Lógica Matemática

Ejercicios propuestos. Soluciones según mi lógica.

1.- Escribir las correspondientes sentencias lógicas para las siguientes frases:

a) Una relación es una relación de equivalencia si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva.

p: es relación de equivalenciar: es reflexivas: es simétricat: es transitiva

p r s t

b) Si la humedad es alta, lloverá esta tarde o esta noche.

p: la humedad es altaq: lloverá esta tarder: lloverá esta noche

p q r

c) El cáncer no se cura al menos se determine su causa y se encuentre un nuevo fármaco.

p: el cáncer se curaq: se encuentra su causar: se encuentra un nuevo fármaco

p q r

d) Se requiere valor y preparación para escalar esta montaña.

p: se requiere valorq: se requiere preparaciónr: escalar la montaña

r p q

e) Si es un hombre que hace una campaña dura, probablemente será elegido.

p: hace campaña duraq: será elegido

( p q ) ( p q )

2.- Con la siguiente asignación de significados para las variables proposicionales:

p: necesita un doctorq: necesita un abogador: tiene un accidentes: está enfermou: es injuriado

expresar en español las siguientes sentencias:

a) ( s p ) ( r q )

Si está enfermo entonces necesita un doctor y si tiene un accidente entonces necesita un abogado.

b) p ( s u )

Si necesita un doctor entonces o está enfermo o ha sido injuriado.

c) ( p q ) r

Si necesita un doctor y necesita un abogado entonces ha tenido un accidente.

d) ( p q ) ( s u )

Necesita un doctor y un abogado, si y sólo sí, está enfermo o ha sido injuriado.

e) ( s u ) p

Si no está enfermo ni ha sido injuriado, entonces no necesita un doctor.

3.- Para cada una de las siguientes sentencias comprobar si son tautologías, contradicciones o indeterminaciones:

a) ( p ) p

Tautología.

b) p ( p q )

Indeterminación.

c) ( s q ) q

Indeterminación.

d) ( p q ) p

Indeterminación.

e) ( p q ) ( q p )

Tautología.

f) ( p q ) ( q p )

Indeterminación.

g) p ( p q )

Tautología.

h) ( p ( q p ) ) p

Tautología.

i) p ( q p )

Tautología.

j) ( p q ) ( p q )

Indeterminación.

k) p ( ( p q ) )

Contradicción.

l) p p

Indeterminación.

m) p p

Indeterminación.

4.- Comprobar la validez de las siguientes sentencias, utilizando tablas de verdad, árboles semánticos y refutacción:

a) ( p q ) ( q p )b) ( p q ) ( p q )c) q [ ( p q ) p ]

5.- Utilizando el sistema axiomático PM de la lógica de proposiciones, demostrar

[ p ( q r ) ] [ ( p q ) r ]

6.- Con las reglas de inferencias dadas en II.6.1 y en el ejercicio 10, demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia:

( p q ) rr sq s------------------ p

7.- Idem para el siguiente esquema de inferencia:

r sp q ( p s )p q-----------------q r

8.- Idem para el siguiente esquema de inferencia:

( r q ) rs tr s----------------q t

9.- Pasar a forma clausulada las siguientes sentencias lógicas:

a) [ ( p q ) ( r p ) ( s q ) ] ( r s )b) [ ( p q ) r ] [ p ( q r ) ]c) [ ( p q ) ( p r ) ] ( q r )

10.- Resolver los problemas 6, 7 y 8 aplicando resolución y refutación.

11.- Usar lógica proposicional para resolver el siguiente problema:

Un país está habitado por gente que o siempre dice la verdad o siempre mienten, además a las preguntas que se le hacen sólo responden con un monosílabo (“sí” o “no”). Un turista llega a una bifurcación de una carretera, en la que no hay indicaciones salvo un cartel que anuncia un restaurante y un habitante parado en la misma bifurcación. Si el turista quiere ir al restaurante ¿ qué pregunta debe hacer al habitante del país para que éste con una respuesta “sí” o “no” le indique el camino que debe seguir?.

12.- Usar lógica proposicional para contestar a las siguientes preguntas:

Se dan los dos enunciados siguientes:

Juan necesita un abogado o Juan necesita un médico

Si Juan necesita un abogado entonces Juan necesita un médico

a) ¿Necesariamente se deduce que “Juan necesita un abogado”?b) ¿Necesariamente se deduce que “Juan necesita un médico”?