ejercicios03

Tallersemana3(09.02.15-13.02.15)Ecuaciones

diferenciales

NRC:2997,3000(R

P)-2998,2999(C

D)-3001

(EB)

Barranquilla, 11 de febrero de 2015

Universidad del Norte

Division de ciencias basicas

Departamento de matematicas y estadisticas

Ecuaciones diferenciales - Taller 3

Ejercicios

Ejemplo 1

Considere el siguiente PVI

dx

dy= x2 + x3 6x

x(y0) = x0

(a) Determine una familia de soluciones para la EDO.

(b) Determine la solucion cuando (y0, x0) = (3, 2).

(c) Determine la solucion cuando (y0, x0) = (1, 1).

(d) Realice un bosquejo de las soluciones anteriores.

Solucion

(a) La EDOdx

dy= x2 + x3 6x

es autonoma y por tanto se puede resolver aplicando el metodo de separacion de variables, esdecir se tiene

dx

dy= x2 + x3 6x

1

x2 + x3 6xdx

dy= 1

dx

x2 + x3 6x =

dy + C

Como x2 + x3 6x = x(x2 + x 6) = x(x+3)(x 2), entonces aplicando fracciones simples enel lado izquierdo se obtiene que la familia de soluciones viene dada por

1

10ln (x 2) + 1

15ln (x+ 3) 1

6ln (x) = y + C

(b) Primero se analiza la existencia de soluciones constantes (o de equilibrio) de la EDO, estas seobtienen al resolver la ecuacion

x2 + x3 6x = 0

NRC: 2997,3000 (RP) - 2998,2999 (CD) - 3001 (EB)Prof. Catalina Domnguez - Prof. Ricardo Prato T.

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entonces dichas soluciones son x(y) = 0, x(y) = 2 y x(y) = 3. Se observa que x(y) = 2 satisfaceel PVI (Por que?) y como el teorema de existencia y unicidad garantiza unica solucion del PVI,entonces la solucion es x(y) = 2 .

(c) El punto (1, 1) NO se encuentra sobre una solucion constante de la EDO, entonces debemosencontrar la solucion en la familia de soluciones de la parte (a). En este caso

1

10ln (1 2) + 1

15ln (1 + 3) 1

6ln (1) = 1 + C

1

15ln (4) = 1 + C

C =1

15ln (4) 1

entonces la solucion viene dada por

1

10ln (x 2) + 1

15ln (x+ 3) 1

6ln (x) = y +

1

15ln (4) 1

(d)

1

2

11 2 3123

b

1

2

11 2 3123

b

Ejemplo 2

Aplicando separacion de variables resuelva la EDO

sin(x+ y) dx+ sin y(csc x dy cos x dx) = 0

Solucion

Recuerde: sin( ) := sin () cos () cos () sin ()

Aplicando la identidad de seno de una suma y multiplicando obtenemos

sin(x+ y) dx+ sin y(csc x dy cos x dx) = 0(sinx cos y + cos x sin y) dx+ sin y cscx dy sin y cosx dx = 0sinx cos y dx+ cos x sin y dx+ sin y cscx dy sin y cosx dx = 0

sinx cos y dx+ sin y csc x dy = 0


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Utilizando separacion de variables

sinx cos y dx = sin y csc x dysinx

csc xdx = sin y

cos ydy

sin2 x dx = tan y dysin2 x dx =

tan y dy + C

12sinx cos x+

1

2x = ln (cos y) + C

La solucion en forma implicita toma la forma

ln (cos y) +1

2sinx cos x 1

2x+ C = 0

o en forma explicita

y = arc cos

(exp

(12sinx cos x+

1

2x+ C

))

Ejemplo 3

Resolver el siguiente PVI

exyx3 +

1 2yx

ey2 dy

dx= 0, y(0) = 1

Solucion

Tenemos

dy

dx= e

xy x31 2y

xey

2

= exey

x3x

(1 2y) ey2= e

xeyx4

(1 2y) ey2= e

x x2 ey

(1 2y) ey2

= ex x2

(1 2y) ey2ey= e

x x2

(1 2y) ey2+y.

Observe que la anterior ecuacion es de variables separables, entonces(1 2y) ey2+ydy =

ex x2 dx+ C

Usando la sustitucion u = y2 + y, la primera integral es(1 2y) ey2+ydy =

eudy = eu = ey

2+y


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y la segunda integral se resuelve usando integracion por partesex x2 dx = x2ex

2xexdx = x2ex

(2xex

2exdx

)= x2ex (2xex 2ex) = ex(x2 2x+ 2)

por lo tanto la solucion general de la ecuacion diferencial es

ey2+y = ex(x2 2x+ 2) + C

Ahora encontremos el valor de C para determinar la solucion del PVI. En x = 0 tenemos y = 1, asi

e0 = e0 2 + C C = 3

entonces la solucion al PVI es

ey2+y = ex(x2 2x+ 2) + 3

Ejemplo 4

Determine la solucion general de la siguiente ecuacion diferencial

xdy

dx+ 6y = 3xy4/3

usando la sustitucion u = y1/3.

