ejercicios2do

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CALCULO DE PROBABILIDADES Y ESTADISTICA MATEMATICA

1. Suponer una poblacion cuyos individuos estan numerados de 1 a N . Se extrae una muestra de

tamano n = 10. ¿Cual es la probabilidad de que los 10 valores de la muestra sean mayores que

N/4?

(a) Calcular la probabilidad anterior si la muestra se extrae con reemplazamiento.

(b) Calcular la probabilidad anterior si la muestra se extrae sin reemplazamiento.

(c) ¿Que sucede cuando N −→∞?

2. Sea X1, . . . , Xn una muestra aleatoria simple de una distribucion de Bernoulli de parametro p,

0 < p < 1. Sea X la media muestral y S2 la cuasivarianza muestral. Calcular la funcion de

probabilidad de X y S2.

3. Una expresion alternativa de S2. Sea X1, . . . , Xnuna m.a.s. Demostrar que

S2 =1

2n(n− 1)

n∑

i=1

n∑

j=1

(Xi −Xj)2

4. Establecer las siguientes relaciones recursivas para la media y varianza muestrales. Sean Xn y S2n

la media y la varianza muestrales de X1, . . . , Xn. Suponer ahora que se dispone de otra observacion

Xn+1. Demostrar que :

(a) Xn+1 =Xn+1 + nXn

n+ 1

(b) nS2n+1 = (n− 1)S2

n +n

n+ 1(Xn+1 −Xn)2

5. Sean X1, . . . , Xn n v.a.i.i.d. segun una N(µ, σ2). Se definen los estadısticos X y S2 de la forma

usual. Considerar Tn =√n

(X − µ)/σ

S/σDemostrar que Tn converge en distribucion a una N(0, 1).

6. Suponer que X1, . . . , Xn es una m.a.s. de exponenciales con funcion de densidad

f(x) =

1

λe−

xλ , si x > 0

0, en otro caso

Probar:

(a)√nX−λ

Xconverge en distribucion a una N(0, 1). Suponer que las observaciones son 20 tiem-

pos de vida (en meses) de bombillas de una cierta marca. Construir un intervalo de confi-

anza asintotico para λ, la duracion media de una bombilla, con nivel de confianza del 95%,

suponiendo que X = 20.

(b)√n(βX − 1) converge en distribucion a una N(0, 1), donde β = 1/λ.

Estadıstica Matematica 2

7. Sean X1, . . . , Xn n observaciones de una v.a. de Bernoulli de parametro p.

(a) ¿A que converge en probabilidad X(1−X)?

(b) ¿A que converge en distribucion√n (X−p)√

X(1−X)?

(c) Suponer que de 300 personas, 72 de ellas apoyan a un determinado partido. Dar una estimacion

de la probabilidad de apoyar a ese partido y el error de la estimacion con un nivel de confianza

del 95%.

8. (a) Sean X1, . . . , Xn n v.a.i.i.d. con funcion de densidad comun

f(x) =

1

λe−

xλ , si x > 0

0, en otro caso

Calcular la distribucion asintotica de Tn con Tn = eX

(b) ¿Es cierto o falso que si X1, . . . , Xn son v.a.i.i.d. N(1, 1) entonces√n(X

2 − 1) converge en

distribucion a una N(0, 1)

9. Sea una m.a.s. X1, . . . , Xn. Se define

Z1/2 =

X(m+1), si n = 2m+ 1

X(m+1) +X(m)

2, si n = 2m

Calcular la funcion de densidad de Z1/2 (mediana muestral) en ambos casos. Encontrar la dis-

tribucion exacta si Xi es U(0, 1).

10. Dadas X1, . . . , Xn n v.a.i.i.d. segun una U(0, 1), calcular la funcion de densidad conjunta y corres-

pondientes marginales del semirrango muestral:

V =X(1) +X(n)

2

y el rango muestral:

R = X(n) −X(1)

11. Los estadısticos ordenados para funciones discretas se definen de forma analoga a la de los es-

tadısticos ordenados para funciones continuas. Suponer que se realizan n lanzamientos independi-

entes de un dado. Calcular la funcion de probabilidad de X(j), el estadıstico ordenado de orden j,

j = 1, . . . , n

12. Sea X1, . . . , Xn una m.a.s de tamano n de la funcion de densidad f(x) = λe−λ(x−θ)I[θ,∞)(x) para

algun λ > 0. Sean X(1), . . . , X(n) los estadısticos ordenados. Demostrar que X(1), X(2)−X(1), X(3)−X(2), . . . , X(n) −X(n−1) son independientes y hallar sus respectivas densidades marginales.

13. Calcular la funcion de densidad de X(r+1) −X(r) si las v.a. de la muestra son U(0, 1)

14. Dos puntos X1 y X2 se toman aleatoria e independientemente en un segmento de longitud L.

Encontrar una formula general para E(|X1 −X2|n) y evaluarla para n = 1, 2, 3, 4.


15. Calcular un intervalo de confianza asintotico para σ2 partiendo de la distribucion asintotica del

estadıstico S2. Usar los siguientes datos:

0.42 1.21 0.36 0.84 0.72 1.1 1.17 0.56 0.69 0.92

16. SeanX1, . . . , Xn una m.a.s. de una poblacion con funcion de distribucion F (x). Sea F ?n(x) la funcion

de distribucion empırica. Calcular E[F ?n(x)], V ar[F ?n(x)] y Cov[F ?n(x), F ?n(y)] para x, y ∈ R fijos.

