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I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO
GESTIÓN ACADÉMICA
GUÍA DIDÁCTICA
¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…!
CÓDIGO:PA-01-01
VERSIÓN: 2.0
FECHA: 19-06-2013
PÁGINA: 1 de 16
Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado: OCTAVO
Periodo: TERCERO
Docente: Duración:
20 horas guía 1
Área: Matemáticas
Asignatura: Matemáticas
ESTÁNDAR:
Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada
INDICADORE DE DESEMPEÑO:
Resuelve abreviadamente productos entre polinomios
Construye el triángulo de pascal y lo utiliza para hallar potencias
Resuelve cocientes por simple inspección
EJE(S) TEMÁTICO(S):
PRODUCTOS NOTABLES
MOMENTO DE REFLEXIÓN / CRECIMIENTO PERSONAL/ SEGÚN EL TEMA
―Explota tus virtudes y no remarques tus defectos. ¡Valórate!‖
ORIENTACIONES
Lee atentamente la guía,
Sigue las instrucciones del docente,
Resuelve las actividades en el cuaderno,
Aclara tus dudas.
EXPLORACIÓN
El Acertijo de Einstein ¿ERES PARTE DEL 2% MAS INTELIGENTE DEL MUNDO?
Resuelve el acertijo y averígualo!
No hay trucos, es pura lógica. Buena suerte y no te rindas
1. En una calle hay cinco casas, pintadas de diferentes colores
2. En cada casa vive una persona de diferente nacionalidad
3. Los dueños de éstas cinco casas beben distintas bebidas, fuman distintas marcas de cigarros y tienen una mascota
diferente
La pregunta es: Quién es el dueño del pez?
Pistas:
1. El británico vive en una casa roja
2. El sueco tiene un perro de mascota
3. El danés toma té
4. La casa verde está a la izquierda de la casa blanca
5. El dueño de la casa verde toma café
6. La persona que fuma Pall Mall cría pájaros
7. El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill
8. El hombre que vive en la casa del centro toma leche
9. El noruego vive en la primera casa
10. El hombre que fuma Blends vive en seguida del que tiene gatos
11. El hombre que tiene caballos vive en seguida del hombre que fuma Dunhill
12. El hombre que fuma Blue Master bebe cerveza
13. El alemán fuma Prince
14. El noruego vive en seguida de la casa azul
15. El hombre que fuma Blends tiene un vecino que bebe agua
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CONCEPTUALIZACION
Los productos notables resultan de generalizar ciertos casos de multiplicación entre polinomios que presentan
regularidades. Permiten determinar un resultado sin efectuar las operaciones de rigor propias de una
multiplicación.
CUADRADO DE LA SUMA DE DOS TERMINOS
El área de un cuadrado es una expresión que relaciona valores elevados al cuadrado. Esto es, A = l2 donde l es la
medida del lado del cuadrado.
Para hallar el área de un cuadrado cuyo lado está determinado por la expresión a + b, es necesario efectuar el
producto (a + b)2.
Así, al realizar la multiplicación entre polinomios, se tiene que
(a +b)2 = (a +b) (a +b)
= a(a +b) + b (a +b) Propiedad distributiva
=a2 + ab+ ab + b
2
= a2 + 2ab + b
2 Se reducen los términos iguales
En la figura 1 se muestra la representación geométrica del producto notable (a + b)2.
El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término,
más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del
segundo término
Ejercicio resuelto
Resolver las siguientes potencias
A. (5x3)
2 B. (-9m
3n
5)
2 C. (5x
ny
2nz
2n+1)
2
SOLUCION
Se efectúa cada potencia utilizando las propiedades de la potenciación:
a. (5x3)
2 = (5)
2(x
3)
2 - 25x
6 b. (-9m
3n
5)
2 = (-9)
2(m
3)
2(n
5)
2 = 81m
6n
10
c . 3
4𝑥4𝑦
2=
9
16𝑥8𝑦2 d. (5x
ny
2nz
2n +
l)
2 = 25x
2ny
4nz
4n+2
Resolver los siguientes productos notables
A. (x + y)2 B. (5a + 7b)
2 C. (6x
2y
3 + 1)
