ejercicios08

Tallerseman

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cuacionesdiferenciales

NRC:4232,4235

(RP)-

4231

(CD)-

4233

(EB)-

4234

(CDO)

Barranquilla, 16 de septiembre de 2015

UNIVERSIDAD DEL NORTEDIVISIN DE CIENCIAS BSICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS Y ESTADISTICASECUACIONES DIFERENCIALES - TALLER 8

EJERCICIOS

Ejemplo 1

Obtenga la solucin general de la EDO homognea asociada a

(x2 9

)2 d2ydx2

4 x(x2 9

) dydx

+(6 x2 + 18

)y =

(x2 9

)3x2

si se tiene que y1 = x3 9 x es una solucin de la homognea asociada.

Solucin

Se debe encontrar una solucin y2(x) tal que {y1, y2} formen un CFS para la EDO.

Paso I: Expresar la EDO en forma estandar:

Esto es:(x2 9

)2 d2ydx2

4 x(x2 9

) dydx

+(6 x2 + 18

)y =

(x2 9

)3x2

d2y

dx2

4 x

(x2 9)

dy

dx+

(6 x2 + 18

)

(x2 9)2y =

(x2 9

)x2

entonces P(x) := 4 x

(x2 9)

Paso II: Aplicar reduccin de orden con y1 = x3 9 x :

De la formula de reduccin de orden, se tiene que

y2(x) = y1(x)

e

P(x)dx

y21(x)dx

Por lo que

a.) P(x)dx =

4 x

(x2 9)dx = 2 ln

(x2 9

)= ln

(x2 9

)2

b.)

eP(x)dx

y21(x)=

(x2 9

)2(x3 9 x)2

=

(x2 9

)2(x(x2 9))2

=1

x2

NRC: 4232,4235 (RP) - 4231 (CD) - 4233 (EB) - 4234 (CDO)Prof. Catalina Domnguez - Prof. Ricardo Prato T.

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c.) e

P(x)dx

y21(x)dx =

1

x2dx =

1

x

d.)

y2(x) = y1(x)

e

P(x)dx

y21(x)dx = (x3 9 x) (1

x) =

(x2 9

)= 9 x2

Paso III: Escribir la solcuin general

La solucin general para la EDO

(x2 9

)2 d2ydx2

4 x(x2 9

) dydx

+(6 x2 + 18

)y = 0

toma la formay = C1y1 + C2y2 = C1(x

3 9 x) + C2(9 x2)

Si bien y2(x) S0, verifiquemos tal propiedad.

y2 = 9 x2; y

2 = 2x; y

2 = 2

entonces

d2y

dx2

4 x

(x2 9)

dy

dx+

(6 x2 + 18

)

(x2 9)2y?= 0

24 x

(x2 9)(2x) +

(6 x2 + 18

)

(x2 9)2

(9 x2)?= 0

2+8 x2

(x2 9)

(6 x2 + 18

)(x2 9)

?= 0

2+8 x2 6 x2 18

(x2 9)

?= 0

2+2( x2 9)

(x2 9)

?= 0

0X= 0

Comprobemos por ltimo que {y1, y2} es l.i., para esto calculemos el Wronskiano

W =

x3 9 x 9 x2

3x2 9 2x

= (9x2)

x 1

3x2 9 2x

= (9x2)(2x2(3x29)) = (9x2)2 6= 0


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Ejemplo 2

Resolver6y + y 2y = 0

Solucin

La EDO lineal dada es de coeficientes constantes. Las soluciones se asumen de la forma y = erx,entonces

y = erx, y = rerx, y = r2erx.

Reemplazando en la EDO se obtiene la ecuacin caracterstica:

6r2 + r 2 = 0

cuyas raices son:

r1,2 =1

(1)2 4 6 (2)

12=

1 712

=

1

2

2

3

por lo tanto las soluciones estan dadas por

y1 = e1

2x y y2 = e

2

3x

Ejemplo 3

Resolver4y + 12y + 9y = 0

Solucin

La EDO lineal dada es de coeficientes constantes. Entonces la ecuacin caracterstica esta dada por

4r2 + 12r + 9 = 0

cuyas raices son:

r1,2 =12

(12)2 4 4 98

= 3

2


y1 = e3

2x y y2 = xe

3

2x


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Ejemplo 4

Resolver3y 2y + y = 0

Solucin

La EDO lineal dada es de coeficientes constantes. La ecuacin caracterstica toma la forma