17. Disponemos de unos datos que reflejan el tiempo de semidesintegracion de unas partıculas radiac-

tivas. Dicho tiempo se cree que es aleatorio y que sigue una ley Exponencial de parametro λ = 2.

Utilizar la variable Dn y su distribucion para comprobar que los datos no reflejan una contradiccion

con esta suposicion. Tomar α = 0.05.

1.0062 2.6257 0.0187 0.7832 0.10640.1683 0.0808 0.1234 0.5472 1.0510

18. SeaX1, . . . , Xn una m.a.s. de una N(µ, σ2), X y S2 definidos de la forma usual. SeaXn+1 una nueva

observacion independiente y de la misma poblacion que las anteriores. Encontrar la distribucion

del estadıstico

√n

n+ 1

Xn+1 −XS

. ¿Para que podrıa ser utilizado?

19. Si la v.a. X tiene una distribucion N(µ, 1) y extraemos de ella una m.a.s. X1, . . . , Xn, construir,

utilizando las formulas recursivas de Xn y S2n (ejercicio 4), una demostracion inductiva de que

(n− 1)S2n tiene una distribucion χ2

n−1.

20. Se ha observado la duracion, en horas, de 9 bombillas catalogadas como de primera categorıa. Se

observo una vida media de 1309 horas con una desviacion tıpica de 420 horas. Una segunda muestra

de 16 bombillas catalogadas como de segunda clase tambien ha sido observada. Los resultados

obtenidos han sido una vida media de 1205 horas y una desviacion tıpica de 390 horas. Supongamos

que la vida de una bombilla es una v.a. que sigue una ley Normal. Usando α = 0.05:

(a) ¿Podemos suponer que las varianzas de las poblaciones son iguales?

(b) Supuesto cierto (a), ¿Se puede decir que existe una diferencia real entre la duracion media de

las bombillas de cada clase?

21. Sean X1, . . . , Xn e Y1, . . . , Ym dos m.a.s. de dos poblaciones independientes N(µ1, σ2) y N(µ2, σ

2)

respectivamente. Queremos realizar inferencias sobre αµ1 + βµ2, con α y β dos numeros reales y

fijos, cuando no se conoce la varianza comun σ2. Encontrar una variable cuya distribucion solo

dependa de parametros conocidos y sirva para este fin.

22. Los constructores de un cierto modelo de coche anuncian que el recorrido medio por galon de

gasolina normal son 30 millas. Se realiza una prueba con 9 coches de este modelo, conducidos en

las mismas condiciones y por el mismo conductor, cada uno con un galon de gasolina normal. La

distancia media recorrida ha sido de 26 millas, con una desviacion tıpica de 2.8 millas. ¿Se puede

decir que el anuncio de la companıa es cierto? (asumir la hipotesis de normalidad en el recorrido y

tomar como nivel del test α = 0.05)


23. Nueve adultos se someten a una prueba de eficiencia de un nuevo programa de dietas. Sus pesos,

en libras, fueron medidos antes y despues de someterse al programa. Los resultados fueron los

siguientes:1 2 3 4 5 6 7 8 9

antes 132 139 126 114 122 132 142 119 126despues 124 141 118 116 114 132 145 123 121

¿Podemos asegurar que este programa es eficaz? Tomar α = 0.05.

24. La desviacion estandar del diametro de ciertas piezas producidas por una maquina tiene la restric-

cion de no poder ser mayor de 0.5 mm. ya que dichas piezas deberan ser ensambladas con otras

diferentes y esto no sera posible si hay una excesiva variabilidad en las piezas. La maquina que las

produce presenta, por el uso, una tendencia a aumentar la desviacion estandar. Si se sospecha que

esta supera el valor de 0.5 mm. se detiene la produccion y se procede a un reajuste. Un dıa dado,

se toma una m.a.s. de 14 piezas de la produccion, se miden sus diametros y se calculan la media

y la desviacion estandar muestrales. Supongamos que tenemos S = 0.64 Utilizar un contraste de

hipotesis, con α = 0.05, para decidir si se reajusta la maquina o no. Suponer que los diametros

siguen una distribucion Normal.

25. Sea (X,Y ) una distribucion Normal bivariante no singular con X e Y ∼ N(0, 1). Demostrar que

X2 + 2aXY + Y 2 y X2 + 2bXY + Y 2son independientes sı y solo sı a y b son 1 en valor absoluto y

a = −b.

26. Un botanico estudia un cierto tipo de plantas, en concreto, la longitud y anchura de las hojas.

Supongamos que las variables tienen una distribucion normal bivariante. Se toma una muestra de

16 hojas, cuyos resultados se recogen en la siguiente tabla:

anchura longitud anchura longitud2.1 4.1 5.9 7.22.4 6.0 6.6 13.13.6 5.5 7.4 11.33.7 8.2 8.2 15.64.3 7.5 8.8 13.45.1 12.6 9.0 19.05.5 8.1 9.1 15.85.8 10.8 9.8 14.6

(a) ¿Podemos aceptar que existe independencia entre ambas cantidades a un nivel α = 0.05

(b) ¿Puede admitirse que la correlacion poblacional es ρ = 0.95?. Tomar α = 0.05.

