48 1. Vectores geométricos

1.14 Ejercicios

1. Para cada literal dibujar el vector con las características descritas.

a)°°°−−→AB°°° = 5 y dir ³−−→AB´ = 20o.

b) k−→v k = 2 y dir (−→v ) = 180o.c) k−→w k = 1

2 y dir (−→w ) = 240o.

2. Sean −→u ,−→v y −→w vectores del plano. Probar

a) −→u +−→v = −→u +−→w si y sólo si −→v = −→w.b) Si −→u +−→v = −→w entonces −→u = −→w −−→v .

3. Sean A,B,C y D puntos del plano tales que D está sobre el segmento AB y sudistancia al punto A es 2

3 de la distancia entre A y B. Si E es el punto medio del

segmento de recta AC, expresar el vector−−→DE en términos de

−−→AB y

−→AC.

4. Suponiendo que−−→AD = 1

4

−−→AB y

−−→BE = 1

2

−−→BC, expresar

−−→DE en términos de

−−→AB y

−−→BC.

5. Sean A y B y O puntos del plano tales que O no pertenece a la recta que pasa porA y B. Probar que el segmento de recta AB está dado por

AB =nP Á

−−→OP = (1− λ)

−→OA+ λ

−−→OB, 0 ≤ λ ≤ 1

o.

6. Dos remolcadores A y B llevan un barco a un puerto. El remolcador A ejerce unafuerza de 7000 lbf sobre su cable con dirección de 80o. El remolcador B ejerce unafuerza de 5000 lbf con dirección de 20o. Hacer un gráfico que muestre la fuerzaresultante y hallar la magnitud y dirección de dicha fuerza.

7. Un avión viaja a una velocidad de 100 millas por hora (respecto al viento) hacia elsureste y el viento tiene una velocidad de 30 millas por hora (respecto a la tierra)hacia el nordeste. ¿Cuál es la velocidad resultante del avión con respecto a la tierra?.

8. Dos autos parten al mismo tiempo de un punto O. El primero se desplaza a unavelocidad de 40 km/h en dirección S 60o O y el segundo con una velocidad de 30km/h hacia el sureste. Representar gráficamente esta situación y calcular la distanciaentre los dos autos cuando han transcurrido dos horas.

9. Un nadador, con una velocidad de nado de 1.5 km/h con respecto al agua, parte dela rivera de un río y nada hacia el norte a través del río. Si la corriente del río fluyehacia el este a 0.8 km/h, hallar:

a) La dirección del desplazamiento del nadador, con respecto a la orilla del río.

b) La velocidad del nadador con respecto a la tierra.

c) Suponga que el ancho del río es 1 km. ¿Qué tan lejos, río abajo, el nadador alcanzala otra orilla?.

10. Sea ABCD un cuadrilátero y sean P,Q,R y S los puntos medios de sus ladosAB,BC,CD yDA respectivamente. Demostrar, utilizando vectores geométricos, queP,Q,R y S son los vértices de un paralelogramo.

11. Sean −→x y −→y vectores del plano. Demostrar que −→x +−→y es paralelo a −→x si y sólo si−→y es paralelo a −→x .

1.14. Ejercicios 49

12. Sean A y B puntos distintos. Si P es un punto tal que−−→OP = n

m+n

−→OA+ m

m+n

−−→OB para

algunos enteros positivos m y n, demostrar que P,A y B son colineales y P divide

el segmento de recta AB en la proporción m : n, es decir,

°°°−→AP°°°°°°−−→PB°°° = m

n.

13. Sean−→OA,

−−→OB ,

−−→OC vectores distintos en un plano. Probar que A,B y C son colineales

si y sólo si existen escalares α, δ, γ distintos de cero tales que

α−→OA+ δ

−−→OB + γ

−−→OC =

−→O y α+ δ + γ = 0.

14. Sean A,B y C los vértices de un triángulo y O cualquier punto del plano.

a) Sea P el punto del segmento que une el punto A con el punto medio del lado BCtal que la distancia de P al punto A es el doble de la distancia de P al punto mediode BC. Probar que

−−→OP =

1

3

³−→OA+

−−→OB +

−−→OC

´.

b) Aplicar el resultado en a) para probar que las tres medianas de un triángulo secortan en un punto cuya distancia a cada vértice es igual a 2

3 de la longitud de lamediana trazada desde el respectivo vértice. (El punto de intersección de la medianasde un triángulo se conoce como el baricentro del triángulo).

15. Demostrar vectorialmente que las diagonales de un paralelogramo se cortan en supunto medio.

16. Tres vectores del plano tienen 6, 5 y 4 unidades de longitud. El primero y el segundoforman un ángulo de 50o, mientras que el segundo y el tercero forman un ángulo de75o. Encontrar la magnitud del vector suma y el ángulo entre dicho vector suma y elvector dado de mayor longitud.

17. Sea −→v un vector tal que k−→v k = 4 y dir (−→v ) = 45o.

a) Dibujar un vector −→x tal que k−→x k = 9 y dir (−→x ) = dir (−→v ) .

b) Dibujar un vector −→y tal que k−→y k = 5 y la dirección de −→y es la opuesta a ladirección de −→v .

c) Expresar los vectores −→x y −→y como múltiplos escalares del vector −→v .