3r2 2r + 1 = 0

cuyas raices son:

r1,2 =24 12

6=

1

3

2

3


y1 = e1

3x cos

2

3x y y2 = e

1

3x sin

2

3x

Ejemplo 5

Resolvery(iv) + y = 0

Solucin

La ecuacin caracteristica asociada a la EDO esta dada por r4 + r = 0, esto es, para obtener lassoluciones y = erx de la EDO, los valores de r deben satisfacer dicha ecuacin. Resolviendo para r,tenemos que

r4 + r = r(r3 + 1) = 0 r = 0 r3 + 1 = 0De donde:

r1 = 0 es una raz de multiplicidad 1

Para encontrar las races de r3 + 1 = 0, se observa que por el teorema de ce-ros racionales {1} son las nicas posibles ceros racionales del polinomio, puedeprobar que r = 1 es una raz y por tanto r (1) = r + 1 es un factor der3 + 1. Aplicando divisin sinttica a la divisin entre r3 + 1 y r + 1 se obtiene

1 0 0 1

1 1 1 1

1 1 1 0

r3 + 1 = (r + 1)(r2 r+ 1) = 0

r + 1 = 0 r2 r + 1 = 0

r2 = 1 r3,4 =1

23

2


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(CDO)

En conclusin las races de la ecuacin r4 + r = 0 son

r1 = 0, r2 = 1, r3 =1

2+

3

2 r4 =

1

2

3

2

y la solucin general de la ecuacin diferencial lineal esta dada por

y(x) = c1 + c2ex + c3e

1

2x cos

(32x)+ c4e

1

2x sin

(32x)

Ejemplo 6

Determine la solucin general de

5y(4) + 4y(3) y(2) 10y + 2y = 0

Solucin

Al ser la EDO lineal de coeficientes constantes, entonces la ecuacin caracterstica de la EDO ante-rior es

5r4 + 4r3 r2 10r + 2 = 0

Aplicando el teorema de ceros racionales, tenemos que

A = {p : p es divisor de a0 = 2} = {1,2} B = {q : q es divisor de an = 5} = {1,5}

posibles races racionales ={z =

p

q: p A, q B

}={ 1,1

5,2,2

5

}Al evaluar en el polinomio T(r) = 5r4 + 4r3 r2 10r+ 2 los posibles ceros racionales se tiene que

r 1 1 15

15

2 2 25

25

T(r) 0 12 0 492125

90 66 222125

714125

es decir, r = 1 y r = 15son raices de la ecuacin polinmica. A continuacin se factoriza aplicando

argumentos de divisin sinttica, de donde obtenemos que

5r4 + 4r3 r2 10r + 2 = 5(r 1)(r

1

5

)(r2 + 2r + 2) = 0

En conclusin las races de la ecuacin 5r4 + 4r3 r2 10r + 2 = 0 son

r1 = 1, r2 =1

5, r3 = 1+ r4 = 1

As r1 = 1 y r2 = 15 son raices con multiplicidad 1 y la otras dos races restantes r3,4 son complejascon = 1 y = 1Observe que la ecuacin diferencial lineal es de orden 4 y por lo tanto se necesitan 4 funciones queformen un CFS para la EDO. En consecuencia, la solucin general de la EDO esta dada por

y(x) = c1ex + c2e

1

5x + c4e

x cos(x) + c5ex sin(x)


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Ejemplo 7

Resolvery(v) + 6y(iv) + 15y + 26y + 36y + 24y = 0

Solucin

Al ser la EDO lineal de coeficientes constantes, entonces la ecuacin caracterstica de la EDO ante-rior es

r5 + 6r4 + 15r3 + 26r2 + 36r + 24 = 0

Aplicando el teorema de ceros racionales, tenemos que

A = {p : p es divisor de a0 = 24} = {1,2,3,4,6,8,12,24}B = {q : q es divisor de an = 1} = {1}

posibles races ={z =

p

q: p A, q B

}= {1,2,3,4,6,8,12,24}

verificando cada una de las anteriores posibilidades, se encuentra que r = 2 es una raz de laecuacin polinmica. Factorizando aplicando argumentos de divisin sinttica tenemos que

r5 + 6r4 + 15r3 + 26r2 + 36r + 24 = (r + 2)3(r2 + 3) = 0

As r = 2 es una raz con multiplicidad 3 y la otras dos races restantes son complejas con = 0 y =

3

r1 = 2, con multiplicidad 3 r2 =3 r3 =

3

En consecuencia, la solucin general de la EDO esta dada por

y(x) = e2x(c1 + c2x+ c3x2) + c4 cos(

3x) + c5 sin(

3x)

Observe que la ecuacin diferencial lineal es de orden 5 y por lo tanto se necesitan 5 funciones queformen un CFS para la EDO.