27. En una plantacion formada por 22 trozos de la misma extension, dedicados al cultivo de la remo-

lacha, se miden dos variables, X =”numero de plantas en millares por hectarea” e Y =”produccion,

en toneladas, de azucar por hectarea”. Los resultados fueron: X = 31.2, SX = 7.4, Y = 59.3,

SY = 12.6 y R = 0.918¿Se puede aceptar que aumentando 1000 plantas por hectarea el aumento

en la produccion de azucar sea 2 toneladas pos hectarea? Tomar α = 0.01

28. Considerar los datos del ejercicio 26 y construir un elipsoide de confianza para la media poblacional,

con α = 0.05. ¿Podemos aceptar que el vector de medias toma valor µt = (7.5, 10.0) en dicha

poblacion de plantas?


29. Mediante una m.a.s. de tamano 10 se pretende estimar la media de una poblacion, de la que se

sabe que su varianza es 100. Se consideran dos estadısticos: T1 = X y T2 = 1n+1

∑ni=1Xi

(a) ¿Es preferible alguno de los estadısticos cuando se considera como funcion de perdida el error

cuadratico?

(b) ¿Que estadıstico es preferible cuando se aplica el criterio minimax?

30. Sea X1, . . . , Xn una m.a.s. de una N(µ, σ2) con µ y σ desconocidas. Considerar la clase de

estimadores C = {cS2|c > 0} de σ2.

(a) Buscar en C un estimador centrado de σ2.

(b) Encontrar el valor de c que nos proporciona un error cuadratico medio menor.

31. Supongase que va a administrarse un cierto tipo de farmaco a dos tipos de animales A y B. Se

sabe que la respuesta media de los animales de tipo A es la misma que la de los animales de tipo

B, pero el valor comun θ de esta media es desconocido y se debe estimar. Se sabe tambien que la

varianza de la respuesta de los animales tipo A es cuatro veces mas grande que la varianza de la

respuesta de los animales tipo B. Sean X1, . . . , Xm las respuestas de una m.a.s. de m animales

tipo A e Y1, . . . , Yn las respuestas de una m.a.s. de n animales de tipo B. Finalmente, considerese

el estimador T = αX + (1− α)Y .

(a) ¿Para que valores de m y n es T un estimador insesgado de θ?

(b) Para valores fijos de m y n, ¿que valor de α proporciona un estimador insesgado con varianza

mınima?

32. (a) Demostrar que si X es Beroulli con parametro p desconocido, la esperanza de cualquier funcion

de una m.a.s. de tamano n es un polinomio en p cuyo grado no excede n.

(b) Demostrar que si X es Bernoulli de parametro p, no existe estimador centrado para p2 basado

en una unica observacion.

33. Si X1, . . . , Xn son v.a.i.i.d. segun una N(µ, σ2), comprobar que S2 es centrado para σ2, pero que

S no es centrado para σ.

34. En un proceso de fabricacion se obtienen productos con una cierta resistencia que consideramos que

es una v.a. Y cuya distribucion desconocemos. Sometemos estos productos a una prueba de fuerza

de valor a. Queremos estimar cual es la probabilidad de resistir al menos dicha fuerza a. Buscar:

(a) Un estimador centrado y consistente para esta probabilidad, que denominamos p.

(b) Un estimador centrado y consistente para p(1− p).(c) Demostrar que si T es el estimador del apartado (a), T (1 − T ) es un estimador no centrado,

pero consistente para la cantidad p(1− p).(d) Utilizar el metodo Jacknife para reducir el sesgo de este segundo estimador.

35. Sea X1, . . . , Xn una m.a.s. de tamano n de una poblacion con funcion de densidad f(x) = e−(x−θ)

si x ∈ [θ,∞). Tomamos como estimador del parametro θ al estadıstico ordenado X(1). Demostrar

que dicho estimador es asintoticamente centrado. ¿Es consistente? Utilizar el metodo Jacknife para

encontrar un estadıstico centrado del parametro θ. ¿Es este estimador tambien consistente?


36. Verificar las propiedades de regularidad, en el sentido Frechet-Cramer-Rao para la siguiente familia

de distribuciones:

P (X = x) = θ(1− θ)x

con x = 0, 1, . . ., 0 < θ < 1. Calcular la cota F-C-R para la varianza de un estadıstico centrado

para θ. Verificar si la anterior familia pertenece a la familia exponencial y en tal caso obtener un

estimador eficiente para1− θθ

37. Sea X1, . . . , Xn una m.a.s. de una poblacion discreta de forma que P (X = x1) =1− θ

2, P (X =

x2) =θ

2y P (X = x3) =

1

2, 0 < θ < 1. Verificar las condiciones de regularidad y dar una cota para

la varianza de un estimador centrado de θ.

38. Sean X1, . . . , Xn v.a.i.i.d. segun una N(µ, 1).

(a) Calcular la mınima varianza de un estimador centrado de µ2 por la desigualdad F-C-R.

(b) Dado T (X1, . . . , Xn) = X2 − 1

n, Calcular su varianza. Calcular su eficiencia y su eficiencia

asintotica.

