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Barranquilla, 16 de septiembre de 2015
UNIVERSIDAD DEL NORTEDIVISIN DE CIENCIAS BSICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS Y ESTADISTICASECUACIONES DIFERENCIALES - TALLER 8
EJERCICIOS
Ejemplo 1
Obtenga la solucin general de la EDO homognea asociada a
(x2 9
)2 d2ydx2
4 x(x2 9
) dydx
+(6 x2 + 18
)y =
(x2 9
)3x2
si se tiene que y1 = x3 9 x es una solucin de la homognea asociada.
Solucin
Se debe encontrar una solucin y2(x) tal que {y1, y2} formen un CFS para la EDO.
Paso I: Expresar la EDO en forma estandar:
Esto es:(x2 9
)2 d2ydx2
4 x(x2 9
) dydx
+(6 x2 + 18
)y =
(x2 9
)3x2
d2y
dx2
4 x
(x2 9)
dy
dx+
(6 x2 + 18
)
(x2 9)2y =
(x2 9
)x2
entonces P(x) := 4 x
(x2 9)
Paso II: Aplicar reduccin de orden con y1 = x3 9 x :
De la formula de reduccin de orden, se tiene que
y2(x) = y1(x)
e
P(x)dx
y21(x)dx
Por lo que
a.) P(x)dx =
4 x
(x2 9)dx = 2 ln
(x2 9
)= ln
(x2 9
)2
b.)
eP(x)dx
y21(x)=
(x2 9
)2(x3 9 x)2
=
(x2 9
)2(x(x2 9))2
=1
x2
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c.) e
P(x)dx
y21(x)dx =
1
x2dx =
1
x
d.)
y2(x) = y1(x)
e
P(x)dx
y21(x)dx = (x3 9 x) (1
x) =
(x2 9
)= 9 x2
Paso III: Escribir la solcuin general
La solucin general para la EDO
(x2 9
)2 d2ydx2
4 x(x2 9
) dydx
+(6 x2 + 18
)y = 0
toma la formay = C1y1 + C2y2 = C1(x
3 9 x) + C2(9 x2)
Si bien y2(x) S0, verifiquemos tal propiedad.
y2 = 9 x2; y
2 = 2x; y
2 = 2
entonces
d2y
dx2
4 x
(x2 9)
dy
dx+
(6 x2 + 18
)
(x2 9)2y?= 0
24 x
(x2 9)(2x) +
(6 x2 + 18
)
(x2 9)2
(9 x2)?= 0
2+8 x2
(x2 9)
(6 x2 + 18
)(x2 9)
?= 0
2+8 x2 6 x2 18
(x2 9)
?= 0
2+2( x2 9)
(x2 9)
?= 0
0X= 0
Comprobemos por ltimo que {y1, y2} es l.i., para esto calculemos el Wronskiano
W =
x3 9 x 9 x2
3x2 9 2x
= (9x2)
x 1
3x2 9 2x
= (9x2)(2x2(3x29)) = (9x2)2 6= 0
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Ejemplo 2
Resolver6y + y 2y = 0
Solucin
La EDO lineal dada es de coeficientes constantes. Las soluciones se asumen de la forma y = erx,entonces
y = erx, y = rerx, y = r2erx.
Reemplazando en la EDO se obtiene la ecuacin caracterstica:
6r2 + r 2 = 0
cuyas raices son:
r1,2 =1
(1)2 4 6 (2)
12=
1 712
=
1
2
2
3
por lo tanto las soluciones estan dadas por
y1 = e1
2x y y2 = e
2
3x
Ejemplo 3
Resolver4y + 12y + 9y = 0
Solucin
La EDO lineal dada es de coeficientes constantes. Entonces la ecuacin caracterstica esta dada por
4r2 + 12r + 9 = 0
cuyas raices son:
r1,2 =12
(12)2 4 4 98
= 3
2
por lo tanto las soluciones estan dadas por
y1 = e3
2x y y2 = xe
3
2x
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Ejemplo 4
Resolver3y 2y + y = 0
Solucin
La EDO lineal dada es de coeficientes constantes. La ecuacin caracterstica toma la forma
3r2 2r + 1 = 0
cuyas raices son:
r1,2 =24 12
6=
1
3
2
3
por lo tanto las soluciones estan dadas por
y1 = e1
3x cos
2
3x y y2 = e
1
3x sin
2
3x
Ejemplo 5
Resolvery(iv) + y = 0
Solucin
La ecuacin caracteristica asociada a la EDO esta dada por r4 + r = 0, esto es, para obtener lassoluciones y = erx de la EDO, los valores de r deben satisfacer dicha ecuacin. Resolviendo para r,tenemos que
r4 + r = r(r3 + 1) = 0 r = 0 r3 + 1 = 0De donde:
r1 = 0 es una raz de multiplicidad 1