18. Dados los vectores geométricos −→v ,−→u y −→w tales que k−→v k = 5, k−→u k = 8, k−→wk = 10,dir (−→v ) = 60o, dir (−→u ) = 120o y dir (−→w ) = 180o,

a) Dibujar los vectores −→v ,−→u y −→w.

b) Encontrar la descomposición de −→w en las direcciones de −→u y −→v (es decir, hallarescalares a y b tales que −→w = a−→u + b−→v ).

19. Considerar los vectores −→u ,−→v ,−→w que se muestran en la figura, donde k−→u k = 2,k−→v k = 3 y k−→w k = 4.

50 1. Vectores geométricos

Encontrar la descomposición de −→w en las direcciones de −→u y −→v .

20. Hallar la descomposición canónica de cada uno de los siguientes vectores:

a) −→v tal que k−→v k = 6 y dir (−→v ) = 225o.b) −→u tal que k−→u k = 5 y dir (−→u ) = 270o.c) −→w tal que k−→wk = 3 y dir (−→w ) = π

6 radianes.

21. Sean −→u = 2−→i − 5−→j , −→v = 3

−→i +−→j , −→w = −2−→i + 3−→j . Hallar la descomposición

canónica, la magnitud y la dirección de los siguientes vectores:

a) 2−→u −−→v .b) −→u −−→v +−→w.

c) 3−→u + 2−→v −−→w .

22. Si −→u = 3−→i − 4−→j , hallar:a) La magnitud y dirección de −→u .b) La descomposición canónica del vector −→w de magnitud 7 y dirección opuesta a lade −→u .c) La descomposición canónica de cada uno de los vectores de longitud 4

√2 que forma

ángulo de 45o con el vector −→u .

23. Sean P =

µ1

−2

¶, Q =

µ0

1

¶y R =

µ2

3

¶.

a) Hallar la descomposición canónica de cada uno de los vectores−−→QP,

−−→QR y

−→PR.

b) Mostrar que los puntos P,Q y R no son colineales.

c) Si M es el punto medio de segmento PR, hallar la descomposición canónica y lamagnitud de

−−→QM.

d) Si B es el baricentro del triángulo PQR, hallar la descomposición canónica y lamagnitud del vector

−−→QB. Ayuda: Ver ejercicio 14 b).

e) Encontrar el ángulo entre−−→QP y

−−→QR.

f) Sea S el punto de intersección de la bisectriz del ángulo entre−−→QP y

−−→QR con el

segmento PR. Hallar la descomposición canónica de−→QS.

1.14. Ejercicios 51

24. Considerar el diagrama de fuerzas de la siguiente figura.

La fuerza−→F tiene una magnitud de 20Newtons y el sistema se encuentra en equilibrio.

Expresar−→F ,−→T1 y

−→T2 en términos de

−→i y−→j .

25. Para cada par de puntos dados, encontrar un punto R tal que−−→OP =

−−→QR. Dibujar−−→

OP y−−→OR.

a) P =

µ−35

¶, Q =

µ−4−4

¶.

b) P =

µ4

0

¶, Q =

µ2

6

¶.

26. Sean −→u1 =√22

−→i +

√22

−→j , −→u2 = −

√22

−→i +

√22

−→j .

a) Probar que −→u1 y −→u2 son perpendiculares.b) Hallar la descomposición de cada unos de los los vectores

−→i ,−→j y −2−→i + 3−→j en

las direcciones de −→u1 y −→u2.

27. Sea −→w = 7−→i − 5−→j . Para cada par de vectores −→u y −→v dados a continuación

i) Determinar si existen escalares a y b tales que −→w = a−→u + b−→v .ii) Si su respuesta en i) es afirmativa, halle los valores de a y b.

a) −→u = −→i −−→j , −→v = 2−→i − 3−→j .b) −→u = −→i − 2−→j , −→v = −2−→i + 4−→j .

28. Calcular −→v ·−→wa) Si k−→v k = 2, k−→wk = 3 y el ángulo entre −→v y −→w es π

3 radianes.

b) Si −→v = 2−→i − 3−→j y −→w = 2−→i .

29. Sean −→u = 3−→i + 4

−→j y −→v = −→i + α

−→j . Encontrar los valores de α para los cuales se

satisface la condición dada en cada caso.

a) −→u es perpendicular a −→v .b) El ángulo entre −→u y −→v es π

4 radianes.

30. Sean −→u = 3−→i + 4−→j , −→v = 5−→i −−→j y −→w = 7−→i +−→j . Calcular:

a) −→u · (2−→v −−→w ) .b) k−→u k (−→v ·−→w ) .c) k(−→u ·−→v )−→wk .

52 1. Vectores geométricos

31. Para cada par de vectores −→u y −→v dados a continuación, determinar si ellos sonperpendiculares, forman ángulo agudo o forman ángulo obtuso y luego calcular laproyección de −→u sobre −→v .a) −→u = 6−→i +−→j , −→v = 2−→i − 3−→j .b) −→u = −6−→i + 4−→j , −→v = 4−→i + 6−→j .c) −→u = 3−→i −−→j , −→v = −→i + 4−→j .

