DESMODERNIZACIN Y GLOBALIZACIN

Inters Simple e tc "Inters Simple e "Inters Compuestotc "Inters Compuesto"El inters pagado y recibido puede considerarse como simple o compuesto.1. Inters Simpletc "1. Inters Simple"El inters simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el inters obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribucin econmica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del inters es calculado sobre la misma base.

Inters simple, es tambin la ganancia slo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de inters por unidad de tiempo, durante todo el perodo de transaccin comercial.

La frmula de la capitalizacin simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el inters simple es utilizado en el corto plazo (perodos menores de 1 ao). Ver en ste Captulo, numeral 2.3.

Al calcularse el inters simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que stos son cobrados o pagados. El inters simple, NO capitaliza.

Frmula general del inters simple:

1.1. Valor actual tc "1.1. Valor actual "La longitud de una escalera es la misma contada de arriba abajo como de abajo arriba. El valor futuro VF puede considerarse como la cima vista desde abajo y el valor actual VA como el fondo visto desde arriba.

El valor actual de una cantidad con vencimiento en el futuro, es el capital que a un tipo de inters dado, en perodos tambin dados, ascender a la suma debida.

Si conocemos el monto para tiempo y tasa dados, el problema ser entonces hallar el capital, en realidad no es otra cosa que el valor actual del monto. Derivamos el VA de la frmula general:

Siendo sta la frmula para el valor actual a inters simple, sirve no slo para perodos de ao, sino para cualquier fraccin del ao.

El descuento es la inversa de la capitalizacin. Con sta frmula calculamos el capital equivalente en un momento anterior de importe futuro.

Otras frmulas derivadas de la frmula general:

Si llamamos I a los intereses percibidos en el perodo considerado, convendremos:

La diferencia entre VF y VA es el inters (I) generado por VA.Y tambin, dada la frmula general, obtenemos la frmula del importe de los intereses:

I = VA(1+n*i) - VA = VA + VA*n* i - VA

I = (principal)*(tasa de inters)*(nmero de perodos)

(Inversiones) I = monto total hoy - inversin original (Prstamos) I = saldo de deuda - prstamo inicial

Con la frmula [8] igual calculamos el inters (I) de una inversin o prstamo.

S sumamos el inters I al principal VA, el monto VF o valor futuro ser.

oVF = VA(1+i*n)

Despejando stas frmulas obtenemos el tipo de inters y el plazo:

El tipo de inters (i) y el plazo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de inters es anual, el plazo debe ser anual, si el tipo de inters es mensual, el plazo ir en meses, etc.). Siendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o viceversa.

Al utilizar tasas de inters mensual, el resultado de n estar expresado en meses. En estas frmulas la tasa de inters (i) est indicada en forma decimal.

Nomenclatura:

I

= Inters expresado en valores monetarios

VA

= Valor actual, expresado en unidades monetarias

VF

= Valor futuro, expresado en unidades monetarias

n

= Periodo de capitalizacin, unidad de tiempo, aos, meses, diario,...

i

= Tasa de inters, porcentaje anual, mensual, diario, llamado tambin tasa de inters real.

Ejercicio (VA a inters simple)tc "Ejercicio 11 (VA a inters simple)"Encontrar el valor actual, al 5% de inters simple, de UM 1,800 con vencimiento en 9 meses.

Solucin:

VF= 1,800; i = 0.05; n = 9/4; VA = ?

Ejercicio 1 (Inters simple - Inversin inicial)tc "Ejercicio 12 (Inters simple - Inversin inicial)"Cul fue nuestra inversin inicial, si hemos obtenido utilidades de UM 300, despus de 8 meses, a inters simple y con el 48% de tasa anual?

Solucin:

I = 300; n = 8 i = 0.04 (0.48/12); VA =?

[8] 300 = VA(0.04*8), de donde:

Ejercicio 2 (VF a inters simple)tc "Ejercicio 13 (VF a inters simple)"Si tenemos UM 10,000 y lo invertimos por un ao con el 28% de inters anual. Cunto dinero tendremos al finalizar el ao?

