calculo integral 1 teoria y155 ejercios resueltos banhakeia

Formulas de Integrales y como resolverlos

Integrales = antiderivadas

Para saber resolver int egrales hay que saber derivar muy muy bien

y conocer de memoria las seguientes formulas trigonometricas que se utilizan

muchisimo en las int egrales cuando hacemos cambio de variable.

sen a ! b^ h = sena. cos b ! senb. cosa

I cos a ! b^ h = cosa. cos b " senasenb

tag a ! b^ h =1 " taga.tagbtaga ! tagb

sena. cos b =21sen a + b^ h + sen a - b^ h6 @

II cosa. cos b =21

cos a + b^ h + cos a - b^ h6 @sena.senb =

21 - cos a + b^ h + cos a - b^ h6 @

sena ! senb = 2sen 2a ! b

cos 2a " b

III cosa + cos b = 2 cos 2a + b

cos 2a - b

cosa - cos b =- 2sen 2a + b

sen 2a - b

taga ! tagb =cosa. cos bsen a ! b^ h

sen2a + cos2a = 1 -1 # sena # 1 -1 # cosa # 1

sen2a = 2.sena. cosa cos 2a = cos2a - sen2a tag2a =1 - tag2a

2.taga

cos2a =2

1 + cos 2asen2a =

21 - cos 2a

tag2a =1 + cos 2a1 - cos 2a

1 + tag2a =cos2a1

1 + cot g2a =sen2a1

cosx1 - senx =

1 + senxcosx

cosa1 =

21

1 - senacosa +

1 + senacosa7 A

sena1 =

21

1 - cosasena +

1 + cosasena7 A

Demostracion

cosa1 =

cos2acosa =

1 - sen2acosa =

1 - sena^ h 1 + sena^ h

cosa =21

1 - senacosa +

1 + senacosa7 A

Pitagoras

c2 = a2 + b2

sena =cb

cosa =ca

taga =ab

e-iax = cos -ax^ h + isen -ax^ h = cos ax^ h - isen ax^ h

eiax = cos ax^ h + isen ax^ h( (

sen ax^ h = 2ieiax - e-iax

cos ax^ h = 2eiax + e-iaxZ

[

\

]]]]]]]]]]

Estas fracciones en algunos ejercicios son muy utiles

1 + a1 - a =- 1 +

1 + a2

;a + ba = 1 -

a + bb

;a2 - b2

1 =2a1

a - b1 +

a + b18 B

*** muy importantes tenerlas memorizadas

an - bn = a - b^ h an-1 + an-2b + an-3b2 + an-4b3 + .........................^ h

an + bn = a + b^ h an-1 - an-2b + an-3b2 - an-4b3 + .... - ... + ........^ h

observacion de las potencias = n - 1/

CALCULO INTEGRAL I BANHAKEIA-TRUSPA

Tabla de Derivadas1 y = k cte^ h ( ly = 0

2 y = f x^ h6 @n ( ly = n. f x^ h6 @n-1. lf x^ h

3 y = k.f x^ h ( ly = k. lf x^ h

4 y = f x^ h ! g x^ h ( ly = lf x^ h ! lg x^ h

5 y = f x^ h .g x^ h ( ly = lf x^ h .g x^ h + f x^ h . lg x^ h

6 y =g x^ hf x^ h

( ly =g x^ h6 @2

lf x^ h .g x^ h - f x^ h . lg x^ h

7 y = fog x^ h ( ly = lf og x^ h6 @. lg x^ h

8 y = f-1

x^ h ( ly =lf of

-1x^ h

1

9 y = logaf x^ h6 @ ( ly =

f x^ hlf x^ h

Ln a^ h1

10 y = af x^ h

( ly = af x^ h

. lf x^ h .Ln a^ h

11 y = ef x^ h

( ly = ef x^ h

. lf x^ h

12 y = sen f x^ h6 @ ( ly = cos f x^ h6 @. lf x^ h

13 y = cos f x^ h6 @ ( ly =- sen f x^ h6 @. lf x^ h

14 y = tag f x^ h6 @ ( ly =cos

2f x^ h1

lf x^ h = 1 + tag2 f x^ h6 @6 @. lf x^ h

15 y = cotag f x^ h6 @ ( ly =sen

2f x^ h

-1lf x^ h =- 1 + cotg

2 f x^ h6 @6 @. lf x^ h

16 y = arcsen f x^ h6 @ ( ly =1 - f x^ h6 @2

1lf x^ h

17 y = arcos f x^ h6 @ ( ly =1 - f x^ h6 @2

-1lf x^ h

18 y = arctag f x^ h6 @ ( ly =1 + f x^ h6 @2

1lf x^ h

19 y = arctag f x^ h6 @ ( ly =1 + f x^ h6 @2

-1lf x^ h

20 y = f x^ h6 @g x^ hA para esta formula se utiliza eLna = a

asi que y = eln f x^ h7 Ag x^ h

= eg x^ hLnf x^ h

AA solo queda aplicar formulas anteriores

Hay que saber derivar muy bien y tener las formulas memorizadas para poder saber int egrar

es algo parecido a la tabla de multiplicar si no la sabes no sabras dividir

f x^ ha

b

# .dx "

f x^ h en funcion de x ejemplo y = f x^ h = 2x + 3la curva de f x^ h gira alrededor del eje X

a # x # b + x d a,b6 @a es el limite inferior , b es el limite superiorZ

[

\

]]]]]]]]]]]]

f y^ ha

b

# .dy "

f y^ h en funcion de y ejemplo x = f y^ h = 2y + 3

la curva de f y^ h gira alrededor del eje Y

a # y # b + y d a,b6 @a es el limite inferior , b es el limite superiorZ

[

\

]]]]]]]]]]]]


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FORMULAS INTEGRALES

1) kdx = Kx siendo K una cons tan te#

2) K.f x^ hdx# = K f x^ h# dx

3h f x^ h ! g x^ h6 @# dx = f x^ h# dx ! g x^ h# dx

4h f x^ h6 @n# . lf x^ hdx =n + 11

f x^ h6 @n+1 + cte siendo n !- 1

5h f x^ h6 @#-1

. lf x^ hdx = ln f x^ h + cte

6h a f x^ h .# lf x^ hdx = a f x^ h lna1 + cte

7h a f x^ h# dx " se hace cambio de variable t = f x^ h

8h cos f x^ h# dx = senf x^ h + cte

9h senf x^ h# dx =- cos f x^ h + cte

10hcos2 f x^ h

lf x^ h# dx = tgf x^ h + cte

11hsen2 f x^ h

lf x^ h# dx =- cotag f x^ h^ h + cte

12h1 - f x^ h6 @2lf x^ h

# dx =-arccos f x^ h + cte

arcsen f x^ h^ h + cte(

13h1 + f x^ h6 @2lf x^ h

# dx =-arcotag f x^ h^ h + cte

arctg f x^ h^ h + cte(

14h eax cos bx dx =a2 + b2eax

a cos bx + bsenbx^ h# + cte utilizando integración por partes^ h

15h eax# senbx dx =a2 + b2eax

asenbx - b cos bx^ h + cte utilizando integración por partes^ h

16h1 - f x^ h6 @2lf x^ h

# dx =21ln

1 - f x^ h

1 + f x^ h+ cte A

17h1 + f x^ h6 @2! lf x^ h

# dx = ln f x^ h ! 1 + f x^ h6 @2_ i+ cte B

18hf x^ h6 @2 - 1

! lf x^ h# dx = ln f x^ h ! f x^ h6 @2 - 1_ i+ cte C

las formulas A,B y C no es necesario memorizarlas porque mas adelante

aprenderemos a resolverlas haciendo cambio de variable y demostrandolas

Intergrales por parte

** udv# = uv - vdu dirais de donde sale esto pues sea u = f x^ h# y v = g x^ h

como sabemos en derivadas que f x^ h .g x^ h^ hl= lf x^ hg x^ h + f x^ h lg x^ h

01 2 3444444444444444444444444 444444444444444444444444

f x^ h .g x^ h^ hl# = lf x^ hg x^ h + f x^ h lg x^ h6 @#

01 2 344444444444444444444444444444 44444444444444444444444444444

f x^ h .g x^ h = lf x^ h# g x^ h

vD

+ f x^ h

uA# lg x^ h

01 2 344444444444444444444444444 44444444444444444444444444

uv = vdu + udv##

udv = uv - vdu## a


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La formula a se utiliza en los seguientes casos

1 cuando tenemos solamente funcion logaritmica

Ejercicio 1 ln x.dx = I aqui u = ln x & du =x1# dx

dv = 1dx & v = x

asi que I = x ln x - x x1dx# = x ln x - x

2 cuando tenemos solamente funcion inversa

Ejercicio 2 arcsenx dx# = I aqui u = arcsenx & du =1 - x21

dx

dv = 1dx & v = x

asi que I = x.arcsenx -1 - x2x dx#

J6 7 8444444 444444

1 - x2 nos hace pensar en 1 - sen2x = cos2x asi que hacemos cambio de varible

x = sent & 1x = sent & dx = cos t dt y por pytagoras del tringulo debajo

se deduce que cos t = 1 - x2 luego J =cos t

sent.cos t.dt# =- cos t =- 1 - x2

por ultimo I = x.arcsenx + 1 - x2 + cte

3 cuando tenemos producto de 2 funciones pertenecientes a las 5 funciones seguientes

Funcion Exponencial

Funcion Inversa(arco..............)Funcion LogaritmicaFuncion AlgebraicaFuncionTrigonometrica(seno,coseno,tg,.......)

_

`

a

bbbbbbbbbbbbEjemplosituvieramosxsenx"xesalgebraicasenxestrigonometricaluegou=xydv=senx

Ejemplo situvieramosx.lnx"xcorrespondeaalgebraicaylnxalogaritmicaluegou=lnxydv=x

paraestoutilizamos la palabra ILATE la primeraqueaparecer correspondeau

y la segundaqueaparececorrespondeadvsiempre seguiendoel ordende la palabra ILATE

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]

Ejercicio 3

x ln x.dx# = I tenemos 2 funciones distintas lnx es logaritmicax es algebraica

% la primera en aparecer en ILATE es

la logaritmica asi quedv = xdx & v =

21x2

u = ln x & du =x1dx

* luego I = 21x2 ln x -

21# x2 x

1dx =

21x2 ln x -

2121x2 =

21x2 ln x -

41x2 + cte

Ejercicio 4

I = x. 1 + x# dxdv = 1 + x = 1 + x^ h2

1& v =

21 + 1

11 + x^ h2

1 +1 =32

1 + x^ h23

u = x & du = 1dx

*

I = 32x 1 + x^ h2

3

-32

1 + x^ h23

# dx =32x 1 + x^ h2

3

-32

32 + 1

11 + x^ h3

2 +1 =32x 1 + x^ h2

3

-3252

1 + x^ h25

=32x 1 + x^ h2

3

-154

1 + x^ h25

Integrar Fracciones

Division de dos polinomios^ h

P x^ h ' Q x^ h = C x^ h + R x^ h,Q x^ h

P x^ h= C x^ h +

Q x^ h

R x^ hasi que

Q x^ h

P x^ h# dx = C x^ hdx#

a6 7 844444 44444

+Q x^ h

R x^ h# dx

b6 7 8444444 444444

para hallar la int egracion de a es facilisimo

solamente hay que saber la formula f x^ h^ hn# . lf x^ hdx =

n + 11

f x^ h^ hn+1


ahora para resolver laQ x^ h

R x^ h# dx ojo el grado de R x^ hes1 grado de Q x^ h6 @

1 paso es calcular Q x^ h = 0 y a1 a2 a3 ...........an6 @ sean las soluciones Ahora** si a1 a2 a3 ...........an^ h ! R y son ! una de la otra & Q x^ h = x - a1^ h x - a2^ h ....... x - an^ h = 0

EntoncesQ x^ h

R x^ h=

x - a1^ h

A1 +x - a2^ h

A2 +x - a3^ h

A3 + . . . . . . . +x - an^ h

An

luego se halla los valores de A1 A2 A3 . . . . . . An y por ultimo

Q x^ h

R x^ h# dx =

x - a1^ h

A1dx +

x - a2^ h

A2dx## + . . . + . . . . +

x - an^ h

Andx#

** si a1 a2 a3 ...........an^ h ! R y son = todas & Q x^ h = x - a^ hn

EntoncesQ x^ h

R x^ h=

x - a^ h

A1 +x - a^ h

2A2 +

x - a^ h3

A3 + . . . . . . . +x - a^ h

nAn

luego se halla los valores de A1 A2 A3 . . . . . . . An y por ultimo

Q x^ h

R x^ h# dx =

x - a^ h

A1dx +

x - a^ h2

A2dx## + . . . . + . . . . . +

x - a^ hn

Andx#

** si a1 a2 a3 ...........an^ h ! C y son ! todas que no tiene soluciones reales^ h

EntoncesQ x^ h

R x^ h=

x ! a1^ h2 + b1

2

M1x + N1 +x ! a2^ h

2 + b22

M2x + N2 +x ! a3^ h

2 + b32

M3x + N3 + . . . . . . . +x ! an^ h

2 + bn2

Mnx + Nn

luego se calcula los valores de M1 M2 M3 .......Mn y N1 N2 N3 ......Nn y por ultimo

Q x^ h

R x^ h# dx =

x ! a1^ h2 + b1

2

M1x + N1dx +

x ! a2^ h2 + b2

2

M2x + N2dx + . . . + . . . +

x ! an^ h2 + bn

2

Mnx + Nn### dx

se hace cambio de variable x ! a1 = b1 tgt ; x ! a2 = b2 tgt . . . . . . . . . ; x ! an = bn tgt

ahora bien si fuera Q x^ h = ax2 + bx + c = 0 siendo 3= b2 - 4ac 1 0 hacemos lo seguiente

Q x^ h = ax2 + bx + c = ax2 + bx +4ab2 -

4ab2

siempre va + 4ab2 despues - 4a

b21 2 34444444 4444444

+ c = ax2 + bx +4ab2

a k+ -4ab2 + ca k

este dato es positivo1 2 344444 44444

llegaremos a una forma de Q x^ h = x ! a^ h2 + b2

R

T

SSSSSSSSSSSSSSSSS

V

X

WWWWWWWWWWWWWWWWW

** si a1 a2 a3 ...........an^ h ! C y son = todas que no tiene soluciones reales^ h

se hace exactamente igual que en el caso de las reales con la unica diferencia que es el numerador Mx + N

** vamos a ver a lgunos ejemplos para entender mejor las int egrales racionales.

ejemplo de raices reales !

Ejercicio 5 I =x2 + x - 2x3 - 2x2 + 5# dx aqui P x^ h = x3 - 2x2 + 5 Q x^ h = x2 + x - 2

haciendo la division de los polinomios

5x - 1

3x2 + 3x - 6

-3x2 + 2x + 5

-x3 - x2 + 2xx3 - 2x2 + 5

x - 3

x2 + x - 2g

asi que P x^ h | Q x^ h = x - 3 +x2 + x - 25x - 1

ahora hallemos las soluciones de x3 - 2x2 + 5 = 0 + x - 1^ h x + 2^ h = 0

ahorax2 + x - 25x - 1

=x - 1^ h x + 2^ h

5x - 1

asi quex2 + x - 25x - 1 =

x - 1A +

x + 2B =

x2 + x - 2

A x + 2^ h + B x - 1^ h& 5x - 1 = A x + 2^ h + B x - 1^ h

si x = 1 & 4 = 3A & A =43

si x =- 2 & - 11 =- 3B & B =311


asi quex2 + x - 25x - 1 =

x - 143

+x + 2311

por ultimo I = x - 3^ h# +x - 143

+x + 2311

dx = x - 3^ hdx# +43

x - 11# dx +

311

x + 21

dx# =2

1x2 - 3x + Ln x - 1 +

3

11Ln x + 2 + cte

ejemplo de raices reales iguales

Ejercicio 6 I =x2 - 4x + 4x2 + x + 3# dx P x^ h = x2 + x + 3 Q x^ h = x2 - 4x + 4

haciendo la division de los polinomios

5x - 1

-x2 + 4x - 4x2 + x + 3

1

x2 - 4x + 4g

asi que I =x2 - 4x + 4x2 + x + 3# dx = 1dx +

x2 - 4x + 45x - 1## dx

factorizando x2 - 4x + 4 = x - 2^ h2luego

x2 - 4x + 45x - 1 =

x - 2A +

x - 2^ h2

B =x - 2^ h

2

A x - 2^ h + B

si x = 2 & 9 = B

si x = 0 &- 1 =- 2A + B & A = 5

luego I = 1dx +x - 25## dx +

x - 2^ h2

9# dx = x + 5Ln x - 2 + 9. -2 + 11

x - 2^ h-2+1 = x + 5Ln x - 2 -

x - 2^ h

9 + cte

ejemplo de raices complejas !

Ejercicio 7 I =x - 2^ h x2 + x + 1^ h

x - 4# dx aqui no tenemos P x^ h porque el grado de numerador 1 grado denominador asi que

x - 2^ h x2 + x + 1^ h

x - 4 =x - 2A +

x2 + x + 1Mx + N

U porque" denomin ador tiene una solucion real y otra compleja de x2 + x + 1^ h,

=x - 2^ h x2 + x + 1^ h

A x2 + x + 1^ h + Mx + N^ h x - 2^ h

si x = 2 &- 2 = 7A & A =7-2

si x = 0 &- 4 = A - 2N =7-2 - 2N & N =

713

si x =- 1 &- 5 = A + 3M - 3N &- 5 =7-2 + 3M -

739& M =

72

asi que I = 7-2

x - 21# dx +

71

x2 + x + 12x + 13# dx como se ve en la segunda int egral que d x2 + x + 1^ h/dx = 2x + 1 ; pero en

el numerador tenemos 2x + 13 que habra que descomponer para que aparez ca 2x + 1 que es 2x + 1 + 12 asi que

I = 7-2

x - 21# dx

7-2Ln x-2

directa1 2 344444444 44444444

+71

x2 + x + 12x + 1# dx

71 Ln x2+x+1_ i

directa1 2 34444444444 4444444444

+ 71

x2 + x + 112# dx

H1 2 34444444444 4444444444

U H tenemos que haga que apa rez ca a la formula nº 13

H = 712

x2 + x + 11# dx como x2 + x + 1 = x2 + x +

41

4ab2

?J

L

KKKKKKK

N

P

OOOOOOO- 41

- 4ab2

?

+ 1 = x +21

` j2

+43= 4

3

3

2x +3

1c m

2

+ 1; E

H = 712

43

3

2x +3

1c m

2

+ 1; E1# dx =

2148

23

3

2x +3

1c m

2

+ 1; E3

2

# dx =42

48 3arctag

3

2x +3

1c m

por ultimo I = 7-2

Ln x - 2 +71Ln x2 + x + 1^ h + 42

48 3arctag

3

2x +3

1c m+ cte

mas adelante veremos mas ejercicios resueltos.