39. Sean X1, . . . , Xn v.a.i.i.d. con media µ y varianza finita. Sea T (X1, . . . , Xn) =2

n(n+ 1)

n∑

i=1

iXi

¿Es un estimador centrado de µ? ¿Es consistente? Calcular su eficiencia relativa respecto a X.

40. Sea X1, . . . , Xn una m.a.s. de una poblacion exponencial con funcion de densidad

f(x) =

1

λe−

xλ , si x > 0

0, en otro caso

Calcular la cota F-C-R para la varianza de un estimador centrado del parametro λ. Comparar esta

cota con la varianza alcanzada por X. ¿Es asintoticamente centrado?

41. Sean X1, . . . , Xn v.a.i.i.d. con

f(x, θ) =

1

θ, si 0 < x < θ

0, en otro caso

Sea Yn = max(X1, . . . , Xn) Calcular la esperanza de Yn. Encontrar un estimador centrado de θ

basado en Yn. Calcular la varianza de este estimador y la cantidad de informacion para el parametro

θ. ¿Se desprende de este resultado alguna contradiccion?

42. Dar una expresion del estimador de la varianza por el metodo Jacknife para el estimador considerado

en el ejercicio 35. Calcular el valor medio de dicha estimacion y compararlo con la verdadera varianza

del estimador considerado.

43. Para estimar el parametro θ de una distribucion U(0, θ) se utiliza un estimador T (X1, . . . , Xn) =n+ 1

nX(n). Calcular el valor de su varianza cuando θ = 1 y n = 5. Dar una estimacion de la

varianza de dicho estimador por el metodo de Bootstrap, para lo cual utilizar los siguientes datos

(simulados artificialmente de una U(0, 1)):

0.22 0.17 0.68 0.65 0.84


44. Sean X1, . . . , Xn observaciones independientes de la distribucion discreta uniforme en {1, ..., N}(N ∈ N+) Encontrar un estadıstico suficiente para N .

45. Sea X1, . . . , Xn una m.a.s. de una poblacion con funcion de densidad f(x|θ). Demostrar que los

estadısticos ordenados T (X1, . . . , Xn) = (X(1), . . . , X(n)) son un estadıstico suficiente para θ (de

dimension variable)

46. Sea X1, . . . , Xn una m.a.s. de una distribucion de Poisson con media λ. Utilizar la definicion (e.g.

via condicionamiento) de estadıstico suficiente para comprobar que T (X1, . . . , Xn) = X1 + . . .+Xn

es un estadıstico suficiente para λ. Suponer que n = 2. Demostrar que X1+2X2 no es un estadıstico

suficiente.

47. Sea X1, . . . , Xn una m.a.s. de una poblacion Γ(α, β) , es decir, con funcion de densidad

f(x|α, β) =

xα−1e−xβ

βαΓ(α), si 0 < x <∞

0, en otro caso

y α, β > 0. Calcular un estadıstico suficiente para θ = (α, β).

48. Sea X1, . . . , Xn una m.a.s. de una poblacion con funcion de densidad

f(x|θ) =e−|x|θ

2θ

para −∞ < x <∞ y θ > 0. Encontrar un estadıstico suficiente para θ.

49. Sea X1, . . . , Xn una m.a.s. de una poblacion con funcion de densidad f(x|µ, σ) =1

σe−

x−µσ para

µ < x <∞ y 0 < σ <∞. Encontrar un estadıstico suficiente para θ = (µ, σ)

50. Sea X1, . . . , Xn una m.a.s. de una poblacion N(µ, σ2), con µ y σ desconocidos. Calcular un

estadıstico minimal-suficiente para dicho par de parametros.

51. Sea X1, . . . , Xn v.a.i.i.d.∼ Bin(1, p). Demostrar que T = Σni=1Xi es un estadıstico suficiente y

completo.

52. Suponer que X1, . . . , Xn es una m.a.s. de una poblacion de Poisson de parametro desconocido

λ > 0. Encontrar un estadıstico minimal-suficiente y comprobar si es completo.

53. Suponer X1, . . . , Xn una m.a.s. de una poblacion U(0, θ) con θ > 0. Comprobar que X(n) es un

estadıstico suficiente y completo.

54. Sean X1, . . . , Xn una m.a.s. de una poblacion N(θ, σ2 = θ2). Comprobar que el estadıstico

T (X1, . . . , Xn) =(∑n

i=1 Xi,∑ni=1X

2i ,)

es suficiente pero no completo.

55. Sea X1, . . . , Xn, una m.a.s. de una poblacion., con funcion de densidad,

f(x, θ) =

x+ 1

θ(θ + 1)e−

xθ , si 0 < x <∞

0, en otro caso

(θ > 0 fijo). Encontrar un estadıstico suficiente y completo para 1/θ.


56. Considerar la familia de funciones de probabilidad del ejercicio 44.

(a) Demostrar que el estadıstico Mn = max(X1, . . . , Xn) es completo.

(b) Comprobar que se pierde la propiedad de completitud si nos restringimos a la subfamilia

pno = {PN , N ≥ 1, N 6= no}

57. Sea X1, . . . , Xn una m.a.s. de una v.a. de Poisson de parametro µ.

(a) Encontrar el estimador centrado de mınima varianza de µ.

(b) Encontrar el UMVUE de e−µ(1 + µ)

58. Sean X1, . . . , Xn v.a.i.i.d. segun una U(0, θ), con θ > 0.

(a) Encontrar el estimador centrado de mınima varianza del parametro θ.