Como es normal exigiremos la devolucin del monto inicial incrementado algo ms mensual, que compense la prdida del valor de la moneda, el riesgo corrido y el inters del dinero. Generalmente es preferible utilizar el dinero en el presente y no en el futuro. El incremento es el inters y es consecuencia de la capacidad que tiene el dinero de producir ms dinero. El inters como todo precio, depende del mercado y de las condiciones de cada negociacin, fundamentalmente del plazo y del riesgo.

Solucin:

VA = 10,000; i = 0.28; n = 1; VF =?

[5] VF = 10,000 (1+ 0.28%*1) = UM 12,800Con este sencillo ejemplo demostramos que es indiferente recibir hoy UM 10,000 UM 12,800 dentro de un ao. Ejercicio 3 (Inters simple ordinario y comercial)tc "Ejercicio 16 (Inters simple ordinario y comercial)"Calcular el inters simple ordinario o comercial y exacto de un prstamo por UM 600 con una tasa de inters del 15% durante un ao.

Solucin: (operamos en base anual)

VA = 600; nCOMERCIAL= 1; nEXACTO (30/365)*12 = 0.9863; i = 0.15; I =?

[8] I (ORDINARIO)

= 600*0.15*1

= UM 90.00

[8] I (EXACTO)

= 600*0.15*0.9863= UM 88.77

Con el inters simple ordinario pagamos mayores cantidades de dinero que con el exacto, en casos como ste, de sumas pequeas, la diferencia es mnima; en montos mayores sta puede convertirse en fuente de pagos mayores. Por lo general los bancos y empresas de venta al crdito operan aplicando el inters ordinario.

Ejercicio 5(VF a inters simple)Si tenemos UM 10,000 y lo invertimos por un ao con el 28% de inters anual. Cuntodinerotendremos al finalizar el ao?

Como es normal exigiremos la devolucin del monto inicial incrementado algo ms mensual, que compense la prdida del valor de la moneda, elriesgocorrido y el inters del dinero. Generalmente es preferible utilizarel dineroen el presente y no en el futuro.

El incremento es el inters y es consecuencia de la capacidad que tiene el dinero de producir ms dinero". El inters como todoprecio, depende delmercadoy de las condiciones de cadanegociacin, fundamentalmente del plazo y del riesgo.

Solucin:

VA = 10,000; i = 0.28; n = 1; VF =?

[5]VF= 10,000 (1+ 0.28%*1) = UM 12,800

Con este sencillo ejemplo demostramos que es indiferente recibir hoy UM 10,000 UM 12,800 dentro de un ao.

Ejercicio 6 (VF a inters simple)tc "Ejercicio 14 (VF a inters simple)"Necesitamos saber el monto que retiraramos dentro de 4 aos, s hoy invertimos UM 2,000 al 8% para el primer ao con incrementos del 1% para los prximos tres aos.

En estos casos no aplicamos directamente la frmula general del inters simple, por cuanto el tipo de inters en cada perodo es diferente. Debemos sumar al principal los intereses de cada perodo, calculado siempre sobre el capital inicial pero a la tasa vigente en cada momento.

Solucin:

VA = 2,000; n = 4; i1...4 = 0.08, 09, 0.10 y 0.11; VF =?

Al ejemplo corresponde la relacin siguiente:

Respuesta:

El monto a retirar es UM 2,760.00

Ejercicio 7 (Inters simple: inters y tasa de inters)tc "Ejercicio 15 (Inters simple\: inters y tasa de inters)"El da de hoy obtenemos un prstamo por UM 5,000 y despus de un ao pagamos UM 5,900. Determinar el inters y la tasa de inters.

Solucin:

VA = 5,000; n = 1; VF = 5,900; I =? i =?;

[7] I = 5,900 - 5,000 = UM 900

Respuesta:

El inters es UM 900 y la tasa de inters 18%.

Ejercicio 8 (Inters y VF a inters simple)tc "Ejercicio 17 (Inters y VF a inters simple)"Determinar los intereses y el capital final producido por UM 10,000 con una tasa del 18% en un ao.

Solucin:

VA = 10,000; i = 0.18; n = 1; I =?