INTEGRALES DE LA FORMA

tagmx dx#*

; cotgmx dx#*

Recordatorio d f x^ h^ h = f x^ h^ hl= derivada de f x^ h

y = tagf x^ h & ly = 1 + tag2 f x^ h6 @. lf x^ h =cos2 f x^ h

1lf x^ h

y = cot gf x^ h & ly =- 1 + cot g2 f x^ h6 @. lf x^ h =sen2 f x^ h

-1lf x^ h

cos2x1 = 1 + tag2x ;

sen2x1 = 1 + cot g2x ; tagx =

cot gx1

los pasos a seguir para resolver estas int egrales son dos:

Para tagmx dx#

1º paso A descomponer tagmx =

2cos2x1 - 1` j.tagm

-2x

o bien1 tag2x . tagm

-2xZ

[

\

]]]]]]]]]]

2º paso A si hemos utilizado2 ,A tagmx =

cos2x1 - 1` j.tagm

-2x = cos2x1

tagm-2x - tagm

-2x

1 ,hacer aparecer 1 + tag2x^ h A tagmx = 1 + tag2x^ htagm-2x - tagm

-2x*

Para cotgmx dx# exactamente igual en vez de tagx ponemos cotgx

1º paso A descomponer cotgmx =

2sen2x

1 - 1` j.cotgm-2x

o bien1 cotg2x . cotgm

-2xZ

[

\

]]]]]]]]]]

2º paso A si hemos utilizado2 ,A cotgmx =

sen2x1 - 1` j.cotgm

-2x = sen2x1

cotgm-2x - cotgm

-2x

1 ,hacer aparecer 1 + cotg2x^ h A cotgmx = 1 + cotg2x^ hcotgm-2x - cotgm

-2x*

Ejercicio 8 tag3xdx = tag2x . tagx## dx = 1 + tag2x^ htagx - tagx6 @# dx = 1 + tag2x^ h

dtagx= tagx^ hl= 1+ tag2x_ idx6 7 8444444 444444

.tagx.dx - tagx.dx#

directa6 7 844444 44444

#

= tagx d tagx^ h# -cos xsenx# dx =

21tag2x + Ln cos x + cte

o bien

tag3xdx =cos2x1 - 1` j## tagx.dx = tagx.

cos2x1# dx - tagx.dx# recordemos que

cos2x1

dx = d tagx^ h

= tagx.d tagx^ h# -cos xsenx# dx =

21tag2x + Ln cos x + cte

Ejercicio 9 tag5xdx = tag2x . tag3x## dx = 1 + tag2x^ h

dtagx6 7 8444444 444444

tag3x - tag3x< F# dx = tag3xd tagx^ h# - tag3xdx#

ejercicio anterior6 7 844444 44444

=41tag4x -

21tag2x + Ln cos x` j+ cte

Ejercicio 10 tag6xdx = tag2x . tag4x## dx = 1 + tag2x^ h

dtagx6 7 8444444 444444

tag4x - tag4x< F# dx = tag4xd tagx^ h# - tag4xdx#

=51tag5x - tag4xdx =#

51tag5x - 1 + tag2x^ h

dtagx6 7 8444444 444444

tag2x - tag2x; E# dx

=51tag5x -

31tag3x + tag2xdx# =

51tag5x -

31tag3x + 1 + tag2x^ h

dtagx6 7 8444444 444444

.1 - 1; E# dx

=51tag5x -

31tag3x + 1d tagx^ h - 1dx## =

51tag5x -

31tag3x + tagx - x

Ejercicio 11 cotg3xdx = cotg2x.cotgx## dx = 1 + cotg2x^ hcotgx - cotgx6 @# dx = 1 + cotg2x^ h

dcotgx= cotgx^ hl=- 1+cotg2x_ idx6 7 8444444 444444

.cotgxdx - cotgxdx#

directa6 7 844444 44444

#

=- cotgx d cotgx^ h# -senxcosx# dx =-

21cotg2x - Ln senx + cte


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I = sen mx^ h# . cos nx^ h .dx*

Como se ve que las dos funciones trigonometricas tienen angulos ! el primer paso pasarlas al mismo angulo

y la forma mas facil de resolver este problema es utilizando las formulas II

sena. cos b =21sen a + b^ h + sen a - b^ h6 @

cosa. cos b =21

cos a + b^ h + cos a - b^ h6 @sena.senb =

21 - cos a + b^ h + cos a - b^ h6 @

sen mx^ h . cos nx^ h =21

sen m + n^ h .x6 @+ sen m - n^ h .x6 @" , asi que:

Ejercicio 12

I = sen mx^ h# . cos nx^ h .dx = 21

sen m + n^ hx6 @dx# + 21

sen m - n^ hx6 @dx# =2 m + n^ h

-1cos m + n^ hx -

2 m - n^ h

1cos m - n^ hx

Ejercicio 13

** si m = n

I = sen mx^ h . cos mx^ h# .dx =m1

sen mx^ h# .d sen mx^ h^ h = 2m1sen2 mx^ h


I = senmx# .dx*

; I = cosmx# .dx*

m d N*

1º paso es descomponer senmx = senm-1x.senx ; cosmx = cosm

-1x. cos x

2º paso es resolver por partesdv = senx.dx & v =- cos x

u = senm-1x & du = m - 1^ hsenm

-2x. cos x.dx A f x^ h6 @n^ hl= n f x^ h6 @n-1 . lf x^ h(

Ejercicio 14

I = sen3x.dx = sen2x

uE

.## senx.dx

dv6 7 8444 444

asi quedv = senx.dx & v =- cos x

u = sen2x & du = 2senx. cos x.dx%

I = u.v - vdu =- cos x.sen2x + 2 cos2x. senx.dx

d cosx^ h=-senx.dx6 7 8444 444

=## - cos x.sen2x - 2 cos2x.d# cos x^ h

= 31 cos3x

6 7 8444444444 444444444

= - cos x.sen2x -32cos3x + cte

Ejercicio 15

I = cos6x.dx = cos5x

uD

.cos x.dx

dv6 7 8444 444

## asi quedv = cos x.dx & v = senx

u = cos5x & du =- 5 cos4x.senx.dx%

I = senx. cos5x + 5 cos4x.sen2x.dx =# senx. cos5x + 5 cos4# x 1 - cos2x^ h .dx = senx. cos5x + 5 cos4x.dx - 5 cos6x.dx#

= I6 7 8444444 444444

# ,

, 6I = senx. cos5x + 5 cos4# x.dx

H6 7 8444444 444444

H = cos4# x.dx = cos3x

uD

.cos x.dx

dv6 7 8444 444

# asi quedv = cos x.dx & v = senx

u = cos3x & du =- 3 cos2x.senx.dx%

H = senx. cos3x + 3 cos2x.sen2x.dx =# senx. cos3x + 3 cos2x 1 - cos2x^ hdx =# senx. cos3x + 3 cos2x.dx - 3 cos4x.dx#

=H6 7 8444444 444444

# ,

, 4H = senx. cos3x + 3 cos2x.dx# = senx. cos3x + 3 21 + cos 2x# dx = senx. cos3x +

23

1dx + cos 2x.dx#

= 21 sen2x

6 7 8444444 444444

#f p> H

,

3 3 1 3 3


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, 4H = senx. cos3x +23x +

43sen2x, H =

41senx. cos3x +

83x +

163sen2x

Por ultimo I = 61senx. cos5x +

45senx. cos3x +

815x +

1615sen2x` j+ cte


I = senmx.connx# .dx*

Esta clase de int egrales se resuelve por partes siempre y cuando la potencia positiva la descompogamos en ab = ab-1a

1si m 1 0 y n 2 0

I = senmx.connx# .dx = senm# x. cosn-1x. cos xdx = cosn

-1x

u6 7 8444 444

. senmx. cos x.dx

dv6 7 844444444 44444444

#

Z

[

\

]]]]]]]]]

2si m 2 0 y n 1 0

I = senmx.connx# .dx = senm-1# x. cosnx.senxdx = senm-1x

u6 7 84444 4444

.cosnx.senx.dx

dv6 7 84444444 4444444

#

Z

[

\

]]]]]]]]]

3si m 2 0 y n 2 0

I = senmx.connx# .dx se escoge la m o bien la n y se sigue los pasos del 1 o 2*

4si m 1 0 y n 1 0

I = senmx.connx# .dx se utilizara cambio de variable que veremos mas adelante*

Ejercicio 16

I = sen-3x. cos2x.dx# = cos x

uC

. sen-3x. cos x.dx

dv6 7 844444444 44444444

#dv=sen-3x.cosx.dx&v= 2

-1 sen-2xu=cosx&du=-senx.dx'

I = 2-1

sen-2x. cos x -

21

sen-1x.dx# =

2-1

sen-2x. cos x -

21

senxdx# sabemos que sena

1 =21

1 - cosasena +

1 + cosasena7 A

I = 2-1

sen-2x. cos x -

41

1 - cosasena +

1 + cosasena

_ i# dx =2-1

sen-2x. cos x -

41Ln 1 - cos x +

41Ln 1 + cos x + cte

Ejercicio 17

I = sen2x cos2x.dx = senx

uC

. senx. cos2x.dx

dv6 7 84444444 4444444

=##dv = cos2x.senx.dx =- cos2x.d cos x & v =

3-1

cos3x

u = senx & du = cos x.dx)

I = 3-1

senx. cos3x +31

cos4# x.dx

ejercicio 15 es H6 7 8444444 444444

=3-1

senx. cos3x +31

41senx. cos3x +

83x +

163sen2x` j

I = 4-1

senx. cos3x +81x +

161sen2x =

4-1

senx. cos x

21 sen2x

6 7 844444 44444. cos2x

d n+

161sen2x +

81x = 8

-1sen2x. cos2x^ h +

161sen2x +

81x

I = 16-2

sen2x. cos2x + 161sen2x +

81x = 16

sen2x1 - 2 cos2x^ h

=1-cos2x

sen2x6 7 8444444444 444444444

-cos2x6 7 84444444 4444444

+81x = 16

sen2x - cos 2x^ h

cos2x=cos2x-sen2x6 7 844444 44444

+81x = 16

-1sen2x. cos 2x^ h

= 21 sen4x

6 7 844444444 44444444+

81x

I = 81x -

321sen4x

otro metodo

I = sen2x. cos2# x.dx = senx. cos x

= 21 sen2x

6 7 844444 44444d n

2

dx =#41

sen22x.dx =41#

21 - cos 4x

dx =81# dx -

81

cos 4xdx#

= 41 sen4x

6 7 8444444 44444

# = I =8

1x -

32

1sen4x + cte

INTEGRALES HACIENDO CAMBIO DE VARIABLE

*** para esto lo 1º es conocer a lgunas formulas trigonometricas.

sen -x^ h =- senx ; cos -x^ h = cos x ; tag -x^ h =- tagx

sen r - x^ h = senx ; cos r - x^ h =- cos x ; tag r - x^ h =- tagx

sen r + x^ h =- senx ; cos r + x^ h =- cos x ; tag r + x^ h = tagx

x


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Administrador

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^ h ^ h ^ h

tagx =1 - tag2 2

x_ i

2tag 2x

A tag a + b^ h =1 - taga.tagb

taga + tagb

tag2x =cos2x1 - 1 ; cot g2x =

sen2x1 - 1 ; teorema Pitagoras U

para int egrar funciones trigonometricas A utilizaremos la regla de BIOCHE

1 si f -x^ h = f x^ h UUU cambio de variable U t = cos x & cosx = 1t

aplicando Teorema de Pitagoras

1 = t2 + w2& w = 1 - t2 U

senx = 1 - t2

cos x =1t&- senx.dx = dt &- 1 - t2 .dx = dt & dx =

1 - t2-dt

*

2 si f r - x^ h = f x^ h U cambio de variable U t = senx & senx = 1t


1 = t2 + w2& w = 1 - t2 U

cosx = 1 - t2

senx =1t& cos x.dx = dt & 1 - t2 .dx = dt & dx =

1 - t2dt

*

3 si f r + x^ h = f x^ h U cambio de variable U t = tagx


w2 = t2 + 12& w = 1 + t2 U

senx =1 + t2t

; cos x =1 + t21

tagx =1t&

cos2x1

.dx = dt & dx = cos2x.dt & dx =1 + t21

dtZ

[

\

]]]]]]]]]]

4 si no se cumplen ninguna de las 3 anteriores el cambio de variable U t = tag 2x

y como se sabe que tagx =1 - tag2 2

x_ i

2tag 2x

& tagx =1 - t22t


w2 = 2t^ h2 + 1 - t2^ h

2& w = 1 + t2 U

senx =1 + t22t

; cos x =1 + t21 - t2

tagx =1 - t22t

&cos2x1

.dx =1 - t2^ h

2

2 1 + t2^ hdt & dx = cos2x

=1+t2^ h

21-t2^ h

2

D.

1 - t2^ h2

2 1 + t2^ hdt & dx =

1 + t22

dt

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]]]

Ejercicio 18 1º caso^ h

I = senxdx# aqui f x^ h = senx

dxA f -x^ h =

sen -x^ h

d -x^ h=

-senx-dx =

senxdx = f x^ h & f -x^ h = f x^ h asi el cambio sera de t = cosx

Teorema de Pitagoras

t2 + w2 = 1 & w = 1 - t2 Usenx = 1 - t2

cos x =1t&- senx.dx = dt &- 1 - t2 .dx = dt & dx =

1 - t2-dt

*

luego I =1 - t21 - t2-dt

# =-1 - t2dt# =-

21#

1 + t1 +

1 - t18 Bdt =-

21

1 + t1# dt

=Ln 1+t6 7 844444 44444

-21

1 - t1

dt#

=-Ln 1-t6 7 844444 44444

=21Ln 1 - t -

21Ln 1 + t

asi que I = 21Ln

1 + t1 - t =

21Ln

1 + cos x1 - cos x

cosx= tC

+ cte

2º Metodo

I = senxdx# =

2sen 2xcos 2

xdx# =

2cos 2

x

sen 2x

cos2 2x

dx# =tag 2

xcos2 2

x21dx

# = tag-1

2x

_ i#21

cos2 2x

1e o

=dtag2x

6 7 8444444 444444

dx =


= tag-1

2x

_ i# dtag 2x= Ln tag 2

x_ i+ cte

3º Metodo

aplicando la formula senx1 =

211 - cosxsenx +

1 + cosxsenx7 A luego I = 2

11 - cos xsenx

1-cosx^ hl= senx6 7 84444 4444

+1 + cos xsenx

1+cosx^ hl=-senx6 7 84444 4444> H

dx# =

=21Ln 1 - cos x^ h -

21Ln 1 + cos x^ h & I = 2

1Ln

1 + cos x1 - cos x + cte = Ln

1 + cos x1 - cos x + cte

A pero sabemos que tag2a =1 + cos 2a1 - cos 2a

& taga =1 + cos 2a1 - cos 2a

por ultimo I = Ln tag 2x

_ i+ cte

Ejercicio 19 2º caso

1º Metodo

I =sen2x + 1

cos x# dx aqui f x^ h =sen2x + 1

cos xdx A f r - x^ h =

sen2r - x^ h + 1

cos r - x^ hd r - x^ h =

sen2x + 1

- cos x -dx^ h

f r - x^ h =sen2x + 1cos xdx = f x^ h A cambio de variable t = senx

U senx =1taplicando Teorema de Pitagoras

1 = t2 + w2& w = 1 - t2 U

cosx= 1-t2

senx=1t & cosx.dx

aparece en el ejercicio6 7 8444444444444 444444444444

=dt& 1-t2.dx=dt&dx= 1-t2dt

*

I =t2 + 1dt# = arctgt = arctg senx^ h + cte

2º Metodo

I =sen2x + 1

cos x# dx tambien se puede ver que es de la formau2 + 1lu#

u= senx6 7 84444 4444

= arctg u^ h

asi que I = arctg senx^ h + cte


I =1 + 2sen2x

dx# aqui f x^ h =1 + 2sen2x

dxA f r + x^ h =

1 + 2sen2r + x^ h

d r + x^ h

sen2 r+x^ h= sen r+x^ h6 @2= -senx^ h2

6 7 84444444444 4444444444

=1 + 2sen2x

dx = f x^ h

luego el cambio de variable U tagx =1taplicando Teorema de Pitagoras

w2 = t2 + 1 & w = 1 + t2 Ucosx =

1 + t21

; senx =1 + t2t

tagx =1t&

cos2x1

.dx

= 1+t2^ h.dx6 7 844444 44444

= dt & 1 + t2^ h .dx = dt & dx =1 + t2dt

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]

I =

1 + 21 + t2t2

1 + t2dt

# =

1 + t21 + 3t21 + t2dt

# =1 + 3 t^ h

2dt# =

3

1

1 + 3 t^ h2

3 dt# =

3

1arctg 3 t^ h

I =3

1arctg 3 t^ h =

3

1arctg 3 tagx^ h


I =5 + 3 cos x

dx# aqui f x^ h =5 + 3 cos x

dxy no cumple ninguna de los 3casos primeros

luego el cambio de variable U t = tag 2xtambien sabemos que tagx =

1 - tag2x

2tag 2x

=1 - t22t

tagx =1 - t22t

y aplicando teorema de pitagoras


w2 = 1 - t2^ h2 + 2t^ h

2& w = 1 + t2

tagx =1 - t22t

&

derivando?

como cos x =1 + t21 - t2

asi que dx =1 - t2^ h

2

2 1 + t2^ h

1 + t2^ h2

1 - t2^ h2

dt =1 + t22

dt

cos2x1

dx =1 - t2^ h

2

2 1 - t2^ h - 2t -2t^ hdt =

1 - t2^ h2

2 - 2t2 + 4t2dt =

1 - t2^ h2

2 1 + t2^ hdt

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]

I =5 + 3 cos x

dx# =

5 + 31 + t21 - t2

1 + t22

dt# =

1 + t28 + 2t21 + t22

dt

# =2 4 + t2^ h

2dt# =

4 1 +2t` j

2

` j

dt#

=41

21 +

2t` j

221dt

directa6 7 84444 4444

# =21arctg 2

t =21arctg 2

1tag 2

x_ i8 B+ cte

Ejercicio 22

I = cos3x.dx# aqui f x^ h = cos3x.dx , f r - x^ h = cos3 r - x^ h

cos r-x^ h=-cosx6 7 8444444 444444

.d r - x^ h

-dx6 7 84444 4444

= cos3x.dx = f x^ h

luego el cambio de variable U t = senx & senx = 1t


1 = t2 + w2& w = 1 - t2

t = senx & dt = cos x.dx

I = cos2x.cos x.dx

dt6 7 8444 444

=# 1 - sen2x^ h# .dt = 1 - t2^ h .dt = t - 31# t3 = senx -

31sen3x + cte

Ejercicio 23 es el ejercicio nº14

I = sen3x.dx# aqui f x^ h = sen3x.dx , f -x^ h = sen3 -x^ h

sen -x^ h=-senx6 7 844444 44444

.d -x^ h

-dxG

= sen3x.dx = f x^ h

luego el cambio de variable U t = cosx & cosx = 1t


1 = t2 + w2& w = 1 - t2

t = cosx & dt =- senx.dx senx = 1 - t2

I = sen3x.dx =# 1 - t2^ h 1 - t2#- 1 - t2^ h

dt =- 1 - t2^ h .dt =- t + 31# t3 =- cosx +

31cos3x + cte


ax2 + bx + c# .dx ;ax2 + bx + c

dx#

para resolver estas int egrales sigue estoas dos pasos:

1º paso

** si a 2 0 UU ax2 + bx + c = ax2 + bx + 4ab2

6 7 844444444 44444444

-4ab2 + c = a x +

2 a

bc m

2

-4ab2 - ca k

4ab2-4ac =a

6 7 84444 4444

=a x +

2 a

b

cambio por t1 2 34444444 4444444f p

2

+ a A si b2 - 4ac 1 0

a x +2 a

b

cambio por t1 2 34444444 4444444f p

2

- a A si b2 - 4ac 2 0Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

ax2 + bx + c =t2 + b2 siendo b

2 = a 2

t2 - b2 siendo b2 = a 1

)


** si a 1 0 UU ax2 + bx + c =- -ax2 - bx - c^ h =- -ax2 - bx +4 -a^ h

b2 -4 -a^ h

b2 - cc m

=- -a x -2 -a

b

= t1 2 3444444444 444444444f p

2

+4a

b2 - 4ac

=a6 7 84444 4444

=- t2 + a

ax2 + bx + c =- t2 + b2 siendo b2 = a 3

2º paso

en el caso 1 t2 - b2 = bbt` j

2

- 1 UU nos hace recordar la formula tag2x =cos2x1 - 1

luego el cambio sera cosu1 =

bt& cosu =

tb

aplicando al triangulo y pitagoras

t2 = b2 + w2& w = t2 - b2

cosu =tb&- senu.du =-

t2bdt ; senu =

tt2 - b2

en el caso 2 t2 + b2 = bbt` j

2

+ 1 UU nos hace recordar la formula 1 + tag2x =cos2x1

luego el cambio sera tag u^ h =btaplicando al triangulo y pitagoras

t2 + b2 = w2& w = t2 + b2

tagu =bt&

cos2u1

.du =b1dt ; cosu =

t2 + b2

b

en el caso 3 b2 - t2 = b 1 -

bt` j

2

UU nos hace recordar la formula cos2x = 1 - sen2x

luego el cambio sera sen u^ h =btaplicando al triangulo y pitagoras

b2 = t2 + w2

& w = 1 - t2

senu =bt& cosu.du =

b1dt ; cosu =

b

1 - t2

veamos unos ejemplos para entenderlo mejor,pero antes recordemos las formulas que necesitaremos

1 + f x^ h6 @2! lf x^ h

# dx = ln f x^ h ! 1 + f x^ h6 @2_ i+ cte senarcsenx = x cosarccosx = x

f x^ h6 @2 - 1

! lf x^ h# dx = ln f x^ h ! f x^ h6 @2 - 1_ i+ cte

1 - f x^ h6 @2lf x^ h

# dx =-arccos f x^ h + cte

arcsenf x^ h + cte( cosarcsenx = 1 - x2 senar cos x = 1 - x2

Ejercicio 24

I =x2 - 2x + 5

dx#

x2 - 2x + 5 = x2 - 2x + 1

4ab2

?- 1

4ab2

?+ 5 = x - 1^ h

2 + 22 aqui t = x - 1 & dt = dx y b = 2

luego I =t2 + 22

dt# =2 2

t` j

2

+ 1

dt# =

2t` j

2

+ 1

21dt

# = Ln 2t +

2t` j

2

+ 1: C = Ln 2x - 1` j+

2x - 1` j

2

+ 1: C


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Ejercicio 25

I =3x2 - x - 4

dx#

3x2 - x - 4 = 3x2 - x + 121

4ab2

@

-121

4ab2

@

- 4 = 3 x -2 3

1

t6 7 84444444 4444444f p

2

-2 3

7c m

2

t = 3 x -2 3

1& dt = 3 dx &

3

dt = dx luego I =

t2 -2 3

7c m

2

3

dt

# =

2 3

77

2 3 tc m

2

- 1

3

dt

# =72

72 3 tc m

2

- 1

dt#

I = 7

2

2 3

7

72 3 tc m

2

- 1

72 3

dt# =

33Ln 7

2 3 t+

72 3 tc m

2

- 1< F + cte

Ejercicio 26

I = x2 - 4x - 5# .dx

x2 - 4x - 5 = x2 - 4x + 416

4ab2

@

-416 - 5 = x - 2

tDa k

2

- 32 haciendo cambio x - 2 = t & dx = dt

I = t2 - 32# dt = 3 3t` j

2

- 1# dt lo que esta redondeado en azul nos recuerda la formula trigon. tag2x =cos2x1 - 1

asi que hagamos por 2º vez cambio de variable cosu1 =

3t& cosu =

t3&- senu.du =- 3t

-2dt & dt = 3senu

cos2u9

du

I = 3 tag2u# . 3senu

cos2u9

du = 9 sen2u. cos-3u.du = 9 senu.cos

-3u.## senu.dudv = cos-3udcosu & v = 2

-1cos-2u

w = senu & dw = cosudu)

