco
implica saber cómo enseñar contenidos especí
ficos en la escuela.
• El desarrollo de la didáctica de las matemáti
cas, cuyo inicio data más o menos de los años
70, intenta suplir esta carencia.
En didáctica de las matemáticas hay varias corrien
tes. Hablaremos aquí de los aportes de una corriente
constructivista. En ésta se asume la consideración
piagetana de que:
el sujeto construye sus conocimientos me
diante interacciones con un medio favore
cedor, un medio que le presenta problemas,
dificultades.
Esta consideración implica, en la enseñanza de las
matemáticas, cuestionar la idea de que deben ense
ñarse primero los conocimientos para que después los
alumnos los apliquen en problemas. Ahora se trata
ría más bien de lo contrario: plantear primero deter
minados problemas, para que, al intentar resolverlos ,
los alumnos construyan poco a poco cienos conoci
mientos.
Surgen entonces preguntas como: ¿puede un alum
no resolver un problema cuando no se le ha enseñado
el conocimiento que lo resuelve?, ¿puede tratarse de
cualquier problema? Y si no, ¿qué características debe
tener el problema?, ¿qué es un medio favorecedor?
Éstas son algunas de las préguntas a las que in
tenta responder la didáctica de las matemáticas con
orientación constructivista. En lo que sigue veremos
algunas respuestas a estas preguntas para el caso espe
cífico de la noción de número.
Pero antes, esbozaremos lo que será nuestra sex
ta definición de número natural. Desde el punto
• Es decir, ni los matemáticos ni los psicólogos de vista de la didáctica, el número natural se define
so n especialistas en enseñanza escolar. por el conjunto de situaciones en las que funciona, por
Algunas de las dificultades y de los errores al ejemplo, situaciones en las que se comparan dos co
aplicar sus aporres en el salón de clases, se de- lecciones, en las que se construye una colección con la
ben a eso. misma cantidad de elementos que otra, en las que se
Lig ia Ramírez y David Block
Análisis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
necesita comunicar a alguien una cantidad para que
forme una colección, o en las que se necesita guardar
en memoria una cantidad de elementos para contro
lar si ésta no se altera; situaciones en las que las can
tidades se transforman y se quiere prever la cantidad
que habrá al final, situaciones en las que se desea orde
nar una colección, entre muchas otras. Esta es nues
tra sexta definición de número natural. Cabe precisar
que existen distintos tipos de situaciones, cada una
de las cuales hace funcionar al número de distintas
maneras y, en consecuencia, favorecen el aprendizaje
de distintos aspectos de la noción de número. Los
niños no aprenden "el concepto de número", sino as
pectos específicos de dicho concepto.
SECUENCIA DE SITUACIONES DIDÁCTICAS:
"PLATOS Y CUCHARAS"
El juego 'platos y cucharas'
En las situaciones de la secuencia didáctica 'platos
y cucharas' el número es utilizado como una herra
mienta de comunicación para la construcción de una
colección con la misma cantidad de elementos que
una colección dada (colecciones equipotentes).
La primera versión del juego consiste en lo si
guiente: el grupo se organiza en equipos pequeños
de entre 2 y 4 alumnos. A cada equipo se entrega
determinada cantidad de platos. Un representante de
cada equipo debe traer, en un solo viaje, de un de
pósito (que se encontrará alejado de los equipos), la
cantidad de cucharas necesarias, para que a cada pla
to le corresponda una y solamente una cuchara, sin
que falten ni sobren cucharas a su equipo. Después
de traer las cucharas, el grupo verifica si ganaron o
perdieron los diferentes equipos, es decir, si alean-
zaron las cucharas para los platos, sin que faltaran ni
sobraran.
Así, la situación exige que los participantes pon
gan en juego, de alguna manera, ciertos aspectos de la
noción de número como herramienta para ganar.
La secuencia presenta diferentes variantes, que
también llamamos juego?. Cada juego presenta una
mayor dificultad con relación al anterior, con el fin
de que los niños utilicen procedimientos cada vez
mejores para controlar una cantidad de objetos y su
comunicación a otros niños. La secuencia los lleva,
paulatinamente a la utilización del número (oral y
escrito) como medio privilegiado para esta comuni
cación.
Al final de cada jugada, se lleva a cabo un momen
to de verificación, en el que los alumnos corroboran
si tuvieron éxito o no en el juego. Durante la verifi
cación o después de ella, la educadora destaca algu
nos de los procedimientos que se quieren enfatizar y
algunos errores interesantes.
