ejercicioscap2

Ejercicio 1

Definida una senal discreta x[n] como

x[n] =

{0 para n ≤ 0 y n ≥ 4

(−1)nn para n = 1, 2, 3

y la repeticion periodica y[n] como

y[n] =

∞∑k=−∞

x[n+ 7k]

Encuentre la energıa y potencia de estas dos senales.

Jorge A. Rodrıguez Ejercicios Para el Primer Parcial Capıtulo 2

Solucion

Para le energıa de x[n], tenemos

Ex =∞∑

n=−∞x2[n]

= x2[1] + x2[2] + x2[3] = 14

Para la potencia de x[n], tenemos

Px = lımN→∞

1

2N + 1

N∑n=−N

x2[n]

= lımN→∞

14

2N + 1= 0

La energıa de y[n] es

Ey = lımN→∞

N ∗ Ex →∞

Para la potencia de y[n] como esta es periodica seria

Py =1

N0

N0−1∑n=0

x2[n]; donde N0 es el periodo

=1

714 = 2


Ejercicio 2

Una senal discreta x[n] es definida como

x[n] =

1 + n

3 , −3 ≤ n ≤ −1

1, 0 ≤ n ≤ 3

0, de otramanera

1 Determine estos valores y bosqueje la senal x[n]2 Dibuje las senales que resultan si nosotros:

1 Primero x[n] se invierte la senal y el resultado se retrasa por cuatromuestras.

2 Primero x[n] se retrasa cuatro muestras y luego se invierte el resultado.

3 Dibuje la senal x[−n+ 4]

4 Compare los resultados de la partes (2) y (3) y deduzca las reglas paraobtener la senal x[−n+ 4] de x[n]

5 ¿Puedes expresar la senal x[n] en terminos de las senales δ[n] y u[n]?


Solucion

1 x[n] =

{..,0, 1

3 ,23 , 1↑

, 1, 1, 1, 0, ...

}

2 1 x[−n] =

{..,0, 1, 1, 1, 1

↑, 2

3 ,13 , 0, ...

}Despues de retardar la senal invertida por 4 muestras, tenemos

x[−n+ 4] =

{..,0, 0

↑, 1, 1, 1, 1, 2

3 ,13 , 0, ...

}2 Si primero se retarda x[n] por cuatro muestras, se tiene

x[n− 4] =

{... 0↑, 0, 1

3 ,23 , 1, 1, 1, 1, 0, ...

}Ahora, invertimos

x[−n− 4] =

{..,0, 0, 1, 1, 1, 1, 2

3 ,13 , 0, 0↑

, ...

}3 x[−n+ 4] =

{... 0↑, 1, 1, 1, 1, 2

3 ,13 , 0, ...

}4 Para obtener x[−n+ k], primero se gira x[n] para obtener x[−n], luego si k > 0 se corre k

muestras a la derecha, o si k < 0 se corre k muestras a la izquierda.


Ejercicio 3

Considere la siguiente senal, x[n] = δ[n]+2δ[n−1]+3δ[n−2]. Calcule su media

movil y[n] =x[n] + x[n− 1]

2.

Elige las respuestas correctas

La salida para n ≥ 4 es siempre cero.

La salida en n = 3 no depende de la entrada en n = 1

y[n] = 0,5δ[n] + 1,5δ[n− 1] + 2,5δ[n− 2] + 1,5δ[n− 3]

SolucionLas respuestas correctas son la primera y la tercera.


Ejercicio 4

Un sistema de tiempo discreto puede ser

Estatico o dinamico

Lineal o no lineal

Invariante con el tiempo o

variante con el tiempo

Causal o no causal

Estable o inestable

Examine los siguientes sistemas con respecto a las anteriores propiedades.

1 y[n] = cos(x[n])

2 y[n] =n+1∑k=−∞

x[k]

3 y[n] = x[n]cos(ω0n)4 y[n] = x[−n+ 2]

5 y[n] = x[n]u[n]

6 y[n] = x[n] + nx[n+ 1]

7 y[n] = x[−n]

8 y[n] = sgn(x[n])


Solucion

1 Estatico, no lineal, invariante , causal, estable.

2 Dinamico, lineal, invariante, no causal e inestable. Este ultimo es facil de probar. Parauna entrada acotada x[k] = u[k] , la salida es

y[n] =

n+1∑k=−∞

u[k] =

{0 n < −1

n + 2 n ≥ −1

Como y[n]→∞ cuando n→∞, el sistema es inestable.