I = 2-1

senu. cos-2u +

21

cosu1# du y como sabemos que cos x

1 =21

1 + senxcos x +

1 - senxcos x7 A

I = 2-1

senu. cos-2u + 4

1Ln

1 - senu1 + senu

ahora con la ayuda del triangulo vamos remplazando

32 + w2 = t2 & w = t2 - 32

senu =t

t2 - 32

cosu =t3& cos

-1u =3t

I = 2-1

tt2 - 32

3t` j

2

+41Ln

1 -t

t2 - 32

1 +t

t2 - 32

luego la t = x - 2

I = 2-1

3x2 - 4x - 5

x - 2^ h +41Ln

1 - x2 - 4x - 5

1 + x2 - 4x - 5+ cte


ax2 + bx + c

P x^ h# .dx

1ºax2 + bx + c

P x^ h= Q x^ h ax2 + bx + c^ hl+

ax2 + bx + c

m***

siendo Q x^ hun polinomio de coeficientes a determinar y grado de Q x^ h = grado de P x^ h - 1 m nº real a determinar


ax + b^ hnax2 + bx + c

dx#

Para esta clase de integrales se hace cambio de variable ax + b =t1asi poder transformarla en

ax2 + bx + c

P x^ h# .dx


Asi que veamos algunos ejemplos paso a paso para poder entenderlos mejor

Ejercicio 27

I =x2 - 2x + 5

x2 - x# dx aqui P x^ h = x2 - x A es de grado 2 asi que Q x^ hes de grado 1 & Q x^ h = ax + b

luegox2 - 2x + 5

x2 - x= ax + b^ h x2 - 2x + 56 @l+

x2 - 2x + 5

m

= a x2 - 2x + 5 + ax + b^ h2 x2 - 2x + 5

2 x - 1^ h+

x2 - 2x + 5

m

=x2 - 2x + 5

a x2 - 2x + 5^ h+

x2 - 2x + 5

ax + b^ h x - 1^ h+

x2 - 2x + 5

m=

x2 - 2x + 5

2ax2 + x -3a + b^ h + 5a - b + m^ h

asi que 2a = 1 & a =21

3a - b = 1 & b =21

5a - b + m = 0 & m =- 2

ahora six2 - 2x + 5

x2 - x =21x +

21

` j x2 - 2x + 58 Bl+x2 - 2x + 5

-2

x2 - 2x + 5

x2 - xdx# =

21x +

21

` j x2 - 2x + 58 Bl# - 2x2 - 2x + 5

dx#

ejercicio nº 246 7 8444444444 444444444

=21x +

21

` j x2 - 2x + 5 - 2 Ln 2x - 1` j+

2x - 1` j

2

+ 1: Ca k

Ejercicio 28

I =2x + 1^ h

33x2 - x - 4

dx# haciendo cambio de variable 2x + 1 =t1& x =

2t1 - t

& dx =2t2-1

dt

una sustituido queda I =-11t2 - 8t + 3

-t2dt# P t^ hes de grado 2 & Q t^ h = at + b

-11t2 - 8t + 3

-t2 = at + b^ h -11t2 - 8t + 36 @l+-11t2 - 8t + 3

m

=-11t2 - 8t + 3

a -11t2 - 8t + 3^ h+

-11t2 - 8t + 3

at + b^ h -11t - 4^ h+

-11t2 - 8t + 3

m

-11t2 - 8t + 3

-t2 =-11t2 - 8t + 3

a -11t2 - 8t + 3^ h + at + b^ h -11t - 4^ h + m

una vez despejado los valores de a b y m y sustituirlos en la formula

ax2 + bx + c

P x^ h= Q x^ h ax2 + bx + c^ hl+

ax2 + bx + c

my int egrandolo quedara asi

ax2 + bx + c

P x^ h=# Q x^ h ax2 + bx + c +

ax2 + bx + c

m# dx

asi que seguir los mismos pasos que el ejercicio anterior


a f x^ h# .dx

a f x^ h# .dx para este tipo de int egrales se hace cambio de variable t = f x^ h

Ejercicio 29

I = e2x+1# dx cambio variable t = 2x + 1 & dt = 2dx

I = 21

et# dt = 21et = 2

1e2x+1 + cte


R x;cx + dax + b` j

qp

,cx + dax + b` j

sr

, .........,cx + dax + b` j

vn: D# .dx

+` j ^ h


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para estos tipos de int egrales se hace el cambio de variablecx + dax + b` j = tn siendo n = m.c.m q, s, .....,v^ h

Recordatorio

m.c.m = minimo comun multiplo se cogen todos los factores y elevado a mayor exponente^ h

Ejercicio 30

I =1 - 2x^ h3

2

- 1 - 2x^ h21

dx# cambio variable 1 - 2x = t6 porque m.c.m 3,2^ h = 6

1 - 2x = t6 &- 2dx = 6t5dt & dx =- 3t5dt , t = 1 - 2x6

I =t4 - t3-3t5dt# =

t3 t - 1^ h

-3t5dt# =- 3t - 1t2# dt una vez hecha la division de los polinomios queda asi

I =- 3 t + 1^ h# dt - 3t - 11

dt# =2-3

t2 - 3t - 3Ln t - 1

=2-3

1 - 2x3 - 3 1 - 2x6 - 3Ln 1 - 2x6 - 1 + cte

Integrales Definidas

** Integral de Riemann

f x^ hdx AA f x^ ha

b

#

es una funcion continua en a, b6 @representa el area comprendida entre el eje ox , la curva de f x^ h y las dos abscisas x = a y x = b

las areas situadas encima del eje ox son + y las situadas debajo del eje ox son -

Z

[

\

]]]]]]]]]]

Regla de Brrow

f x^ hdxa

limite inferiorAeje xS

b

limite superiorA ejex?

# = f x^ h#: Ca

b

= F b^ h - F a^ h siendo F la primitiva de f ; f# = F( d f#a k = d F^ h( f = lF

Propiedades

1 f x^ ha

a

# dx = 0 ; 2 f x^ ha

b

# dx =- f x^ hb

a

# dx ; 3 f x^ h ! g x^ h6 @a

b

# dx = f x^ hdx ! g x^ ha

b

#a

b

# dx

4 k.f x^ ha

b

# dx = k. f x^ ha

b

# dx ; 5 f x^ ha

b

# dx = f x^ ha

c

# dx + f x^ hc

b

# dx c d a,b6 @6 si f x^ h $ 0 en a,b6 @( f x^ h

a

b

# dx $ 0

7 si f x^ h # 0 en a,b6 @( f x^ ha

b

# dx # 0

8 si f x^ h # g x^ h en a,b6 @( f x^ ha

b

# dx # g x^ ha

b

# dx

Teorema del valor medio

f una funcion continua en a,b6 @( 7 c d a,b^ h/ f x^ ha

b

# dx = f c^ h b - a^ h

Integrales Impropias

I = f x^ ha

b

# dx , si f x^ h no es continua en c d a,b6 @( I = limx"c

f x^ ha

c

# dx + limx"c

f x^ hc

b

# dx

si el limite existe y es finito & I es convergente

si el limite es3 & I es divergente

Propiedades

f x^ hdx = limb"+3a

+3

# f x^ ha

b

# dx siendo f acotada en a, + 36 6f x^ hdx = lim

a"-3-3

b

# f x^ ha

b

# dx siendo f acotada en -3, b@ @f x^ hdx = lim

a"-3-3

+3

# f x^ ha

c

# dx + limb"+3

f x^ hc

b

# dx


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Ejercicio 31

I =x

dx0

1

# , la funcion f x^ h =x

1en el intervalo 0,16 @ la funcion no esta en 0 asi que es una integral impropia luego

I = lima"0 x

dxa

1

# = lima"0

2 x6 @a1 = lima"0

2 - 2 a^ h = 2( I converge

Ejercicio 32

I =x - 1^ h

2dx

0

4

# ,aqui f x^ h =x - 1^ h

21

A D f = R - 1" , y como estamos en el intervalo 0,46 @ f no es continua en x = 1

asi que I = lima"1 x - 1^ h

2dx

0

a

#; E + lima"1 x - 1^ h

2dx

a

4

#; E = lima"1 x - 1

-18 B0

a+ lima"1 x - 1

-18 Ba

4= lim

a"1 a - 1-1 - 1` j

=31 2 344444444 44444444

+ lima"1 3

-1 +a - 11

` j

=31 2 34444444444 4444444444

( I es divergente auque llegara a ser uno nada mas 3 I seria divergente^ h

Ejercicio 33

I = 2x - 10

2

# dx 1º paso es descomponer el valor absoluto

2x - 1 =-2x + 1 si x 1 2

1

2x - 1 si x $ 21

*

al descomponer el valor absoluto f A funcion a trozos y 21d 0,26 @

I = -2x + 1^ h0

21

# dx + 2x - 1^ h21

2

# dx = -x2 + x6 @021 + x2 - x6 @212............................

Cambio de variable

** f g x^ h6 @a

b

# lg x^ hdx = f u^ hdug a^ h

g b^ h

#

para mejor entenderlo veamos un par de ejercicios

Ejercicio 34

I = x x2 + 1^ h3dx

0

1

# , aqui f x^ h = x x2 + 1^ h3f es continua en R, luego f continua en 0,16 @& I no es impropia

para resolver la integral hagamos cambio de variable u = x2 + 1 & du = 2x.dx & 2du = x.dx

si x = 1 & u = 2si x = 0 & u = 1$ .( I = 2

1u3du = 2

11

2

#4u4: C

1

2

=815

Ejercicio 35

I = r2 - x2 dx0

r

# A cambio de variable

x = r.sent & dx = rcost.dt

si x = r & sent = 1 & t = 2r

si x = 0 & sent = 0 & t = 0

Z

[

\

]]]]]]]]]]

asi que I = r2 - r2sen2 t0

2r

# .r.cost.dt = r2 1 - sen2 t0

2r

# .cost.dt = r2 cos2 t.dt0

2r

# = 2r2

1 + cos2t^ hdt0

2r

#

I = 2r2

t + 2sen2t8 B

0

2r

= 2r2

2r - 0_ i= 4

rr2

Area = A siempre es 5

A = f x^ ha

b

# dx = parte que esta encima del eje x - la parte que esta por debajo del eje x^ ha

b

#

Area de 2 funciones f y g es A = f x^ h - g x^ ha

b

# dx

Longitud = S = 1 + lf x^ h6 @2a

b

# dx

Volunen = V = Area x^ ha

b

# dx


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AREA

f(x).dxx=a

x=b# f(y) .dy

y=a

y=b

#Area de una función respecto al eje x

Para hallar el area de la función respecto al eje X

se hacen cortes verticales al eje X n - isema en forma

de rectangulos de altura ri y anchura dx

asin que el area es el sumatorio de todas las areas

de los rectangulos como se ve en la figura de al lado

A = rii=1

n

/ .dx = ria

b

# .dx siendo

ri = altura y esta definida por la función f(x)

dx = anchura del rectangulo

luego A = f(x)x=a

x=b

# .dx = f(x)a

b

# .dx


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Area de una función respecto al eje y

Para hallar el area de la función respecto al eje Y

se hacen cortes verticales al eje Y n - isema en forma

de rectangulos de anchura ri y altura dy

asin que el area es el sumatorio de todas las areas

de los rectangulos como se ve en la figura de al lado

A = rii=1

n

/ .dy = ria

b

# .dy siendo

ri = anchura y esta definida por la función f(y)

dy = altura del rectangulo

luego A = Area = f(y)y=a

y=b

# .dy = f(y)a

b

# .dy

Area formada entre dos funciónes respecto al eje x

Area de f(x) " tachado en negro

Area de g(x) " tachado en rojo

Los pasos a seguir son los seguientes:

1º sacar los puntos de interseccion entre f (x) y g(x)

f (x) = g(x),x = bx = a$ siendo a 1 b asi que a es el limite inferior, b limite superior

2º esbozar las graficas y por ultimo calcular la integral


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VOLUMEN

Metodo de los discos

consiste en girar una region del plano al rededor de un eje (X) asi obtenemos un sólido de revolución.

** dividiendo el solido en sectores circulares (discos) ** haciendo cortes = al eje de rotación

** el radio r del disco siempre va dirigido del eje de rotación hacia la función original. (no hacia el reflejo)

** en los discos el radio varia de un disco a otro;pero siempre queda determinado por la funcion en cuestion y su grosor

es el mismo para todos los discos, ver la imagen

En la imagen el eje de rotacion es el eje X

ri = el radio del disco = f(x)

dx = altura del disco

V = V de los discos^ h/asi que el volumen queda determinado por: Vi = r.ri

2 .dx

V = Vii=1

i=n

/ = r.r2 .dx = r f x^ h6 @a

b

#a

b

#2

dx

Determinar el Volumen del sólido de revolución generado al hacer girar la funcion sobre eje Y

es exactamente igual que el anterior lo unico que cambia es el eje de ratacion Y

ri = radio del disco eje rotacion " funcion f(y)6 @, cortes = al eje de ratacion ver imagen de abajo^ h

dy = altura del disco ; V = V de los discos^ h/asi que el volumen queda determinado por: Vi = r.ri

2 .dy

V = Vii=1

i=n

/ = r.r2 .dy = r f y^ h6 @a

b

#a

b

#2

dy


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Volumen generado entre dos funciones

ver imagenes para entenderlo mejor

Ri = radio de la funcion f(x)

ri = radio de la funcion g(x)

*** rotacion respecto al eje X^ hVi = volumen del disco = r Ri

2 - ri2^ h .dx

V = Vii=1

n

/ = r R2 - r2^ hdx = r f (x)^ h2 - g x^ h^ h26 @.dxa

b

#a

b

#*** rotacion respecto al eje Y^ hVi = volumen del disco = r Ri

2 - ri2^ h .dy

V = Vii=1

n

/ = r R2 - r2^ hdy = r f (y)^ h2 - g y^ h^ h26 @.dya

b

#a

b

#Rotación < al eje de ordenadas(eje y)

otro metodo que permite la obtención del volumen generado por el giro de una area

comprendida entre 2 funciones cualesquiera, f (x) y g(x) en un intervalo a,b6 @ tales que

f(x) 2 g(x) en a,b6 @ alrededor de un eje de revolucion < al eje de ordenadas x = k(cte) 2 0

La formula del volumen es:

V = 2r x - k^ h f (x) - g(x)6 @a

b

# dx

Observación:

x - k^ h 2 0 , la recta x = k se encuentra a la izquierda de la región comprendida entre f (x) y g(x)

Para los ejes de rotaciones verticales Y

V = 2r x.h(x) .dx ; siendo h(x) =funcion de derecha - la izquierda

funcion de arriba - funcion de abajo%a

b

#

Para los ejes de rotaciones horizontales Y

V = 2r y.h(y) .dy ; siendo h(y) =funcion de derecha - la izquierda

funcion de arriba - funcion de abajo%c

d

#


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Integrales Ejercicios resueltos

Ejercicio 36

I =a - x

2^ h23dx#

I =a - x

2^ h23dx# =

a - x2^ h3dx# =

a - x2^ h a - x

2^ hdx# =

a - x2^ h a 1 -

a

xa k2c mdx# = I

1 -

a

xa k2 nos hace pensar en en la formula trigonometrica 1 - sen2x = cos

2x

asi que hacemos cambio de variable sent =a

x& x = a sent & dx = a cos t dt

I =

a - asen2t^ h a 1 - sen

2t^ h

a cos t dt# =

a cos2t cos t a

a cos t dt# =

a

1

cos2t

dt# =a

1tgt

y como tgt =a - x

2

xentonces I =

a

1

a - x2

x+ cte

---------------------------------

Ejercicio 37

I =a + x

2^ h23dx#

I =a + x

2^ h23dx# =

a + x2^ h3dx# =

a + x2^ h a + x

2^ hdx# =

a + x2^ h a 1 +

a

xa k2c mdx# = I

1 +

a

xa k2 nos hace pensar en en la formula trigonometrica 1 + tg2x =

cos2x

1

asi que hacemos cambio de variable tgt =a

x& x = a tgt & dx = a

cos2t

1dt

I =

a + a tg2t^ h a 1 + tg

2t^ h

acos2t

1dt

# =

acos2t

1

cos t

1a

acos2t

1dt

# =

acos t

1

dt# =a

1cos t dt =

a

1# sent

y como sent =a + x

2

xluego I =

a a + x2^ hx+ cte

---------------------------------

Ejercicio 38

I =a - x

a + x# dx

a - x

a + x# dx =

a - x a - x

a + x a - x# dx =

a - x

a2 - x

2

# dx =a - x

a21 -

a

x_ i2` j# dx = I

1 -a

x_ i2 nos hace pensar en en la formula trigonometrica 1 - sen2x = cos

2x

asi que hacemos cambio de variable sent =a

x& x = asent & dx = a cos t dt

t = arcsena

x

I =a - asent

a21 - sen

2t^ h

# a cos t dt =a 1 - sent^ ha cos t a cos t dt# =

a 1 - sent^ ha2cos2t dt#

=

a 1 - sent^ ha21 - sen

2t^ h

dt = a 1 + sent^ h## dt = a 1 + sent^ h# dt = a 1dt + a sent dt##

= at - a cos t + cte = a arcsena

x- a

2 - x2 + cte

---------------------------------


Ejercicio 39

I =73x-54# dx

73x-54# dx = 4.7

-3x+5# dx = I como sabemos que todas las int egrales de la forma af x^ h# dx se le hace

cambio de variable t = f x^ h asi que t =- 3x + 5 & dt =- 3dx & dx =-3

dtluego queda

I = 4 7t#-3

dt=3

-47t# dt =

3

-47t.ln 7

1aplicando la formula a

f x^ h# . lf x^ hdx = af x^ h.ln a

1

por ultimo I =3 ln 7

-47-3x+5 + cte

---------------------------------

Ejercicio 40

Demostracion de la formula 161 - f x^ h^ h2lf x^ h

# dx =2

1ln1 - f x^ h1 + f x^ h

= ln1 - f x^ h1 + f x^ h

1 - f x^ h^ h2lf x^ h

# dx = I en el denomin ador tenemos 1 - f x^ h^ h2 nos hace pensar en 1 - sen2x

asi que hacemos cambio de variable sent = f x^ h & cos t dt = lf x^ hdxI =

1 - sen2t

cos t dt# =cos2t

cos t dt# =cos t

dt# utilizando la formula cost1 =

21

1 + sentcost +

1 - sentcost8 B

I =2

1

1 + sent

cos t# dt +2

1

1 - sent

cos t# dt =2

1ln 1 + sent -

2

1ln 1 - sent =

2

1ln1 - sent

1 + sent=2

1ln1 - f x^ h1 + f x^ h

+ cte

---------------------------------

Ejercicio 41

Demostracion de la formula 13 en forma generalizada I =a2 + f x^ h6 @2lf x^ h# dx siendo a ! 0

a2 + f x^ h6 @2lf x^ h# dx =

a2 1 + af x^ ha k2

nos hace recordar 1+ tg21 2 3444444 444444> H

lf x^ h# dx

asi que tagt = af x^ h

(

t = arctag af x^ h

1 + tag2 t^ hdt = a

lf x^ hdx

Z

[

\

]]]]]]]]]]

haciendo los cambios queda

I =a21

1 + af x^ h: C2

a a

lf x^ hdx

# =a2a

1 + tagt

1 + tag2 t^ hdt# =

a1

1dt# =a1t = a

1arctag a

f x^ h+ cte

---------------------------------

Ejercicio 42

I =1 + x2dx#

1 + x2dx# =

1 + x^ h2dx# = arctagx + cte

---------------------------------

Ejercicio 43

I =1 + x42x.dx#

1 + x42xdx# =

1 + x2^ h22x dx# = arctagx2 + cte

---------------------------------

Ejercicio 44

I =5 + x42x dx#


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5 + x

5 + x42x dx# =

5^ h2 + x2^ h22x dx# =5

1arctag

5

x2

+ cte

---------------------------------

Ejercicio 45

Demostracion de la formula 16 en forma generalizada I =a2 - f x^ h6 @2lf x^ h# dx siendo f x^ h !! a

a2 - f x^ h6 @2lf x^ h# dx =

a2 1 - af x^ ha k2

nos hace recordar 1- sen21 2 3444444 444444> H

lf x^ h# dx

asi que sent = af x^ h

(

t = arcsen af x^ h

cost dt = a

lf x^ hdx

Z

[

\

]]]]]]]]]]


I =a21

1 - af x^ h: C2

a a

lf x^ hdx

# =a2a

1 - sen2 tcost dt# =

a1

cos2 tcost dt# =

a1

cost1 dt#

y como sabemos que cost1 =

cos2 tcost =

1 - sen2 tcost =

1 - sent^ h 1 + sent^ hcost =21

1 - sentcost +

1 + sentcost8 B

luego I = 2a1

1 + sentcost# dt + 2a

11 - sentcost# dt = 2a

1Ln 1 + sent -

2a1

Ln 1 - sent

I = 2a1

Ln1 - sent1 + sent =

2a1

Ln

1 - af x^ h

1 + af x^ h

=2a1 Ln

a - f x^ ha + f x^ h

---------------------------------

Ejercicio 46

I =1 - x2dx#

1 - x2dx# =

1 - x^ h21.dx# =21Ln

1 - x1 + x + cte siendo x !! 1

---------------------------------

Ejercicio 47

I =3 - x42x.dx#

3 - x42x.dx# =

3^ h2 - x2^ h22x.dx# =2 3

1Ln

3 - x2

3 + x2

+ cte siendo x2! 3

---------------------------------

Ejercicio 48

Demostracion de la formula 12 en forma generalizada I =a2 - f x^ h6 @2lf x^ h

# dx

I =a2 - f x^ h6 @2lf x^ h

# dx =

a 1 - af x^ h: C2

nos hace recordar 1- sen21 2 3444444 444444

lf x^ h# dx

asi que sent = af x^ h

(

t = arcsen af x^ h

cost dt = a

lf x^ hdx

Z

[

\

]]]]]]]]]]


I = a1

1 - af x^ h: C2

a a

lf x^ hdx

# =1 - sen2tcost dt# =

cos2tcost dt# = 1dt = t# + cte


I = arcsen af x^ h

+ cte

---------------------------------

Ejercicio 49

I =1 - x2

dx#

1 - x2

dx# = arcsenx + cte AA aplicando la formulaa2 - f x^ h6 @2lf x^ h

# dx = arcsen af x^ h

+ cte

---------------------------------

Ejercicio 50

I =9 - x4

2x.dx#

9 - x4

2x.dx# =32 - x2^ h22x.dx# = arcsen 3

x2

+ cte

---------------------------------

Ejercicio 51

I =9 - 2x - 1^ h2dx#

9 - 2x - 1^ h2dx# =hagamos que aparezca el 2

S

d 2x-1^ h=26 7 844444444444 44444444444

21

32 - 2x - 1^ h22.dx# =21

arcsen 32x - 1 + cte

---------------------------------

En las integrales antes de ponernos a resolver os recomiendo seguir estos pasos

fijarnos bien si se puede simplificar y se se puede asociar a algúna integral inmediata

y tener bien memorizadas las formulas trigonometricas

Ejercicio 52

Demostracion de la formula 17 en forma generalizada I =a2 + f x^ h6 @2lf x^ h

# dx

I =a2 + f x^ h6 @2lf x^ h

# dx =

a 1 + af x^ h: C2

nos hace recordar 1+ tag21 2 3444444 444444

lf x^ h# dx

asi que tagt = af x^ h

(

t = arctag af x^ h

, sent =a2 + f x^ h6 @2

f x^ hcos2 t1

dt = a

lf x^ hdx

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]


I = a1

1 + af x^ h: D2

a a

lf x^ hdx

# =

cos2 t1

cos2 t1

dt# =

cost1

cos2 t1

dt# =

cost1

dt =

ya visto en ejercicio 45?