(b) Demostrar queX(1)

X(n)y X(n) son v.a. independientes.

59. Sean X1, . . . , Xn v.a.i.i.d. segun una Bernoulli(p).

(a) Calcular el UMVUE para g(p) = p

(b) idem. para g(p) = p(1− p)(c) idem. para g(p) = ps, 0 < s < n

(d) idem. para g(p) = ps + (1− p)n−s, 0 < s < n

60. Este ejercicio cubre gran parte de las distribuciones discretas. Sea X1, . . . , Xn una muestra de una

poblacion con funcion de probabilidad

P (X = x|θ) =α(x)θx

f(θ)

x = 0, 1, 2, . . .

donde θ > 0, α(x) > 0, f(θ) = Σ∞x=0α(x)θx, α(0) = 1 y sea T = X1 + . . .+Xn. Denotamos c(t, n) =

Σx1,...,xn

n∏

i=1

α(xi) con∑ni=1 xi = t. Demostrar que T es un estadıstico completo y suficiente para

θ, y que el UMVUE para d(θ) = θr,(r > 0 entero) viene dado por

Yr(t) =

0, si t < r

c(t− r, n)

c(t, n), si t ≥ r

61. Resolver el siguiente problema de Telefonica. Se pretende estimar la probabilidad de que una

llamada telefonica dure mas de τ unidades de tiempo (u. de t.). Se sabe que la v.a. X=”duracion

en u. de. t. de una llamada telefonica” se ajusta bastante bien a una v.a. Exponencial(λ). Si nos

dan como informacion la duracion de n llamadas, dar la mejor estimacion de dicha probabilidad.

62. Sea X1, . . . , Xn v.a.i.i.d. con funcion de densidad comun f(x|θ) =x+ 1

θ(1 + θ)e−

xθ , x ∈ R+ y θ > 0

Calcular el estimador UMVUE del parametroθ(1 + 2θ)

1 + θ


63. Sean X1, . . . , Xn v.a.i.i.d. con funcion de densidad comun f(x|θ) =θ

x2I(θ,∞)(x) Encontrar el

UMVUE de θ.

64. Sea X una v.a. con funcion de probabiliad P (X = x|p) =

(nx

)px(1− p)n−x

1− qn si x = 1, 2, ..., n

y q = 1 − p, 0 < p < 1. Hallar el estadıstico centrado de mınima varianza del parametrop

1− qnbasado en una m.a.s de tamano n.

65. Sean X1, . . . , Xn v.a.i.i.d. segun una Bin(k, θ). El problema es estimar la probabilidad de un

unico exito para una v.a. Bin(k, θ). Calcular el estimador centrado de mınima varianza de dicha

probabilidad.

66. Demostrar, aplicando el teorema de Basu, que en una poblacion N(µ, σ2), Xn y S2n son indepen-

dientes.

67. Sea X1, . . . , Xn una m.a.s. con funcion de densidad f(x|θ) =rθr

xr+1I[θ,∞)(x), θ > 0 y r > 1

Demostrar que el estadıstico T = X(1) es suficiente y completo para θ . Ası, o de otro modo,

encontrar el UMVUE para θ.

68. Sea un lote de N componentes electronicas cuya vida sigue un modelo de distribucion exponencial,

con funcion de densidad f(x|λ) = λe−λx, x > 0 y λ > 0 desconido. Comienzan todas a funcionar de

manera simultanea e independiente. Tras un tiempo fijo τ conocido se detiene el experimento y se

recuenta el numero de componentes que aun funcionan. Sea dicho numero k. Calcular el estimador

de maxima verosimilitud para λ cuando no se dispone de mas informacion que dicho valor k.

69. Unos biologos capturan en un rıo una cantidad M de peces que marcan con una senal, despues los

sueltan y transcurrido un periodo de tiempo vuelven a capturar una muestra de n peces. Suponer

que la poblacion de peces es N , desconocido para nosotros, y que en ese tiempo no ha habido ni

nacimientos ni muertes entre los peces. Calcular el estimador de N por maxima verosimilitud, si se

han obtenido en la muestra x peces marcados.

70. Sean X1, . . . , Xn v.a.i.i.d. con funcion de densidad comun f(x|β) = 12β e− |x|β , −∞ < x <∞, β > 0

desconocida. Calcular los estimadores MLE y por el metodo de los momentos de β.

71. Sean X1, . . . , Xn v.a.i.i.d. con distribucion comun Lognormal(µ, σ2), es decir, cuya densidad viene

dada mediante la transformacion eX , con X ∼ N(µ, σ2). Calcular los estimadores de maxima

verosimilitud de: ν = E(X) = eµ+σ2

2 y τ2 = V ar(X) = e2µ+σ2

(eσ2 − 1) ¿Coinciden con los

estimadores por el metodo de los momentos?

72. Sean X1, . . . , Xn v.a.i.i.d. con distribucion U [c− d, c+ d], d > 0 y c ∈ R. Calcular los estimadores

de maxima verosimilitud de:

(a) d, si c es conocido.

(b) c, si d es conocido.

(c) (c,d).