[5] I = 10,000*1*0.18 = UM 1,800

Calculado el importe de los intereses, es posible determinar el importe del capital final:

[7] VF = 10,000 + 1,800 = UM 11,800Respuesta: Los intereses producidos son UM 1,800 y el capital final UM 11,800.

Ejercicio 9(Inters simple, tasa de inters, tasa peridica y tasa global)En la fecha obtenemos un prstamo por UM 5,000 para ser pagado despus de 3 aos a UM 9,800. Deseamos saber: 1 El inters y 2 la tasa de inters peridica y global del prstamo.

Solucin:

VA = 5,000; VF = 9,800; n = 3; I =?; i =?

1 Encontramos el inters con la frmula [7]:

[7]I= 9,800 - 5,000 = UM 4,800

2 Con la frmula [11] obtenemos la tasa peridica anual y global del prstamo:

Aplicando la frmula del rdito calculamos la tasa global:

Tasa global del prstamo

Respuesta:El inters es UM 4,800, la tasa anual 32% y la tasa global 96%.

Ejercicio 12Cul es la tasa de inters por periodo de:

a)30% anual capitalizable mensualmente?

b)16% anual capitalizable trimestralmente?

c)2% trimestral?

d)15% anual?

SOLUCIONES

SOLUCION

Para conocer la tasa de inters por periodo se divide la tasa anual entre la frecuencia de conversin:

a) 30% anual capitalizable mensualmente

Tasa anual = 30%

Frecuencia de conversin = 12

i = 2.50% mensual

b) 16% anual capitalizable trimestralmente

Tasa anual = 16%

Frecuencia de conversin = 4

i = 4% trimestral

c) 2% trimestral

periodo = trimestre

Tasa anual = 2% x 4 = 8%

Frecuencia de conversin = 4

i = 2% trimestral

d) 15% anual

Tasa anual = 15%

Frecuencia de conversin = 1

i = 15% anual

Ejercicio 132.Cul es la frecuencia de conversin de los ejemplos del problema anterior?

a)30% anual capitalizable mensualmente?

SOLUCION

Periodo = mes

Frecuencia de conversin = 12

b)16% anual capitalizable trimestralmente?

SOLUCION

Periodo = trimestre

Frecuencia de conversin = 4

c)2% trimestral?

SOLUCION

Periodo = trimestre

Frecuencia de conversin = 4

Ejercicio 14

4. Determine el inters que gana en un ao un depsito de $1 000 en:

a) Una cuenta de ahorros que paga 20% de inters anual simple.

b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de inters semestral simple.

c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de inters anual compuesto semestralmente.

d) Una cuenta de valores que paga 20% de inters anual convertible trimestralmente.

SOLUCION

DATOS

I ?

Plazo = 1 ao

C = $1,000.00

a) i = 20% anual simple

La frmula que se utiliza es I=Cit porque pide calcular el inters simple:

Como el plazo es 1 ao, t = 1.

I = $200.00

b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de inters semestral simple.

SOLUCION

Se utiliza la frmula de inters simple, con

I = 10% semestral simple y t = 2 semestres:

I = $200.00

c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de inters anual compuesto semestralmente.

SOLUCION

Se utiliza la frmula de monto a inters compuesto, y luego el resultado se resta del capital:

j = 20%

m =2

n = (1) (2) = 2 semestres

I = $210.00

d) Una cuenta de valores que paga 20% de inters anual convertible trimestralmente.

SOLUCION

Se utiliza la frmula de monto a inters compuesto, y luego el resultado se resta del capital:

j = 20%

m = 4

n = (1) (4) = 4 trimestres

I = $215.51

Ejercicio 15 Determine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en una cuenta de valores que paga 15% anual convertible mensualmente:a) Al cabo de un ao

b) Al cabo de dos aos

SOLUCION

Se utiliza la frmula de monto a inters compuesto:

DATOS

C = $50 000.00

j = 15%

m = 12

La tasa de inters compuesto para cada inciso es:

El nmero de periodos n depende del plazo, y se obtiene multiplicando el nmero de aos por la frecuencia de conversin.

a) Al cabo de un ao

n = 1(12) = 12 meses

M = $58,037.73b) Al cabo de dos aos

n = 2(12) = 24 meses

M = $67,367.55Ejercicio 16 Cunto dinero debe pagarse a un banco que hizo un prstamo de $300 000 si se reembolsa al ao capital e inters y la tasa aplicada es de 0.24 anual convertible trimestralmente?