21# Ln

1 - sent1 + sent

asi que I = 21Ln

1 -a2 + f x^ h6 @2

f x^ h1 +

a2 + f x^ h6 @2f x^ h

=21Ln

-f x^ h + a2 + f x^ h6 @2f x^ h + a2 + f x^ h6 @2

---------------------------------

Ejercicio 53

I =1 + x2

dx#

1 + x2

dx# =21Ln

-x + 1 + x2

x + 1 + x2

+ cte

---------------------------------


Ejercicio 54

I =5 + x4

2x.dx#

5 + x4

2x.dx# =5^ h2 + x2^ h22x.dx# =

21Ln

-x2 + 5 + x4

x2 + 5 + x4

+ cte

---------------------------------

Ejercicio 55

I =x2 + 1x2 - 1# dx

x2 + 1x2 - 1# dx =

x2 + 1x2 + 1 - 2# dx =

x2 + 1x2 + 1# dx - 2

x2 + 1dx# = 1.dx - 2

1 + x2dx## = x - 2arctagx + cte

---------------------------------

Ejercicio 56

I =1 + x6x2

# dx

1 + x6x2

# dx =1 + x3^ h2x2

# dx =31

1 + x3^ h23x2

# dx =31arctagx3 + cte

---------------------------------

Ejercicio 57

I =x2Lnx# dx

I =x2Lnx# dx en la integral tenemos dos funciones distintas (una logaritmica y algebraica)

asi que la integral la resolveremos por partes fijandonos en en la palabra

I

funcion inversa?

Lfuncion logaritmica

SA

funcion algebraica?

Tfuncion trigonometrica

SE

funcion exponencial?

U es la primera funcion que aparezca en la palabra ILATE

dV es la segunda funcion que aparezca en la palabra ILATE

asi queu = Lnx( du =

x1dx

dv =x21

dx & v =-x1

Z

[

\

]]]]]]]]]]

& I =- x1

Lnx -x-1#

x1dx =

x-Lnx +

x21# dx =

x-Lnx -

x1 + cte

---------------------------------

Ejercicio 58

I = xLn Lnx^ h# dx

I = xLn Lnx^ h# dx haciendo cambio de variable t = Lnx & dt = x

1dx

luego I queda de la seguiente manera I = xLn Lnx^ h# dx = Ln Lnx^ h#

x1dx = Lnt dt#

asi que u = Lnt( du =t1dt

dv = dt & v = t

* & I = t Lnt - t# t1dt = t Lnt - t + cte = Lnx.Ln Lnx^ h - Lnx + cte

---------------------------------

Ejercicio 59

I = x.Lnxdx#

x.Lnxdx# =

Lnxx1

# dx haciendo cambio variable t = Lnx & dt = x1dx

luego I = tdt# = Lnt = Ln Lnx + cte

---------------------------------


Ejercicio 60

I =x - 1

x + 1# dx

I =x - 1

x + 1# dx haciendo cambio variable t2 = x - 1 &t =! x - 1

2tdt = dx'I = t

t2 + 1 + 1^ h2tdt# = 2 t2 + 2^ h# dt = 3

2t3 + 4t =! 3

2x - 1^ h23 ! 4 x - 1 + cte

---------------------------------

Ejercicio 61 - 62

I = eax .cosbx.dx#

sea J = eax .senbx.dx#

1 I + i.J = eax cosbx + isenbx^ heibx

6 7 8444444444 444444444

# dx = eax .# eibx .dx = eax+ibx# .dx = eax+ibxa + ib1= eax .eibx

a + ib1

2 I - iJ = eax cosbx - isenbx^ h6 7 8444444444 444444444# dx = eax cos -bx^ h + isen -bx^ h^ h

cos -b^ h=cos b^ h . sen -b^ h=-senb , e-ibx6 7 844444444444444 44444444444444

e-ibx=cos -bx^ h+isen -bx^ h1 2 344444444444444444444 44444444444444444444

# dx = eax .# e-ibx .dx = eax-ibx# .dx = eax-ibxa - ib1

I - iJ = eax .e-ibxa - ib1

1 + 2 = 2I = eax .eibxa + ib1 + eax .e-ibx

a - ib1 = eax eibx

a + ib1+ e-ibx

a - ib18 B = eax

a + ibcosbx + isenbx

+a - ib

cosbx - isenbx8 B2I = eax

a2 + b2a.cosbx - ib.cosbx + ai.senbx + b.senbx + a.cosbx + ib.cosbx - ai.senbx + b.senbx; E =

2I = eaxa2 + b2

2a.cosbx + 2b.senbx: DI =

a2 + b2eax

a.cosbx + b.senbx6 @ , para hallar eax .senbx.dx# basta con restar 1 - 2 y hacer mismos calculos

y el resultado de eax .senbx.dx# =a2 + b2eax -b.cosbx + a.senbx6 @

2º metodo

I = eax .cosbx.dx# tenemos 2 funciones ! lo resolvemos por partes

dv = eax & v = eax a1

u = cosbx & du =- b.senbx.dx) ( I = cosbx.eax a1 -

a1

eax# -b.senbx^ hdx = cosbx.eax a1 +

ab

eax# senbx^ hdx

volviendo a integrar por partes

dv = eax & v = eax a1

u = senbx & du = b.cosbx.dx) ( I = a1

eax .cosbx + ab

a1

eax .senbx - ab eax .cosbx.dx#: C

I = a1

eax .cosbx +a2b

eax .senbx -a2b2 eax .cosbx.dx#

I6 7 844444444 44444444

, I +a2b2

I = a1

eax .cosbx +a2b

eax .senbx

, I 1 +a2b2c m

=a2

a2+b2

6 7 84444 4444

=a2a

eax .cosbx +a2b

eax .senbx, I =a2 + b2eax

a.cosbx + b.senbx6 @---------------------------------

Ejercicio 63

I =x

x + 1# dx

x

x + 1# dx ; haciendo cambio de variable x = tag2 t( dx = 2tagt 1 + tag2 t^ hdtI = tagt

1 + tag2 t# 2tagt 1 + tag2 t^ hdt = 2 1 + tag2 t^ h# d tagt^ h = 2tagt + 3

2tag3 t + cte = 2 x +

32

x^ h3 + cte


2º metodo

x

x + 1# dx =x

x# dx +x

1# dx = x 21# dx + x 2

-1# dx =

32 x 2

3+ 2x 2

1+ cte

3º metodo

x

x + 1# dx ; haciendo cambio de variable x = t(2 x

1dx = dt( dx = 2t.dt , luego

x

x + 1# dx =t

t2 + 1# 2.t.dt =

=32t3 + 2t = 3

2x^ h

3+ 2 x + cte

---------------------------------

Ejercicio 64

I =1 + x2^ h2x2

# dx

I =1 + x2^ h2x2

# dx

dv =1 + x2^ h2x

dx( v =2 1 + x2^ h-1

u = x( du = dx* ( I =2 1 + x2^ h-x +

21

1 + x2dx# =

2 1 + x2^ h-x +21

arctagx + cte

2º metodo

I =1 + x2^ h2x2

# dx ; haciendo cambio de variable x = tagt(t = arctagx & dt =

1 + x2dx

dx = 1 + tag2 t^ hdt*

I =1 + x2^ h2x2

# dx =1 + tag2 t^ h2tag2 t. 1 + tag2 t^ hdt

# =1 + tag2 t^ htag2 t.dt# =

cos2 t1

cos2 tsen2 t

# dt = sen2 t.dt#

I = 21 - cos2t# dt = 2

11 - cos2t6 @# dt = 2

1t - 4

1sen2t = 2

1t - 2

1sent.cost = 2

1arctagx - 2

1

1 + x2

x

1 + x2

1 + cte

I = 21

arctagx - 211 + x2

x + cte

---------------------------------

Ejercicio 65

I = cos2x.cos2x.dx#

I = cos2x.cos2x.dx =2

1 + cos2x## cos2x dx =21

cos2x + cos22x^ h# dx =21

cos2x dx +21# cos22x.dx#

I = 41

sen2x +21

21 + cos4x# =

41

sen2x +41

dx +41# cos4x dx# =

41

sen2x + 41

x +161

sen4x + cte

2º metodo

I = cos2x.cos2x.dx# ; sea J = sen2x.cos2x.dx#

1 I + J = cos2x.cos2x +# sen2x.cos2x.dx = cos2x. cos2x + sen2x^ h# dx = cos2x.# dx =21

sen2x

2 I - J = cos2x cos2x - sen2x^ h# dx = cos2x.cos2x.dx = cos2## 2x.dx =2

1 + cos4xdx# =

21

x +81sen4x

1 + 2 = 2I = 21

sen2x + 21

x +81sen4x( I = 4

1sen2x + 4

1x +

161

sen4x + cte

---------------------------------


Ejercicio 66

I =a + b x

dx#

I =a + b x

dx# ; cambio de variable t = a + b x (

dt =2 x

bdx & dt =

b2 t - a^ hb

dx & dx =b2

2 t - a^ hdt

x =b

t - aZ

[

\

]]]]]]]]]]]]]]

I =a + b x

dx# =tb2

2 t - a^ h# dt =

b22

tt - a# dt =

b22

1 - ta_ i# dt =

b22

dt -#b22a

tdt# =

b22t -

b22a

Lnt

I =b22

a + b x^ h -b22a

Ln a + b x + cte

---------------------------------

Ejercicio 67

I =1 + senx + cosx

dx#

I =1 + senx + cosx

dx# ; hacer cambio de variable t = tag 2x( 2

x = arctagt & x = 2.arctagt & dx =1 + t22.dt

I =1 + senx + cosx

dx# =

1 + t21 + t2 +

1 + t22t +

1 + t21 - t2

1 + t22.dt

# =

1 + t22 + 2t1 + t22

# dt =1 + tdt# = Ln 1 + t = Ln 1 + tag 2

x + cte

---------------------------------

Ejercicio 68

I =senx + tagx

dx#

I =senx + tagx

dx# ; Aplicando Bioche vemos que f -x^ h =sen -x^ h + tag -x^ hd -x^ h

=senx + tagx

dx = f x^ hasi que el cambio de variable es t = cosx & dt =- senx.dx =- 1 - t2 dx & dx =-

1 - t2dt

ver imagen de abajo^ h

I =senx + tagx

dx# =

tt. 1 - t2

+t

1 - t21 - t2-dt

# =

tt + 1^ h 1 - t2

1 - t2-dt

# =t + 1^ h 1 - t2^ h-t.dt#

t + 1^ h 1 - t2^ ht =t + 1^ h t + 1^ h 1 - t^ ht =

t + 1^ h2 1 - t^ ht

t + 1^ h2 1 - t^ ht =t + 1A +

t + 1^ h2B +1 - tC =

t + 1^ h2 1 - t^ hA t + 1^ h 1 - t^ h+

t + 1^ h2 1 - t^ hB 1 - t^ h+

t + 1^ h2 1 - t^ hC t + 1^ h2

si t = 0( 0 = A + B + C & A =4-3

si t =- 1(- 1 = 2B & B =21

si t = 1( 1 = 4C & C =41Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]]]

I = 43

t + 1dt# -

21

t + 1^ h2dt# -41

1 - tdt# =

43Ln 1 + t +

21

t + 1^ h-1 +41Ln 1 + t + cte

I = 43Ln 1 + cosx +

21

1 + cosx^ h-1 +41Ln 1 + cosx + cte

---------------------------------


Ejercicio 69

I =a2 - x2^ h25

dx#

I =a2 - x2^ h25

dx# =

a2 1 - ax_ i28 B

es parecido a 1-sen21 2 344444 44444

f p25

dx# ; cambio de variable sent = ax

sent = ax(

cost = aa2 - x2

& a.cost = a2 - x2

cost dt = adx& a.cost.dt = dx

Z

[

\

]]]]]]]]]]

I =a2 - x2^ h25

dx# =a.cost^ h5a.cost.dt# =

a4 .cos4 tdt# =

a41

cos2 t1#

cos2 t1

dt

I =a41

cos2 t1# d tagt^ h =

a41

1 + tag2 t^ h# d tagt^ h =a41

tagt + 31tag3 t` j ; tagt =

a2 - x2

x

I =a41

a2 - x2

x +31

a2 - x2

xc m+ cte

---------------------------------

Ejercicio 70

I = acos2wt + bsen2wt^ h# dt ; w ! 0

I = acos2wt + bsen2wt^ h# dt , sabemos que cos2wt = 21 + cos2wt

y sen2wt = 21 - cos2wt

I = 2a + acos2wt +

2b - bcos2wt` jdt = 2

a + b +2

a - bcos2wt` j## dt = 2

a + bt + 4w

a - bsen2wt + cte

2º metodo

I = acos2wt + bsen2wt^ h# dt , sea J = bcos2wt + asen2wt^ h# dt

1 I + J = acos2wt + bsen2wt^ h# + bcos2wt + asen2wt^ hdt = a + b^ h cos2wt + sen2wt^ hdt# = a + b^ h# dt = a + b^ ht2 I - J = a - b^ h# cos2wt + b - a^ hsen2wt.dt = a - b^ h cos2wt - sen2wt6 @

=cos2wt6 7 84444444444 4444444444

# dt = 2wa - b^ h

sen2wt

1 + 2 = 2I = a + b^ ht + 2wa - b

sen2wt( I = 2a + b^ ht

+4wa - b

sen2wt

---------------------------------

Ejercicio 71

I = senx.cosxdx#

I = senx.cosxdx# , a senx.cosx

1 = tagx + cotgx , I = tagx + cotgx^ h# dx = tagx.dx + cotgx.dx##

I = cosxsenx# dx +

senxcosx# dx =- Ln cosx + Ln senx = Ln cosx

senx + cte = Ln tagx + cte

2º metodo Imaginemos que no hemos caido en la formula a

I = senx.cosxdx# =

senx.cosxsen2x + cos2x# dx , b sen2x + cos2x = 1

I = senx.cosxsen2x

dx# +senx.cosxcos2x# dx =

cosxsenx# dx +

senxcosx# dx =- Ln cosx + Ln senx

I = Ln cosxsenx + cte = Ln tagx + cte

3º metodo Imaginemos que no hemos caido en la formula a y b

I = senx.cosxdx# =

senx.cosxdx# =

21

sen2x

dx# = 2 sen2xdx# c sen2x = 2senx.cosx y senx

1 =21

1 - cosxsenx +

1 + cosxsenx7 A

1 - cos2x^ hl= 2sen2x , 1 + cos2x^ hl=- 2sen2x

I = 2 21

1 - cos2xsen2x +

1 + cos2xsen2x` j# dx =

1 - cos2xsen2x# dx +

1 + cos2xsen2x# dx =

21

1 - cos2x2sen2x# dx +

21

1 + cos2x2sen2x# dx


I =21Ln 1 - cos2x -

21Ln 1 + cos2x =

21Ln

1 + cos2x

1 - cos2x= Ln

1 + cos2x

1 - cos2x= Ln tagx^ h + cte , tag

2x =

1 + cos2x

1 - cos2x

4º metodo Imaginemos que no hemos caido en la formula a y b y c

I =senx.cosx

dx# =senx.cos

2x

cosx.dx# =senxcosx

tagx1

D

#cos

2x

1

tagx^ hlF

dx =tagx1

d tagx^ h# = Ln tagx + cte

5º metodo

I =senx.cosx

dx# , sea J =cosxsenx# dx =

senx.cosxsen

2x# dx

1 I - J =senx.cosx1 - sen

2x# dx =

senx.cosxcos

2x# dx =

senxcosx# dx = Ln senx

2 J =cosxsenx# dx =-

cosx

-senx# dx =- Ln cosx

1 + 2 = I = Ln senx - Ln cosx = Lncosxsenx

= Ln tagx + cte

6º metodo

I =senx.cosx

dx# , aplicando la regla de Bioche

f -x^ h =sen -x^ h .cos -x^ hd -x^ h

=-senx.cosx

-dx=

senx.cosxdx

= f x^ h , sen -x^ h =- senx , cos -x^ h = cosx

cambio de varible t = cosx(

senx = 1 - t2

, cosx = t

t = cosx & x = arcost

t = cosx & dt =- senx.dx & dt =- 1 - t2.dx

Z

[

\

]]]]]]]]]

I =senx.cosx

dx# =-t. 1 - t

2

1 - t2

dt

# =-t. 1 - t

2^ hdt# =-t. 1 + t^ h . 1 - t^ hdt#

t. 1 + t^ h . 1 - t^ h1=

tA+1 + t

B+1 - t

C=

t. 1 + t^ h . 1 - t^ hA 1 + t^ h . 1 - t^ h + B.t. 1 - t^ h + C.t. 1 + t^ h

si

t =- 1 & 1 =- 2C & C =21

t = 1 & 1 = 2B & B =-21

t = 0 & A = 1Z

[

\

]]]]]]]]]]]]

asi que I =-tdt# +

21

1 + t

dt# +21

1 - t

-dt# =- Ln t +21Ln 1 + t +

21Ln 1 - t =- Ln t +

21Ln 1 + t 1 - t

= 1-t26 7 84444444 4444444d n

I =- Ln cosx + Ln 1 - cos2x =- Ln cosx + Ln senx = Ln

cosxsenx

= Ln tagx + cte

Ejercicio 72

I =f x^ h6 @2 - a2lf x^ h

# dx

I =f x^ h6 @2 - a

2

lf x^ h# dx =

a.a

f x^ h: C2

- 1

lf x^ h# dx , cambio de variable

cost1

=a

f x^ h( cost =

f x^ ha

cost =f x^ ha

(

f x^ h =costa

, sent =f x^ h

f x^ h6 @2 - a2

-sent.dt =- af x^ h6 @2lf x^ h .dx

( sent.dt = af x^ h6 @2lf x^ h .dxZ

[

\

]]]]]]]]]]]]]]

I =a2. tag

2t

f x^ h6 @2 .sent.dt# =

a2.costsent

f x^ h6 @2 .sent.dt# =

a1

cost.# f x^ h6 @2 .dt =cost1# dt

aplicando la formulacosx1

=21

1 - senx

cosx+1 + senx

cosx7 AI =

21

1 - sent

cost+1 + sent

cost` j# dt =21

1 + sent

cost# dx -21

1 - sent

-cost# dx =21

Ln1 - sent

1 + sent

I =21

Ln

1 -f x^ h

f x^ h6 @2 - a2

1 +f x^ h

f x^ h6 @2 - a2

=21

Lnf x^ h - f x^ h6 @2 - a

2

f x^ h + f x^ h6 @2 - a2

=21Ln

f x^ h - f x^ h6 @2 - a2

f x^ h + f x^ h6 @2 - a2

f x^ h + f x^ h6 @2 - a2

f x^ h + f x^ h6 @2 - a2e o


I =21Ln

f x^ h6 @2 - f x^ h^ h2 - a26 @

f x^ h + f x^ h6 @2 - a2_ i2= G =

21Ln

a2

f x^ h + f x^ h6 @2 - a2_ i2< F = Ln

a

f x^ h + f x^ h6 @2 - a2

I = Ln f x^ h + f x^ h6 @2 - a2 - Lna = Ln f x^ h + f x^ h6 @2 - a

2 + cte

---------------------------------

Ejercicio 73

I =1 + x

dx# , haciendo cambio de variable x = t - 1^ h2(dx = 2 t - 1^ hdt

t - 1 = x & t = x + 1(I =

1 + x

dx# =t

2 t - 1^ hdt# = 2

tt - 1# dt = 2 dt - 2

tdt## = 2t - 2Lnt = 2 x + 1^ h - 2Ln x + 1^ h + cte a

2º metodo

I =1 + x

dx# , haciendo cambio de variable x = t2&

t = x

dx = 2t.dt'I =

1 + t

2t.dt# = 2 1 -1 + t

1` j# dt = 2 dt - 21 + t

1dt = 2t - 2Ln 1 + t^ h## = 2 x - 2Ln 1 + x^ h + ct le b

los resultados a y b son el mismo haciendo 2 + cte = ct le

---------------------------------

Ejercicio 74

I =cos

5x

sen3x# dx

I =cos

5x

sen3x# dx = tag

3xcos

2x

1# dx = tag3x# d tagx^ h =

41tag

4x + cte

---------------------------------

Ejercicio 75

I =x sen x

cos xdx =#

I =x sen x

cos xdx =#

sen x

cos x

x

1dx , se observa que d sen x^ h# = cos x

21

x

1dx

I = 2sen x

cos x

2 x

1dx# = 2

sen x

dsen x# = 2Ln sen x + cte

---------------------------------

Ejercicio 76

I =1 + 2senx.cosx

senx - cosx# dx

I =1 + 2senx.cosx

senx - cosx# dx =senx + cosx^ h2senx - cosxa k# dx , senx + cosx^ h2 = 1 + 2senx.cosx

sea u = senx + cosx( du = cosx - senx^ hdx , luego

I =-senx + cosx^ h2-senx + cosx# dx =-

u2

du# =- u-2# du = u

-1 =senx + cosx

1+ cte

---------------------------------

Ejercicio 77

I =1 + 2senx.cosx

cos2x# dx

I =1 + 2senx.cosx

cos2x# dx =senx + cosx^ h2cos

2x - sen

2xc m# dx , cos2x = cos

2x - sen

2x

I =senx + cosx^ h 2

cosx - senx^ h cosx + senx^ h# dx =

senx + cosx^ hcosx - senx^ h# dx = Ln senx + cosx + Cte.


