ejercicios resueltos de intervalos de confianza y máxima verosimilitud

7/24/2019 Ejercicios resueltos de Intervalos de Confianza y Mxima verosimilitud

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DEHUAMANGA

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y CIVIL

Escuela de Formacion Profesional de Ingeniera de Sistemas

Ejercicios Resueltos de Intervalos de Confianza y Maxima

Verosimilitud

Curso:Estadistica II

Sigla: ES-244

Docente: Romero Plasencia, Jackson Macoy

Grupo: I

Alumnos:

- CONGACHE RODRIGUEZ, Edison- HUAMAN PINEDA, Isac- LOAYZA QUISPE, Jhony Crispin- RAMIRES QUISPE, Ruth- SANCHEZ QUISPE, Zoraida

Ayacucho - Peru2015


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Indice

1. Intervalos de Confianza 21.1. Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6. Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7. Ejercicio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.8. Ejercicio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.9. Ejercicio 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.10. Ejercicio 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.11. Ejercicio 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.12. Ejercicio 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.13. Ejercicio 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.14. Ejercicio 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.15. Ejercicio 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Estimacion Puntual de parametros : Metodo de Maxima Verosimilitud 122.1. Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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1. Intervalos de Confianza

1.1. Ejercicio 1

En una muestra aleatoria de 1000 viviendas en cierta ciudad se encuentra que 228 utilizanpetroleo como combustible para la calefaccion. Calcule intervalos de confianza del 99 % para la

proporcion de viviendas en esta ciudad que utilizan petroleo con el fin mencionado.

Solucion:

n= 1000x= 228

P = 2281000

= 0,288q= 1pq= 0,772

99 % de confianza0.001 de error0.005

Como no hay 0.005 en la tabla:

2,58xx5,57 =

(494500)105

(500508)105

x= 2,575714

Z0,005=2,575

P Z/2

(P)(q)

n < P < P+Z/2

(P)(q)

n

0,228 2,575

(0,228)(0,772)1000

< P


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X :Tiempo promedio por semana que los ninos ven tv.

= 19 = 0,01 (0,5) =Z12

n

1 0,012

= 0,995

a)n= (2,5752)(32)

0,52 = 238,7 239 ($2 por c/entrevista)

b)C= 5000 + 2x c= 5000 + 2(239) = 5478

= 500

1.3. Ejercicio 3

Calcule intervalos de confi anza del 95 % para la proporcion de artculos defectuosos queresultan de un proceso cuando se encuentra que una muestra de tamano 100 produce 8 defec-tuosos.

Solucion:

n= 100x= 8

P = 8100

= 0,08

q= 1 Pq= 0,92

Donde:

Z0,025= 1,96

P = 0,08 (1,96)

(0,08)(0,92)100

0,027< P


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n= 200x= 114

P= 200/114 = 0,57q= 0,43

Z0,02= 2,05

0,57 (2,05)

(0,57)(0,43)200

0,498< P


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normalmente con desviacion estandar igual a 10 puntos.

a) Determinar el intervalo para Li con confianza del 95 %, si una muestra aleatoria de ta-mano 100 ha dado una media de 70 puntos.

b) Si u. se estima en 70 puntos con el nivel de confianza del 98 %, i,es el error de la estima-

cion puntual superior a 5 puntos?

c) Si Ud. considera que el intervalo encontrado en a) no es muy preciso, que action deberiatomar para que el intervalo de estimacion al 95 % sea mas preciso?.

Solucion:

X=niveldeinsideil x N(, 102) Z0,975= 1,96

X : puntajes

a)= 0,05 n= 100 x= 70

p(x Z n x+Z

n)

1,96(10)10

= 1,96 (70 1,96)

b)= 0,02 Z0,99 e= 2,33(10/10) = 2,33

NO

c)Si R 0 n

1.7. Ejercicio 7

Se esta considerando un nuevo sistema de lanzamiento de cohetes para el despliegue de cohe-tes pequenos, de corto alcance. La probabilidad de que el sistema existente tenga un lanzamientoexitoso se representa con p = 0.8. Se toma una muestra de 40 lanzamientos experimentales conel nuevo sistema y 34 resultan exitosos.

a) Construya un intervalo de confi anza del 95 % para p.

b) Con base en sus resultados, concluira que el nuevo sistema es mejor?