73. Calcular el estimador por el metodo de los momentos (MME) de n y p para una m.a.s. X1, . . . , Xm

que ha sido extraıda de una ley Bin(n, p). Suponer ahora que p es conocido y n desconocido.

Demostrar que existe MLE para n y calcularlo cuando tenemos una m.a.s de valores {2, 3}.


74. Sean X1, . . . , Xn v.a.i.i.d. con funcion de probabilidad:

p(x) =

θ, si x = 1

1− θk − 1

, si x = 2, 3, . . . , k

0, en el resto

con 0 ≤ θ ≤ 1 , k = 1, 2, . . . Calcular el MLE de (θ, k) y por el metodo de los momentos (MME).

75. Sean X1, . . . , Xn v.a.i.i.d. con densidad comun

f(x) =

1

βe−

x−αβ , si x ≥ α

0, en el resto

con β > 0 y α ∈ R. Calcular los estimadores MLE de θ = (α, β) y comprobar que no son insesgados

76. En una poblacion suficientemente grande de hombres casados (ninguno de ellos ha enviudado), una

fraccion p de ellos se han divorciado al menos una vez. Se realiza el siguiente porcedimiento: una

urna contiene 100 sobres, de los cuales 100x contienen la pregunta : ”¿Se ha divorciado alguna

vez?” y los otros 100(1− x) la pregunta: ”¿Es este su primer matrimonio?” (suponemos que todos

contestan con la verdad). Se seleccionaron N maridos al azar . A cada uno de ellos, en sucesion,

se le pidio que sacara un sobre, leyera la pregunta, y devolviera el sobre. Despues contestaban

”si” o ”no” a la pregunta ( solo ellos sabıan la pregunta leıda). Sea Y el numero de hombres que

respondieron ”si”. Suponer x (0 < x < 1) conocido.

(a) Encontrar la distribucion de Y

(b) Calcular el estimador por el metodo de los momentos de p.

(c) Dar el estimador de maxima verosimilitud de p y comentar posibles ventajas e inconvenientes

con el otro. (Este procedimiento de muestreo se denomina respuesta aleatorizada )

77. El numero de llamadas por minuto a una central telefonica sigue una distribucion de Poisson de

parametro λ. El parametro λ varıa de una hora a otra siguiendo una distribucion a priori exponencial

g(λ) = e−λ, λ > 0. Usar una funcion de perdida cuadratica para dar una estimacion Bayes del

valor de λ si en una hora se han recibido 52 llamadas.

78. Sea X una v.a. con distribucion de Poisson de parametro λ. Consideramos la funcion parametrica

pk(λ) = P (X = k) = e−λλk

k!

con k concocido. Queremos estimar dicha funcion a partir de una m.a.s. de tamano n. Se pide:

(a) Calcular el estimador UMVUE de pk(λ)

(b) Hallar el estimador Bayes para una distribucion a priori exponencial, p(λ) = e−λ, λ > 0, y

una funcion de perdida cuadratica.

(c) Dar el estimador de maxima verosimilitud.

79. La proporcion de piezas defectuosas que produce una maquina en un dıa determinando es p. Aunque

p permanece constante a lo largo de una dıa, varıa de un dıa a otro segun una cierta ley de

probabilidad. Si en un dıa se han examinado n piezas con reemplazamiento de las cuales k resultaron

defectuosas, estimar p si:


(a) La distribucion a priori de p es w(p) = 1, 0 < p < 1 y

L(T (x1, . . . , xn), p) = p(T (x1, . . . , xn)− p)2

(b) La distribucion a priori de p es w(p) = 3p2, 0 < p < 1 y

L(T (x1, . . . , xn), p) = (T (x1, . . . , xn)− p)2

80. Un numero real se escoge con densidad w(θ) = k−1θk

en el intervalo (1,∞), siendo k > 1 un numero

conocido. No se permite observar el resultado, pero para estimarlo se pueden observar n valores

elegidos independientemente, al azar entre 0 y θ, de manera que X1, . . . , Xn constituye una m.a.s.

de la distribucion uniforme en (0, θ). Encontrar el estimador Bayes de θ bajo las siguientes funciones

de perdida:

(a) L(T (x1, . . . , xn), θ) = (T (x1, . . . , xn)− θ)2

(b) L(T (x1, . . . , xn), θ) = |T (x1, . . . , xn)− θ|(c)

L(T (x1, . . . , xn), θ) =

1− T (x1, . . . , xn)

θ, si T (x1, . . . , xn) < θ

1− θ

T (x1, . . . , xn), si T (x1, . . . , xn) > θ

81. Hallar, para una sola observacion, el estimador Bayes y deducir el riesgo a posteriori de este con-

siderando como funcion de perdida L(T (x1, . . . , xn), θ) = c(T (x1, . . . , xn) − θ)2 en los siguientes

casos:

(a) Con una v.a. U [0, θ] donde θ tiene como funcion de densidad w(θ) = θe−θ, θ > 0

(b) con una v.a. con funcion de densidad f(x|θ) = e−(x−θ)I[θ,∞)(x), donde θ tiene como funcion

de densidad: w(θ) = e−θ, θ > 0

82. Suponer que tenemos un numero conocido N de artıculos con un numero M de defectuosos que

sabemos que es una v.a. Bin(N, p). Si tomamos un artıculo al azar y nos sale defectuoso, encontrar

la distribucion a posteriori de M .