3 Estatico, lineal, variante, causal, estable.

4 Dinamico, lineal, invariante, no causal, estable.

5 Estatico, lineal, invariante, causal, estable.

6 Estatico, lineal, variante, no causal, inestable.

7 Dinamico, lineal, invariante, no causal, estable.

8 Estatico, no lineal, invariante, causal, estable.


Ejercicio 5

Para una senal de tiempo discreto x[n] como se muestra en la figura, bosquejarcada una de las siguientes senales.

[ ]x n

n-1 0 1 3-1 0 2 4 5

1

2

3 3

1 x[n− 3]

2 x[2n]

3 x[−n]

4 x[−n+ 2]


Solucion

x[n− 3]

n2 43 5 6

1

2

3 3

10 7 8

(a)

x[2n]

n-1 0 1 2

2

3

3 4 5

(b)

n10-1-3 -2-4-5

1

2

33 x[−n]

(c)

n321-1 0-2-3

1

2

33 x[−n+ 2]

-4

(d)

Figura: (a) x[n− 3] (b) x[2n] (c) x[−n] (d) x[−n+ 2]


Ejercicio 6

Usando las senales en tiempo discreto x1[n] y x2[n] tal como se muestran enla figura, representar cada una de las siguientes senales graficamente y por unasecuencia de numeros.

1[ ]x n

n-1 0 1 3-1 0 2 4 5

1

2

3

-2 6

2 2

2[ ]x n

n0 13-1

0 2 4

2

-2-3

2 2

2

2

1 y1[n] = x1[n] + x2[n]

2 y2[n] = 2x1[n]

3 y3[n] = x1[n]x2[n]


Solucion

n1

3

2 4 5

2

0

−1

6 7

−2

−3−4

2 2

3 3

2 2

4

y1[n]

(a)

n1 32 4 5

2

0−1 6 7−2−3−4

6

4 4

y2[n]4

(b)

n1 32 4 5

2

0−1 6 7−2−3−4

4y3[n]

(c)

Figura: (a) y1[n] (b) y2[n] (c) y3[n]


Ejercicio 7

Dado el siguiente filtro

Determinar la relacion entrada salida del sistema.


Solucion

La relacion de entrada salida del filtro anterior es dada por la siguiente ecuacionen diferencias.

y[n] = b (ax[n] + x[n− 1])− (cx[n− 3] + x[n− 4])


Ejercicio 8

Sea τ un sistema LTI y estable, con entrada x[n] y salida y[n]. Muestre que:

1 Si x[n] es periodica con periodo N , la salida y[n] tiende a una senalperiodica con el mismo periodo.

2 Si x[n] es acotado y tiende a una constante, la salida tambien tiende auna constante.


Solucion

1

y[n] =n∑

k=−∞h[k]x[n− k], donde x[n] = 0 para n < 0

y[n + N ] =

n+N∑k=−∞

h[k]x[n + N − k] =

n+N∑k=−∞

h[k]x[n− k]

=n∑

k=−∞h[k]x[n− k] +

n+N∑k=n+1

h[k]x[n− k]

= y[n] +N∑

k=n+1

h[k]x[n− k]

Para un sistema estable lımn→∞

|h[n]| = 0, luego

lımn→∞

y[n + N ] = y[n] + lımn→∞

N∑k=n+1

h[k]x[n− k]

lımn→∞

y[n + N ] = y[n]


2 Sea x[n] = xo[n] + au[n], donde a es una constante y xo[n]es una senal acotada conlım

n→∞xo[n] = 0.

Entonces,

y[n] = a∞∑

k=−∞h[k]u[n− k] +

∞∑k=−∞

h[k]x0[n− k]

y[n] = an∑

k=−∞h[k] + y0[n]

Claramente la energıa de x0[n],Ex0 <∞ luego Ey0 <∞. Entonces(1)

lımn→∞

|yo[n]| = 0, luego

lımn→∞

y[n] = a lımn→∞

n∑k=−∞

h[k]⇒ A


Ejercicio 9

1 Muestre que para cualquier constante real o compleja a, y para cualquierpar de numeros enteron finitos M y N , tenemos

N∑n=M

an =

{aM−aN+1

1−a si a 6= 1

N −M + 1 si a = 1

2 Muestre que si |a| < 1, entonces

∞∑n=0

an =1

1− a


Solucion

1 Para a = 1N∑

n=M

an =N∑

n=1

an −M−1∑n=1

an

= N − (M − 1) = N −M + 1

Para a 6= 1

N∑n=M

an = aM + aM+1 + · · ·+ aN

(1− a)N∑

n=M

an = (1− a)(aM + aM+1 + · · ·+ aN )

(1− a)N∑

n=M

an = (aM + aM+1 + · · ·+ aN )− (aM+1 + aM+2 + · · ·+ aN+1)

(1− a)N∑

n=M

an = aM − aN+1

N∑n=M

an =aM − aN+1

1− a

(2)


