El bit cuántico (qubit)0

1

Unidad de Información clásica: el “bit”

1|0||

1Unidad de Información cuántica: el bit cuántico (qubit)

|1>

|0>

Base computacional

22 ||)"1(";||)"0(" PP

||1>

| 1|'| 0|'|

|0>Medida del qubit

Si se obtiene el valor 1 Si bti l l 0El conocimiento que se adquiere a partir de la medida El conocimiento que se adquiere a partir de la medida

está ligado a la pérdida de la superposición. está ligado a la pérdida de la superposición.

Si se obtiene el valor 1 Si se obtiene el valor 0

1|0|| |||

10 ii ee a y b son números reales.

ie 10 )( ie 10 ieba

Como a2+b2 1 llamamosComo a2+b2=1, llamamos

2;

2cos senbaEl factor de fase que multiplica al

ket que se halla entre paréntesis 22q ppuede descartarse, puesto que esto no altera las predicciones de probabilidades.

cos 0 1isen e

¡OJO! Esto sólo es válido cuando el ket por el que va multiplicado el factor de fase no forma parte de una superposición cos 0 1

2 2sen e

superposición

0|ZEsfera de Bloch

0| Medida (colapso del vector de estado). La medida del qubit hace que éste, súbitamente colapse a uno de los dos valores de la base computacional

El bit cuántico se representa geométricamente

1|2

0|2

cos| iesen

de la base computacional.mediante un punto sobre la esfera.

22

2cos)0( 2 P

Y

2)1(

2

2 senP

X

Evolución cuando no hay medidas (ecuación de Schrödinger). El punto que

1|X g ) p q

representa al qubit se mueve por la superficie de la esfera, lo que representa al qubit en diferentes instantes.

SISTEMAS DE DOS NIVELES

• Física Clásica: Sistemas que pueden estar en dos estados.Fí i C á ti Si t b bl ti d• Física Cuántica: Sistemas cuyos observables tienen dos

autovalores y dos autovectores. El principio de Superposición permite generar superposiciones de los dos estados base.

Ó

Niveles electrónicos

SUPERPOSICIÓN

OS

de átomos

PolarizaciónEJEMPLOS Polarización de fotón

EspínY

Espín de partículas espín 1/2

ZX

Implementación física de los qubits con fotones

►► Física clásica: la luz es una onda Física clásica: la luz es una onda electromagnética.electromagnética.

Xelectromagnética.electromagnética.

►► POLARIZACIÓN: Propiedad de la luz POLARIZACIÓN: Propiedad de la luz asociada al plano donde vibra el asociada al plano donde vibra el campo eléctricocampo eléctrico

cE

campo eléctrico. campo eléctrico. ►► POLARIZADOR: Aparato que sirve POLARIZADOR: Aparato que sirve

para cambiar la polarización de la para cambiar la polarización de la luz La intensidad de la luz al pasarluz La intensidad de la luz al pasar

ZY

B

luz. La intensidad de la luz al pasar luz. La intensidad de la luz al pasar por el polarizador es (ley de Malus)por el polarizador es (ley de Malus)

20 cosII

Y

►► Mecánica cuántica: la cuantización Mecánica cuántica: la cuantización del campo electromagnético lleva al del campo electromagnético lleva al

dd f óf ó d ld l

0 cosII

concepto de concepto de fotónfotón, o cuanto de luz, , o cuanto de luz, que conjuga la dualidad ondaque conjuga la dualidad onda--partícula en el caso de la luz.partícula en el caso de la luz. Eje del polarizador

5

ESTADOS DE POLARIZACIÓN DEL FOTÓN

Magnitud: Polarización en la dirección OXX

Y

XZ

Vectores propios |V>Y

|H>X |

1001

P̂Observable correspondiente en la base rectilínea0

01

101

1001ˆ HP

0

)1(001ˆ

0010

VP6

1)1(

110VP

MEDIDA DE LA POLARIZACIÓN EN LA BASE {|H>, |V>}

El analizador de polarización en laDH

Detector de fotones

Detector de fotones El analizador de polarización en la base rectilínea, está constituido por el PBS y los detectores DH y DV. Cuando sobre él incide un fotón polarizado horizontalmente

Fotones polarizados horizontal o verticalmente

DV polarizado horizontalmente (verticalmente), se produce con certeza, en una situación ideal en la que la eficiencia es el 100%, una detección en DH (DV)

( ) 1; ( ) 0H P DH P DV

PBS (Polaryzing beam-splitter)SEPARADOR DE POLARIZACIÓN:refleja la componente horizontal y transmite la vertical.

detección en DH (DV).