Para que la actividad no fuera monótona en al
gunos juegos se cambiaron los elementos: de platos
y cucharas por transportes con cierta cantidad de
asientos y pasajeros, perros y huesos y, por último,
helados y cucharas.
Después de los primeros juegos se incluyeron al
gunas actividades adicionales para que los niños,
individualmente, reafirmaran los procedimientos uti
lizados. A estas actividades las llamamos juegos de
afirmación.
Condiciones de la implementación
de la secuencia
La secuencia de situaciones didácticas fue puesta en
práctica por una educadora con su grupo de tercer
' D istinguiremos el término juego, que se refiere a la variante de la situación d idáctica, del término j ugada, referido aquí a la pues ta en prácti ca de un
juego.
15 Ligia Ramirez y David Block
Anális is de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
grado de preescolar (alumnos de entre 5 años y 5
años 11 meses). Se aplicó a lo largo de once sesiones
de máximo una hora, durante cinco semanas. Cada
versión del juego se aplicó en promedio cuatro veces
a lo largo de dos sesiones.
La secuencia se dio a conocer a la educadora a
través de un conjunto de fichas de trabajo (una por
cada juego) con las cuales se intentó proporcionar
las herramientas necesarias para llevar a cabo el jue
go, conservando su enfoque didáctico. Los aspectos
que contienen las fichas son: en qué consiste el juego,
los materiales necesarios, la organización espacial y
grupal sugerida, las reglas del juego (incluyendo las
consignas), un apartado en el que se especifican los
procedimientos que se pueden esperar de los alum
nos, así como algunas sugerencias de lo que con
vendría destacar. Se consideró también un apartado
con algunas adaptaciones del juego en caso de haber
alumnos con necesidades educativas especiales.
Cada una de las fichas se entregó a la educadora
con anticipación y se revisó con ella en una sesión pre
via al juego. En esta sesión se leía la ficha en cuestión y
la educadora planteaba sus dudas o comentarios acer
ca del contenido. Además, se utilizaron las mismas se
siones para hacer comentarios sobre el desarrollo y las
respuestas de los niños y niñas al juego anterior.
Variables didácticas
Las principales variables didácticas que se controla
ron fueron:
La cantidad de platos: fue variando del rango
entre 4 y 7 platos a, rango entre 7 y 10 y, en
los últimos juegos, hasta 15 platos.
La forma de comunicación: autocomunica
ción, comunicación oral, comunicación grá
fica y comunicación gráfica con apoyo en una
tira numerada.
Ligia Ramírez y David Block
• La forma de organización del grupo se fue
modificando, por un lado, para que la maestra
pudiera tener el control de la situación, en tér
minos de poder identificar los procedimientos
utilizados por los alumnos y hacer las eleccio
nes pertinentes para resaltar los que fueran
necesarios. Por otra parte, se buscó que los
alumnos tuvieran un rol activo, no solamente
mientras fuera su turno de jugar, sino también
interviniendo en el juego de sus compañeros
de equipo y en el momento en que se verifi~aban los resultados (actividad grupal).
El juego se planeó inicialmente para ser juga
do por el grupo entero (30 alumnos), en equi
pos de entre 3 y 4 niños y niñas. Sin embargo,
después de la primera puesta en escena, vimos
que era muy difícil lograr una participación
de los alumnos al mismo tiempo que un con
trol suficiente de su trabajo por parte de la
educadora. Decidimos entonces realizar los
juegos siguientes con la mitad del grupo (un
día con una mitad, otro día con la otra mitad;
solamente se hizo el seguimiento de una de las
mitades).
La organización espacial fue modificándose a
lo largo de la experiencia, en los últimos jue
gos se optó por sentar a los niños de dos en dos
en cada mesa y una mesa frente a otra (equipo
emisor y equipo receptor del mensaje).
E: emiso res ; R: receptores
Análisis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
El desarrollo de la secuencia
En lo que sigue describiremos algunos de los proce-
O: Tenía siete platos ... los conté ( ... )después
agarré las cucharas, como tenía los platos.
dimientos utilizados por los niños en los diferentes El segundo ejemplo muestra una descomposición
momentos de la secuencia. aditiva:
En la primera versión, como ya se explicó (ver pá- (El equipo 5 manipula los platos mientras la
gina 15), los niños deben hacer un ejercicio de auto- maestra verifica con otro equipo).
comunicación, es decir, el niño que va por las cucha-
ras debe recordar por sí mismo, de alguna manera,
la cantidad de cucharas que deberá traer para que su
equipo gane. Para tener éxito los niños pueden utili
zar algún procedimiento que les permita controlar la
colección de platos que la maestra les asigna.