83. Sean X1, . . . , Xn una m.a.s. de una v.a. Γ(a, p) con p conocido. Utilizar el teorema central del lımite

para calcular un intervalo de confianza a nivel 1−α para el parametro a (suponer n suficientemente

grande)

84. Sean X1, . . . , Xn una m.a.s. de una v.a. U(0, θ). Dar intervalos de confianza a nivel 1− α para el

parametro θ en los siguientes casos:

(a) Por el metodo de la desigualdad de Chebichev.

(b) Utilizando un pivot basado en un estadıstico suficiente, calcular el de longitud mınima.

(c) Basandose en el mismo estadıstico del apartado (b), hallar un intervalo de confianza por el

metodo de Neyman.


85. Sean X1, . . . , Xn una m.a.s. de una v.a. con funcion de densidad

f(x) =

{e−(x−θ), si x > θ

0, en otro caso

Utilizar un pivot basado en un estadıstico suficiente de θ para construir un intervalo de confianza,

a nivel 1− α de longitud mınima.

86. Sea X1, . . . , Xn una m.a.s. de una distribucion Uniforme sobre los N primeros naturales. Encontrar

un intervalo de confianza, a nivel 1−α para N de la forma (a,∞), basado en el maximo de la muestra

87. Dar un intervalo de confianza asintotico para el parametro λ de una v.a. de Poisson a nivel 1− α.

88. Consideramos pivots de la forma T (X1, . . . , Xn, θ) = T1(X1, . . . , Xn)− θ. Explicar como construir

intervalos de confianza para θ con longitud fija d y maximo nivel de confianza. Construir intervalos

de dichas caracterısticas en los siguientes casos:

(a) Para el parametro µ de una poblacion normal de varianza 1.

(b) Para el parametro µ de una poblacion con densidad de la forma fµ(x) = e−(x−µ) si x > µ.

Calcular en ambos casos el tamano mınimo n para que dicho nivel de confianza sea mayor o igual

que 1− α.

89. Hacemos un estudio comparativo del contenido graso de 2 marcas diferentes de productos comer-

ciales. Utilizamos dos muestras, cada una de tamano 7, que podemos suponer a efectos practicos

que provienen de dos v.a. normales con la misma varianza desconocida. Los resultados producen

medias muestrales con valores 4.8 y 5.4 u. gr. respectivamente y las cuasivarianzas muestrales son

8.38 y 7.62 respectivamente. Usando un intervalo de confianza a un nivel 0.95, determinar si ambos

productos poseen el mismo contenido graso medio.

90. Sea f(x|θ) =2

θ2(θ−x)I(0,θ)(x) y sea una muestra de tamano 1. Consideremos el estimador T = 2x.

Construir un intervalo de confianza a nivel 1− α por el metodo de Neyman.

91. Sea una m.a.s cuya funcion de distribucion es

Fθ(x) =

0, si x ≤√θ

x2 − θθ2 − θ , si

√θ < x < θ

1, si x ≥ θ

siendo θ un parametro mayor que 1. Hallar por el metodo de Neyman un intervalo de con-

fianza de longitud mınima basado en el estadıstico min(X1, . . . , Xn). Idem con el estadıstico

max(X1, . . . , Xn).

92. Hallar intervalos de confianza a nivel 1−α para β en caso de muestras grandes y muestras pequenas

si tenemos una funcion de densidad exponencial de la forma f(x|β) =1

βe−

xβ , x > 0

93. Utilizando un intervalo de confianza a un nivel 0.95 para el parametro p de una distribucion

Bin(n, p), determinar si una moneda que ha sido lanzada 500 veces y con la que se han obtenido

225 caras se puede considerar ”correcta” en su construccion.


94. Una empresa quiere hacer previsiones de la demanda. Para ello toma 10 de sus clientes al azar y

observa su demanda durante el ultimo ano, obteniendo la siguiente tabla de valores:

numero de unidades 1000 1002 1004 1006 1008 1010numero de clientes 1 2 2 1 2 2

Construir un intervalo de confianza al nivel 0.90 para la demanda media en los siguientes casos:

(a) Sin hacer nigun tipo de hipotesis sobre la distribucion de la demanda (tomar como valor de la

varianza un estimador natural de la misma)

(b) Suponiendo que la demanda se comporta con arreglo a una Normal.

95. Estamos realizando un estudio bioquımico para determinar si un agua esta contaminada por un

tipo de bacterias o no. El test actua de la siguiente manera:

• Si hay bacterias, las detecta con probabilidad 0.9.

• Si no las hay, detecta su ausencia con probabilidad 0.8.

Tenemos dos muestras de agua. Denotamos con X al numero de veces que se detecta la presencia

de bacterias (que tomara los valores 0,1 o 2). Con ello queremos contrastar:

H0 : el agua contiene bacterias

H1 : el agua no contiene bacterias

(¿Porque ası y no al reves?) Se pide:

(a) Nivel de significacion del test y potencia bajo H1 de los tests con regiones crıticas (a) ℵ1 = {0},(b) ℵ1 = {0, 1}

(b) Dado que la potencia bajo H1 es demasiado baja en el caso (a) y el nivel de significacion es

demasiado bajo en el caso (b), se adopta el criterio intermedio de: rechazar si X = 0, aceptar

si X = 2, y si X = 1 aceptar o rechazar aleatoriamente con probabilidad 12 . Calcular en este

caso el nivel de significacion del test y su potencia bajo H1.