2
D. 3
2𝑚2 +
5
4𝑛4
𝟐 E.
(xr+ 7y
2s)
2
SOLUCION Aplicando el producto notable para el cuadrado de la suma de dos términos, se tiene:
A . (x + y ) = (x)2 + 2 (x)(y) + (y)
2
= x
2 + 2xy + y
2
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=
B. 5a + 7b)2 = (5a)
2 + 2(5a)(7b) + (7b)
2 Potencia de una producto
= 25a2 + 70ab + 49b
2
C. (6x2y
3 + 1)
2 = (6x
2y
3)
2 + 2(6x
2y
3)(1) + (l)
2
D. 3
2𝑚2 +
5
4𝑛4
𝟐=
3
2𝑚2
𝟐+ 2
3
2𝑚2
5
4𝑛4 +
5
4𝑛4
2
= 9
4𝑚4 +
15
4𝑚2𝑛4 +
25
16𝑛8
E. (xr + 7y
2s)
2 = (x
r)
2 + 2(x
r)(7y
2s) + (7y
2s)
2
= x2r
+ 14xry
2s + 49y
4s
Cuadrado de la diferencia de dos números
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer
término, menos el doble producto del primer término por el segundo, más el
cuadrado del segundo término
Ejercicio resuelto
RESOLVER LOS SIGUIENTES PRODUCTOS NOTABLES
A. (8m3n
2-9)
2 B.
1
4𝑥3 −
6
7𝑦5
2 C. 3𝑎2𝑥 − 11𝑏3𝑦 2
SOLUCION
A. 8𝑚3𝑛5 − 9 2 = 8𝑚3𝑛5 2 − 2 8𝑚3𝑛5 9 + 9 2
= 64𝑚6𝑛10 − 144𝑚3𝑛5 + 81
B. 1
4𝑥3 −
6
7𝑦5
2=
1
4𝑥3
2− 2
1
4𝑥3
6
7𝑦5 +
6
7𝑦5
2
= 1
16𝑥6 −
3
7𝑥3𝑦5 +
36
49𝑦10
C. 3𝑎2𝑥 − 11𝑏3𝑦 𝟐 = 3𝑎2𝑥 2 − 2 3𝑎2𝑥 11𝑏3𝑦 + 11𝑏3𝑦 2
SOLUCION
El área de la figura 4 se determina por el cuadrado de su lado. Esto es,
A = (9,3x3 - 2y)
2 = (9,3x
3)
2 - 2(9,3x
3)(2y) + (2y)
2 = 86,49x
6 - 37,2x
3y + 4y
2
Luego, la expresión algebraica que determina el área del cuadrado es 86,49x
6 - 37,2x
3y + 4y
2
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PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS EXPRESIONES
Para hallar el área de un rectángulo cuya base y altura están determinadas poi>la expresión a - b y a + b, respectivamente, es necesario efectuar el producto (a + b)(a - b). Así, al realizar la multiplicación entre polinomios, se tiene:
(a + b)(a -b)= a(a - b) + b{a - b)
= a2 - ab + ab - b2
= a2 - b2
Ejercicio resuelto
Resolver los siguientes productos notables
a. (x + y)(x - y) b. (8x2 - 11y3)(8x2 + 11y3)
c. 7
9𝑎5𝑏 +
2
3
7
9𝑎5𝑏 −
2
3
SOLUCION
a. (x + y)(x -y)= (x)2 –(y)
2
= x2 – y
2
b. (8x2 - 11y
3)(8x
2 + 11y
3) = (8x
2)
2 - (11y
3)
2
= 64x4 - 121y
6
c. 7
9𝑎5𝑏 +
2
3
7
9𝑎5𝑏 −
2
3 =
7
9𝑎5𝑏
2−
2
3 2
= 49
81a10b2 −
4
9
Producto de expresiones de la forma (x + a)(x + b)
Para hallar el área de un rectángulo cuya base y altura están determinadas por la expresión x+a y x+b,
respectivamente, es necesario efectuar el producto (x + a)(x + b). Así, al realizar la multiplicación
entre polinomios, se tiene,
(x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b)
= x2 + bx + ax + ab Propiedad distributiva.