Hemos identificado varios procedimientos a los
que los niños recurren con frecuencia. Algunos de
éstos son:
El conreo. Contar los platos y después contar
la misma cantidad de cucharas.
• El conreo con descomposición aditiva. Contar
los platos en dos o más subcolecciones (por
ejemplo, en vez de contar 7 platos, se cuentan
4 y 3).
En cambio el siguiente procedimiento que se es
peraba, no se observó: hacer una correspondencia 1 a
1 con una colección intermedia. En este caso pueden
utilizarse los dedos para recordar la colección de los
platos y construir la colección de cucharas en base a
ésta).
Esto nos deja ver que los niños pequeños ya han
construido conocimientos que les permiten resolver
problemas de este tipo.
Veamos algunos ejemplos de los procedimientos
usados por los niños en esta primera versión del jue
go. Primero mostramos un procedimiento de conreo
verbalizado por una niña3.
S: Son cuatro ... son cuatro y cuatro.
E: ¡No! uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete,
ocho.
S: (Toma dos platos) son dos (toma otros dos)
E: Otros dos, son cuatro.
S: (Pone otros dos).
E: Otros dos son cinco, seis y otros dos son ocho ...
siete.
S: (Vuelve a tomar los platos) Uno, dos, tres, cua-
tro, cuatro.
El primer alumno (S), utiliza descomposiciones
aditivas como procedimiento para representarse la
cantidad. El segundo niño (E), en un primer mo
mento, niega que el procedimiento de su compañero
sea el correcto y expresa la cantidad de platos por
medio del conreo en voz alta. Cuando el primer niño
(S) reitera su necesidad de hacer una descomposición
aditiva, esta vez de dos en dos, el segundo (E) intenta
seguir esa lógica, pero va nombrando los números de
la serie que están incluidos en la descomposición.
Veamos, ahora, una segunda versión del juego.
Los niños de un equipo deberán pedir oralmente
a los niños de otro equipo, que está alejado, las cucha
ras necesarias para que cada plato tenga la suya, sin
que les falten ni les sobren cucharas. Este juego im
plica un ejercicio de comunicación oral, que también
puede ser resuelto con diversos procedimientos.
' Los nombres de los niños se indican co n la inicial (D, S, E .. ) . Cuando no se tiene el nombre se escribe Na o No. Cuando participan varios a la vez Ns .
Las interaccio nes de las maesuas se indican con M.
Ligia Ramírez y David Block
Anál isis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
Los equipos que tienen los platos en principio
pueden:
Contar y decir el número.
Contar subcolecciones y dictar los números.
Reconocer visualmente la cantidad, en caso de
ser cantidades muy pequeñas (1, 2 ó 3 platos y
en algunos casos hasta 4).
• Recitar la serie numérica hasta el número to
tal de la colección de platos, y dictar uno por
uno.
Y en los equipos de las cucharas:
Construir la colección con el número dado,
contando.
Construir la colección uno a uno, mientras
el otro equipo les dicta la serie (o dicta uno,
otro, otro, otro ... ).
Este juego, entonces, llevaría a buscar el proce
dimiento más efectivo: el número oral. Notemos
que hay aquí cuatro subsiruaciones implicadas: el
emisor debe cuantificar y comunicar la cantidad.
El receptor debe formar la colección a partir del nú
mero dado. Luego, ambos deben comparar la canti
dad de cucharas con la de los platos, poniendo cada
cuchara sobre un plato.
En los ejemplos que se muestran a continuación,
además de encontrar algunos de estos procedimien
tos también podremos observar algunas estrategias
y errores en el conteo. En general, niños y adultos
buscamos algunas estrategias para poder controlar
que se estén considerando todos los elementos de
la colección sin que falten algunos por contar ni se
cuente más de una vez alguno, sobre todo cuando la
colección es grande. Estas estrategias, así como los
errores que con más frecuencia cometen los niños al
contar han sido estudiados por distintos investigado
res y sistematizados por Fuson ( 1988) .