( ) 1; ( ) 0H P DH P DV

( ) 0 ; ( ) 1V P DH P DV FUENTE DE FOTONES

|V>}|,{| VH|H’>

|V’> ¿Se puede medir simultáneamente la

|H

|}'|,'{| VH polarización en ambas bases?

7

|H>

DH

Detector

Detector

Consideremos º45

DV¿?SEPARADOR DE POLARIZACIÓN (H, V)

Fotón polarizado a 45 grados

FUENTE

11121)()(|

21|

21'|| DVPDHPVHH

Las polarizaciones en sendas direcciones no pueden tomar valores con certeza simultáneamentevalores con certeza simultáneamente.

ˆˆ80],[ PP

Los observables asociados a la polarización en dos direcciones que forman entre sí 45º no conmutan entre sí.

Es imposible tener, de forma simultánea, valores p , ,definidos de la polarización en la base rectilínea y en la base diagonal.

C l i i t t d di l l i ióCualquier intento de medir la polarización en una base, produce una perturbación en la polarización asociada a la otra baseasociada a la otra base.

9

CRIPTOGRAFÍA CLÁSICACRIPTOGRAFÍA CLÁSICA

CRIPTOLOGÍA

CRIPTOGRAFÍA CRIPTOANÁLISIS

¿?

ÍEVA= ESPÍA

BLAS RECEPTOR10

ALICIA= EMISOR BLAS= RECEPTOR

MÉTODOS EN CRIPTOGRAFÍA CLÁSICAMÉTODOS EN CRIPTOGRAFÍA CLÁSICA

Las letras del mensaje se reorganizan• TRANSPOSICIÓN: Las letras del mensaje se reorganizan mediante una permutación especial.

TRANSPOSICIÓN:

INGENIEROS NIEGINRESO

L l t d l j lSUSTITUCIÓN Las letras del mensaje se reemplazan por otras letras, números o símbolos arbitrarios.

A D

• SUSTITUCIÓN:

A DB EC F t

11INGENIEROS

C F, etc

LQJHQLHURVINGENIEROS LQJHQLHURV

PROBLEMAS DE LA CRIPTOGRAFÍA CLÁSICA

SEGURIDAD: Los métodos de transposición y substitución NO sonnada segurosnada seguros. La frecuencia con la que aparece una determinada letra en un texto inteligible es aproximadamente constante.

75100 Número de veces

(frecuencia) que

0

5025

aparece cada letraen el abecedarioinglés (tanto por mil).

a b c d e f g h i j k l m n op q r s t u v w x z

• El desarrollo del criptoanálisis está ligado al de la computación.

12

EL USO DE CLAVES EVA

CLAVE

CRIPTOGRAMA

ALICIA BLAS

MENSAJE CRIPTOGRAMAMENSAJE

CLAVECRIPTOGRAMA CRIPTOGRAMA

CLAVE

MENSAJE

1. Los algoritmos de encriptación y desciframiento son de conocimiento público.

2. El criptograma puede ser susceptible de ser interceptado (no problema).

3 La seguridad DEPENDE del secreto de la clave13

3. La seguridad DEPENDE del secreto de la clave.

4. ¡¡¡¡PROBLEMA!!! “Siempre es posible, en principio, espiar el sistema de distribución de clave sin que emisor y receptor se enteren”.

CRIPTOGRAFÍA DE CLAVE PÚBLICA (1976)

Blas, quiero mandarte l

Vale Alicia, espera que te

algo. mando la clave para encriptar

MENSAJE

ALICIA BLAS

Clave públicaMENSAJE p

Clave privada

MENSAJE

CRIPTOGRAMA

14

1. No necesitan estar de acuerdo en la clave antes de enviar el mensajemensaje.

2. Dos claves: Una pública, para encriptar el mensaje, y otra privada, para descifrarlo.

3 SE BASAN EN EL DIFERENTE GRADO DE DIFICULTAD DE3. SE BASAN EN EL DIFERENTE GRADO DE DIFICULTAD DE CIERTAS OPERACIONES MATEMÁTICAS, SEGÚN LA DIRECCIÓN EN QUE SE REALICEN (FACTORIZACIÓN DE GRANDES ENTEROS EN SUS FACTORES PRIMOS).