= x2 + ax + bx + ab Propiedad conmutativa
= x2 + (a + b)x + ab Propiedad asociativa.
En la figura se muestra la representación geométrica del producto notable (x + a)(x + b).
El producto (x + a)(x + b) = x2 + Sx + P, donde S representa la suma de a y b, y P
representa su producto. Esto es,
(x + a)(x + b) = x2 + Sx + P S = a + b P = a - b
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Ejercicio resuelto
Resolver los siguientes productos notables
a. (x + 3)(x + 5) b. (m + 8)(m - 3) c. (a - 9)(a + 7)
d . (x2 +11)(x
2 – 15) e. 𝑎 +
6
5 𝑎 −
10
3
SOLUCION
Al aplicar el producto notable para productos de la forma (x + a)(x + b),se tiene:
a. (x + 3)(x + 5) = x2 + (3 + 5)
x + (3)(5)
= x2 + 8x + 15
b. (m + 8)(m - 3) = m2 + (8 - 3)m + (8)(-3)
= m2 + 5m – 24
c. (a - 9)(a + 7) = a2 + (-9 + 7)a + (-9)(7)
= a2 — 2a — 63
d. (x2 + 11)(x
2 - 15) = (x
2)
2 + (11 - 15)x
2 + (11)(-15)
= x4 - 4x
2 – 165
e. 𝑎 +6
5 𝑎 −
10
3 = 𝑎2 +
6
5−
10
3 𝑎 +
6
5 −
10
3
= 𝒂𝟐𝟑𝟐
𝟏𝟓𝒂 − 𝟒
Cubo de un binomio
Cubo de la suma de dos términos
El volumen de un cubo es una expresión que relaciona valores elevados al cubo. Esto es,
V = l3 donde l es la medida de la arista del cubo. Para hallar el volumen de un cubo cuyo lado está determinado por la expresión a + b, es necesario efectuar el producto (a + b)3. Así,
(a + b)3 = (a + b)
2 (a + b)
= (a2 + 2ab + b
2)(a + b) Cuadrado de una suma
= a2(a + b) + 2ab(a + b) + b
2(a + b) Propiedad distributiva
= a3 + a
2b + 2a
2b + 2ab
2 + ab
2 + b
3
=a
3 + 3a
2b + 3ab
2 + b
3 se reducen los términos semejantes
En la figura 10 se muestra la representación geométrica del producto notable (a + b)3.
El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término, más el triple
producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del
primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.
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0
Resolver los siguientes productos notables
a. (x + y)3
b. (4a - 5b)3
c. (2x3+3y
2)
3
SOLUCION
a. (x + y)3 = (x)
3 + 3(x)
2(y) + 3(x)(y)
2 + (y)
3
= x3 + 3x
2y + 3xy
2 + y
3
b. (4a - 5b)3 = (4a)
3 - 3(4a)
2(5b) + 3(4a)(5b)
2 - (5b)
3
= 64a3 - 3(16a
2)(5fo) + 3(4a)(25Z?
2) – 125b
3
= 64a
3 - 240a
2b + 300ab
2 – 125b
3
c. (2x3 + 3y
2)
3= (2x
3)
3 + 3(2x
3)
2(3y
2) + 3(2x
3)(3y
2)
2 + (3y
2)
3
= 8x9 + 3(4x
6)(3y
2) + 3(2x
3)(9y
4) + 27y
6
= 8x
9 + 36x
ey
2 + 54x
3y
4 + 27y
6
Matemático, filósofo y físico francés. Es considerado una de las mentes más
privilegiadas de la historia intelectual de Occidente.