Ligia Ramirez y Dav id Block
En el primer ejemplo podemos ver una estrategia
de conteo utilizada por una niña.
I: (1 O platos) (Le toca pedir las cucharas. Su
compañera de equipo comienza a contar
los platos al mismo tiempo que ella. Le
pide que la deje contar sola. Cuenta los
platos de manera ordenada, tratando de
localizar líneas verticales de platos , como
se muestra enseguida.) ¡Diez.'
1
2
3 4
5 6
7
8
9
10
J: (Toma 1 O cucharas, de una en una las vaco
locando en su mano. Después las pone
sobre los platos).
En el siguiente ejemplo vamos a observar un error
en el conteo por falta de una estrategia eficiente del
emisor (L) . No obstante, el receptor (S) logra ver los
platos desde su lugar con lo cual logran ganar.
L: (Tiene 7 platos. Los ve y los señala con un
dedo que pone cerca de su cara. Al parecer
los está contando, pero no se escucha lo
que dice. No pide las cucharas. Tarda un
rato sin responder)
M: ¿Sabes lo que tienes que hacer Luis?
L: (as iente)
C: Contarlas.
S: (Espera el pedido y, mientras , cuenta los pla
tos desde su lugar).
L: (Vuelve a ver los platos y al parecer los
cuenta con la vista, sin tocarlos). Son once.
Necesito cucharas.
Na: Once
S: (Toma siete cucharas, una por una y las lleva
a los platos).
Ns: ¡Ganaron.'
Análisis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
Pasemos a la tercera versión . En este juego se
cambiaron los objetos de platos y cucharas por trans
portes y pasajeros. Los transportes se representaron
en una hoja (coche, camioneta o autobús) con cua
dros (asientos) y los pasajeros se representaron con
tíchas.
~ ~ ra o
o
D D D D D D D D
DDDD
Coche Camionera Autobús
La variante que caracteriza a este juego es la si
guiente: la educadora pide a los equipos que tienen
los transportes que soliciten por carta, a los equipos
que tienen a los pasajeros, los q ue necesitan para que
en cada asiento haya un pasajero, sin que falten ni
sobren pasajeros.
Ahora el ejercicio implicado es de comunicación
escrita. Los procedimientos posibles son, para los
equipos de los transportes:
• Contar y escribir el número [ l ].
Construir una colección gráfica intermedia
(tantas bolitas o palitos como pasajeros se so
licitan) [2].
Escribir la serie de los números desde el l has
ta el número que se solicita, porque aún no
asocian el último núm ero a la cantidad que
corresponde [3] .
• Escribir varias veces el número q ue se solicita
[4].
Dibujar una colección intermedia para decir
la cantidad [5] .
2 3 4 5 6 7 1 ~
D 9
[3]
111111111 f. 111111111 ¡ s s 5 5 5
[I] [2] [4] (S]
Y para el equipo de los pasajeros:
• Interp retar el número, construyendo la colec
ción que se solicita.
Contar los dibujos y construir la colección.
Construir uno a uno la colección (por cada
objeto dibujado), mientras un integrante del
equipo va dictand o.
Los cambios en los mensajes de una sesión a o tra
fueron notorios. En la primera sesión solamente 4
niños utilizaron números en sus cartas y ninguno de
ellos utilizó un solo número, sino la serie del 1 hasta
el número que querían comunicar.
., r- e w e r r- í ...... .
\ >o e l 8 'o r- H ""' -( 341S o-~
En el primer ejemplo vemos algu nas inversiones
en la escritura de los números y en el segundo una
omisión (el 4) que fue identificada y corregida por el
emisor del mensaje.
Las producciones de los niños que no escribieron
números fueron de varios tipos:
Reproducen el modelo del transporte (tal y
como está dibujado en la hoja que se les dio),
lo que hace suponer que el niño o niña pres
cindió del conteo de los asientos e hizo una
correspondencia término a término, mientras
dibuja.
!) ¡ _,
[.I
e
Ligia Ramirez y David Block
Anális is de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
Dibujan los asientos u otros objetos alineados
en la parte superior de la hoja para represen
tar los pasajeros que se solicitan. Para esto úl
timo, es más probable que se haya recurrido
al conteo.
\_j \ / l:
Al final de la primera sesión la educadora pregun
tó a los niños y niñas si creían que podrían escribir su
mensaje más rápido. Una de las niñas dijo que podría
hacerse escribiendo un solo número. La educadora le
d io una hoja de transporte y le pidió que enseñara a
los demás la manera de hacerlo.