^ h ^ h2º metodo

I =1 + 2senx.cosx

cos2x# dx =1 + sen2xcos2x# dx =

21

1 + sen2x

d sen2x^ h# =

21Ln 1 + sen2x = Ln 1 + sen2x

1+sen2x= senx+cosx^ h26 7 84444444 4444444

= Ln senx + cosx + Cte.

---------------------------------

Ejercicio 78

I =1 + senx.cosxsenx.cosx# dx =

21

1 + 21sen2x

sen2x# dx =21

2 + sen2x

2sen2x# dx =

2 + sen2xsen2x# dx

haciendo cambio de variable t = 2x & dt = 2.dx luego

I = 21

1 -2 + sent

2` j# dt = 21t -

2 + sentdt# = x -

2 + sentdt#

A1 2 3444444 444444

A =2 + sent

dt# haciendo cambio de variable tag 2t = n & 2

t = arctagn & t = 2.arctagn & dt =1 + n2

2dn

A =

1 + n22n

+ 2

1 + n22

# dn =

1 + n2

2 n2 + n + 1^ h1 + n2

2

# dn =n

2 + n +41 -

41 + 1

dn# =

n +21` j2 +

23c m2

dn#

y como sabemos quea2 + f x^ h6 @2lf x^ h# dx =

a1

arctag af x^ h

+ cte

n +21` j2 +

23c m2

dn# =

3

2arctag

23

22n + 1J

L

KKKKKKKKKK

N

P

OOOOOOOOOO=

3

2arctag

3

2n + 1=

3

2arctag

3

2.tag 2t + 1

=3

2arctag

3

2.tag 22x + 1

=3

2arctag

3

2.tagx + 1luego I = x -

3

2arctag

3

2.tagx + 1+ cte

---------------------------------

Ejercicio 79

I =ax .bx

ax - bx^ h2# dx

I =ax .bx

ax - bx^ h2# dx =

ax .bxa2x - 2.ax .bx + b2x# dx =

ax.bxa 2x

# dx - 2ax .bxax .bx# dx +

ax .bxb 2x

# dx =bxax

# dx - 2 1# dx +axbx# dx

I = ba_ ix# dx - 2x +

ab` jx# dx =

Ln ba

ba_ ix

- 2x +Ln a

bab` jx

=Lna - Lnb

ba_ ix

- 2x +- Lna - Lnb^ ha

b` jx=

Lna - Lnbba_ ix - a

b` jx- 2x + cte

---------------------------------

Ejercicio 80

I = x2 - a2# dx

I = x2 - a2# dx resolviendo por partesdv = dx & v = x

u = x2 - a2& du =

x2 - a2

xdx*

I = x. x2 - a2 -x2 - a2

x2

# dx = x. x2 - a2 -x2 - a2

x2 - a2 + a2

# dx = x. x2 - a2 -x2 - a2

x2 - a2

# dx - a2

x2 - a2

dx#

I = x. x2 - a2 - x2 - a2# dx - a2

a. ax_ i

2- 1

dx# = x. x2 - a2 - x2 - a2# dx - a2

ax_ i

2- 1

a1dx

#

I = x. x2 - a2 - I - a2Ln ax +

ax_ i2 - 1 ( I =

2

x. x2 - a2

-2a2

Ln ax +

ax_ i2 - 1 + cte

---------------------------------


Ejercicio 81

I = tagx# .dx

I = tagx# .dx , sea t2 = tagx &t = tagx

2t.dt = 1 + tag2x^ h .dx(I = t.

1 + t42t# dt =

1 + t42t2# dt como se ve el denominador tiene soluciones complejas asi que resolvamoslo.

t4 + 1 = t2 + 1^ h2 - 2t2 = t2 + 1^ h2 - 2 .t^ h2 = t2 + 2 .t + 1^ h t2 - 2 .t + 1^ hI =

1 + t42t2# dt =

t2 + 2 .t + 1

At + B# dt +t2 - 2 .t + 1

lA t + lB# dt a

I =1 + t4

At + B^ h t2 - 2 .t + 1^ h + lA t + lB^ h t2 + 2 .t + 1^ h# dt

si t = 0( 0 = B + lB ( B =- lB

si t = i(- 2 = B + iA^ h -i 2^ h + i lA + lB^ h i 2^ h = A - lA^ h

=- 26 7 84444 4444

2 + i 2 lB - B^ h

=06 7 84444 4444

(

A - lA =- 2( lA = A + 2

lB = B y B =- lB ( lB = B = 0(si t = 1( 2 = 2 - 2^ hA + 2 + 2^ h lA = 2 - 2^ hA + 2 + 2^ h A + 2^ h

lA6 7 844444 44444

= 4A + 2 2 + 2

2 = 4A + 2 2 + 2( 4A + 2 2 = 0( A =2

- 2lA =

22

a , I =1 + t42t2# dt =

t2 + 2 .t + 1

2

- 2t

# dt +t2 - 2 .t + 1

22t

# dt = 4

- 2

t2 + 2 .t + 1

2t.dt# +42

t2 - 2 .t + 1

2t.dt#

I = 4

- 2

t2 + 2 .t + 1

2t + 2 - 2^ h .dt# +

42

t2 - 2 .t + 1

2t - 2 + 2^ h .dt#

I = 4

- 2

t2 + 2 .t + 1

2t + 2^ h .dt# +

42

t2 - 2 .t + 1

2t - 2^ h .dt# -

42

t2 + 2 .t + 1

- 2^ h .dt# +

42

t2 - 2 .t + 1

2^ h .dt#

I = 4

- 2Ln t2 + 2 .t + 1 + 4

2Ln t2 - 2 .t + 1 +

21

t2 + 2 .t + 1

dt# +21

t2 - 2 .t + 1

dt#

Ahora descompongamost2 - 2 .t + 1 = t2 - 2 .t + 2

1 -21 + 1 = t -

2

1c m2 +2

1c m2t2 + 2 .t + 1 = t2 + 2 .t + 2

1 -21 + 1 = t +

2

1c m2 +2

1c m2Z

[

\

]]]]]]]]]]]]

I = 4

- 2Ln t2 + 2 .t + 1 + 4

2Ln t2 - 2 .t + 1 +

21

t +2

1c m2 +2

1c m2dt# +

21

t -2

1c m2 +2

1c m2dt#

Aplicando la formulaa2 + f x^ h6 @2lf x^ h# dx = a

1 arctag af x^ h

I = 4

- 2Ln t2 + 2 .t + 1 + 4

2Ln t2 - 2 .t + 1 +

22arctag 2 .t + 1^ h +

22arctag 2 .t - 1^ h + cte

I = 4

- 2Ln tagx + 2.tagx + 1 + 4

2Ln tagx - 2.tagx + 1 +

22arctag 2.tagx + 1^ h +

22arctag 2.tagx - 1^ h + cte

I = 42Ln

tagx + 2.tagx + 1

tagx - 2.tagx + 1+

22arctag 2.tagx + 1^ h +

22arctag 2.tagx - 1^ h + cte

---------------------------------

Ejercicio 82

I =senx + cosx

senx# dx

I =senx + cosx

senx# dx , sea J =senx + cosx

cosx# dx

1 I + J =senx + cosx

senx# dx +senx + cosx

cosx# dx =senx + cosx

senx + cosx# dx = dx = x#


2 I - J =senx + cosx

senx# dx -senx + cosx

cosx# dx =senx + cosxsenx - cosx# dx =-

senx + cosx-senx + cosx# dx

=- Ln senx + cosx

1 + 2 = 2I = x - Ln senx + cosx ( I = 21

x - Ln senx + cosx^ h

---------------------------------

Ejercicio 83

I =1 + cosx

dx#

I =1 + cosx

dx# , sabemos que cos2x =2

1 + cos2xluego 1 + cosx = 2.cos2 2

x

I =1 + cosx

dx# =2.cos2 2

xdx# =

cos2 2x

21dx

# = d tag 2x_ i# = tag 2

x+ cte

2º metodo

como no se cumple ninguna de las 3 reglas de bioche el cambio de variable sera de t = tag 2x

t = tag 2x(

cosx =1 + t21 - t2

arctagt = 2x& 2.arctagt = x &

1 + t22.dt = dx

Z

[

\

]]]]]]]]]]

I =1 + cosx

dx# =

1 +1 + t21 - t2

1 + t22.dt

# =

1 + t22.dt1 + t22.dt

# = dt = t =# tag 2x + cte

---------------------------------

Ejercicio 84

I =x2

x.cosx - senx# dx

I =x2

x.cosx - senx# dx ;g x^ h6 @2

lf x^ h.g x^ h- f x^ h. lg x^ h# =

g x^ hf x^ h

f x^ h = senx( lf x^ h = cos x

g x^ h = x( lg x^ h = 13( I =

x2x.cosx - senx# dx( I = x

senx + cte

---------------------------------

Ejercicio 85

I =x2

Lnx - 1# dx es de la formag x^ h6 @2

lf x^ h .g x^ h - f x^ h . lg x^ h# =

g x^ h

f x^ h

I =x2

Lnx - 1# dx , f x^ h = Lnx( lf x^ h = x1

g x^ h =- x( lg x^ h =- 1

* 4( I =-x^ h2x

1 -x^ h - Lnx. -1^ h# dx

I =x2

-1 + Lnx# dx =-xLnx + cte

---------------------------------

Ejercicio 86

I =sen2x + 1

cosx# dx

I =sen2x + 1

cosx# dx =sen2x + 1dsenx# , nos recuerda a

1 + x2dx# = arctagx luego

I = arctag senx^ h + cte


Ejercicio 87

I = tagx3# .dx

I = tagx3# .dx , cambio variable t3 = tagx & x = arctag t3^ h & dx =

1 + t3^ h23t

2.dt

=1 + t

6

3t2.dt

I = t.#1 + t

6

3t2.dt

=1 + t

6

3t3.dt# =

1 + t6

3t3.dt# , 1 + t

6 = 13 + t

2^ h3 = 1 + t2^ h 1

2 - t2 + t

4^ hahora descompogamos la fraccion

1 + t6

3t3

=1 + t

2^ h 1 - t2 + t

4^ h3t3

1 + t2^ h 1 - t

2 + t4^ h3t3=1 + t

2

At + B+

1 - t2 + t

4

Ct3 + Dt

2 + Et + F

3t3 = At + B^ h 1 - t2 + t

4^ h+ 1 + t2^ h Ct3 + Dt2 + Et + F^ h3t3 = At - At

3 + At5 + B - Bt

2 + Bt4 + Ct

3 + Ct5 + Dt

2 + Dt4 + Et + Et

3 + F + Ft2

3t3 = t5

A + C^ h + t4B + D^ h + t

3 -A + C + E^ h + t2 -B + D + F^ h + t A + E^ h + B + F^ h

Aplicando igualdad de polinomios resulta:

B + F = 0 & B =- F 6

A + E = 0 & A =- E 5

-B +D + F = 0 & F =- 2D 4

-A +C + E = 3 & E = 3 + 2A 3

B +D = 0 & B =-D 2

A +C = 0 & A =-C 1_

`

a

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

&

2 , 4 y 6 &- B = F =- 2D = D b

1 , 5 y 3 & A =-C =- E =- 3 - 2A aZ

[

\

]]]]]]]]]

a &- 3 - 2A = A &- 3 = 3A & A =- 1 luego C = E = 1

b &- 2D = D & D = 0 luego B = F = 0

asi que1 + t

2^ h 1 - t2 + t

4^ h3t3=1 + t

2

At + B+

1 - t2 + t

4

Ct3 + Dt

2 + Et + F=1 + t

2

-t+

1 - t2 + t

4

t3 + t

I =1 + t

2

-t+

1 - t2 + t

4

t3 + tc mdt# =

1 + t2

-t` jdt# +1 - t

2 + t4

t3 + tc mdt#

I =2

-1

1 + t2

2ta kdt# +41

1 - t2 + t

4

4t3 + 4tc mdt# en la 2º integral d 1 - t

2 + t4^ h = 4t

3 - 2t

I =2

-1Ln 1 + t

2^ h +41

1 - t2 + t

4

4t3 - 2tc mdt# +

41

1 - t2 + t

4

6ta kdt#

I =2

-1Ln 1 + t

2^ h +41Ln 1 - t

2 + t4 +

41

1 - t2 + t

4

6ta kdt# , 1 - t2 + t

4 = t4 - t

2 +41-41+ 1 = t

2 -21` j2 +

2

3c m2

I =2

-1Ln 1 + t

2^ h +41Ln 1 - t

2 + t4 +

23

t2 -

21` j2 +

2

3c m2tf pdt#

I =2

-1Ln 1 + t

2^ h +41Ln 1 - t

2 + t4 +

2321

t2 -

21` j2 +

2

3c m22tf pdt#

I =2

-1Ln 1 + t

2^ h +41Ln 1 - t

2 + t4 +

43

3

2arctag

2

3

t2 -

21

+ cte

I =2

-1Ln 1 + t

2^ h +41Ln 1 - t

2 + t4 +

2

3arctag

3

2t2 - 1

+ cte

I =2

-1Ln 1 + tagx3^ h2_ i +

41Ln 1 - tagx3^ h2 + tagx3^ h4 +

2

3arctag

3

2 tagx3^ h2 - 1+ cte

Ejercicio 88

I = secx.tagx.dx#

I = secx.tagx.dx# =cosx1#

cosxsenx

dx =cos

2x

senx.dx# =- cos-2x.d cosx^ h# =

cosx1

+ cte

-----------------------


-----------------------

Ejercicio 89

I =x

cotag x# dx

I =x

cotag x# dx =

sen x

cos x#

x

1dx =

sen x

cos x#

2 x

2dx , d sen x^ h = cos x .

2 x

1dx

I = 2sen x

d sen x^ h# = 2.Ln sen x + cte

-----------------------

Ejercicio 90

I =cos

3x.senx

dx#

I =cos

3x.senx

dx# =

cos4x.

cosxsenx

dx# =cos

2x

dx#tagx

1=

tagx

1# d tagx^ h = 2 tagx + cte

-----------------------

Ejercicio 91

I = 2x - 3^ h .tag x2 - 3x^ h# .dx

I = 2x - 3^ h .tag x2 - 3x^ h# .dx , cambio variable u = x

2 - 3x & du = 2x - 3^ hdxI = tagu.du =

cosusenu## du =-

cosu

-senu# du =- Ln cosu =- Ln cos x2 - 3x^ h + cte

-----------------------

Ejercicio 92

I =1 + x

1 - x# dx

I =1 + x

1 - x# dx , cambio variable x = cos2t(

21arcsenx = t

sen2t =

21 - cos2t

cos2t =

21 + cos2t

dx =- 2.sen2t.dtZ

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]]]

I =1 + cos2t

1 - cos2t# -2.sen2t.dt^ h =2cos

2t

2sen2t

# -2.sen2t.dt^ h = tagt# . -2.sen2t^ h .dtI =- 2

costsent# .2sent.cost.dt =- 4 sen

2t.dt =- 4

21 - cos2t## dt =- 2 dt + 2cos2t.dt =- 2t + sen2t + cte##

I =- 2.21arccosx + 1 - x

2 + cte =- arccosx + 1 - x2 + cte

-----------------------

Ejercicio 93

I =a + b x

dx# , b ! 0

I =a + b x

dx# se hace cambio de variable t = a + b x (

x =b

t - a

dt =2 x

bdx & dx =

b2

2 t - a^ hdt

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]

I =

a + b.b

t - a

b2

2 t - a^ hdt

# =b2

2t

t - adt# =

b2

2dt# -

b2

2atdt#

I =b2

2t -

b2

2aLnt =

b2

2a + b x^ h -

b2

2aLn a + b x^ h + cte

Ejercicio 94

I =x

dx#


I =x

dx# aqui a = 0 y b = 1

asi que I = 2 x + cte

-----------------------

Ejercicio 95

I =2 + 3 x

dx#

I =2 + 3 x

dx# aqui a = 2 y b = 3

asi que I =92

2 + 3 x^ h -94Ln 2 + 3 x^ h + cte

Ejercicio 96

I =senx + cosx

1 + cotgx# dx

I =senx + cosx

1 + cotgx# dx =

senx + cosx

1 +senxcosx

# dx =senx + cosx

senx

senx + cosx

# dx =senxdx#

I =senxdx# para resolverlo ver ejercicio 18, vamos a utilizar otro metodo

I =senxdx# , sea J =

senxcosx.dx#

cos2a =

21 + cos2a

cos2a =

21 + cos2a

sen2a = 2sena.cosa

1 I + J =senx

1 + cosx.dx# =senx

2cos2

2x.dx

# =

2sen2xcos

2x

2cos2

2x.dx

# = 2sen

2x

21cos

2x

# dx = 2sen

2x

d sen2x_ i

# = 2Ln sen2x

+ ct le

2 I - J =senx

1 - cosx.dx# =senx

2sen2

2x.dx

# =

2sen2xcos

2x

2sen2

2x.dx

# = 2cos

2x

21sen

2x

# dx =- 2sen

2x

d cos2x_ i

# =- 2Ln cos2x

+ ct me

1 + 2 = 2I = 2Ln sen2x

+ ct le - 2Ln cos2x

+ ct me ( I = Ln sen2x

- 2Ln cos2x

+ cte( I = Ln tag2x

+ cte

-----------------------

Ejercicio 97

I =cos

4x

senx# dx

I =cos

4x

senx# dx =- cos-4x.d cosx^ h# =

31cos

-3x + cte

-----------------------

Ejercicio 98

I =2x. x

cosx + 2x.senx# dx

I =2x. x

cosx + 2x.senx# dx =2x x

cosx# +x

senx=

x

2 x

cosx+ x .senx

# dx ,x

x=

x

1, d

g

fa k =g2

lf .g - f. lg

g x^ h = x ( lg x^ h =2 x

1

f x^ h =- cosx( lf x^ h = senx* 4 asi que I =x

-cosx+ cte

-----------------------

Ejercicio 99

I =x x - a^ hdx#


I =x x - a^ hdx# , x x - a^ h = x

2 - ax = x2 - ax +

4a2

-4a2

= x -2a_ i2 -

2a_ i2

I =

x -2a_ i2 -

2a_ i2

dx# = Ln x -2a+ x x - a^ h + cte

-----------------------

Ejercicio 100

I =x 1 + x

2

dx#

I =x 1 + x

2

dx# , haciendo cambio de variable x =t1& dx =

t2

-dt

I =

t1

1 +t1` j2

t2

-dt

# =

t1

t2

t2

+t2

1

t2

-dt

# =

t2

1t2 + 1

t2

-dt

# =1 + t

2

-dt# = Ln t - 1 + t2 + cte

I = Ln t - 1 + t2 + cte = Ln

x1- 1 +

x1` j2 + cte

-----------------------

Ejercicio 101

I =cos2xdx#

I =cos2xdx# =

cos2x - sen

2x

dx# =

cos2x 1 -

cos2x

sen2xc m

dx# =cos

2x 1 - tag

2x^ hdx# =

1 - tag2x

1#cos

2x

dx=

1 - tag2x

d tagx^ h#

haciendo cambio variable t = tagx( I =1 - t

2

dt# ,1 - t

2

1=2

1

1 + t

1+1 - t

18 B

I =21

1 + t

dt# +21

1 - t

dt# =21Ln 1 + t -

21Ln 1 - t =

21Ln

1 - t

1 + t= Ln

1 - tagx

1 + tagx+ cte

-----------------------

Ejercicio 102

I =f x^ h6 @2 - a

2

! lf x^ hdx# = Ln a

f x^ h! f x^ h6 @2 - a2siendo a ! 0

vamos a demostrar esta igualdad:

I =f x^ h6 @2 - a

2

lf x^ hdx# =

aa

f x^ h: C2

- 1

lf x^ hdx# =

a

f x^ h: C2

- 1

a

lf x^ hdx

# ,a

f x^ h: C2

- 1c mtiene semejanza acos

2t

1- 1

asi que haciendo cambio de variablecos t1

=a

f x^ h( cos t =

f x^ ha

cost =f x^ ha

(

f x^ h =cos ta& f x^ h6 @2 =

cos2t

a2

-sent.dt =f x^ h6 @2

-a. lf x^ h .dx&

a

f x^ h6 @2 .sent.dt= lf x^ h .dx

(

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]

lf x^ h .dx =cos

2t

a2

asent.dt

I =

a

f x^ h: C2

- 1

a

lf x^ hdx

# =tag

2t

cos2t

sent.dt

# =costdt# se ha aplicado la formula 1 + tag

2t =

cos2t

1

I =cos tdt# =

21

1 + sent

cos t+1 - sent

cos t8 B# dt =21

1 + sent

cos tdt# +

21

1 - sent

cos tdt#

^ h6 @


I =21Ln 1 + senx^ h -

21Ln 1 - sent^ h =

21Ln

1 - sent

1 + sent=

21Ln

1 -f x^ hf x^ h6 @2 - a

2

1 +f x^ hf x^ h6 @2 - a

2

I =21Ln

f x^ h - f x^ h6 @2 - a2

f x^ h + f x^ h6 @2 - a2

=21Ln

f x^ h- f x^ h6 @2 - a2

f x^ h+ f x^ h6 @2 - a2

f x^ h+ f x^ h6 @2 - a2

f x^ h+ f x^ h6 @2 - a2e o =

21Ln

f x^ h6 @2 - f x^ h6 @2 - a2_ i2

f x^ h+ f x^ h6 @2 - a2_ i2

I =21Ln

f x^ h6 @2 - f x^ h6 @2 - a2^ h

f x^ h+ f x^ h6 @2 - a2_ i2

=21Ln

a2

f x^ h+ f x^ h6 @2 - a2_ i2

= Lna

f x^ h+ f x^ h6 @2 - a2

+ cte

si I =f x^ h6 @2 - a

2

- lf x^ hdx# sacamos el signo - fuera y seguiendo los mismos pasos que arriba hasta llegar al resultado verde