Desde muy temprana edad, Pascal comenzó a realizar sus primeras
investigaciones en geometría. Formuló uno de los teoremas básicos de la
geometría proyectiva, conocido como el teorema de Pascal, que luego describió
en su ensayo sobre secciones cónicas. En 1642, inventó la primera calculadora
mecánica. Dicho aparato llamado PascaLina, se asemejaba a una calculadora
mecánica de los años cuarenta.
Junto con el matemático francés Pierre de Fermat, Pascal formuló la teoría
matemática de la probabilidad.
Pascal murió a los 39 años, víctima de un cáncer gástrico, dejó grandes aportes a
la matemática, la física y la filosofía.
Se pueden analizar algunas características al desarrollar la potencia de un binomio de
la forma (x + y)n, a partir de la expresión (x + y)
5 para n = 5.
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Ejemplo (a+b)6
Para hallar los factores literales de cada término, se copian en forma descendente las potencias de a a partir de a6, y en
orden ascendente las potencias de b hasta b6.
Así, los factores literales estarán dados por las expresiones.
Como el binomio está elevado a la 6, se ubica en el triángulo de Pascal en la fila donde el segundo término es 6. Esta
fila tiene los números 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 que son los coeficientes de las partes literales halladas.
Luego,
a. (2x – 3y)5
= [2x)5- (2x)
4(3y) + 10(2x)
3(3y)
2 - 10(2x)
2(3y)
3 + 5{2x)(3y)
4 - (3y)
5
= 32x5 - 5(16x
4)(3y) + 10(8x
3)(9y
2) - 10(4x
2)(27y
3) + 5(2x)(81y
4) – 243y
5
= 32x5 - 240x
4y + 720x
3y
2 - l.080x
2y
3 + 8l0xy
4 – 243y
5
Observe que los exponentes de 2x disminuyen de 1 en 1 (5, 4, 3, 2, l), mientras que los de 3y aumentan de 1 en 1 (1, 2,3,4, 5).
El desarrollo que se obtiene sigue un patrón determinado. Por ejemplo, los exponentes de x disminuyen de 1 en 1
a partir del primer término en el que el exponente es 5. Los exponentes de y aumentan de 1 en 1 a partir del
segundo término en el que el exponente es 1. Por último, los coeficientes numéricos de cada término están dados
por los números del triángulo de Pascal donde el segundo término de la fila es 5.
En la siguiente tabla se muestra el desarrollo de las cinco primeras potencias del binomio x + y, teniendo en
cuenta los coeficientes dados en el triángulo de Pascal:
Ejercicio resuelto
a6, a
5b, a
4b
2, a
3b
3, a
2b
4, ab
5, b
6
(a + b)6= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
Los cocientes notables son aquellos que resultan de divisiones exactas entre polinomios, las cuales presentan
ciertas regularidades que permiten determinar un resultado sin efectuar las operaciones de rigor propias de una
división.
COCIENTES NOTABLES
COCIENTE DE LA FORMA 𝑿𝟐;𝒂𝟐
𝒙±𝒂
Al analizar el producto notable (x + á)(x — a) = x2 - a2, se puede concluir que la expresión x2 - a2 es divisible
exactamente entre los binomios x + a y x - a. Es decir, se verifican los siguientes cocientes en los cuales la
división es exacta
𝑋2;𝑎2
𝑥:𝑎 y
𝑋2;𝑎2
𝑥;𝑎
Cociente de la forma 𝑿𝟐;𝒂𝟐
𝒙;𝒂
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Cociente de la forma ;
:
Al efectuar la división de x2 — a2 entre x + a, se tiene,
Luego se cumple que 2; 2
: = −
Cociente de la forma ±
±
Al igual que el cociente anterior, en este se distinguen dos casos en los cuales la división es exacta.