Al parecer, esta intervención de la educadora in
fluyó en el tipo de producciones que se realizaron en
juegos posteriores. En la segunda sesión, por ejem
plo, solamente 4 niños utilizaron dibujos o marcas y
6 niños utilizaron un solo número, los demás conti
nuaron usando la serie de números.
En los siguientes ejemplos observaremos algunas
de estas características y veremos además un caso sin
gular: la reproducción de los asientos junto con el
número que representa la cantidad (ejemplo 3 ). Al
parecer, para el autor de este mensaje, el escribir un
so lo número no fue suficiente para asegurar un punto
más para su equipo. Sin embargo el niño omitió un
asiento al dibujarlos. Esta producción causó confu
sión en el receptor del mensaje, quien consideró cada
elemento trazado en el mensaje (tanto los asientos
co mo el numeral ) como elementos que representan a
los pasajeros solicitados. Así, el asiento omitido fue
Ligia Ramirez y David Block
suplido por el número, lo que permitió al equipo
ganar esa jugada.
1) para 5 pasajeros
o OCJ
ºº 3) para 6 pasajeros
4) para 10 pasajeros
5) para 8 pasajeros
2) para 4 pasajeros
La cuarta versión y última que se experimentó
es una variante ligera del úlrimo juego de comunica
ción escrita. La diferencia aquí fue que la maestra les
entregó una tira numerada del 1 al 12 a cada par de
niños y les pidió que procuraran usar un solo núme
ro en sus mensajes.
En la primera sesión de este juego solamente eres
niños usaron dibujos o marcas arbitrarias , un niño
dibujó la colección y escribió el número y 10 niños
usaron un solo número.
El niño que en el juego anterior dibujó la co
lección y el número, en este juego lo vuelve a hacer,
pero con un cambio (1). Esta vez no reproduce la
configuración de los asientos, ahora los dibujó ali
neados y al final escribió el número. Nuevamente su-
Análisis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
cedió que el niño que interpretó el mensaje contó el sucedió en un ejemplo de la última sesión que se pre
numeral como un elemento más de la colección, por senta más adelante.
lo que perdieron. El ejemplo 6 solicita la cantidad de pasajeros me-
1) para 7 pasajeros
lO'P)O\O\O 2) para 5 pasajeros
.to 5 4. para 1 O pasajeros 3) para 12 pasajeros
5) para 5 pasajeros
6) para 1 O pasajeros
Otro ejemplo interesante, más en su interpreta
ción que en la producción, es el 2, donde el niño
dibuja 5 series de un "palito" con una "bolita" para
solicitar 5 pasajeros. El receptor del mensaje empezó
contando cada elemento como unidad, pero al ver
que el segundo par está unido en un punto, regresó
y empezó a cuantificar cada pareja de "bolita-palito"
como una unidad.
En el ejemplo 3, el niño que escribió el mensaje
invirtió y deformó los números, lo que provocó que
el receptor no supiera cómo interpretar. Lo mismo
diante el número, pero incluye cuatro soles que, al
parecer, fueron elementos decorativos. La niña ase
gura, cuando se le pregunta, que ella escribió "1 O"
y trata de justificarlo contando los soles varias veces
hasta llegar a 1 O. Como se le sigue preguntando opta
por escribir los números para completar la cantidad
de elementos (soles más numerales) a 1 O.
En la última sesión solamente un niño dibujó "pa
litos", tres escribieron la serie de números y los demás
pusieron un solo número, aunque no todos eran in
terpretables como números, lo vemos en el ejemplo
5 del siguiente grupo de producciones, donde la niña
escribió dos letras (er) para representar un 6, que fue
interpretado como 9, y en el ejemplo 4 en el que una
' E' es interpretada como un 3.
Presentamos también los ejemplos 1 y 2, porque
éstos fueron producidos atinadamente por dos niños
que desde el inicio de la experiencia mostraron gran
dificultad en la utilización de los números. Aunque
en otras de sus producciones el niño del ejemplo 2
utilizó números escritos o colecciones intermedias,
ésta fue la primera ocasión que su producción corres
pondió a la cantidad de objetos solicitados. Lo mis
mo sucedió con el alumno del ejemplo 1, quien, por
sugerencia de su pareja de equipo, esta vez no utilizó
pares de 'palito-bolita' sino solamente 'paliros'.