Para encontrar las races de r3 + 1 = 0, se observa que por el teorema de ce-ros racionales {1} son las nicas posibles ceros racionales del polinomio, puedeprobar que r = 1 es una raz y por tanto r (1) = r + 1 es un factor der3 + 1. Aplicando divisin sinttica a la divisin entre r3 + 1 y r + 1 se obtiene
1 0 0 1
1 1 1 1
1 1 1 0
r3 + 1 = (r + 1)(r2 r+ 1) = 0
r + 1 = 0 r2 r + 1 = 0
r2 = 1 r3,4 =1
23
2
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En conclusin las races de la ecuacin r4 + r = 0 son
r1 = 0, r2 = 1, r3 =1
2+
3
2 r4 =
1
2
3
2
y la solucin general de la ecuacin diferencial lineal esta dada por
y(x) = c1 + c2ex + c3e
1
2x cos
(32x)+ c4e
1
2x sin
(32x)
Ejemplo 6
Determine la solucin general de
5y(4) + 4y(3) y(2) 10y + 2y = 0
Solucin
Al ser la EDO lineal de coeficientes constantes, entonces la ecuacin caracterstica de la EDO ante-rior es
5r4 + 4r3 r2 10r + 2 = 0
Aplicando el teorema de ceros racionales, tenemos que
A = {p : p es divisor de a0 = 2} = {1,2} B = {q : q es divisor de an = 5} = {1,5}
posibles races racionales ={z =
p
q: p A, q B
}={ 1,1
5,2,2
5
}Al evaluar en el polinomio T(r) = 5r4 + 4r3 r2 10r+ 2 los posibles ceros racionales se tiene que
r 1 1 15
15
2 2 25
25
T(r) 0 12 0 492125
90 66 222125
714125
es decir, r = 1 y r = 15son raices de la ecuacin polinmica. A continuacin se factoriza aplicando
argumentos de divisin sinttica, de donde obtenemos que
5r4 + 4r3 r2 10r + 2 = 5(r 1)(r
1
5
)(r2 + 2r + 2) = 0
En conclusin las races de la ecuacin 5r4 + 4r3 r2 10r + 2 = 0 son
r1 = 1, r2 =1
5, r3 = 1+ r4 = 1
As r1 = 1 y r2 = 15 son raices con multiplicidad 1 y la otras dos races restantes r3,4 son complejascon = 1 y = 1Observe que la ecuacin diferencial lineal es de orden 4 y por lo tanto se necesitan 4 funciones queformen un CFS para la EDO. En consecuencia, la solucin general de la EDO esta dada por
y(x) = c1ex + c2e
1
5x + c4e
x cos(x) + c5ex sin(x)
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Ejemplo 7
Resolvery(v) + 6y(iv) + 15y + 26y + 36y + 24y = 0
Solucin
Al ser la EDO lineal de coeficientes constantes, entonces la ecuacin caracterstica de la EDO ante-rior es
r5 + 6r4 + 15r3 + 26r2 + 36r + 24 = 0
Aplicando el teorema de ceros racionales, tenemos que
A = {p : p es divisor de a0 = 24} = {1,2,3,4,6,8,12,24}B = {q : q es divisor de an = 1} = {1}
posibles races ={z =
p
q: p A, q B
}= {1,2,3,4,6,8,12,24}
verificando cada una de las anteriores posibilidades, se encuentra que r = 2 es una raz de laecuacin polinmica. Factorizando aplicando argumentos de divisin sinttica tenemos que
r5 + 6r4 + 15r3 + 26r2 + 36r + 24 = (r + 2)3(r2 + 3) = 0
As r = 2 es una raz con multiplicidad 3 y la otras dos races restantes son complejas con = 0 y =
3
r1 = 2, con multiplicidad 3 r2 =3 r3 =
3
En consecuencia, la solucin general de la EDO esta dada por
y(x) = e2x(c1 + c2x+ c3x2) + c4 cos(
3x) + c5 sin(
3x)
Observe que la ecuacin diferencial lineal es de orden 5 y por lo tanto se necesitan 5 funciones queformen un CFS para la EDO.
Ejemplo 8
Resolver4x2y 8xy + 9y = 0
Solucin
La EDO lineal dada es de la forma Cauchy-Euler Por qu? Entonces se asumen soluciones de laforma y = xr con x > 0; de donde
y = xr, y = rxr1, y = r(r 1)xr2,
y a reemplazar en la EDO se tiene que la ecuacin caracterstica es
4r(r 1) 8r + 9 = 4r2 12r + 9 = 0.