DATOS

C=$300 000.00 (cantidad prestada por el banco)

Tasa nominal anual = 0.24 = 24%

Plazo = 1 ao

Periodo de capitalizacin = trimestre

Frecuencia de conversin = 4 (un ao tiene 4 trimestres)

M = ?

SOLUCION

M = $378,743.09 (dinero que se le debe pagar al banco)Ejercicio 17 Cunto dinero debe depositarse en el banco si se desea acumular un monto de $250 000 en un plazo de 2 aos, y la tasa de inters es de 9% convertible mensualmente?DATOS

C = ? (La cantidad que se debe depositar es un valor actual)

M = $250 000 (La cantidad a acumular es valor futuro)

Plazo = 2 aos

j = 9%

m = 12

SOLUCION

Entonces, se busca el valor actual a inters compuesto conociendo el monto.

n = 2(12) = 24 meses

C = $208 957.85 (Cantidad a depositar para acumular

$250 000.00 en dos aos)

Ejercicio 18 Qu cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de prstamo si ha firmado un documento por $650 000 que incluye capital e intereses a 18% convertible trimestralmente, y tiene vencimiento en 18 meses?

DATOS

C = ? (La cantidad que recibe en prstamo es un valor actual)

M = $650 000 (valor nominal del documento o valor futuro)

Plazo = 18 meses

j = 18%

m = 4

SOLUCION

Entonces, se busca el valor actual a inters compuesto conociendo el monto.

n = (18/12)(4) = 6 trimestres

C = $499 132.23 es la cantidad que se recibe en prstamo

Ejercicio 19 .Una deuda de $50 000 se documenta mediante un pagar que incluye intereses a razn de 3% trimestral, y que ser pagadero al cabo de un ao. Qu cantidad puede obtenerse por l si se descuenta al cabo de 4 meses a una tasa de inters de 12% convertible mensualmente?

DATOS

M = $50 000 (valor futuro de la deuda o del pagar)

i = 3% trimestral (Tasa de inters por periodo de la deuda)

plazo = 1 ao (Tiempo en que se pagar la deuda)

plazo = 4 meses (tiempo transcurrido desde que se document la deuda)

plazo = 12 4 = 8 meses (plazo que se anticipa el pago)

j = 12%

m = 12

SOLUCION

Se busca el valor actual considerando el descuento y transcurridos 4 meses despus de que se firm el pagar.

n = 8 meses

C = $46 174.16 (Cantidad que se puede obtener si se

descuenta)

Ejercicio 20 Por la venta de una casa, una compaa inmobiliaria recibe un pagar por $140 000 con vencimiento a 5 aos que devenga intereses a razn de 10% anual convertible semestralmente. Qu cantidad recibir la empresa si al cabo de un ao descuenta el documento en su banco y ste le cobra 16% de inters anual?

SOLUCION

El pagar produce intereses, por lo que es necesario calcular el valor del mismo en la fecha de su vencimiento, es decir, se debe calcular el monto con los siguientes:

DATOS

C = $140 000 (importe de la venta de la casa a valor actual)

Plazo = 5 aos (tiempo en que vencer el pagar)

j = 10%

m = 2

M = ? (valor nominal del pagar)

M = $228 045.25 (valor del pagar cuando venza)

Con este valor futuro se calcula su valor actual con las condiciones del descuento que aplica el banco:

M = 228 045.25

Plazo = 4 aos

j = 16%

m = 1

C = ?

C = $125 947.36 (valor que recibe la empresa un ao

despus)

Ejercicio 21 En cunto tiempo se duplica un capital si la tasa de inters efectiva anual es de:

a)10%?

b)20%?

DATOS

Plazo = ?