(c) Si llamamos p a la probabilidad de detectar bacterias en el agua, podemos reescribir el test

como

H0 : p = 0.9

H1 : p = 0.2

Construir el test MP de tamano 0.05 para contrastar estas hipotesis, basado en las dos muestras

de agua.

96. (a) Encontrar un intervalo de confianza aproximado a nivel 1−α para p en una m.a.s. X1, . . . , Xn

de v.a. de Bernoulli, basado en el estimador maximo verosımil.

(b) Hacer lo mismo para el parametro p(1− p)

97. Una urna contiene 10 canicas, de las cuales M son blancas y 10 −M son negras. Para conprobar

si M = 5 contra la alternativa M = 6, extraemos 3 canicas de la urna sin reemplazamiento. La

primera hipotesis es rechazada si la muestra contiene 2 o 3 canicas blancas, en otro caso se acepta.

Encontrar el tamano del test y su potencia.


98. Sea X1, . . . , Xn una m.a.s. de una v.a. N(µ, 1) con µ desconocido. Construir el test MP de tamano

α para contrastar H0 : µ = 0 contra H1 : µ = µ1 con µ1 > 0. Calcular su potencia. Suponer

ahora fijados α y β (potencia del test) y calcular el tamano muestral mınimo n que se necesita para

obtener dichos valores de α y β.

99. Una muestra de tamano 1 se toma a partir de una v.a. con funcion de densidad

f(x) =

2

θ2(θ − x), si 0 < θ < x

0, en otro caso

Calcular el test MP de tamano α par contrastar H0 : θ = θ0 contra H1 : θ = θ1 con θ1 < θ0.

Calcular su potencia y dibujar esta segun los valores de θ1.

100. Calcular el test MP de tamano α, por el metodo de Neyman-Pearson para H0 : θ = θ0 contra

H1 : θ = θ1 con θ1 < θ0 basado en una muestra de tamano 1 de una v.a. con densidad

f(x) =

{2θx+ 2(1− θ)(1− x), si 0 < x < 1

0, en otro caso

con θ ∈ [0, 1]

101. (a) Calcular, con una unica observacion, el test MP de tamano α para contrastar H0 : X ∼ N(0, 1)

frente a H1 : X ∼ exponencial doble (es decir f(x) = 12e−|x|)

(b) Sea X una observacion en (0,1). Calcular el test MP de tamano α para

H0 : X ∼ f(x) =

{4x, si 0 < x < 1

2

4− 4x, si 12 < x < 1

H1 : X ∼ f(x) = 1 si 0 < x < 1

102. Calcular el test UMP de tamano α para contrastar H0 : θ ≤ θ0 frente a H1 : θ > θ0 para muestras

de tamano n de una poblacion U(0, θ) basado en la propiedad MLR. Comparar dicho test con el

siguiente:

ϕ(x) =

{1, si X(n) > θ0

α, si X(n) ≤ θ0

Calcular ambas funciones de potencia.

103. Construir el test UMP de tamano α para contrastar H0 : θ = θ0 frente a H1 : θ < θ0 para el

parametro θ de una densidad f(x|θ) =e−

xθ

θcon x > 0, basado en muestras de tamano 1. Hacer lo

mismo con muestras de tamano n para contrastar H0 : θ ≤ θ0 frente a H1 : θ > θ0

104. El numero diario de llamadas atendidas por una centralita telefonica tiene una distribucion de

Poisson de parametro λ. Se considera que la centralita no es rentable y debe ser suprimida si

λ < λ0. A fin de estudiar la conveniencia de cerrarla se registra el numero de llamadas durante n

dıas.


(a) Obtener el test de tamano α y uniformemente de maxima potencia para contrastar H0 : λ ≥ λ0

frente a H1 : λ < λ0. ¿Por que es razonable colocarlas en esteorden?. Aplicarlo al caso λ0 = 50,

n = 12 y α = 0.025. Con tales especificaciones, ¿que decision debe adoptarse si sse ha obtenido

la muestra 32, 63, 39, 31, 42, 73, 37, 58, 46, 45, 30, 44? ¿Cual es el nivel crıtico asociado a

ella?

(b) El riesgo de cerrar una centalita claramente rentable: λ ≥ 55, se desea que sea menor que

0.001 y el de mantener abierta una centralita muy poco rentable: λ ≤ 45 se quiere que sea

menor que 0.005. ¿Cual es el tamano de la muestra necesario para que el test disenado cumpla

tales especificaciones?

105. Se ha realizado un estudio sobre el salario de profesores de instituto de matematicas en dos estados

diferentes de EEUU. Para ello se han seleccionado 100 profesores en cada estado. En el estado 1 se

ha obtenido un sueldo medio de 29.6 dolares por semana, con una cuasivarianza de 1100, mientras

que en el estado 2 se ha obtenido un sueldo medio de 30.8 dolares por semana, con una cuasivarianza

de 1000. Suponer normalidad en los datos e igualdad de varianzas. ¿Es razonable suponer que el

estado 2 ofrece un sueldo mas atractivo que el estado 1? Utilizar un nivel de confianza de 0.02.

ejercicios2do

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