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Por lo tanto, el problema se traslada a encontrar valores r que satisfagan la ecuacin cuadrtica4r2 12r + 9 = 0, esto es
r1 = r2 =12
0
8=
3
2
Entonces, la solucin general de la EDO es
y(x) = c1x3/2 + c2x
3/2ln x
Ejemplo 9
Resolverx3y + 4x2y 2y = 0
Solucin
Ya que la EDO lineal es de la forma Cauchy-Euler, se asumen soluciones de la forma y = xr conx > 0; de donde
y = xr, y = rxr1, y = r(r 1)xr2, y = r(r 1)(r 2)xr3,
y a reemplazar en la EDO se tiene que la ecuacin caracterstica es
r(r 1)(r 2) + 4r(r 1) 2 = r3 + r2 2r 2 = 0
Las posibles races son {1,2} y se encuentra que r = 1 es una raz. Factorizando utilizandoargumentos de divisin sinttica se obtiene
r3 + r2 2r 2 = (r + 1)(r2 2) = 0
esto es, el polinomio posee tres races reales 1,2 y
2. En consecuencia, la solucin general de
la EDO es
y(x) = c1x1 + c2x
2 + c3x
2
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Grupo de ejercicios E1
Para cada una de las siguientes ecuaciones se da una solucion y1(x). Encuentre la solucin generalde la ecuacin diferencial
1. 4x2y + y = 0, y1(x) =x
2. x2y + 3xy + y = 0, y1(x) = 1/x
3. (x4 x2)y (3x3 x)y + 8y = 0,y1(x) = x
4
4. (1+ x3)y 3x2y + 3xy = 0, y1(x) = x
5. (x+ 1)y (x+ 2)y + y = 0, y1(x) = ex
6. (1 x2)y 2xy + 2y = 0, y1(x) = x
7. x2y 2xy + (x2 + 2)y = 0,y1(x) = x cos(x)
8. xy 2(x + 1)y + 4y = 0, y1(x) = e2x
9. xy + (x 1)y y = 0, y1(x) = ex
Respuestas seleccionadas E1
1. y = c1x+ c2
x ln (x)
2. y =c1
x+c2 ln (x)
x
3. y = c1x4 + c2(3x22)
x2
4. y = c1x + c2(12x3 1
)
5. y = c1ex + c2 (2+ x)
6. y = c1x+ c2(1+ x
2ln(x1x+1
))
7. y = c1x cos (x) + c2x sin (x)
8. y = c1e2x + c2(1+ 2 x + 2 x2
)
9. y = c1ex + c2 (x 1)
Grupo de ejercicios E2
Determine en cada caso la solucin general de la EDO homognea asociada, si la funcin y1 essolucin de la ecuacin diferencial homognea asociada.
1.(x 3)2y + 5(x 3)y + 3y = x, y1 =
1
x 3
2. (x2 + 2
)y 4 xy +
(6 x2 4
)x2 + 2
y =(x2 + 2
)2e2x, y1 = x2 + 2
3.x2y x(x+ 2)y + (x+ 2)y = x3 2x4, y1 = x
Respuestas seleccionadas E2
1.y (x) =
C1
(x 3)3+
C2
x 3
2.
y (x) = C1
(x2 + 2
)+ C2 x
(x2 + 2
)
3.
y (x) = C1 x+ C2 exx
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Grupo de ejercicios E3
Resolver las siguientes EDO lineales
1. y + 5y 7y = 0
2. y + 5y + 8y = 0
3. y 7y + 6y = 0
4. y + y y y = 0
5. y 2y y + 2y = 0
6. y 8y = 0
7. y(iv) 4y + 6y 4y + y = 0
8. y(iv) 8y + 16y = 0
9. y(iv) + 2y + y = 0
10. y(vi) y = 0
11. y(vi) 3y(iv) + 3y y = 0
12. y(iv) + y = 0
13. 3y(iv) + 5y = 0
14. 3y(4) + 5y = 0
15. y y = 0
Respuestas seleccionadas E3
1. y = c1e(5
2+
53
2
)x+ c2e
(5
2
53
2
)x
2. y = c1e5
2x cos
(72x)+c2e
5
2x sin
(72x)
3. y = c1ex + c2e2x + c3e3x
4. y = c1ex + c2ex + c3xex
5. y = c1ex + c2e2x + c3ex
6. y = c1e2x + c2ex cos(
3x)+ c3ex sin
(3x)
7. y = ex(c1 + c2x+ c3x
2 + c4x3)
8. y = e2x (c1 + c2x) + e2x (c3 + c4x)
9. y = cos x(c1 + c3x) + sin x(c2 + c4x)
10. y = c1ex+ c2ex+ c3e1
2x cos
(32x)+
c4e1
2x sin
(32x)+ c5e
1
2x cos(
32x)+
c6e1
2x sin
(32x)
11. y = ex(c1 + c2x+ c3x
2)+ ex
(c4 + c5x+ c6x
2)
12. y = c1 + c2ex + c3e1
2x cos
(32x)+
c4e1
2x sin
(32x)
13. y = c1 + c2x+ c3 cos(
153
x)+ c4 sin
(153
x)
14. y = c1 + c2x+ c3x2 + c4e5
3x
15. y = c1ex + c2e1
2x cos
(32x)+ c3e
1
2x sin
(32x)
Grupo de ejercicios E4
Resuelva los siguientes problemas de valores iniciales
1.