I =-21Ln

f x^ h - f x^ h6 @2 - a2

f x^ h + f x^ h6 @2 - a2

=21Ln

f x^ h + f x^ h6 @2 - a2

f x^ h - f x^ h6 @2 - a2

I =21Ln

f x^ h + f x^ h6 @2 - a2

f x^ h - f x^ h6 @2 - a2

f x^ h - f x^ h6 @2 - a2

f x^ h - f x^ h6 @2 - a2e o =

21Ln

f x^ h6 @2 - f x^ h6 @2 - a2_ i2

f x^ h - f x^ h6 @2 - a2_ i2

=21Ln

f x^ h6 @2 - f x^ h6 @2 - a2^ h

f x^ h - f x^ h6 @2 - a2_ i2

I =21Ln

a2

f x^ h - f x^ h6 @2 - a2_ i2

= Lna

f x^ h - f x^ h6 @2 - a2

+ cte

-----------------------

Ejercicio 103

I =f x^ h6 @2 + a

2

! lf x^ hdx# = Ln a

!f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2siendo a ! 0

vamos a demostrar esta igualdad:

I =f x^ h6 @2 + a

2

lf x^ hdx# =

aa

f x^ h: C2

+ 1

lf x^ hdx# =

a

f x^ h: C2

+ 1

a

lf x^ hdx

# ,a

f x^ h: C2

+ 1c mtiene semejanza a tag2t + 1

asi que haciendo cambio de variable tagt =a

f x^ htagt =

a

f x^ h( 1 + tag

2t^ h .dt =

a

lf x^ h .dxI =

1 + tag2t

1 + tag2t^ h .dt

# = 1 + tag2t# =

costdt# se ha aplicado la formula 1 + tag

2t =

cos2t

1

I =costdt# =

21

1 + sent

cost+1 - sent

cost8 B# dt =21

1 + sent

costdt# +

21

1 - sent

costdt#

I =21Ln 1 + senx^ h -

21Ln 1 - sent^ h =

21Ln

1 - sent

1 + sent=

21Ln

1 -f x^ h6 @2 + a

2

f x^ h1 +

f x^ h6 @2 + a2

f x^ h

I =21Ln

f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h

f x^ h6 @2 + a2 + f x^ h

=21Ln

f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h

f x^ h6 @2 + a2 + f x^ h

f x^ h6 @2 + a2 + f x^ h

f x^ h6 @2 + a2 + f x^ he o =

21Ln

f x^ h6 @2 + a2_ i2 - f x^ h6 @2

f x^ h6 @2 + a2 + f x^ h_ i2

I =21Ln

f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h6 @2

f x^ h6 @2 + a2 + f x^ h_ i2

=21Ln

a2

f x^ h6 @2 + a2 + f x^ h_ i2

= Lna

f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2

+ cte

si I =f x^ h6 @2 + a

2

- lf x^ hdx# sacamos el signo - fuera y seguiendo los mismos pasos que arriba hasta llegar al resultado verde

I =-21Ln

f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h

f x^ h6 @2 + a2 + f x^ h

=21Ln

f x^ h6 @2 + a2 + f x^ h

f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h

f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h

f x^ h6 @2 + a2 - f x^ he o =

21Ln

f x^ h6 @2 + a2_ i2 - f x^ h6 @2

f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h_ i2

I =21Ln

f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h6 @2

f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h_ i2

=21Ln

a2

f x^ h6 @2 + a2 - f x^ h_ i2

= Lna

-f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2

+ cte

-----------------------


Según el ejercicio 103 se demostro quef x^ h6 @2 + a

2

! lf x^ h .dx# = Lna

!f x^ h + f x^ h6 @2 + a2

= Ln !f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 - Lna

f x^ h6 @2 + a2! lf x^ h.dx# = Ln !f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2 + cte a

Pero en todos los libros que tengo aparece de la seguiente forma:

f x^ h6 @2 + a2! lf x^ h.dx# = Ln f x^ h! f x^ h6 @2 + a2 + cte b

Derivando a Ln !f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2 y la b Ln f x^ h! f x^ h6 @2 + a2 el es resultadof x^ h6 @2 + a2! lf x^ h .dx

Pero Ln -f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2 ! Ln f x^ h - f x^ h6 @2 + a2 asi que averiguemos cual es esa diferencia:

Ln -f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2 + Ln f x^ h - f x^ h6 @2 + a2 = Ln -f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2_ i f x^ h - f x^ h6 @2 + a2_ i

= Ln - f x^ h6 @2 + f x^ h6 @2 + a2 = Ln a2 = cte lo que significa que:

Ln -f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2 = Ln f x^ h - f x^ h6 @2 + a2 + cte

luego las dos formulas son verdaderas

-----------------------

Ejercicio 104

I =x

2 + 4

-dx#

I =x

2 + 4

-dx# =Ln x - x

2 + 4 + cte A segun la formula b

Ln -x + x2 + 4 + cte A segun la formula a)

Comprobacion

ax

2 + 4

-dx# = Ln -x + x2 + 4 + cte (

derivandoA

dx

2 + 4

-dx#c m = d Ln -x + x2 + 4 + cte^ h

x2 + 4

-1=

-x + x2 + 4

1-1 +

2 x2 + 4

2xc m =-x + x

2 + 4

x2 + 4

- x2 + 4 + x

=x

2 + 4

-1luego la a es verdadera.

bx

2 + 4

-dx# = Ln x - x2 + 4 + cte (

derivandoA

dx

2 + 4

-dx#c m = d Ln x - x2 + 4 + cte^ h

x2 + 4

-1=

x - x2 + 4

11 -

2 x2 + 4

2xc m =x - x

2 + 4

x2 + 4

x2 + 4 - x

=x

2 + 4

-1luego la b es verdadera.

asi que ambos resultados son verdaderos.


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Ejercicio 104

I =x2 + x + 1

x.dx#

I =x2 + x + 1

x.dx# es de la formaax

2 + bx + c

P x^ h=

dxd

Q x^ h ax2 + bx + c_ i+

ax2 + bx + c

m

Q x^ h es un polinomio de coeficientes a determinar y grado de Q x^ h = grado de P x^ h - 1 = 0 y m nº real a determinar.

asi que Q x^ h = cte = A luegodxd

A x2 + x + 1^ h =

2 x2 + x + 1

A 2x + 1^ h

ax2 + bx + c

P x^ h=

x2 + x + 1

x=

2 x2 + x + 1

A 2x + 1^ h+

x2 + x + 1

m=

x2 + x + 1

Ax +2A+ m

(

2A+ m = 0

A = 1) (

m =2

-1

A = 1)

I =x2 + x + 1

x.dx# =dxd

1. x2 + x + 1^ hdx# +

x2 + x + 1

2

-1

# dx = x2 + x + 1 -

21

x2 + x + 1

dx#

I = x2 + x + 1 -

21

x2 + x +

41-41+ 1

dx# = x2 + x + 1 -

21

x +21` j2 +

2

3c m2dx#

Aplicando la formulaf x^ h6 @2 + a

2

! lf x^ hdx# = Ln a

!f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2siendo a ! 0

I = x2 + x + 1 -

21Ln

2

3

x +21+ x

2 + x + 1+ cte

-----------------------

Ejercicio 105

I =1 - x

2

1 - x - 1 + x# dx

I =1 - x

2

1 - x - 1 + x# dx , 1 - x y 1 + x nos hace pensar en la formulas

sen2t =

21 - cos 2t

cos2t =

21 + cos 2t*

asi que hagamos el cambio de variable x = cos 2t( dx =- 2sen2t.dt , luego I queda de la seguiente forma

I =1 - cos

22t

1 - cos2t - 1 + cos2t# -2sen2t.dt^ h =- 2

sen22t

2 .sent - 2 . cos t# sen2t.dt =- 2 2

sen2tsent - cost# dt

I =- 2 22sent.costsent - cost# dt =- 2

sent.costsent# dt + 2

sent.costcost# dt =- 2

costdt# + 2

sentdt# ver ejercicios 18 y 102

costdt# =

21Ln

1 - sent

1 + sent,

sentdt# =

21Ln

1 + cos t

1 - cos t

x = cos2t & x = cos2t - sen

2t = 1 - 2sen

2t &

21 - x

= sen2t & sent =

2

1 - xsupongamos que estamos en el 1 cuadrante

sent =2

1 - xUA

cost =2

1 + xse deduce del triangulo

I =2

- 2Ln

1 -2

1 - x

1 +2

1 - x

+2

2Ln

1 +2

1 + x

1 -2

1 + x

=2

- 2Ln

2 - 1 - x

2 + 1 - x+

2

2Ln

2 + 1 + x

2 - 1 + x+ cte

I =2

2Ln

2 + 1 - x^ h 2 + 1 + x^ h2 - 1 + x^ h 2 - 1 - x^ h+ cte

-----------------------


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2º metodo

I =1 - x

2

1 - x - 1 + x# dx =

1 - x2

1 - x# dx -

1 - x2

1 + x# dx =

1 - x^ h 1 + x^ h1 - x# dx -

1 - x^ h 1 + x^ h1 + x# dx

I =1 - x^ h 1 + x^ hdx# -

1 - x^ h 1 + x^ hdx#

A =1 - x^ h 1 + x^ hdx# , haciendo cambio de variable t

2 = 1 - x(x = 1 - t

2

2t.dt =- dx%A =

2 - t2^ h .t

-2t.dt# =- 2

2^ h2 - t2

dt# =- 22 2

1Ln

2 - t

2 + t=

2

- 2Ln

2 - 1 - x

2 + 1 - x+ ct le

B =1 + x^ h 1 - x^ hdx# , haciendo cambio de variable t

2 = 1 + x(x = t

2 - 1

2t.dt = dx%B =

2 - t2^ h .t

2t.dt# = 2

2^ h2 - t2

dt# = 22 2

1Ln

2 - t

2 + t=

2

2Ln

2 - 1 + x

2 + 1 + x+ ct me

I =2

- 2Ln

2 - 1 - x

2 + 1 - x+

2

2Ln

2 - 1 + x

2 + 1 + x+ cte

I =2

2Ln

2 + 1 - x^ h 2 + 1 + x^ h2 - 1 + x^ h 2 - 1 - x^ h

+ cte

----------------------

Ejercicio 106

I =4 - 9e

2x

ex.dx#

I =4 - 9e

2x

ex.dx# =

31

2^ h2 - 3ex^ h23e

x.dx# es de la forma

a2 - f x^ h6 @2lf x^ h

# dx =

-arccosa

f x^ h+ cte

arcsena

f x^ h+ cte

Z

[

\

]]]]]]]]]]

I =-31arccos

23e

x

+ cte

31arcsen

23e

x

+ cteZ

[

\

]]]]]]]]]

-----------------------

Ejercicio 107

I =tag

2x - 1

tagx + 1# dx

I =tag

2x - 1

tagx + 1# dx =

tagx + 1^ h tagx - 1^ h^ htagx + 1^ h# dx =

cosxsenx

- 1

dx# =senx - cosx

cosx.dx#

1 I =senx - cosx

cosx.dx# , sea 2 J =senx - cosx

senx.dx#

A = 1 + 2 = I + J =senx - cosx

cosx + senx^ h .dx# = Ln senx - cosx

B = 1 - 2 = I - J =senx - cosx

cosx - senx^ h .dx# =- dx =- x#

A + B = 2I =- x + Ln senx - cosx ( I =2

-x + Ln senx - cosx+ cte

-----------------------

Ejercicio 108

I =x 1 - x^ h

arcsen x# dx

I =x 1 - x^ h

arcsen x# dx se nos fijamos se ve que

dxd

arcsen x^ h =1 - x

1

2 x

1dx

I =x 1 - x^ h

arcsen x# dx = 2 arcsen x

1 - x

1

2 x

1# dx = 2 arcsen x

t6 7 844444 44444

# d arcsen x

t6 7 844444 44444c m

I = 221

arcsen x^ h2 + cte = arcsen x^ h2 + cte

-----------------------


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Ejercicio 109

I =x

1 - Lnxdx#

I =x

1 - Lnxdx# se nos fijamos se ve que

dxd

1 - Lnx^ h =x1

dx

I =x

1 - Lnxdx# = 1 - Lnx^ h21# d 1 - Lnx^ h =

32

1 - Lnx^ h23 + cte

-----------------------

Ejercicio 110

I = Ln 4 + x^ hdxI = Ln 4 + x^ hdx , haciendo cambio de 4 + x = e

t&

x = et - 4 &

2 x

dx= e

t.dt & dx = 2e

2t - 8et^ hdt

Ln 4 + x^ h = t*I = 2 te

2t.dt - 8 te

t.dt## la forma mas facil de integrar es por partes

tet.dt#

dv = et& v = e

tu = t & du = dt% ( te

t.dt# = te

t - etdt# = te

t - et

te2t.dt#

dv = e2t& v =

21e2t

u = t & du = dt) ( te2t.dt# =

21te

2t -21

e2tdt# =

21te

2t -41e2t

I = te2t -

21e2t - 8te

t + 8et + cte e

t^ h2 = e2t

I = 4 + x^ h2Ln 4 + x^ h -21

4 + x^ h2 - 8 4 + x^ hLn 4 + x^ h + 8 4 + x^ h + cte

-----------------------

Integrales de la Forma

cx + d^ h ax2 + bx + c

la x + lb# dx

1º Paso dividir:

bla x + lb

a

cx + dg(

cx + d

la x + lb= a +

cx + d

b

2º Paso

cx + d^ h ax2 + bx + c

la x + lb# dx =ax

2 + bx + c

a.dx#

A6 7 84444444444 4444444444

+cx + d^ h ax

2 + bx + c

b.dx#

B6 7 8444444444444444 444444444444444

3º Paso

Para A = a.ax

2 + bx + c

dx# , utilizar4ab2

para transformarlo de la seguiente forma:

x - i^ h2 - c2

dx# ,x - i^ h2 + c2

dx# ,c2 - x - i^ h2dx#

y utilizar las formulas:

f x^ h6 @2 + a2

! lf x^ h .dx# =

Ln f x^ h ! f x^ h6 @2 + a2 + cte

Ln !f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 + cte*

f x^ h6 @2 - a2

! lf x^ h .dx# = Ln f x^ h ! f x^ h6 @2 - a

2 + cte

a2 - f x^ h6 @2! lf x^ h .dx

# =

"arcosa

f x^ h+ cte

!arcsena

f x^ h+ cte

Z

[

\

]]]]]]]]]]

si no se recuerda de las formulas utilizad cambio de variables trigonometricas

4º Paso

Para B = b.cx + d^ h ax

2 + bx + c

dx# , hacemos cambio de variable cx + d =t1

La B se transformara en una integral parecida a la A;es deecir de la forma seguiente:

B = mat

2 + bt + d

dt# , hacemos lo del paso 3º y quedara resuelto.

-----------------------


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Ejercicio 111

I =x - 1^ h x

2 + 1

x + 2^ hdx#

I =x - 1^ h x

2 + 1

x + 2^ hdx# , -

3

----x - 1

x + 21

x - 1g(

x - 1^ hx + 2^ h= 1 +

x - 1^ h3

I = 1 +x - 1^ h3: D#

x2 + 1

dx=

x2 + 1

dx# + 3x - 1^ h x

2 + 1

dx#

x2 + 1

dx# = Ln x + x2 + 1 + cte ver ejercicio 102

x - 1^ h x2 + 1

dx# haciendo cambio variable x - 1 =t1&

t =x - 1

1

x =t1+ 1

dx =t2

-1dt

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]

t1

t2

1+

t2+ 2

t2

-1dt

# =

t1

t2

1+

t2

2t+

t2

2t2

t2

-1dt

# =

t2

12t

2 + 2t + 1

t2

-1dt

# =-2t

2 + 2t + 1

dt#

=-

2t2 + 2t +

21-

21+ 1

dt# =-

2 t +2

1c m2 +2

1c m2dt# =-

2

1

2 t +2

1c m2 +2

1c m22 dt

#

=2

2

2 t +2

2c m2 +2

2c m2- 2 dt

# =2

2Ln 2 t +

2

2c m- 2 t +2

2c m2 +2

2c m2 + cte

I = Ln x + x2 + 1 +

2

3 2Ln

x - 1

2+

2

2c m-x - 1

2+

2

2c m2 +2

2c m2 + cte

-----------------------

Ejercicio 112

I =1 - x

arcsen x# dx

I =1 - x

arcsen x# dx ,

dv =1 - x

dx( v =- 2 1 - x

u = arcsen x ( du =1 - x

1

2 x

1dx

Z

[

\

]]]]]]]]]]

I =- 2 1 - x .arcsen x - -2 1 - x#1 - x

1

2 x

1dx =- 2 1 - x .arcsen x +

x

dx#

I =- 2 1 - x .arcsen x + 2 x + cte

-----------------------

Ejercicio 113

I =ex + 1 + 1

ex

# dx

I =ex + 1 + 1

ex

# dx , cambio variable ex + 1 = t(

ex = t - 1 & e

x.dx = dt & dx =

t - 1

dt

ex + 1 = t

ex = t - 1

Z

[

\

]]]]]]]]]]

I =t + 1

t - 1#t - 1

dt=

t + 1

dt# , cambio variable t = n &2 t

dt= dn & dt = 2n.dn

I =n + 1

2n.dn# = 2

n + 1

n.dn# ,

n + 1

n= 1 -

n + 1

1

I = 2 dn# - 2n + 1

dn# = 2n - 2Ln n + 1 = 2 t - 2Ln t + 1 + cte

I = 2 ex + 1 - 2Ln e

x + 1 + 1 + cte

-----------------------


Ejercicio 114

I = x 23# Ln

x1

dx

I = x 23# Ln

x1

dx integrando por partesdv = x 2

3& v =

52x 25

u = Lnx1& du = x.dx*

I =52x 25Ln

x1-52

x 27# dx =

52x 25Ln

x1-52

92x 29+ cte

I =52x 25Ln

x1-

454

x 29+ cte

-----------------------

Ejercicio 115

I = cosx.Ln senx^ h .dx#

I = cosx.Ln senx^ h .dx# integrando por partes

u = Ln senx^ h & du =senxcosx

dx = cotgx.dx

dv = cosx.dx & v = senx

I = senx.Ln senx^ h - senx.# cotgx.dx = senx.Ln senx^ h - cosx# .dx

I = Ln senx^ hsenx - senx + cte

-----------------------

Ejercicio 116

I = senx. 1 - cosx# dx

I = senx. 1 - cosx# dx =- 1 - cosx d cosx^ h# = 1 - cosx d 1 - cosx^ h#

I = u .du siendo u = 1 - cosx#

I =32u 23=

32

1 - cosx^ h23 + cte

2º metodo

I = senx. 1 - cosx# dx = senx. 2sen2x# dx aplicando la formula sen

2x =

21 - cos2x

I = 2 senx.sen2x# dx = 2 2sen

2xcos

2x.sen

2x# dx aplicando la formula senx = 2sen

2xcos

2x

I = 2 2 sen2

2xcos

2x# dx = 4 2 sen

2

2x# d sen

2x_ i porque d sen

2x_ i =

21cos

2x

I =3

4 2sen

3

2x+ cte ,

3

4 2sen

3

2x=

3

4 2sen

2x_ i3 =

3

4 2

21 - cosx` j3 =

3

4 2

2 2

1 - cosx^ h23=

32

1 - cosx^ h23-----------------------

Ejercicio 117

I = x3# e

-4x2.dx

I = x3# e

-4x2.dx si nos fijamos bien, se observa que derivada e

-4x2^ h =- 8x.e-4x2

.dx

asi que mejor hacer aparecer en la integral x.e-4x2

.dx

I = x3# e

-4x2.dx = x

2# .x.e-4x2

.dx , ahora pasemos a integrar por partes

dv = x.e-4x2

dx( v =8

-1e-4x2

u = x2( du = 2x.dx*

I = x2

8

-1e-4x2` j -

8

-1e-4x2# 2x.dx =

8

-1x2e-4x2` j +

41

xe-4x2# .dx

I =8

-1x2e-4x2 +

41

-81` je-4x2 = e

-4x2

8

-1x2 -

321` j + cte

-----------------------


Administrador

Area Highlight

Administrador

Area Highlight

Ejercicio 118

I = cos 3x# .dx

I = cos 3x# .dx cambio variable u = 3x &

du =2

3

x

dx& dx =

32.u.du

x =3

uZ

[

\

]]]]]]]]]]]]

I = cosu# .3

2.u.du=

32

u.# cosu.du , ahora pasemos a integrar por partes

dw = cosudu( w = senu

v = u( dv = du$I = usenu - senudu# = usenu + cosu = 3x sen 3x + cos 3x + cte

-----------------------

Ejercicio 119

I =1 + x

2dx#

I =1 + x

2dx# , cambio variable u = 1 + x &

du =2 x

dx& 2 x du = dx & 2 u - 1^ hdu = dx

x = u - 1*I = 2

u

2 u - 1^ hdu# = 4

u

u - 1^ hdu= 4 du - 4

udu### = 4u - 4Lnu + cte

I = 4 1 + x^ h - Ln 1 + x^ h + cte

-----------------------

Ejercicio 120

I =1 + e

xdx#

I =1 + e

xdx# cambio variable u = 1 + e

x& du = e

xdx &

u - 1

du= dx

I =u

u - 1

du

# =u - 1

u# du =u - 1

u - 1 + 1# du = 1# du +u - 1

du# = 1# du +u - 1

d u - 1^ h#

I = u + Ln u - 1^ h + cte = 1 + ex + Lne

x + cte = 1 + ex + x + cte = e

x + x + ct le

-----------------------

f x,y^ ha

b

# dx$ x d a,b6 @ , f x,y^ ha

b

# dy$ y d a,b6 @Ejercicio 121

y2 = 4x(

x =4

y2

y = 4x*1 calcula f y^ h

0

4

# dy =4

y2

dy =41

0

4

# y2

0

4

# dy =

=41

3

y3: C

0

4

=41

343a k-

303a k: C =

1264

u2 =

316

u2ver dibujo

316

u2$ es el area comprendida entre la funcion f x^ h y el eje y en el intervalo 0,46 @.