Solucion:

a)

n= 40x= 34

P = 30/40 = 0,85q= 0,15

5


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Como el intervalo es a 95 %

Z0,025= 1,96

0,85 (1,96)

(0,85)(0,15)40

= 0,85 0,111

0,739< P


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b) Que tamano de muestra se debe escoger para estimar si se quiere un error no superiora 0.98 onzas con confianza del 95 %?.

Solucion:

= 19 n= 20 x= 18,5 X N(, 22)

= 0,02 Z1/2= 0,99 = 2,33

18,2 2,33( 220

) 18,5 + 2,33( 220

)

n= (1,962)(22)

0,982 = 16

N= 16

1.10. Ejercicio 10

Una empresa de taxis trata de decidir si comprara neumaticos de la marca A o de la marcaB para su flotilla de taxis. Para estimar la diferencia entre las dos marcas realiza un experi-mento utilizando 12 neumaticos de cada marca, los cuales utiliza hasta que se desgastan. Losresultados son:

Marca A: X1= 36, 300 kilometros,S1= 5000 kilometros.

Marca B: X2 = 38, 100 kilometros,s2 = 6100 kilometros.

Construya un intervalo de confianza del 90 % para 2/2

Solucion:

n1= 12X1= 36,300S1= 5000

n2= 12X1= 38.|00S1= 6100

= 0,9 = 1 = 0,1/2 = 0,05

IC=0,90 21/

22 :

(

S1S2

)2

F(n11,n21,1/2);

(S1S2

)2

F(n11,n21,/2)

IC=0,90 21/22 :

(50006100 )

2

F(n11,n21,1/2); (

50006100)

2

F(n11,n21,/2)

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IC=0,90 21/

22 :0,672,88

; 0,670,355

IC=0,90 21/

22 : [0,238; 1,893]

Como en el intervalo se encuentra el 1, se toma como 21/22.

1.11. Ejercicio 11

Una muestra aleatoria de 20 estudiantes obtuvo una media de X= 72 y una varianza deS2 = 16 en un examen universitario de colocacion en matematicas.

Suponga que las calificaciones se distribuyen normalmente y con base en esto construya unintervalo de confianza del 98 % para2.

Solucion:n= 20

X= 72S2 = 16

= 0,98 = 1 = 0,02/2 = 0,01

IC=0,98 2 :

(n1)S2

X2(1/2,n1) ; (n1)S2

X2(/2,n1)

IC=0,98 2 :

(201)S2

X2(10,001,19) ; (201)S2

X2(0,01,19)

IC=0,98 2 :(19)(16)36,2

; (19)(16)7,63

IC=0,98 2 : [8,398;39,843]

1.12. Ejercicio 12

Una maquina llena un determinado producto en bolsas cuyo peso medio es u gramos. Su-ponga que la poblacion de los pesos es normal con desviacion estandar 20 gramos.

a)Estime u de manera que el 99.38 % de las bolsas tengan pesos no superiores a 550 gramos.

b) Estime u mediante un intervalo de confianza del 95 %, si una muestra aleatoria de 16bolsas ha dado una media de 495 gramos

Solucion:

X N(, 202) X :pesomedio

p(x Z n overlinex+Z

n) = 0,95

N= 16 Z0,975= 1,95(5) = 9,8

8


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(495 9,8)

p(x 550) = 0,9938

p(Z 55020

) = 0,9938

= 551

20 = 0,9938

55020

= 2,5

= 500

1.13. Ejercicio 13

Una muestra aleatoria de tamano n1 = 25, tomada de una poblacion normal con una des-

viacion estandar1= 5, tiene una media X1= 80. Una segunda m.a. de tamanon2 = 36 que setoma de una poblacion normal diferente con una desviacion estandar 2 = 3, tiene una mediaX2= 75. Calcule un intervalo de confianza del 94 % para 1 2.