:
:
;
;
Cociente de la forma :
:
Se dice que una potencia es par, cuando el exponente que acompaña a la base es un número par. De igual forma, se
dice que una potencia es impar, cuando el exponente que acompaña a la base es un número impar.
La diferencia de los cuadrados de dos términos, dividida entre la suma de dichos
términos, es igual a la diferencia de los términos.
Cociente de la forma 𝒙𝒏±𝒂𝒏
𝒙±𝒂
En este cociente se distinguen tres casos 𝑥𝑛;𝑎𝑛
𝑥;𝑎,𝑥𝑛;𝑎𝑛
𝑥:𝑎,𝑥𝑛:𝑎𝑛
𝑥:𝑎
Cociente de la forma 𝑥𝑛;𝑎𝑛
𝑥;𝑎
La diferencia de potencias pares o impares iguales, siempre es divisible entre la diferencia de sus
bases.
Cociente de la forma 𝑥𝑛;𝑎𝑛
𝑥:𝑎
La diferencia de potencias pares iguales, siempre es divisible entre la suma de sus bases.
Cociente de la forma 𝑥𝑛:𝑎𝑛
𝑥:𝑎
La suma de potencias impares iguales, siempre es divisible entre la suma de sus bases.
El binomio xn - a
n siempre es divisible entre x - a, para valores pares o impares
de n.
El binomio xn - a
n siempre es divisible entre x - y, para valores pares de n.
El binomio xn + a
n siempre es divisible entre x + a, para valores impares de n
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Para hallar estos cocientes se tiene en cuenta:
1. El primer término del cociente se obtiene de la división del primer término del dividendo entre el primer término
del divisor.
2. El último término del cociente se obtiene de la división del segundo término del dividendo entre el segundo término
del divisor.
3. A medida que el exponente de x disminuye de 1 en 1 , el exponente de a aumenta de 1 en 1.
4. Si el divisor es x - a todos los signos del cociente son positivos, y si el divisor es x + a, los signos del cociente se
alternan comenzando por el signo más (+)
Resolver los siguientes cocientes notables
a. ;
; b.
;
: c.
2: 2
:
SOLUCION
a. ;
;
Se divide 5 entre m para obtener el primer término del cociente. Así
5
= 4
Se divide n5 entre n para obtener el último término del cociente. Así,
5
= 4
Para los otros términos, el exponente de m disminuye y el exponente de n aumenta, m3n, m
2n
2, mn
3.
Como el divisor es una diferencia, todos los signos del cociente son positivos. En conclusión,
;
; = m4
+ m3n + m
2n
2 + mn
3 + n
4
b. ;
: = 5 − 4 + 3 2 − 2 3 + 4 − 5
c. 2: 2
: = a6
--a5b + a
4b
2 - a
3b
3 + a
2b
4 - ab
5 + b
6
DIVISION DE POLINOMIOS
Realizar la división del ejercicio anterior utilizando la división sintética.
Realizar la división del ejercicio anterior utilizando la división sintética.
Ejercicio resuelto
Dividir 𝒙𝟒 + 𝟓𝒙𝟑 − 𝟏𝟑𝒙+ 𝟑𝟒 Entre 𝒙 + 𝟑
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Se escriben los coeficientes del polinomio
dividendo en su forma ordenada. Como
el polinomio no presenta término cuya
parte literal es x2, se escribe 0 como
coeficiente
Al lado de dichos coeficientes, se escribe
el término independiente del binomio
divisor x + 3, con signo contrario (-3).
Se baja el primer coeficiente del
dividendo (1) y se multiplica por el valor
presente e«i el divisor (-3). El producto.(-
3), se escribe debajo del segundo
coeficiente del dividendo (5), y se realiza
la respectiva operación
El resultado de la suma o resta (2) se
multiplica nuevamente por el valor
presente en el divisor (-3). El producto (-
6), se escribe debajo del tercer coeficiente
del dividendo (0), y se realiza la
respectiva suma o resta.
Se continúa el procesó hasta llegar al
término independiente del polinomio
dividendo.