2 calcula f x^ h0

4

# dx = 4x dy = 2

0

4

# x

0

4

# dy =

= 23

2x 23; E

0

4

=34

x 236 @04 = 3

44 23^ h - 0 2

3^ h7 A =332

u2ver dibujo

332

u2$ es el area comprendida entre la funcion f x^ h y el eje x en el intervalo 0,46 @.

-----------------------


Administrador

Area Highlight

Ejercicio 122

I =x - 1

dx

2

3

#

I =x - 1

dx

2

3

# aqui la funcion f x^ h =x - 1

1es continua en el intervalo 2,36 @

I = 2 x - 16 @2

3= 2 3 - 1^ h - 2 2 - 1^ h6 @ = 2 2 - 26 @ = 2 2 - 16 @ u2

las integrales definidas AA Area AA unidad al cuadrado

-----------------------

Ejercicio 123

I =x - 1

dx

1

3

#

I =x - 1

dx

1

3

# aqui la funcion f x^ h =x - 1

1no es continua en 1,36 @ ya que no esta definida en x = 1

lo que nos indica que I es una integral impropia, luego

I =x - 1

dx

1

3

# = lima"1+ x - 1

dx

a

3

# = lima"1+

2 x - 16 @a

3= lim

a"1+2 3 - 1^ h - 2 a - 1^ h6 @ = lim

a"1+2 2 - lim

a"1+2 a - 1^ h

=06 7 844444 44444

I = 2 2 u2

-----------------------

Ejercicio 124

I = Ln 1 - x^ hdx#

I = Ln 1 - x^ hdx# , cambio variable et = 1 - x (

dx = -2et + 2e

2t^ hdtx = 1 - e

t& x = 1 - e

t^ h2 = 1 - 2et + e

2t

t = Ln 1 - x^ hZ

[

\

]]]]]]]]]

I = t# . -2et + 2e2t^ hdt =- 2 t.et# dt

A6 7 84444 4444

+ 2 t.e2t# dt

B6 7 844444 44444

resolviendo por partes las integrales A y B

A = t.et

dv = et& v = et

u = t & du = dt$ ( A = t.et- et# dt = t.et

- et

B = t.e2t

dv = e2t & v =21e2t

u = t & du = dt) ( B =21t.e2t -

21

e2t# dt =21t.e2t -

41e2t

luego I =- 2t.et + 2et + t.e2t -21e2t = 2et -t + 1^ h + e2t t -

21` j+ cte

I = 2 1 - x^ h 1 - Ln 1 - x^ h6 @ + 1 - x^ h2 Ln 1 - x^ h -218 B + cte

-----------------------

Ejercicio 125

I =x2

5 - x2

dx#

I =x2

5 - x2

dx# =

5 .x2. 1 -

5

xa k2dx# , cambio variable sent =

5

x&

cost =5

5 - x2

cost.dt =5

dxZ

[

\

]]]]]]]]]]]]

I =5.sen

2t. 5 .cost

5 .cost.dt# =

51

sen2t

dt# =-51cotgt =-

51

x

5 - x2

=-5x

5 - x2

+ cte

-----------------------

Ejercicio 126

I =x56+ x

x + 5 x23

# dx

I =x56+ x

x + 5 x23

# dx , m.c.m 2,3,6^ h = 6 luego cambio variable x = t6&

t = x6

dx = 6t5.dt(


I =t5 + t6t3 + 5t4# 6t5 .dt =

t5 1 + t^ ht3 + 5t4# 6t5.dt = 61 + t^ ht3 + 5t4# dt

4

-----

-4t - 4-4t-----

4t2 + 4t4t2

-----

-4t3 - 4t2-4t3-----

5t3 + 5t4t3 + 5t4

5t3 - 4t2 + 4t - 41 + tg

I = 6 5t3 - 4t

2 + 4t - 4^ hdt + 61 + t

4dt## =430

t4 -

324

t3 +

224

t2 - 24t + 24Ln 1 + t + cte

I =215

x46 - 8 x

36 + 12 x26 - 24 x

6 + 24Ln 1 + x6 + cte

I =215

x23 - 8 x + 12 x

3 - 24 x6 + 24Ln 1 + x

6 + cte

-----------------------

Ejercicio 127

I = 4x - x2# dx

I = 4x - x2# dx = -x

2 + 4x# dx = -x2 + 4x - 4 + 4# dx = - x

2 - 4x + 4^ h + 4# dx =

I = - x - 2^ h2 + 22# dx = 2

2 - x - 2^ h2 dx = 2 1 -2

x - 2` j2## dx

cambio variable sent =2

x - 2(

cost =2

4x - x2

cost.dt =21dx & dx = 2.cost.dt

Z

[

\

]]]]]]]]]]

I = 2cost.2cost.dt# = 4 cos2t.dt = 4

21 + cos2t## dt = 2 1 + cos2t^ hdt =# 2t + sen2t + cte

I = 2t + 2sent.cost + cte = 2arcsen2

x - 2+ 2

2x - 2

2

4x - x2

+ cte

I = 2arcsen2

x - 2+

2

x - 2^ h 4x - x2

+ cte

-----------------------

Ejercicio 128

I =cx + d^ h ax + b

dx# siendo a.c ! 0

I =cx + d^ h ax + b

dx# , cambio variable t = ax + b &

x =a

t2 - b

t2 = ax + b & 2t.dt = adx*

I =

a ca

t2 - b

+ da kt2t.dt

# = 2c.t

2 - c.b + a.d^ hdt# =c2

t2 - b +

ca.d

dt# =c2

t2 + -b +

ca.d` jdt# =

c2

t2 +

ca.d - bc` jdt#

si c 2 0 y ad - bc 2 0 o bien c 1 0 y ad - bc 1 0

I =c2

t2 +

ca.d - bc` ja k2dt# =

c2

a.d - bc

c_ i arctagta.d - bc

c_ i + cte =c2

a.d - bc

c_ i arctag ax + ba.d - bc

c_ i + cte

si c 1 0 y ad - bc 2 0 o bien c 2 0 y ad - bc 1 0

I =c2

t2 - -

ca.d - bc` ja k2dt# =-

c2

-c

a.d - bc` ja k2 - t2

dt# =-c

2

2 -c

a.d - bc` j1

Ln

-c

a.d - bc` j - t

-c

a.d - bc` j + t


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I =-

c -c

a.d - bc` j1

Ln

-c

a.d - bc` j - ax + b

-c

a.d - bc` j + ax + b+ cte

-----------------------

Ejercicio 129

I =1 - x + 1 + x

dx#

I =1 - x + 1 + x

dx# =1 - x + 1 + x

1#1 - x - 1 + x

1 - x - 1 + xdx =

-2x

1 - x - 1 + x# dx

I =-2x

1 - x# dx +

2x

1 + x# dx =

2

-1

x 1 - x

1 - x# dx +21

x 1 + x

1 + x# dx

I =2

-1

x 1 - x

1# dx +21

x 1 - x

x# dx +21

x 1 + x

1# dx +21

x 1 + x

x# dx

I =2

-1

x 1 - x

dx#

A6 7 8444444 444444

+21

1 - x

dx#

B6 7 844444 44444

+21

x 1 + x

dx#

C6 7 8444444 444444

+21

1 + x

dx#

D6 7 844444 44444

ver ejercicio anterior

A =x 1 - x

dx# c = 1 , d = 0 , a =- 1 , b = 1 AA c 2 0 y ad - bc =- 1

A =- Ln1 - 1 - x

1 + 1 - x+ cte1

B =1 - x

dx# =-1 - x

d 1 - x^ h# =- 2 1 - x + cte2

C =x 1 + x

dx# c = 1 , d = 0 , a = 1 , b = 1 AA c 2 0 y ad - bc =- 1

C =- Ln1 - 1 + x

1 + 1 + x+ cte3

D =1 + x

dx# =1 + x

d x + 1^ h# = 2 1 + x + cte4

por ultimo I =21Ln

1 - 1 - x

1 + 1 - x- 1 - x -

21Ln

1 - 1 + x

1 + 1 + x+ 1 + x + cte

I =21Ln

1 - 1 - x^ h 1 + 1 + x^ h1 + 1 - x^ h 1 - 1 + x^ h

+ 1 + x - 1 - x + cte

-----------------------

Ejercicio 130

I =2 - cos

2t

dt

0

3r

# , f x^ h =2 - cos

2t

1existe Ssi 2 - cos

2t ! 0 & cost !! 2 verdadero porque - 1 # cos t # 1

I =2 - cos

2t

dt

0

3r

# , segun la regla de Bioche vemos que el cambio de variable es tagt = n

tagt = n &t "

3r& tag

3r

= 3 = n

t " 0 & tag0 = 0 = n

1 + tag2t^ hdt = dn & dt =

1 + n2

dnZ

[

\

]]]]]]]]]]]]]]

luego

I =2 - cos

2t

dt=

0

3r

#2 -

1 + n2

1

1 + n2

dn

0

3

# =

1 +n2

1 + 2n2

1 +n2

dn

0

3

# =1 + 2n^ h2

dn

0

3

#

I =2

1

1 + 2n^ h22 dn

0

3

# =2

1arctag 2n^ h6 @03 =

2

1arctag 6

En las integrales definidas una vez hecho cambio de variable y tambien lo de los lim ites inf erior y sup erior

no hace falta volver a remplazar por la variable original para hallar el resultado.


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Ejercicio 131

I =f x^ h f x^ h6 @2 + a2

lf x^ h# dx

I =f x^ h f x^ h6 @2 + a2

lf x^ h# dx =

a.f x^ h af x^ h: C

2

+ 1

lf x^ h# dx

af x^ h: C

2

+ 1c mtiene un parecido a 1 + tag2 t asi que

haciendo cambio de variable tagt = af x^ h

&

cost =f x^ h6 @2 + a2

acos2 t1

dt = a

lf x^ hdx

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]

I =a tagt cost

a

acos2 tdt

# =acos2 tsent

cos2 tdt

# =a1

sentdt# =

2a1Ln

1 + cost1 - cost + cte ver ejercicio 18

I = 2a1Ln

1 +f x^ h6 @2 + a2

a

1 -f x^ h6 @2 + a2

a

=2a1Ln

f x^ h6 @2 + a2 + af x^ h6 @2 + a2 - a

s X y z por el conjugado del numenador

I = 2a1Ln

f x^ h6 @2 + a2 + af x^ h6 @2 + a2 - a

f x^ h6 @2 + a2 + af x^ h6 @2 + a2 + a

=2a1Ln

f x^ h6 @2 + a2 + a_ i2f x^ h6 @2

I = a1Ln

f x^ h6 @2 + a2 + af x^ h

=-a1Ln

f x^ hf x^ h6 @2 + a2 + a+ cte

ahora bien si la s X y z por el conjugado del denomenador

I = 2a1Ln

f x^ h6 @2 + a2 + af x^ h6 @2 + a2 - a

f x^ h6 @2 + a2 - af x^ h6 @2 + a2 - a

=2a1Ln

f x^ h6 @2f x^ h6 @2 + a2 - a_ i2

I = a1Ln

f x^ hf x^ h6 @2 + a2 - a=a1Ln

f x^ hf x^ h6 @2 + a2 - a+ cte

Asi podemos concluir que:

f x^ h f x^ h6 @2 + a2lf x^ h

# dx =

-a1Ln

f x^ hf x^ h6 @2 + a2 + a+ cte

a1Ln

f x^ hf x^ h6 @2 + a2 - a+ cte

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]

-----------------------

Ejercicio 132

I =f x^ h f x^ h6 @2 - a2

lf x^ h# dx

I =f x^ h f x^ h6 @2 - a2

lf x^ h# dx =

a.f x^ h af x^ h: C

2

- 1

lf x^ h# dx

af x^ h: C

2

- 1c mtiene un parecido acos2 t1 - 1 = tag2 t asi que

haciendo cambio de variable cost1 =

af x^ h

& cost =f x^ ha

tagt = af x^ h6 @2 - a2

f x^ h = costa

-sent.dt =f x^ h6 @2-a

lf x^ hdx & lf x^ hdx =cos2 t

a.sent.dtZ

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

I =

costa

a.tagt

cos2 ta.sent.dt

# =a1# dt = a

1t =

a1arctag a

f x^ h6 @2 - a2+ cte

o bien

a1arccos

f x^ ha + cteZ

[

\

]]]]]]]]]]]]]]

-----------------------


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Ejercicio 133

I =f x^ h a2 - f x^ h6 @2

lf x^ h# dx

I =f x^ h a2 - f x^ h6 @2

lf x^ h# dx =

a.f x^ h 1 - af x^ h: C

2

lf x^ h# dx

1 - af x^ h: C

2c mtiene un parecido a 1 - sen2 t asi que

haciendo cambio de variable sent = af x^ h

&

cost = aa2 - f x^ h6 @2

f x^ h = a.sent

cost.dt = a

lf x^ hdx

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]

I = a.sent.a.costa.cost.dt

# =a1

sentdt# =

a121Ln

1 + cost1 - cost =

2.a1

Ln

1 + aa2 - f x^ h6 @2

1 - aa2 - f x^ h6 @2

I = 2.a1

Lna + a2 - f x^ h6 @2a - a2 - f x^ h6 @2

s X y z por el conjugado del numenador

I = 2.a1

Lna + a2 - f x^ h6 @2a - a2 - f x^ h6 @2

a + a2 - f x^ h6 @2a + a2 - f x^ h6 @2

=2.a1

Lna + a2 - f x^ h6 @2_ i2f x^ h6 @2

=a1Ln

a + a2 - f x^ h6 @2f x^ h

+ cte

I =- a1Ln

f x^ ha + a2 - f x^ h6 @2+ cte

ahora bien si la s X y z por el conjugado del denomenador

I = 2.a1

Lna + a2 - f x^ h6 @2a - a2 - f x^ h6 @2

a - a2 - f x^ h6 @2a - a2 - f x^ h6 @2

=2.a1

Lnf x^ h6 @2

a - a2 - f x^ h6 @2_ i2=

I = a1Ln

f x^ ha - a2 - f x^ h6 @2+ cte

Asi podemos concluir que:

f x^ h a2 - f x^ h6 @2lf x^ h

# dx =

-a1Ln

f x^ ha + a2 - f x^ h6 @2+ cte

a1Ln

f x^ ha - a2 - f x^ h6 @2+ cte

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]

-----------------------

Ejercicio 134

I =x2 x4 + 4

x.dx#

I =x2 x4 + 4

x.dx# =21

x2 x2^ h2 + 42x.dx# =

41Ln

x2x4 + 4 - 2

+ cte

4-1

Lnx2

x4 + 4 + 2+ cte

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]

ver ejercicio nº 131

2º metodo

I =x2 x4 + 4

x.dx# =x x4 + 4

dx# , cambio variable x = t1& dx =

t2-1

dt

I =

t1

t41 + 4

t2-1

dt# =

t1

t44t4 + 1

t2-1

dt# =

t31

4t4 + 1

t2-1

dt# =-

2t2^ h2 + 1t dt# =-

41

2t2^ h2 + 14t dt#

aplicando la formula:f x^ h6 @2 + a2! lf x^ h

# dx = Ln !f x^ h + f x^ h6 @2 + a2 + cte

I =- 41Ln 2t2 + 4t4 + 1 + cte =- 4

1Ln 2 x

1` j2 + 4 x1` j4 + 1 + cte =- 4

1Ln

x22 +

x44 + 1 + cte

I =- 41Ln

x22 +

x2x4 + 4

+ cte =- 41Ln

x22 + x4 + 4

+ cte


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Ejercicio 135

I =x 1 + x^ h1

1

+3

# dx

I =x 1 + x^ hdx

1

+3

# la funcion f x^ h =x 1 + x^ h1

existe Ssix !- 1x 2 0% y como nuestro intervalo de trabajo es 1, + 36 6

luego f x^ h existe y es continua en 1, + 36 6

haciendo cambio de variable x = t2 &x "+3 & t "+3x " 1 & t " 1

t = x x d 1, + 36 6dx = 2t.dtZ

[

\

]]]]]]]]]]

I = lima"+3 t. 1 + t2^ h2t.dt

1

a

# = 2 lima"+3 1 + t2^ hdt

1

a

# = 2 lima"+3

arctag t^ h6 @1a = 2 lima"+3

arctag a^ h - arctag 1^ h6 @

I = 2 lima"+3

arctag a^ h - 4r8 B = 2 2

r -4r8 B =

2r

u2 sabiendo quelima"-3

arctag a^ h6 @ =-2r

lima"+3

arctag a^ h6 @ =2r*

-----------------------

Ejercicio 136

I = x.e-x2dx

-1

+3

#

I = x.e-x2dx

-1

+3

# , f x^ h = x.e-x2es continua en -1, + 36 @

I = x.e-x2dx

-1

+3

# = lima"+3

x.e-x2dx

-1

a

# =2-1

lima"+3

-2.x.e-x2dx

-1

a

# =2-1

lima"+3

e-x26 @-1a

I = 2-1

lima"+3

e-a2- e- -1^ h26 @ =

2-1

lima"+3

e-a26 @

=06 7 844444 44444+21lima"+3

e-16 @ = 2e1u2

-----------------------

Ejercicio 137

I = x.Lnx0

1

# dx

I = x.Lnx0

1

# dx , f x^ h = x.Lnx la funcion existe Ssi x 2 0 y como el intervalo que estamos es 0,16 @f x^ h no esta definida en 0 A es una integral impropia luego:

resolvamoslo por partes

I = lima"0+

x.Lnxa

1

# dx recuerda la palabra ILATEdv = x.dx & v = 2

1x2

u = Lnx & du = x1dx*

I = lima"0+ 2

1x2Lnx8 B

a

1-21lima"0+

x.a

1

# dx = lima"0+ 2

1x2Lnx8 B

a

1-41lima"0+

x26 @a1

I = lima"0+ 2

112Ln1

=06 7 84444 4444

-21a2Lna

> H-41lima"0+

12 - a2=0?: D

=-21lima"0+

a2Lna6 @ -41

lima"0+

a2Lna6 @ = 0. -3^ h es una forma indeterminada

lima"0+

a2Lna6 @ = lima"0+

a21Lna=+3

-3aplicando hopital(mas bien Bernoulli)

lima"0+

a2Lna6 @ = lima"0+

a3-2a1J

L

KKKKKKK

N

P

OOOOOOO= lim

a"0+ 2-1

a2` j = 0 luego I = 4-1

el signo - nos indica que el area esta debajo de OX

Por ultimo I = 41u2 recordad que que el area siempre es positiva

-----------------------


Administrador

Area Highlight

Administrador

Area Highlight

Administrador

Area Highlight

Ejercicio 138

I =xLnx

dx1

e

#

La funcion f x^ h = xLnx

existe si y sólo si Lnx $ 0 & x $ 1x ! 0$ luego D f = 1, + 36 6

Y como nuestro intervalo de trabajo es 1, e6 @ 1 1, + 36 6& f x^ hesta definido en 1, e6 @

I =xLnx

dx1

e

# , cambio de variable Lnx = t &

x " e & Lne = 1 & t " 1x " 1 & ln1 = 0 & t " 0

x = etxdx = dt & dx = et .dt

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]

I =ett

0

1

# et .dt = t0

1

# .dt = 32t 238 B

0

1=

32

u2

-----------------------

Ejercicio 139

I =1 + x2

arctag x^ hdx

0

1

#

la funcion f x^ h =1 + x2

arctag x^ h=

g x^ h

h x^ h, h x^ h y g x^ h estan definidas y continuas en R

por lo tanto f x^ h esta definida y continua en R & f x^ h es definida y continua en 0,16 @I =

1 + x2

arctag x^ hdx

0

1

# = arctag x^ h0

1

# .d arctag x^ h6 @ =21

arctag2 x^ h8 B0

1=

21

4r_ i2 -

21

08 B =32r

2

u2

-----------------------

Ejercicio 140

I =x

Ln x^ h0

1

# dx

la funcion f x^ h esta definida en R*+ = 0, + 3@ 6

y como nuestro intervalo es 0,16 @& I es una integral impropia luego

I =x

Ln x^ h0

1

# dx = lima"0+

x 2-1

a

1

# .Lnx dx

Integrando por partes:

dv = x 2-1

dx & v = 2 x 21

u = Ln x^ h & du =x1

dx*( I = lim

a"0+2 x .Ln x^ h6 @a1 - lim

a"0+2 x

x

x1

B

a

1

# dx

I = lima"0+

2 x .Ln x^ h6 @a1 - lima"0+

4 x6 @a1 = lima"0+

-2 a .Ln a^ h6 @ - 4 =- 2 lima"0+

a .Ln a^ h6 @ - 4** lim

a"0+a .Ln a^ h6 @ = 0. -3^ h es una forma indeterminada = F.I

lima"0+

a .Ln a^ h6 @ = lima"0+

a

1Ln a^ h

=+3-3

F.I

aplicando la regla de L´hopital queda de la seguiente manera:

lima"0+

2.a 23

-1a1

= lima"0+ a

-2.a 23

= lima"0+

-2a 21^ h = 0

Por último I =- 4 , el signo - indica que esta debajo del eje OX, el area es I = 4 u2 (color Azul)

-----------------------


-----------------------

Ejercicio 141

I =x

Ln x^ h1

+3

# dx

I =x

Ln x^ h1

+3

# dx = lima"+3

x 2-1

1

a

# .Lnx dx viendo el ejercicio anterior queda

I = lima"+3

2 x .Ln x^ h - 4 x6 @1a = lima"+3

2 x Ln x^ h - 2^ h6 @1a = lima"+3

2 a Ln a^ h - 2^ h - 2 -1^ h6 @I = +3^ h . +3^ h =+3 & I es divergente (color Rojo)

-----------------------

Ejercicio 142

I =1 - x2^ h 1 - x2

x2

21

1

# dx

f x^ h =1 - x2^ h 1 - x2

x2

existe Ssi 1 - x22 0 + x2

1 1 +- 1 1 x 1 1 ,D f = -1,1@ 6como la funcion f no esta definida en x = 1 & I es una Integral impropia.