C = C (el capital puede ser cualquier cantidad)

M = 2C (el monto ser el doble del capital)

De la frmula del monto a inters compuesto se despeja el plazo (n):

a)10%?

a) 20%?

Ejercicio 22 Una inversin duplica su valor en 18 meses a una determinada tasa de inters. En cunto tiempo lo triplicar?

SOLUCION

La inversin inicial puede ser cualquier cantidad, la condicin es que 18 meses despus ser el doble de esa cantidad. Con estos datos se calcula la tasa de inters con la que se duplica:

C = C

M = 2C

n = 18 meses

n = ?

aplicando la frmula de la tasa de inters compuesto, que se despeja de la frmula del monto a inters compuesto:

Despejando, tenemos:

Sustituyendo los datos, se tiene:

Para conocer el tiempo en que se triplica el capital, los datos son:

C = C

M = 3C

i = 3.9259226% mensual

n = ?

Ahora, de la frmula del monto a inters compuesto se despeja otra para calcular el plazo:

Ejercicio 23 Se realiza una inversin de $50 000 en un banco el da 1 de febrero. En qu fecha valdr $55 000 si la tasa de inters es de 15% compuesta mensualmente?SOLUCION

La cantidad invertida de $50 000 es el capital (C) y el 1 de febrero la fecha inicial. Los $55 000 es el monto (M)(o valor futuro de la inversin) y se busca la fecha final. Para encontrarla, primero calculamos el plazo de la inversin, determinando el valor de n a inters compuesto:

j = 15%

m = 12

Ejercicio 24A qu tasa de inters un capital quintuplica su valor en 10 aos?

SOLUCION

El capital (C) puede ser cualquier cantidad. Si se quintuplica, el monto (M) es 5 veces C, es decir, 5C.

DATOS

C = C

M = 5C

Plazo = 10 aos

m = 1 (la frecuencia de conversin es 1, pues el plazo se expresa en aos)

n = 10 aos

De la frmula del monto a inters compuesto se despeja la tasa de inters compuesto, se sustituyen los datos, y se resuelve:

Ejercicio 25.Qu tasa de inters nominal ha ganado un capital de $20 000 que se ha incrementado a $50 000 en 3 aos, si dicho inters se capitaliza:

a)mensualmente?

b)trimestralmente?

SOLUCION

Para encontrar la tasa nominal (j) primero se calcula la tasa de inters por periodo (i), con la frmula que se despeja de la frmula del monto a inters compuesto:

DATOS

j = ?

C = $20 000

M = $50 000

Plazo = 3 aos

a)mensualmente?

La frecuencia de conversin es:

m = 12 Entonces:

n = 3 aos x 12 = 36 meses

Ahora, calculamos la tasa nominal (j):

J = 30.94% anual convertible mensualmenteb)trimestralmente?

La frecuencia de conversin es:

m = 4 Entonces:

n = 3 aos x 4 = 12 trimestres

Ahora, calculamos la tasa nominal (j):

Ejercicio 26. 44.Pablo Prez deposit $100 000 en una cuenta bancaria hace 3 aos y 9 meses. Actualmente tiene $208 862, y desea saber cul es la tasa de inters que ha ganado si la capitalizacin es trimestral.

DATOS

C = $100 000 (la cantidad depositada es el capital)

M = $208 862 (la cantidad que ahora tiene es el valor futuro de su depsito)

plazo = 3 aos y 9 meses

j = ?

m = 4 (la frecuencia de conversin es trimestral, o sea, 4 por ao)

SOLUCION

Se busca la tasa de inters por periodo y luego la tasa nominal:

n = 15 trimestres (3 aos x 4) + 9/3 = 12 + 3 = 15 trimestres

Ahora, calculamos la tasa nominal (j):

EMBED Equation.3

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EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

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EMBED Equation.3

n = 7.272540897 aos es el tiempo que tarda en duplicarse un capital al 10% efectivo anual

EMBED Equation.3

n = 3.8018 aos es el tiempo que tarda en duplicarse un capital al 20% efectivo anual

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

A esta tasa se duplica el capital

La inversin se triplica en 28.53 meses

EMBED Equation.3

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17 de 23

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