Los cuatro primeros números de la parte
inferior son los coeficientes del polinomio
cociente, que es un grado menor al
polinomio dividendo. El último resultado
(19) es el residuo de la división.
DIVISION SINETICA O REGLA DE RUFFINI
la división sintética de Ruffini, es un algoritmo que permite hallar el cociente de la división entre un
polinomio en la variable x y un binomio de la forma x-a.
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ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN
CUADRADO DE UN BINOMIO
. Completa la siguiente tabla:
a b a+b (a + b)² a² 2·a·b b² a² + b² a² + 2ab + b²
2 3
6 4
2 5
4 2
TEOREMA DEL RESIDUO
Para calcular el residuo de una división entre expresiones algebraicas, ha sido necesario hasta el momento, efectuar
la respectiva división, ya sea por el algoritmo utilizado en la división de polinomios o mediante la regla de Ruffini.
Otra forma para hallar el residuo de una división donde el dividendo es un polinomio de la forma P(x) y el
dividendo, un binomio de la forma x — a, es utilizando el teorema del residuo, el cual se enuncia a continuación.
Determinar el residuo de la división (3x4 – 14x
2 + 35X + 28) ÷ ( X + 2) mediante el algoritmo de la división, la
regla de Ruffini y el teorema del residuo.
SOLUCION Luego, el residuo de la división (3x4 – 14x
2 + 35x + 28) ÷(x + 2) es -50.
El residuo de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma x - a se obtiene al sustituir x por a en P(x). Es decir, r = P(a).
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3. Construye ahora la siguiente tabla:
a b a-b (a - b)² a² 2·a·b b² a² + b² a² - 2ab + b²
5 2
4 1
2 4
1 3
5. Resuelve los siguientes cuadrados de binomios: 1. (x + 5)² 2. (x - 7)² 3. (a + 1)² 4. (m + 21)²
PRODUCTO DE LASUMA IOR DIFERENCIA DE DOS EXPRESIONES
Resuelve los siguientes productos:
1. (x + y)(x – y) =
2. (m – n)(m + n) =
3. (a – x)(x + a) =
4. (x2 + y2)(x2 – y2) =
5. (2x – 1)(2x + 1) =
6. (n – 1)(n + 1) =
7. (1 – 3ax)(3ax + 1) =
8. (2m + 9)(2m – 9) =
5. (x - 2)² 6.(x - 18)² 7. (p + 5q)² 8. (x - 3y)² 9. (2x + 6)² 10. (3x - 5)²
9. (x3 – x2)(x3 + x2) =
1. (y2 – 3y)(y2 + 3y) =
2. (1 + 8xy)(8xy – 1) =
3. (6x2 – m2x2)(6x2 + m2x2) =
4. (am + bn)(am – bn) =
5. (3xn – 5ym)(3xn + 5ym) =
6. (ax+1 – 2bx-1)(ax+1+2bx-1) =
I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO
GESTIÓN ACADÉMICA
GUÍA DIDÁCTICA
¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…!
CÓDIGO:PA-01-01
VERSIÓN: 2.0
FECHA: 19-06-2013
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EXPRESIONES DE LA FORMA (x + a)(x + b)
CUBO DE UN BINOMIO
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TRIANGULO DE PASCAL
COCIENTE DE LA FORMA ;
±
ociente de la forma ±
±
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Cociente de la forma ±
±
DIVISION SINETICA O REGLA DE RUFFINI
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TEOREMA DEL RESIDUO
SOCIALIZACIÓN
Resolver algunos ejercicios en el tablero para aclarar las dudas presentadas.
COMPROMISO
Resolver Todos los ejercicios de la guía en el cuaderno y entregarlo una vez se termine la guía según las fechas
determinadas por el docente.
ELABORÓ REVISÓ APROBÓ
NOMBRES
YAIRA LIZETH RINCON
RODRIGUEZ
ALEXANDRA URIBE
ROZO
CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico
19 06 2014 19 06 2014