Barranquilla, 24 de octubre de 2015

Universidad del Norte

Division de Ciencias basicas

Analisis Numerico - Taller 05

Ejercicios E1

1. Determine la norma 2 de las siguientes matrices usando los programas implementados enclase. Determine el numero de condicion sin calcular explicitamente la matriz A1. Expliquesus procedimientos y proporcione los parametros utilizados en la ejecucion de su script.

a)

A =

14 30 4224 49 66

12 24 32

b)

A =

7 6 312 20 246 12 16

c)

A =

2,5 2,5 3,0 0,50 5 2 2

0,5 0,5 4 2,52,5 2,5 5 3,5

d)

A =

4 3 2 13 4 3 22 3 4 31 2 3 4

e)

A =

3 2 i 3i3 + i 0 1 i

3i 1 + i 0

2. Muestre que si A es normal entonces

(A) =maxmn

,donde max y mn, son respectivamente los valores propios maximal y minimal (en modulo)de A.

3. Cadenas de Markov Una cadena de Markov puede describirse mediante una matriz cuadradaA Rnn con aij > 0 y

nj=1 aij = 1 para cada i = 1, . . . , n. Sea p0 = (x0, y0) un vector que

representa el numero de personas de una ciudad que consumen, respectivamente dos marcas xy y de un cierto producto. Cada mes la gente decide si continua comprando la misma marcao si cambia, de manera que la probabilidad de que alguien que compra x cambie a y es 0.3, ypor otro lado, la probabilidad de que alguien que compra y cambie a x es 0,2. La ecuacion detransicion para esta cadena mensual es

pk+1 = Apk =

[0,8 0,30,2 0,7

]pk

Si se verifica que Av = v, se dice que v es una distribucion o un estado estable de la cadena deMarkov. Si existe un estado estable = 1 debe ser un autovalor de A y V su correspondientevector propio asociado.

a) Pruebe que = 1 es un valor propio de A y (3/2, 1)T su correspondiente vector propio.

NRC: 1117Prof. Catalina Domnguez

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b) Suponiendo que la poblacion inicial es de 60000 habitantes, y usando los programas vistose implementados en clase, aproxime la distribucion estable. Explique su procedimiento.

4. Supongamos que la industria del cafe en una cierta ciudad se concentra en cinco marcasc1, c2, c3, c4, c5. Supongamos que se venden 60 toneladas del cafe al mes de manera que elconsumo es de 3 kilos de cafe al mes por persona y que, independientemente de la marca, cadakilo de cafe vendido produce un beneficio de un dolar. Se ha determinado empricamente que lamatriz de transicion mensual entre las marcas es la siguiente matriz A en la que aij representala probabilidad de que una persona que compra la marca cj pase a comprar la marca ci

A =

0,1 0,2 0,2 0,6 0,20,1 0,1 0,1 0,1 0,20,1 0,3 0,4 0,1 0,20,3 0,3 0,1 0,1 0,20,4 0,1 0,2 0,1 0,2

Un agencia de publicidad garantiza a la empresa que produce la marca c1, que por 40 millonesde dolares al ano, puede cambiar la primera columna de la matriz de manera que pase a ser

[0,3 0,1 0,1 0,2 0,3

]T Debe la empresa que produce la marca c1 aceptar la oferta de la agencia de publicidad ?Argumente y explique sus conclusiones.

Tarea 5

Puntos a entregar: 1,4. Debe entregar o colocar dentro de su documento losprogramas usados en la resolucion de los tems.

Fecha de entrega: Jueves 29 de Octubre de 2015, hasta el inicio de la clase.

NRC: 1117Prof. Catalina Domnguez

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