32. Sean a y b escalares y −→v y −→w vectores.

a) Mostrar que ka−→v + b−→wk2 = a2 k−→v k2 + 2ab (−→v ·−→w ) + b2 k−→wk2 .b) Utilizar a) para demostrar que:

k−→v ±−→w k2 = k−→v k2 ± 2 (−→v ·−→w ) + k−→wk2 .

c) Mostrar que (−→v +−→w ) · (−→v −−→w ) = k−→v k2 − k−→w k2 .

33. Calcular −→u ·−→v sabiendo que −→u +−→v +−→w =−→0 , k−→u k = 5, k−→v k = 6 y k−→w k = 7.

34. Sean −→u y −→w vectores. demostrar:

a) Teorema de Pitágoras: −→v y −→w son perpendiculares si y sólo si k−→v +−→w k2 =k−→v k2 + k−→wk2

b) Ley del paralelogramo: k−→v +−→wk2 + k−→v −−→w k2 = 2 k−→v k2 + 2 k−→wk2 . (Es decir:la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales de un paralelogramo esigual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus cuatro lados.)

c) Identidad de poralización: k−→v +−→w k2 − k−→v −−→w k2 = 4 (−→v ·−→w ) .

35. Demostrar, empleando la identidad de polarización, que las diagonales de un parale-logramo tienen igual longitud si y sólo si el paralelogramo es un rectángulo.

36. En un triángulo los lados miden 6, 7 y 8 cms. Calcular la longitud de la altura relativaal lado mayor.

37. Sean −→u , −→v y −→w vectores geométricos tales que k−→v k = 4, k−→wk = 1√3y −→u es unitario.

Si k−→u −−→v +−→w k = k−→u +−→v +−→w k y el ángulo entre −→u y −→v es π3 radianes,

a) Calcular el ángulo entre −→v y −→w.

b) Calcular la magnitud de la proyección ortogonal de −→v sobre −→w.

38. Para el par de vectores −→v y −→w dados en cada literal, calcular el producto escalar, elcoseno del ángulo entre ellos, determinar si son perpendiculares, verificar la desigual-dad de Cauchy-Schwarz y hallar Proy−→w

−→v y Proy−→v−→w .

a) −→v = 4−→i , −→w =−→i +−→j

b) −→v = 4−→i + 3−→j , −→w = 12

−→i − 2

3

−→j

c) −→v = −2−→i + 18−→j , −→w = 32

−→i − 1

6

−→j

39. Sean −→u y −→v vectores geométricos no nulos. Mostrar que −→u y −→v son paralelos si ysólo si Proy−→v

−→u = −→u .

1.14. Ejercicios 53

40. Sean −→u = a−→i + b

−→j y −→v = c

−→i + d

−→j , −→v 6= 0. Encontrar una condición necesaria y

suficiente sobre a, b, c y d para que −→v y Proy−→v−→u tengan

a) La misma dirección.

b) Dirección contraria.

41. Sean −→v y −→w vectores geométricos tales que −→v 6= 0 y Proy−→v −→w =−→i −−→j . Hallar:

a) Proy2−→v−→w b) Proy−−→v

−→w c) Proyα−→v−→w, α 6= 0.

42. Un triángulo tiene como vértices los puntos A =

µ1

3

¶, B =

µ4

−2

¶y C =

µ−36

¶.

Hallar:

a) Cada uno de sus ángulos interiores

b) El área del triángulo ABC

43. Sean P =µ2

3

¶, Q =

µ5

7

¶, R =

µ2

−3

¶y S =

µ1

2

¶puntos de R2. Calcular Proy−−→

PQ

−→RS

y Proy−→RS

−−→PQ.

44. Sean −→v y −→w vectores geométricos no paralelos y sean −→u = k−→wk−→v + k−→v k−→w y−→z = k−→wk−→v − k−→v k−→w. Observe que los segmentos asociados a los vectores −→u y −→zson las diagonales del rombo determinado por los vectores k−→w k−→v y k−→v k−→w.

a) Demostrar que −→u y −→z son perpendiculares.

b) Demostrar que el ángulo entre −→u y −→v es igual al ángulo entre −→w y −→u . Análoga-mente se muestra que el ángulo entre −→z y −−→w es igual al ángulo entre −→z y −→v . Asíqueda demostrado que las diagonales de un rombo están sobre las bisectrices de susángulos interiores.

45. Dados tres vectores −→u , −→v , −→w no nulos tales que el ángulo entre −→w y −→u es igual alángulo entre −→v y −→u , demostrar que −→u es perpendicular al vector k−→w k−→v − k−→v k−→w.Dar una interpretación geométrica. (Ver ejercicio 44.).

46. Sean −→u , −→v , −→w vectores tales que k−→u k = 3, k−→v k = 4 y k−→wk = 2 y sea −→z =2−→u − −→v + 3−→w. Calcular −→z · −→v sabiendo que el ángulo entre −→u y −→v es de 60o y elángulo entre −→v y −→w es de 120o.

54 1. Vectores geométricos