Solucion

Solucion: Observe que la ecuacion no es de variables separables ni de coeficientes homogeneos.Utilicemos la sustitucion sugerida, despejemos la variable y

u = y1/3 u = 1y1/3

y1/3 = 1u

y = 1u3

por tantody

dx=3u4

du

dx

reemplazando en la ecuacion

x3u4

du

dx+ 6u3 = 3x (u3)4/3

3xu4

du

dx+ 6u3 = 3xu4

llevemos la ecuacion a la forma normal

3xu4

du

dx= 3xu4 6u3

du

dx=

(3xu4 6u3

)u4

3x =3x 6u3x = 1 +

2u

x


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entoncesdu

dx= 1 + 2u

x

observe que la anterior ecuacion no es de variables separables, pero si de coeficientes homogeneos.

Haciendo la sustitucion u = v x tenemosdu

dx= x

dv

dx+v, obtenemos la ecuacion de variables separables

xdv

dx+ v = 1 + 2v dv

dx=1 + 2v v

x=1 + v

x,

as, 1

v 1dv =

1

xdx+ C

y por tantoln |v 1| = ln |x|+ C esto es v = Cx+ 1

puesto que v =u

x=

y1/3

x=

1

xy1/3entonces

1

xy1/3= Cx+ 1 y(x) = 1

x3(Cx+ 1)3

Ejercicios E1

Encuentre la solucion de los siguientes problemas de valor inicial

1. {x = (x3 + 4x2 + x 6) ln yx(2) = 3

2. {x = (x3 + 4x2 + x 6) ln yx(2) = 2

3. {x = (x4 1)y cos (y)x(0) = 1

4. {x = (x4 1)y cos (y)x(0) = 2

Respuestas Ejercicios E1

1.x(y) = 3

2.

y ln (y) y 112

ln (x 1) 14ln (x+ 3) +

1

3ln (x+ 2) 8

3ln (2) + 2 +

1

4ln (5) = 0

3.x(y) = 1

4.

cos (y) + y sin (y) +1

4ln (x+ 1) 1

4ln (x 1) + 1

2arctan (x) 1 + 1

4ln (3) +

1

2arctan (2) = 0


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Ejercicios E2

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales

1.ey

2

x dx+ (x2 + 1)y dy = 0

2.ex+y sinx dx+ (2y + 1)ey

2

dy = 0

3.x ln(xy)dx+ ln y(dy x dx) = 0

4.dy

dx=

y2 9x2 + 4


1. Explicita: y (x) = ln (ln (x2 + 1) + C)

Implicita: ln(x2 + 1

) e(y(x))2 = C2. Explicita: y (x) = 1

2 1

2

1 4 ln

(12cos (x) ex +

1

2sin (x) ex + C

)

Implicita: 12cos x ex +

1

2sinx ex ey(x)(y(x))2 = C

4. Explicita: y (x) = 3 Ce3 arctan( 1

2x) + 1

Ce3 arctan(1

2x) 1

Implicita: arctan

(1

2x

) 1

3ln (3 + y (x)) + 1

3ln (y (x) + 3) = C

Ejercicios E3

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la sustitucion que se indica

1.(y2 lnx) dx+ xy3 dy = 0, x = eu, y = v

2.(2x 2y + xex) dx (2x 2y 1) dy = 0, x y = u

3.x(x+

y) dx+ 2

y dy = 0, y = u2

4.y2ex dx+ (1 + yex) dy = 0 y = uex


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1. 14 ln( (y (x))4 2 (y (x))2 lnx+ 2 (lnx)2

)+

36 arctanh

(36

(2 (y(x))22 lnx)ln(x)

)= C

2. (x y)2 + y + xex ex = C4. x ln (y (x) ex) y (x) ex = C

Ejercicios E4

Determine si las ecuaciones siguientes contiene factores homogeneos, en caso afirmativo determinesu solucion.

1.y(ln

y

x+ 1

)dx x ln y

xdy = 0

2.

y =y2

x2 + y2

3.dx

dt= x

2 + t2

2xt


2. Si,

23

3arctan

(3

3

(x 2 y (x))x

) ln

(y (x)

x

) lnx = C

3. Si,

(x (t))2 +1

3t2 C

t= 0


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