{y + 4y = 0
y(0) = 1 y (0) = 2
2.
{y + 9y = 0
y(0) = 1 y (0) = 0
3.
{y 2y + y = 0
y(0) = 0 y (0) = 0 y (0) = 1
4.
{y(4) 4y = 0
y(0) = y (0) = 1 y (0) = y (0) = 1
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Respuestas seleccionadas E4
1. y = cos (2 x) + sin (2 x)
2. y = cos (3 x)
3. y = 1 ex + xex
4. y = 54+ 5
4x 3
16e2x 1
16e2x
Grupo de ejercicios E5
Resolver las siguientes EDO lineales del tipo Cauchy-Euler
1. x2y 6y = 0
2. y 1
2xy
1
x2y = 0
3. y +1
2xy
3
2x2y = 0
4. y +4
xy
3
x2y
2
x3y = 0
5. y +4
xy +
1
x2y
1
x3y = 0
6. y +3
xy +
1
x2y
1
x3y = 0
7. y +1
x2y
1
x3y = 0
8. y(iv) +6
xy +
6
x2y = 0
9.2
xy +
4
x2y
1
x3y +
1
x4y = 0
Respuestas seleccionadas E5
1. y = c1x3 +c2
x2
2. y = c1x2 +c2x
3. y = c1x3/2 +c2x
4. y = c1x2 + c2x
5
23
2 + c3x
5
23
2
5. y = c1x +c2
x+c3 ln (x)
x
6. y = c1x+c2 cos
(32ln (x)
)x
+c3 sin
(32ln (x)
)x
7. y = c1x+ c2 ln (x) x+ c3x (ln (x))2
8. y = c1 + c2 ln (x) +c3
x+ c4x
9. y = c1x+ c2x
2
2 + c3x
2
2
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Grupo de ejercicios E6
Resolver las EDO lineales homogneas asociadas
1. y + 16y = e3x
2. 4y 12y + 9y = 6e3x/2
3. y + 8y + 16y = 10e4x
4. y + 2y + 2y = 2(x + 1)2
5. y 4y 5y = 5x3(4 4x x2)
6. y(4) 2y + y = x2 5
7. y(4) y(3) + y = 12x2 24x + ex
8. y y 6y = 2 sin 3x
9. y + y + y = sin2 3x
10. y + 9y = 2 cos 3x + 3 sin 3x
11. y(4) + y 2y = cos2x
12. y + 4y + 5y = e2x cos 3x
13. 4y 5y + y = ex(sin 2x cos 2x)
14. y + 4y = 3x 1
15. y(5) + 2y(4) y = 17
16. y + y = sin x+ x cos x
17. y(4) 5y + 4y = ex xe2x 18. y(5) + 2y(3) + y = 3x2 1
Respuestas seleccionadas E6
1. y = c1 cos (4 x) + c2 sin (4 x)
2. y = c1e3
2x + c2xe
3
2x
3. y = c1e4x + c2xe4x
4. y = c1ex cos (x) + c2ex sin (x)
5. y = c1e5x + c2ex
6. y = (c1 + c2 x)ex + (c3 + c4 x)ex
7. y = c1 + c2x+ c3e1
2x cos
(32x)+ c4e
1
2x sin
(32x)
8. y = c1e3x + c2e2x
9. y = c1e1
2x cos
(32x)+ c2e
1
2x sin
(32x)
10. y = c1 cos (3 x) + c2 sin (3 x)
11. y = c1ex + c2ex + c3 cos(
2x)+ c4 sin
(2x)
12. y = c1e2x cos (x) + c2e2x sin (x)
13. y = c1ex + c2e1/4x
14. y = c1 + c2 cos (2 x) + c3 sin (2 x)
15. y = c1 + c2x+ c3ex + c4e(
5
21
2
)x+ c5e
(1
2
5
2
)x
16. y = c1 cos (x) + c2 sin (x)
17. y = c1ex + c2xe2x + c3e2x + c4ex
18. y = c1 + (c2 + c4x) cos (x) + (c3 + c5x) sin (x)
NRC: 4232,4235 (RP) - 4231 (CD) - 4233 (EB) - 4234 (CDO)Prof. Catalina Domnguez - Prof. Ricardo Prato T.
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