Ejemplo 8

Resolver4x2y 8xy + 9y = 0

Solucin

La EDO lineal dada es de la forma Cauchy-Euler Por qu? Entonces se asumen soluciones de laforma y = xr con x > 0; de donde

y = xr, y = rxr1, y = r(r 1)xr2,

y a reemplazar en la EDO se tiene que la ecuacin caracterstica es

4r(r 1) 8r + 9 = 4r2 12r + 9 = 0.


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Por lo tanto, el problema se traslada a encontrar valores r que satisfagan la ecuacin cuadrtica4r2 12r + 9 = 0, esto es

r1 = r2 =12

0

8=

3

2

Entonces, la solucin general de la EDO es

y(x) = c1x3/2 + c2x

3/2ln x

Ejemplo 9

Resolverx3y + 4x2y 2y = 0

Solucin

Ya que la EDO lineal es de la forma Cauchy-Euler, se asumen soluciones de la forma y = xr conx > 0; de donde

y = xr, y = rxr1, y = r(r 1)xr2, y = r(r 1)(r 2)xr3,

y a reemplazar en la EDO se tiene que la ecuacin caracterstica es

r(r 1)(r 2) + 4r(r 1) 2 = r3 + r2 2r 2 = 0

Las posibles races son {1,2} y se encuentra que r = 1 es una raz. Factorizando utilizandoargumentos de divisin sinttica se obtiene

r3 + r2 2r 2 = (r + 1)(r2 2) = 0

esto es, el polinomio posee tres races reales 1,2 y

2. En consecuencia, la solucin general de

la EDO es

y(x) = c1x1 + c2x

2 + c3x

2


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Grupo de ejercicios E1

Para cada una de las siguientes ecuaciones se da una solucion y1(x). Encuentre la solucin generalde la ecuacin diferencial

1. 4x2y + y = 0, y1(x) =x

2. x2y + 3xy + y = 0, y1(x) = 1/x

3. (x4 x2)y (3x3 x)y + 8y = 0,y1(x) = x

4

4. (1+ x3)y 3x2y + 3xy = 0, y1(x) = x

5. (x+ 1)y (x+ 2)y + y = 0, y1(x) = ex

6. (1 x2)y 2xy + 2y = 0, y1(x) = x

7. x2y 2xy + (x2 + 2)y = 0,y1(x) = x cos(x)

8. xy 2(x + 1)y + 4y = 0, y1(x) = e2x

9. xy + (x 1)y y = 0, y1(x) = ex

Respuestas seleccionadas E1

1. y = c1x+ c2

x ln (x)

2. y =c1

x+c2 ln (x)

x

3. y = c1x4 + c2(3x22)

x2

4. y = c1x + c2(12x3 1

)

5. y = c1ex + c2 (2+ x)

6. y = c1x+ c2(1+ x

2ln(x1x+1

))

7. y = c1x cos (x) + c2x sin (x)

8. y = c1e2x + c2(1+ 2 x + 2 x2

)

9. y = c1ex + c2 (x 1)


Determine en cada caso la solucin general de la EDO homognea asociada, si la funcin y1 essolucin de la ecuacin diferencial homognea asociada.

1.(x 3)2y + 5(x 3)y + 3y = x, y1 =

1

x 3

2. (x2 + 2

)y 4 xy +

(6 x2 4

)x2 + 2

y =(x2 + 2

)2e2x, y1 = x2 + 2

3.x2y x(x+ 2)y + (x+ 2)y = x3 2x4, y1 = x


1.y (x) =

C1

(x 3)3+

C2

x 3

2.

y (x) = C1

(x2 + 2

)+ C2 x

(x2 + 2

)

3.

y (x) = C1 x+ C2 exx


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Resolver las siguientes EDO lineales

1. y + 5y 7y = 0

2. y + 5y + 8y = 0

3. y 7y + 6y = 0

4. y + y y y = 0

5. y 2y y + 2y = 0

6. y 8y = 0

7. y(iv) 4y + 6y 4y + y = 0

8. y(iv) 8y + 16y = 0

9. y(iv) + 2y + y = 0

10. y(vi) y = 0

11. y(vi) 3y(iv) + 3y y = 0

12. y(iv) + y = 0

13. 3y(iv) + 5y = 0

14. 3y(4) + 5y = 0

15. y y = 0


1. y = c1e(5

2+

53

2

)x+ c2e

(5

2

53

2

)x

2. y = c1e5

2x cos

(72x)+c2e

5

2x sin

(72x)

3. y = c1ex + c2e2x + c3e3x

4. y = c1ex + c2ex + c3xex

5. y = c1ex + c2e2x + c3ex

6. y = c1e2x + c2ex cos(

3x)+ c3ex sin

(3x)

7. y = ex(c1 + c2x+ c3x

2 + c4x3)

8. y = e2x (c1 + c2x) + e2x (c3 + c4x)