4. Es posible sacar la clave privada de la pública pero es muy difícil.5. Para factorizar un número entero de N dígitos decimales, el

número de operaciones que debe hacer un ordenador clásico crece exponencialmente con N. EL NÚMERO MÁS GRANDE QUE SE HA CONSEGUIDO FACTORIZAR TIENE APROX. 130 QU S CO S GU O C O O 30CIFRAS, Y SE TARDÓ VARIOS MESES.

6. ¡¡¡SON VULNERABLES A ALGORITMOS DE COMPUTACIÓN CUÁNTICA!!! En este sentido los computadores cuánticosCUÁNTICA!!! En este sentido, los computadores cuánticos constituirían un enemigo potencial de los métodos criptográficos actuales.

7 LA CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA RESUELVE EL PROBLEMA15

7. LA CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA RESUELVE EL PROBLEMA, AUNQUE EXISTIESEN ORDENADORES CUÁNTICOS.

CRIPTOGRAFIA CUÁNTICACRIPTOGRAFIA CUÁNTICAAlicia y Blas tienen que compartir una CLAVE SECRETA, pero ¿quién nos asegura que mientras se estaban comunicando dicha clave, un espía no estaba “pinchando” la comunicación?

AliciaCRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA

(Espía)MEDIR ES PERTURBAR

(Emisor)Eva

Esta perturbación puede ser detec-

Blas

tada por Alicia y Blas, percatándo-se de la existencia de un espía y cortando la comunicación.

16(Receptor)

CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICACRIPTOGRAFÍA CUÁNTICACRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA ►►Teorema de no clonación. Teorema de no clonación. ►►Seguridad en estados no ortogonalesSeguridad en estados no ortogonales►►Seguridad en estados no ortogonales.Seguridad en estados no ortogonales.►►Protocolo BB84 de Criptografía Cuántica.Protocolo BB84 de Criptografía Cuántica.►►Criptografía con estados entrelazados (se Criptografía con estados entrelazados (se

verá más adelante)verá más adelante)verá más adelante)verá más adelante)

17

Teorema de no clonaciónTeorema de no clonaciónEs imposible clonar un estado cuántico desconocido

Demostración:Supongamos que U es una transformación unitaria que clona.p g q q

1|0|| Estado que se quiere i

im|

|||

Estado inicial de la á i d l ió

copiar

máquina de clonación

blank| Estado inicial de la |partícula en la que se va a copiar el estado

18

)||(| imblankU

||)1|0|()1|0|(

)||(|

f

i

mmblankU

|

Pero la máquina debe ser también capaz de clonar los estados de la base computacional:

0

|1|1|)||1(|

|0|0|)||0(| fi

mmblankU

mmblankU

p

1|1|1|)||1(| fi mmblankU

Como la transformación debe ser lineal, entonces:

)||1|()||0|(||)1|0|([ i

mblankUmblankUmblankU

10 |1|1||0|0|)||1|()||0|(

ff

ii

mmmblankUmblankU

19¡Este estado es distinto al que se debería obtener en la clonación!

Seguridad en estados cuánticos Seguridad en estados cuánticos no ortogonalesno ortogonales

E i ibl l d t d á ti t lEs imposible clonar dos estados cuánticos no ortogonales

Demostración:

Sean |a> y |b> dos estados cuánticos no ortogonales, es decir:

<a|b> NO ES NULO.