Solucion 2

2 Del resultado anterior reemplazamos: M = 0, N →∞ y sabiendo que |a| < 1, tenemos

∞∑n=0

an =a0 − lım

n→∞an

1− a

∞∑n=0

an =1

1− a; para |a| < 1


Ejercicio 10

Determine y bosqueje la convolucion y[n] de las senales

x[n] =

{13n 0 ≤ n ≤ 6

0 de otra manera

h[n] =

{2 −2 ≤ n ≤ 2

o de otra manera

1 De forma grafica

2 De forma analıtica


Solucion

1

5431 20-1

1/3

2/3

1

x[k]

6-2

4/3

5/3

2

kn+1 n+2nn-1

h[n-k]

n-2

2 2 2 2 2

n+3 n+4

k

(a)

5431 20-1

1/3

2/3

1

x[k]

6-2

4/3

5/3

2

kn+1 n+2nn-1

h[n-k]

n-2

2 2 2 2 2

n+3 n+4

k

(b)

Figura: (a) Para n ≤ −2 (b) Para n = −2


5431 20-1

1/3

2/3

1

x[k]

6-2

4/3

5/3

2

kn+1 n+2nn-1

h[n-k]

n-2

2 2 2 2 2

n+3 n+4

k

(a)

5431 20-1

1/3

2/3

1

x[k]

6-2

4/3

5/3

2

kn+1 n+2nn-1

h[n-k]

n-2

2 2 2 2 2

n+3 n+4

k

(b)

Figura: (a) Para n = 0 (b) Para n = 1


5431 20-1

1/3

2/3

1

x[k]

6-2

4/3

5/3

2

kn+1 n+2nn-1

h[n-k]

n-2

2 2 2 2 2

n+3 n+4

k

(a)

5431 20-1

1/3

2/3

1

x[k]

6-2

4/3

5/3

2

kn+1 n+2nn-1

h[n-k]

n-2

2 2 2 2 2

n+3 n+4

k

(b)



5431 20-1

1/3

2/3

1

x[k]

6-2

4/3

5/3

2

kn+1 n+2nn-1

h[n-k]

n-2

2 2 2 2 2

n+3

k

(a)

5431 20-1

1/3

2/3

1

x[k]

6-2

4/3

5/3

2

kn+1 n+2nn-1

h[n-k]

n-2

2 2 2 2 2

n+3

k

(b)



5431 20-1

1/3

2/3

1

x[k]

6-2

4/3

5/3

2

kn+1 n+2nn-1

h[n-k]

n-2

2 2 2 2 2

n+3

k

(a)

5431 20-1

1/3

2/3

1

x[k]

6

4/3

5/3

2

kn+1 n+2nn-1

h[n-k]

n-2

2 2 2 2 2

n+3

k

(b)



5431 20-1

1/3

2/3

1

x[k]

6

4/3

5/3

2

kn+1 n+2nn-1

h[n-k]

n-2

2 2 2 2 2

n+3

k

(a)

5431 20

1/3

2/3

1

x[k]

6

4/3

5/3

2

kn+1 n+2nn-1

h[n-k]

n-2

2 2 2 2 2

n+3

k

(b)



Solucion

y[−1] = 21

3=

2

3

y[0] = 2

(1

3+

2

3

)= 2

y[1] = 2

(1

3+

2

3+ 1

)= 4

y[2] = 2

(1

3+

2

3+ 1 +

4

3

)=

20

3

y[3] = 2

(1

3+

2

3+ 1 +

4

3+

5

3

)= 10

y[4] = 2

(2

3+ 1 +

4

3+

5

3+ 2

)=

40

3

y[5] = 2

(1 +

4

3+

5

3+ 2

)= 12

y[6] = 2

(4

3+

5

3+ 2

)= 10

y[7] = 2

(5

3+ 2

)=

22

3

y[8] = 2 (2) = 4

y[n] = 0 para n 6= −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8


Solucion

2 De forma analıtica, tenemos

x[n] =1

3n (u[n]− u[n− 7])

h[n] = 2u[n+ 2]− 2u[n− 3]

y[n] = x[n] ~ h[n]

=∞∑−∞

x[k]2 (u[n− k + 2]− u[n− k − 3])

=

n+2∑−∞

2x[k]−n−3∑−∞

2x[k]

= 2

n+2∑k=n−3

1

3k (u[k]− u[k − 7])

= 2

(1

3δ(n+ 1) + δ(n) + 2δ(n− 1)

+10

3δ(n− 2) + 5δ(n− 3) +

20

3δ(n− 4)

+6δ(n− 5) + 5δ(n− 6) +11

3δ(n− 7) + δ(n− 8)

)


ejercicioscap2

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