El ejemplo 3 muestra la serie del 1 al 1 O con
la omisión del 7, y después el número diez debajo
de la serie. Este fue interpretado por el número 10
solamente, lo que no ocurrió en otro ejemplo donde
el niño sólo escribió la serie también omitiendo un
número y al ser contados los números, se le entrega
ron menos pasajeros.
Por último, en el ejemplo 6, vemos la producción
de un niño al que la maestra le dio una cantidad (18)
por arriba del rango con el que estaban jugando todos.
Ligia Ramírez y David Block
Aná li sis de situaciones didácti cas para el aprend izaje del número en preescolar
1231 1) para 4 pasajeros 2) para 4 pasajeros
3) para 1 O pasajeros
er 4) para 3 pasajeros 5) para 6 pasajeros 6) para 18 pasajeros
Así, puede verse que las variables "cantidad de
los platos asignados" y "tipo de co municación que se
exige" complejizan la resolución de los juegos , propi
ciando el desarrollo de diferentes con'ocimientos por
parte de los niños. Cabe destacar que la resolución
de estas si tuaciones no requiere que los alumnos ya
sepan de antemano utilizar los números convencio
nales, como se vio, los alumnos pueden desarrollarlos
durante los juegos, en el intercambio que van hacien-
do co n sus pares.
Deben permitir una resolución inicial con
los conocimientos que los alumnos ya tienen ,
pero deben llevarlos a buscar respuestas más
eficaces y más económicas.
• Deben permitir a los alumnos avanzar en su
co nocimiento, y acercarlos a un conoci miento
matemático.
• Por sí mismas deben proporcionar a los alum
nos elementos para verificar y validar el resul
tado de sus acciones (por ejemplo, en el juego
de platos y cucharas, los niños pueden darse
cuenta si ganaron o perdieron , al poner las cu
cha ras sobre los plaros).
El papel de la educadora
La situación en sí misma propicia la búsqueda de
soluciones por los niños , pero no garantiza que ésta
funcione como una situación de aprendizaje. Por es to
creemos importante resaltar el papel que la educado
ra debe jugar en el planteamiento de una situación de
este tipo, para que permita a los alumnos y alumnas
avanzar en su conocimiento.
Los m aes tros tendemos a decir directamente a los
niños cómo se resuelven los problemas, con qué co
nocimiento. En esos casos, los n iños d eberán aplicar
lo que el maestro dice y, si bien es cierto que tal vez
aprendan un poco , no tendrán la oportunidad de en
contrar por sí mismos la solución, o la pertinencia de
determinado conocimiento, con lo cual aprenderían
mucho más . Por ejemplo, ¿qué pasaría si la m aestra,
Caracterís ticas de la situación didáctica en lugar de la consigna del juego (traer las cucha-
ras necesarias para que cada plato tenga la suya, sin
Destacaremos ahora algunas de las características de que fa lten ni sobren cucharas, y haciéndolo en un
este tipo de si ruaciones de aprendizaje: so lo viaje), dijera: "Cuenta los platos y trae las cucharas
• Se plantean a los alumnos en forma de 'pro
blema a resolver' individualmente o en grupos
pequeños (de entre 2 y 4 alumnos).
Li gia Ram irez y Dav id Block 221
que necesitas", o "¿cuántos platos tienen? Ahora traigan
las cucharas que necesitan", o bien , "les doy 9 platos,
¿cuántas cucharas tienen que traer?''
Análisis de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
El rol que as ume la maestra es muy distinto en
un caso y en el otro. Mientras en estos últimos ejem
plos la educadora, da en la consigna la solución al
problema; en el ejemplo que presentamos antes, la
educadora:
Devuelve el problema a los niños, es decir, les
plantea el 'problema a resolver', pero no les di
ce cómo hay que resolverlo, de manera que
ellos deban hacerlo.
Durante el juego, su papel es animar y facilitar
ayuda tratando de no eliminar el problema, por
ejemplo: si el niño hace una colección inter
media con sus dedos y no puede tomar las cu
charas, la maestra puede pedir a otro niño que
saque las cucharas que el niño le va pidiendo.
Procura que los niños se den cuenta por sí
mismos de que sus estrategias son insuficien
tes (si lo son), en el momento de verificación.