Supongamos que existe una máquina de clonación queSupongamos que existe una máquina de clonación, que opera de la forma siguiente:

|a>|blank>|máquina>ö |a>|a>|máquina1>| | | q | | | q 1

|b>|blank>|máquina>ö |b>|b>|máquina2>

20

Como el producto escalar debe ser invariante ante cualquier operación unitaria, entonces:

<a|b>=<a|b><a|b><máquina1|máquina2>

<máquina1|máquina2>=1/<a|b>q 1| q 2 |

Sólo puede verificarse si <a|b>=1, y en este caso ambos estados son indistinguibles es decirambos estados son indistinguibles, es decir,

|máquina1>=|máquina2>

Los estados finales de la máquina son el mismo, de modo que q , qcualquier proceso que no cause ninguna perturbación en dos estados no ortogonales, no aporta ninguna información a la hora de distinguirlos.

21

PROTOCOLO BB84 de Criptografía Cuántica

}|,{| VH }'|,'{| VH

(1) Alicia PREPARA, de forma aleatoria, fotones en las bases

y , y los ENVÍA a Blas.y y

|V>|H’>|V’>

0

10 |

|H> 1

(2) Para cada fotón que recibe, Blas MIDE su polarización, l t i t l b l b Ali i (Bl ) taleatoriamente en la base o en la base . Alicia (Blas) anota

la secuencia de bits que envía (recibe) y las bases utilizadas.

1

1

22ALICIABLAS

1

0

0

0

ALICIABLAS

0

50% de probabilidad de obtener “0”0

50% de probabilidad de obtener 0

50% de probabilidad de obtener “1”

MEDIDA

(3) Blas ANUNCIA PÚBLICAMENTE la BASE que utilizó para(3) Blas ANUNCIA PÚBLICAMENTE la BASE que utilizó para cada medir cada fotón. NO DICE EL RESULTADO OBTENIDO. (4) Alicia ANUNCIA PÚBLICAMENTE la BASE que utilizó para(4) Alicia ANUNCIA PÚBLICAMENTE la BASE que utilizó para

preparar cada fotón. LOS RESULTADOS ESTARÁN PERFECTAMENTE

23CORRELACIONADOS CUANDO USARON LA MISMA BASE, Y PERFECTAMENTE DESCORRELACIONADOS CUANDO USARON BASES DISTINTAS.

(5) Ali i Bl d l t l bit(5) Alicia y Blas se quedan solamente con los bits correspondientes al uso de la misma base.

(6) AUTENTIFICACIÓN: Alicia y Blas anuncian públicamente

t ( l t i ) d l lt d d d SI SON TODOSparte (aleatoria) de los resultados guardados. SI SON TODOS IGUALES, entonces no ha habido intercepción por parte de un espíaespía.

(7) En tal caso ya tienen una clave secreta, a partir del resto d l lt d d dde los resultados guardados.

(8) Pero si los resultados que anuncian no coinciden en su(8) Pero si los resultados que anuncian no coinciden en su totalidad, entonces ALGUIEN HA INTERCEPTADO LOS QUBITS EMITIDOS POR ALICE, ES DECIR, LOS HA MEDIDO

24“DESTRUIDO”.

ALICIA BLAS CLAVE

1 | V > 0

Qubit eviado por Alicia

Valor delbit

Base usada por Alicia

0

Base usada por Blas

Resulatado obtenido por Blas

NO

Discusiónpública

Autenti-ficación

SECRETA

12

| V >| H>

01

01

NOOK 1

34

| H’>| V >

10

10

NOOK (0,0) SI

56

| V’ >| H >

01

01

OKNO

0

78

|V >| V’>

00

00

OKOK (0,0) SI

(0,0) SI

910

||H > 1

0| V >00

NOOK

( )

0

25

0 0| V 0 O 0

Qubit eviado Valor del Base usada ALICIA

Base usada Resultado BLAS

Discusión Autenti-

1 | V > 0

Qpor Alicia bit por Alicia

0

por Blas obtenido por Blas

NO

públicaAutenti-ficación

23

| H>| H’>

11

01

OKNO

(1,0) NO

45

|| V >| V’ >

00

01

OKOK

(0,0) SI

(0,1) NO5

67

| V | H >|V >

010

110

OKNOOK (0 0) SI

(0,1) NO

789

|V >| V’>|H >

001

000

OK

NOOK (0,0) SI

(0,0) SI

9

10|H > 1

0| V >00

NOOK

26Como consecuencia de la intercepción del espía, se aborta el

proceso de distribución cuántica de clave.