9. y = cos x(c1 + c3x) + sin x(c2 + c4x)

10. y = c1ex+ c2ex+ c3e1

2x cos

(32x)+

c4e1

2x sin

(32x)+ c5e

1

2x cos(

32x)+

c6e1

2x sin

(32x)

11. y = ex(c1 + c2x+ c3x

2)+ ex

(c4 + c5x+ c6x

2)

12. y = c1 + c2ex + c3e1

2x cos

(32x)+

c4e1

2x sin

(32x)

13. y = c1 + c2x+ c3 cos(

153

x)+ c4 sin

(153

x)

14. y = c1 + c2x+ c3x2 + c4e5

3x

15. y = c1ex + c2e1

2x cos

(32x)+ c3e

1

2x sin

(32x)


Resuelva los siguientes problemas de valores iniciales

1.

{y + 4y = 0

y(0) = 1 y (0) = 2

2.

{y + 9y = 0

y(0) = 1 y (0) = 0

3.

{y 2y + y = 0

y(0) = 0 y (0) = 0 y (0) = 1

4.

{y(4) 4y = 0

y(0) = y (0) = 1 y (0) = y (0) = 1


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1. y = cos (2 x) + sin (2 x)

2. y = cos (3 x)

3. y = 1 ex + xex

4. y = 54+ 5

4x 3

16e2x 1

16e2x


Resolver las siguientes EDO lineales del tipo Cauchy-Euler

1. x2y 6y = 0

2. y 1

2xy

1

x2y = 0

3. y +1

2xy

3

2x2y = 0

4. y +4

xy

3

x2y

2

x3y = 0

5. y +4

xy +

1

x2y

1

x3y = 0

6. y +3

xy +

1

x2y

1

x3y = 0

7. y +1

x2y

1

x3y = 0

8. y(iv) +6

xy +

6

x2y = 0

9.2

xy +

4

x2y

1

x3y +

1

x4y = 0


1. y = c1x3 +c2

x2

2. y = c1x2 +c2x

3. y = c1x3/2 +c2x

4. y = c1x2 + c2x

5

23

2 + c3x

5

23

2

5. y = c1x +c2

x+c3 ln (x)

x

6. y = c1x+c2 cos

(32ln (x)

)x

+c3 sin

(32ln (x)

)x

7. y = c1x+ c2 ln (x) x+ c3x (ln (x))2

8. y = c1 + c2 ln (x) +c3

x+ c4x

9. y = c1x+ c2x

2

2 + c3x

2

2


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Resolver las EDO lineales homogneas asociadas

1. y + 16y = e3x

2. 4y 12y + 9y = 6e3x/2

3. y + 8y + 16y = 10e4x

4. y + 2y + 2y = 2(x + 1)2

5. y 4y 5y = 5x3(4 4x x2)

6. y(4) 2y + y = x2 5

7. y(4) y(3) + y = 12x2 24x + ex

8. y y 6y = 2 sin 3x

9. y + y + y = sin2 3x

10. y + 9y = 2 cos 3x + 3 sin 3x

11. y(4) + y 2y = cos2x

12. y + 4y + 5y = e2x cos 3x

13. 4y 5y + y = ex(sin 2x cos 2x)

14. y + 4y = 3x 1

15. y(5) + 2y(4) y = 17

16. y + y = sin x+ x cos x

17. y(4) 5y + 4y = ex xe2x 18. y(5) + 2y(3) + y = 3x2 1


1. y = c1 cos (4 x) + c2 sin (4 x)

2. y = c1e3

2x + c2xe

3

2x

3. y = c1e4x + c2xe4x

4. y = c1ex cos (x) + c2ex sin (x)

5. y = c1e5x + c2ex

6. y = (c1 + c2 x)ex + (c3 + c4 x)ex

7. y = c1 + c2x+ c3e1

2x cos

(32x)+ c4e

1

2x sin

(32x)

8. y = c1e3x + c2e2x

9. y = c1e1

2x cos

(32x)+ c2e

1

2x sin

(32x)

10. y = c1 cos (3 x) + c2 sin (3 x)

11. y = c1ex + c2ex + c3 cos(

2x)+ c4 sin

(2x)

12. y = c1e2x cos (x) + c2e2x sin (x)

13. y = c1ex + c2e1/4x

14. y = c1 + c2 cos (2 x) + c3 sin (2 x)

15. y = c1 + c2x+ c3ex + c4e(

5

21

2

)x+ c5e

(1

2

5

2

)x

16. y = c1 cos (x) + c2 sin (x)

17. y = c1ex + c2xe2x + c3e2x + c4ex

18. y = c1 + (c2 + c4x) cos (x) + (c3 + c5x) sin (x)


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