I =1 - x2^ h 1 - x2

x2

21

1

# dx cambio variable x = sent &x " 2

1& sent = 2

1& t = 6

r

x " 1 & sent = 1 & t = 2r

cost = 1 - x2

dx = cost.dtZ

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]

I = lima" 2r- cost 1 - sen2 t^ hsen2

t.cost.dt

6r

a

# = lima" 2r- cos2 t

sen2tdt

6r

a

# = lima" 2r-

tag2t

6r

a

# dt = lima" 2r-

1 + tag2 t^ h - 16 @6r

a

# dt

I = lima" 2r-

1 + tag2 t^ h6 @6r

a

# dt - lima" 2r-

1

6r

a

# dt = lima" 2r-

tagt6 @6r

a - lima" 2r-

t6 @6r

a

I = lima" 2r-

tag a^ h - tag 6r7 A- lim

a" 2r-

a -6r7 A =+3 -

33

-2r +

6r =+3

I =+3 es divergente

-----------------------

Ejercicio 143

I =1 + x2 + 1 - x2

dx

0

1

#

I =1 + x2 + 1 - x2

dx

0

1

# =1 + x2 + 1 - x2

1

0

1

#1 + x2 - 1 - x2

1 + x2 - 1 - x2

dx =2.x2

1 + x2 - 1 - x2

dx0

1

#

f x^ h =2.x2

1 + x2 - 1 - x2

la funcion existe Ssi x ! 0

y luego D f = R - 0" , y nuestro intervalo de trabajo es 0,16 @& I es impropia

I =21

lima"0+ x2

1 + x2

dxa

1

#

A6 7 844444444 44444444

-21

lima"0+ x2

1 - x2

dxa

1

#

B6 7 844444444 44444444

A =x2

1 + x2

dx Integrando por partes#dv =

x21

dx & v =x-1

u = 1 + x2& du =

2 1 + x2

2x.dx =1 + x2

x.dxZ

[

\

]]]]]]]]]]

A =x

- 1 + x2

+1 + x2

dx# =x

- 1 + x2

+ Ln x + 1 + x2^ h

B =x2

1 + x2

dx Integrando por partes#dv =

x21

dx & v =x-1

u = 1 - x2& du =

2 1 - x2

-2x.dx =1 - x2

-x.dxZ

[

\

]]]]]]]]]]


B =x

- 1 - x2

-1 - x2

dx# =x

- 1 - x2

- arcsenx

Por ultimo I =21

lima"0+ x

- 1 + x2

+ Ln x + 1 + x2^ h +x

1 - x2

+ arcsenx; Ea

1

I =21

lima"0+

- 2 + Ln 1 + 2^ h +2r +

a1 + a2

- Ln a + 1 + a2^ h -a

1 - a2

- arcsen a^ h; E

I =2

- 2+

4r +

2Ln 1 + 2^ h

-21

lima"0+ a

1 - a2 - 1 + a2

+ Ln a + 1 + a2^ h=0

6 7 84444444444 4444444444

+ arcsen a^ h=0

6 7 844444 44444= Gcalculemos el lim

a"0+ a1 - a2 - 1 + a2; E =

00

F.I multiplicando por el conjugado

lima"0+ a

1 - a2 - 1 + a2

1 - a2 + 1 + a2

1 - a2 + 1 + a2= G = lima"0+a 1 - a2 + 1 + a2^ h

1 - a2 - 1 - a2

= lima"0+ a 1 - a2 + 1 + a2^ h

-2a2 = 0

asi que queda I =2

- 2+

4r +

2Ln 1 + 2^ h

u2

-----------------------

Ejercicio 144

I = arctag

21

1

# 1 - x2^ h .dx

I = arctag

21

1

# 1 - x2^ h .dx , f x^ h = arctag 1 - x2^ h existe Ssi 1 - x2$ 0,- 1 # x # 1

y como nuestro intervalo 21,18 B 1 -1,16 @ asi que I no es impropia

Integrando por partesdv = dx & v = x

u = arctag 1 - x2^ h & du =2 - x2^ h 1 - x2

-x.dx

*

I = x.arctag 1 - x2^ h6 @211-

2 - x2^ h 1 - x2

-x2 .dx

21

1

#

I =2-1

arctag 23c m+

2 - x2^ h 1 - x2

x2 .dx

21

1

# $ a esta ultima integral llamemosle A

A =2 - x2^ h 1 - x2

x2 .dx

21

1

# cambio de variable x = cost & x " 1 & t " 0 radianes

x " 21& t " 3

rradianes

dx =- sent.dt*

A =2 - x2^ h 1 - x2

x2 .dx

21

1

# =2 - cos2 t^ hsentcos2 t. -sent.dt^ h

3r

0

# =-2 - cos2 t^ hcos2 t.dt

3r

0

# =2 - cos2 t^ hcos2 t.dt

0

3r

# , f x^ h =- f x^ hb

a

#a

b

#

A = -1 +2 - cos2 t^ h2: D.dt

0

3r

# =- dt0

3r

# + 22 - cos2 t^ hdt: D

0

3r

# = -t6 @03r

+ 22 - cos2 t^ hdt

0

3r

#

A =- 3r + 2

2 - cos2 tdt

0

3r

#

asi que queda I =2-1

arctag 23c m- 3

r + 22 - cos2 t

dt

0

3r

# $ a esta ultima integral llamemosle B

B =2 - cos2 t

dt

0

3r

# cambio de variable u = tagt &t " 3r& u " 3

t " 0 & u " 0

du = 1 + tag2 t^ h .dt & dt =1 + u2duZ

[

\

]]]]]]]]]]

B =2 -

1 + u21

1 + u2du

0

3

# =

1 + u21 + 2u21 + u2du

0

3

# =1 + 2u2

du

0

3

# =1 + 2 u^ h

2du

0

3

# =2

1

1 + 2 u^ h2

2 du

0

3

# =


B =2

1arctag 2 u^ h6 @03 =

22arctag 6

Por ultimo I =2-1

arctag 23c m- 3

r + 2 arctag 6

-----------------------

Ejercicio 145

I =x2 - 4x^ h2x - 2

dx1

3

#

I =x2 - 4x^ h2x - 2

dx1

3

# f x^ h =x2 - 4x^ h2x - 2

existe Ssi x ! 4 y x ! 0 pero nuestro intervalo es 1,36 @

asi que no nos afectan en nada luego x - 2 =-x + 2 si x # 2x - 2 si x $ 2$

I =x2 - 4x^ h2-x + 2

dx1

2

# +x2 - 4x^ h2x - 2

dx2

3

# =2-1

x2 - 4x^ h22x - 4dx

1

2

# +21

x2 - 4x^ h22x - 4dx

2

3

#

no se pueden juntar al estar en diferentes intervalos

I =2-1

x2 - 4x

-1: C1

2

+21

x2 - 4x

-1: D2

3

=8-1 +

618 B+

61 -

818 B =

121

u2

-----------------------

Ejercicio 146

I = f x^ h0

3

# dx siendo f x^ h = a si x $ 1ax si x 1 1$ y a 2 0

al ser una funcion a trozos y nuestro intervalo es 0,36 @ = 0,16 @, 1,36 @Entonces la I quedara de la seguiente manera:

I = f x^ hdx0

1

# + f x^ hdx =1

3

# ax.dx0

1

# + a.dx =1

3

#Lnaax8 B

0

1+ a.x6 @13

I =Lnaa1

-Lnaa0: C+ 3a - a6 @ =

Lnaa - 18 B+ 2a` ju2

-----------------------

Ejercicio 147

*** Calcula I =2

x2 - 4

-2

2

# x.dx

I =2

x2 - 4

-2

2

# x.dx =21

x3 - 4x^ h-2

2

# dx =21

4x4

- 2x2: D-2

2

= 0

Se habia podido deducir que I = 0 , si hubieramos dado cuenta que la funcion f x^ h = 2x2 - 4

x es impar

f x^ h =2 f x^ h si f x^ h es par-a

a

#

0 si f x^ h es imparZ

[

\

]]]]]]]]]]

-a

a

#

*** Ahora bien si nos dicen de calcular el area que determine f x^ h = 2x2 - 4

x y el eje OX

1º paso es hallar los puntos de corte de las dos funciones. Igualandolos^ hf x^ h = 2

x2 - 4x y g x^ h = 0 es el eje OX recordad

eje OY$ x = 0

eje OX$ y = 0%

2x2 - 4

x = 0,x = 2x = 0x =- 2)

2º paso esbozar las graficas de las dos funciones ver grafica


3º paso area comprendida entre las dos funciones

f x^ h - g x^ h6 @.dxa

b

#

o bien

funcion de derecha - funcion de Izquierdaa

b

#

o bien

funcion de arriba - funcion de abajoa

b

#Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

asi que el area seria Area =2

x2 - 4x - 0a k

-2

0

# dx + 0 -2

x2 - 4xa k

0

2

# dx =21

x3 - 4x^ h-2

0

# dx -21

x3 - 4x^ h0

2

# dx

Area =21

41x4 -

24x28 B

-2

0-

21

41x4 -

24x28 B

0

2= 4 u2

En Conclución

al calcular la I nos da el resultado de restarle el area sobre el eje ox(entre - 2 y 2)el area bajo eje ox(entre - 2 y 0)

-----------------------

Ejercicio 148

Halla el area limitada entre entre la grafica de las funciones

y = 2 - x2 e y = x

1º es hallar puntos de corte entre las funciones:

y = x

y = 2 - x2

( + 2 - x2 = x +2 - x2 =- x si x 1 02 - x2 = x si x $ 0

'

x2 - x - 2 = 0 si x 1 0x2 + x - 2 = 0 si x $ 0' +

x - 2^ h x + 1^ h = 0 si x 1 0

x + 2^ h x - 1^ h = 0 si x $ 0(x = 2 o x =- 1 si x 1 0

x =- 2 o x = 1 si x $ 0' +

x =- 1 si x 1 0x = 1 si x $ 0$ & puntos de corte

-1,1^ h si x 1 0

1,1^ h si x $ 0(2º es hacer grafica de las funciones: ver grafica^ h

-110x

110

y = x

- 2

02

x

020

y = 2 - x2

como se ve en la grafica tenemos dos areas distintas

A1 esta limitada por y = 2 - x2e y =- x

A2 esta limitada por y = 2 - x2e y = x

3º es hallar Area entre las funciones:

A = A1 + A2 = 2 - x2^ h - -x^ h6 @-1

0

# dx + 2 - x2^ h - x^ h6 @0

1

# dx = 2 - x2 + x6 @-1

0

# dx + 2 - x2 - x6 @0

1

# dx

A = 2x -3x3

+2x2: C

-1

0

+ 2x -3x3

+2x2: C

0

1

= 0 - -2 +31 +

21

` j8 B 2 -31 -

218 B =

37

u2

-----------------------

Ejercicio 149

Calcula el area comprendida entre f x^ h =- x2 + 2 y g x^ h = x + 2

Puntos de corte entre f x^ h y g x^ hf x^ h = g x^ h +- x2 + 2 = x + 2 & -x2 + 2^ h2 = x + 2^ h2 + x4 - 4x2 + 4 = x + 2 + x2 x2 - 4^ h - x + 2 = 0

x2 x - 2^ h x + 2^ h - x - 2^ h = 0 + x - 2^ h x2 x + 2^ h - 16 @ = 0 +x2 x + 2^ h - 1 = 0

x - 2 = 0% +

x3 + 2x2 - 1 = 0x = 2

%

+

x + 1^ h x2 + x - 1^ h = 0

x = 2% +

x =2

-1 - 5

x =2

-1 + 5

x = 2x =- 1Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]]]

como tuvimos que elevar al cuadrado para resolver la ecuacion


toca verificar cuales son las verdaderas soluciones que resultan ser

x =2

-1 + 5

x =- 1*

Area = -x2 + 2^ h - x + 26 @-1

2-1+ 5

# .dx = -x2 + 2^ h6 @-1

2-1+ 5

# .dx - x + 26 @-1

2-1+ 5

# .dx =3

-x3

+ 2x: D-1

2-1+ 5

-x + 2

-2; E-1

2-1+ 5

Area =3

- 2-1+ 5` j

3

+ 2 2-1+ 5` j - 3

- -1^ h3

- 2 -1^ h= G -

2-1+ 5 + 2

-2 --1 + 2

-2= GArea =

3-0,6183

+3

2 + 3 5; E- -1,236 + 26 @ = 2,824 + 0,764 = 3,588 u2

-----------------------

Ejercicio 150

halla el area de la region del plano encerrado por la curva de y = Ln x - 1^ hentre el punto de corte con el eje X e el punto de abscisa x = e2

1º lugar es hallar los puntos de corte entre y = Ln(x - 1) e el eje X

Ln(x - 1) = 0 & x - 1 = e0 = 1, x = 2 y como e2 c 7,389 2 2

2º lugar hacer tabla de valores entre 2 y 8 para esbozar la grafica (ver grafica abajo)

3º lugar hallar el area que es:

Area = Ln x - 1^ h6 @dx Integrando por partes2

e2

#dv = dx & v = x

u = Ln x - 1^ h & du =x - 11

dx)Area = x.Ln x - 1^ h6 @2e2 - x - 1

xdx

2

e2

# = x.Ln x - 1^ h6 @2e2 - dx2

e2

# -x - 11

dx2

e2

#

Area = x.Ln x - 1^ h6 @2e2 - x6 @2e2 - Ln x - 1^ h6 @2e2 = e2 .Ln e2 - 1^ h - 2.Ln 2 - 1^ h6 @ - e2 - 26 @ - Ln e2 - 1^ h - Ln 2 - 1^ h6 @Area = e2 .Ln e2 - 1^ h6 @ - e2 - 26 @ - Ln e2 - 1^ h6 @ = e2 - 1^ hLn e2 - 1^ h - e2 - 26 @ u2

-----------------------

Ejercicio 151

calcula el area del recinto limitado por la curva y =- 3x2 + 6x y el eje X

1º lugar es hallar los puntos de corte entre y =- 3x2 + 6x e el eje X para representar la grafica

y conocer los limites de integracion

- 3x2 + 6x = 0, x -3x + 6^ h = 0,x = 2 " limite sup

x = 0 " limite inf%hagamos tabla de valores entre 0 y el 2 que es lo que mas nos importa

2 01 30 0x y =- 3x2 + 6x

ver grafica

Area = -3x2 + 6x^ h0

2

# dx = -x3 + 3x26 @02 = -8 + 126 @ = 4 u2

-----------------------

Ejercicio 150

I =x

1 + Lnx3

# dx

I =x

1 + Lnx3

# dx , haciendo cambio variable t3 = 1 + Lnx &3t2 .dt = x

1dx

t = 1 + Lnx3*I = t.3.t2# .dt = 3 t3 .dt = 4

3# t4 + cte =43

1 + Lnx^ h43 + cte

-----------------------

Ejercicio 151

I = ax# .ex .dx siendo a 2 0

I = ax# .ex .dx = a.e^ hx# .dx = mx .dx , siendo m = a.e# y aplicando a f x^ h# . lf x^ h = Lnaa f x^ h

^ hx


^ h ^ hI =

Ln m^ hmx

+ cte =Ln e.a^ ha.e^ hx

+ cte =1 + Lnaax .ex + cte

-----------------------

Ejercicio 152

I = ax .senax .dx# siendo a 2 0

I = ax .senax .dx# =Lna-1 -senax# .ax .Lna.dx =

Lna-1

cosax + cte

-----------------------

Ejercicio 153

I =et + e-tet - e-t# dt

I =et + e-tet - e-t# dt , haciendo cambio de variable et = x &

et .dt = dx

e-t = x1) luego

I =x +

x1

x -x1

#xdx =

xx x2 + 1^ hxx2 - 1

# dx =x x2 + 1^ hx2 - 1# dx

descompongamos la fraccionx x2 + 1^ hx2 - 1

en fracciones simples

x x2 + 1^ hx2 - 1=

xA +

x2 + 1Bx + C =

x x2 + 1^ hA x2 + 1^ h + x Bx + C^ h=

x x2 + 1^ hA.x2 + A + B.x2 + C.x=

x x2 + 1^ hA + B^ hx2 + C.x + A

Igualando los polinomios del numenador queda de la seguiente manera:

x2 - 1 = A + B^ hx2 + C.x + A(A =- 1C = 0

A + B = 1)

(

A =- 1C = 0B = 2)

asi que

I =x-1

dx +x2 + 12x## dx =- Ln x^ h + Ln x2 + 1^ h + cte = Ln x

x2 + 1 + cte = Lnet

e2t + 1 + cte

-----------------------

Ejercicio 154

I =1 + a2xax .dx# siendo a 2 0

I =1 + a2xax .dx# cambio de variable ax = t & ax .dx = dt

I =1 + t2dt# = arctag t^ h + cte = arctag ax^ h + cte

-----------------------

Ejercicio 155

I =1 + x2

earctagx + x.Ln 1 + x2^ h + 1# dx

I =1 + x2

earctagx + x.Ln 1 + x2^ h + 1# dx =

1 + x2earctagx# dx

A6 7 844444444 44444444

+1 + x2

x.Ln 1 + x2^ h# dx

B6 7 844444444444 44444444444

+1 + x2

1# dx

C6 7 84444444 4444444

A =1 + x2earctagx# dx si nos fijamos bien vemos que earctagx^ hl= earctagx .

1 + x21

dx asi que

A = earctagx + cte1

B =1 + x2

x.Ln 1 + x2^ h# dx si nos fijamos bien vemos que Ln 1 + x2^ h^ hl=

1 + x22x

dx

haciendo u = Ln 1 + x2^ h & du =1 + x22x

dx asi que

B =21

1 + x2

2x.Ln 1 + x2^ h# dx = 2

1u.du =

41# u2 + cte2 =

41Ln2 1 + x2^ h + cte2

C =1 + x2

1# dx = arctag x^ h + cte3 y por ultimo

I = earctagx + 41Ln2 1 + x2^ h + arctag x^ h + cte


TABLA DE INTEGRALES

1 k.dx = kx siendo k una constante = cte^ h#

2 k.f x^ hdx# = k f x^ h# dx

3 f x^ h ! g x^ h6 @# dx = f x^ h# dx ! g x^ h# dx

4 f x^ h6 @n# . lf x^ hdx =ln f x^ h + cte si n =- 1

n + 1

1f x^ h6 @n+1 + cte si n !- 1*

5 af x^ h.# lf x^ hdx = a f x^ h

lna1+ cte siendo a d R*

+

6 lf x^ h . cos f x^ h# dx = senf x^ h + cte

7 lf x^ h .senf x^ h# dx =- cos f x^ h + cte

8cos2f x^ h

lf x^ h# dx = tag f x^ h6 @+ cte

9sen

2f x^ h

lf x^ h# dx =- cotg f x^ h6 @ + cte

10 eaxcos bx dx =

a2+ b2

eax

a cos bx + bsenbx^ h# + cte

11 eax# senbx dx =

a2+ b2

eax

asenbx - b cos bx^ h + cte

12f x^ h6 @2 + a2! lf x^ hdx

# =Ln f x^ h! f x^ h6 @2 + a2 siendo a ! 0

Ln !f x^ h+ f x^ h6 @2 + a2 siendo a ! 0)

13f x^ h6 @2 - a2! lf x^ hdx

# = Ln f x^ h! f x^ h6 @2 - a2 siendo a ! 0

14a2- f x^ h6 @2! lf x^ h

# dx =

" arccosa

f x^ h: D + cte!arcsen

a

f x^ h: D + cteZ

[

\

]]]]]]]]]]

15a2 + f x^ h6 @2lf x^ h

# dx =

-a1arcotg

a

f x^ h: D + cte siendo a ! 0

a1arctag

a

f x^ h: D + cte siendo a ! 0

Z

[

\

]]]]]]]]]]

16a2- f x^ h6 @2lf x^ h

# dx =2a1Ln

a - f x^ ha + f x^ h

+ cte siendo f x^ h !! a y a ! 0

17f x^ h . f x^ h6 @2 - a2

! lf x^ hdx# =

a1arctag

a

f x^ h6 @2 - a2+ cte

a1arccos

f x^ ha

+ cteZ

[

\

]]]]]]]]]]

siendo a ! 0

18f x^ h . a

2- f x^ h6 @2

! lf x^ h# dx =

-a1Ln

f x^ ha + a

2 - f x^ h6 @2+ cte

a1Ln

f x^ ha - a

2 - f x^ h6 @2+ cte

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]

siendo a ! 0

19f x^ h . a

2+ f x^ h6 @2

! lf x^ h# dx =

-a1Ln

f x^ ha + a

2 + f x^ h6 @2+ cte

a1Ln

f x^ ha2 + f x^ h6 @2 - a

+ cte

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]

siendo a ! 0


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