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Universidad de Santiago de Chile Facultad de CienciaDepartamento de Matemtica y CC Autores: Miguel Martnez Concha Carlos Silva Cornejo Emilio Villalobos Marn

1Ejercicios Resueltos

(ejemplar de prueba)

Mediante la inclusin de ejercicios resueltos se espera que los es-tudiantes tengan portunidad de movilizar sus capacidades para bus-car, analizar, procesar, representar y comunicar diferentes tipos de informacin, decodicando y traduciendo la informacin contenida en las funciones, grcos, series de Fourier, integrales de Fourier y sus propiedades.

1.1 Problema 1.

i) Desarrollar en serie de Fourier la funcin peridica de perodo 2 .Representar gracamente y estudiar la convergencia de la serie en R:

f(x) =x si x 0 si 0 x

Solucin:

"RRRRi) Calculo de los coecientes de Fourier.# 1 1 1 02h i0 1 xRRa0 = 2 f(x)dx = 2 f(x)dx+ 0 f(x)dx = 2 0 xdx a0 = 22 = 411an = f(x)cos(nx)dx = 0 xcos(nx)dxhhiiUsando el mtodo de integracin por partes se tiene:na ==+0 0+ 1 xcos(nx)cos(nx)1( 1)n 1 na ==nn20n2n2 ( 1)n 1 0 para n par2n n2 2 para n impar as:2a2n = 08 nRRa2n 1 = (2n 1)2 8 n:11 0=+= bn = f(x)sin(nx)dx = xsin(nx)dx 1 h xcos(nx)sin(nx)i cos(n)0nn2n

nluego el coeciente es: bn = ( 1)n+1

12111

Por lo tanto, la serie de Fourier ser:

1X24n +n=1 " (2n 1)2 cos((2n 1)x)+ ( 1)n+1 sin(nx)#

En todos los puntos de continuidad la serie converge a f(x) y en los puntos de discontinuidad del tipo x = +2n con n 2 Z, la serie converge a 2 :

ii) A partir del resultado anterior obtenga la suma de la serie:

1X1 n=1 (2n 1)2

Solucin.(ii)

Evaluando en x = 0 se tiene

de donde

y de aqu 0 = 4 12 + 32 + 52 +:::

2111 4 = 12 + 32 + 52 +:::

11X 2 n=1 (2n 1)2 = 8

1.2 Problema 2

i) Desarrollar en serie de Fourier la funcin peridica de perodo 2, denida por:

f(x) = x2; x

ii) A partir del resultado obtenido calcular la suma de:

1X 1 n=1 n2

11nX iiI) Determine la convergencia de la serie4Solucin:n=1

i) La funcin f es par por lo cual obtendremos una serie de cosenos, que

1tiene la forma:Xa0 +an cos(nx)

n=1

2

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