Al finalizar el juego propicia un momento
de puesta en común en el que resalta algunas
estrategias utilizadas por los alumnos, tanto
exitosas como no exitosas, con el fin de que
los alumnos reflexionen en las estrategias más
efectivas y más económicas, y por otro lado,
desechen las estrategias poco efectivas o muy
complicadas .
• Poco a poco, aumenta las exigencias de la si
tuación. Por ejemplo, en algún momento se
puede poner como condición "ahora sólo se
vale usar números", al tiempo que les facilita
la tira numerada.
D ificultade s e ncontradas
Algunas de las dificultades encontradas en el proce
so de la puesta en práctica de la secuencia didáctica,
fueron:
De la educadora:
• Encontró dificultad para recordar la consigna
en las primeras sesiones.
• Sus participaciones, sobre todo en las primeras
sesiones, orientaban el tipo de respuesta de los
niños , al validar prematuramente las respues
tas de algunos alumnos más adelantados que
contaban y usaban el número desde el prin
cipio. Esto llevó a los niños a seleccionar res
puestas que la maestra pudiera aprobar.
El momento de la verificación, en muchos de
los juegos, tomó mucho tiempo, pues la edu
cadora trataba de indagar cada procedimiento
utilizado. Los niños no siempre sabían expli
car lo que habían hecho y esto hizo la activi
dad más larga y más pesada.
• Esta misma situación provocó poca participa
ción de los alumnos en las verificaciones de los
juegos de los otros equipos.
En la organización:
• Los niños preescolares, cuando tienen mate
rial en sus manos, tienden a jugar con él. En
el caso de los platos y cucharas, el material los
llevó a iniciar juegos paralelos distrayendo la
atención del momento de verificación de los
otros equipos. En el caso de la tira numera
da, aunque también distrajo la atención de la
actividad grupal, el juego libre que los niños
hicieron con ésta, favoreció el uso de los nú
meros y su aprendizaje.
La cantidad de niños jugando dificultó el se
guimiento de los procedimientos y procesos
de los alumnos, por parte de la educadora y
observadoras. Esta misma situación, además,
hizo muy extensos y cansados los tiempos de
las sesiones y los tiempos de espera del turno
de los alumnos que jugaban. Por esta razón
Ligia Ramirez y David Block
Anál isi s de situaciones didácticas para el aprendizaje del número en preescolar
la organizac1on tanto de espacio como de los
turnos se fue modificando a lo largo de la ex
periencia.
• El uso de un mismo material para jugar a lo
largo de las sesiones resultó monótono pa
ra los niños, por haber sido éstas muy seguidas
una de otra. Sin embargo, consideramos que
si esta secuencia se alterna con otras, puede
resultar menos cansada y dar más tiempo
a los niños para utilizar los conocimientos
que van aprendiendo en cada sesión. Además,
la utilización de dos o más secuencias alter
nadas permite ir abordando otros aspectos
del número, por ejemplo, el aspecto ordinal o
las transformaciones aditivas.
COMENTARIO FINAL
La experiencia que hemos descrito constituye un ejem
plo de que, efectivamente, es posible propiciar que los
alumnos de preescolar desarrollen importantes cono
cimienros sobre el número natural al interactuar con
determinado ripo de situaciones problemáticas; de
que es posible considerar sus conocimientos previos, al
permitir que éstos aporten las primeras soluciones
a un problema, y al mismo tiempo apuntalarlos para
propiciar su desarrollo; también muestra que es posi
ble considerar ciertos errores como parte inherente de
un proceso de aprendizaje, e incluso, a veces, hacerlos
visibles para quienes los cometen de manera que ren
gan mayores posibilidades de superarlos.
Al mismo tiempo, la experiencia permite ver al
gunas de las condiciones que se requieren para llevar
a cabo esra empresa -que los pequeños de preesco
lar participen en procesos de construcción de cono
cimientos maremáricos- las cuales no son triviales :
disponer de situaciones adecuadas, trabajar con un
ligia Ramirez y David Block
número no muy grande de alumnos, contar con for
mas ágiles de organización del grupo, circunscribir
las actividades y los momentos de espera en el tiempo
en que los pequeños mantienen el interés, preparar
previamente y de manera minuciosa cada situación,
conducir con destreza las puestas en común, entre
otras.
Esperamos que los resultados de la experiencia
descrita contribuyan a convencer de que el esfuerzo
que implica crear estas condiciones vale la pena.
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