Solucion:

1 = 5n1= 25X1= 80

2 = 3n2= 36X2= 75

i) Estimacion puntual de 1 mu2:

X1 X2 = 80 75 = 5

ii) Error estandar de 1 2:

x1x2= 21

n1+

21

n2= 52

25

+ 32

36

= 1,118

iii) Para el nivel de confianza del 94 % se encuentra:

Zo=Z1/2=Z10,03=Z0,97

P[Z Z0,97] = 0,97

Z0,97= 1,89

IC 1 2: [(X1 X2) Zox1x2]

IC 1 2: [5 1,89(1,118)]

9


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IC 1 2: [5 2,113]

2,90< 1 2 < 7,1

1.14. Ejercicio 14

El tiempo en minutos que utilizan los clientes en sus distintas operaciones en un banco locales una variable aleatoria cuya distribucion se supone normal con una desviacion estandar de3 minutos. Se han registrado los tiempos de las operaciones de 9 clientes delbanco resultandouna media igual a 9 minutos:

a) Hallar el nivel de confianza si la estimacion de Ji es el intervalo de 7 a 11 minutos.

b) Si se estima por x, calcular la probabilidad de que la media de los tiempos de todaslas muestras de tamano 9 este entre 6.5 y 11.5 minutos.

Solucion:

X : tiempo en minutos X N(, 32) n= 9

x= 9

a)(7 11)b)X Z(1 (

2)(

n)) = 7

9 Z(1 (2

)(33

)) = 7 Z(1 2

) = 2

1 2

= 0,9772 = 0,0456 1 = 0,9544

(6,5 11,5) p(x Z n x+Z

n)

9 Z1(2

)( 39

) = 6,5 Z1(2

) = 2,5

1 2

= 0,9938 = 0,0124

1 = 0,9876

1.15. Ejercicio 15El Departamento de zoologa de Virginia Tech llevo a cabo un estudio para estimar la dife-

rencia en la cantidad de ortofosforo qumico medido en dos estaciones diferentes del ro James.El ortofosforo se mide en miligramos por litro. Se reunieron 15 muestras de la estaci on 1 y 12muestras de la estacion 2. Las 15 muestras de la estacion 1 tuvieron un contenido promediode ortofosforo de 3.84 miligramos por litro y una desviaci on estandar de 3.07 miligramos porlitro; en tanto que las 12 muestras de la estacion 2 tuvieron un contenido promedio de 1.49miligramos por litro y una desviacion estandar de 0.80 miligramos por litro. Calcule un inter-valo de confi anza de 95 % para la diferencia en el contenido promedio verdadero de ortofosforoen estas dos estaciones. Suponga que las observaciones provienen de poblaciones normales con

varianzas diferentes.

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Solucion:

Para la estacion 1:

x1 = 3,84s1= 3,07

n1= 15

Para la estacion 2:

x2 = 1,49s1= 0,80n1= 11

= 0,95 = 1 para 1 2

Distribucion tcon v grados de libertad:

v= (3,072/15+0,802/12)2

[(3,072/15)2/14]+[(0,802/12)2/11]= 16,3 16

x1 x2 = 3,84 1,49 = 2,45

= 0,05

t0025 = 2,120 para v= 16 grados de libertad.

2,35 2,1203,072

15 + 0,802

12 < 1 2 < 2,35 + 2,1203,072

15 + 0,802

12

0,60< 1 2 < 4,10

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2. Estimacion Puntual de parametros : Metodo de Maxi-

ma Verosimilitud

2.1. Ejercicio 1

Leyes de Bernoulli:El conjunto de los valores posibles es [0,1]. El parametro conocido es

p. Si (x1, x2,...,xn) [0, 1]n es una muestra, la verosimilitud vale:L(x1, x2,...,xn;p) =p

xi(1p)n

xi

i) log(L(x1,...,xn;p)) = (

xi)log(p) + (n

xi)log(1p)

ii) log(x1,...,xn;p)p

=

xip

+ n

xi1p

p=

xin

2.2. Ejercicio 2

Leyes Geometricas: El conjunto de valores posibles es N, el parametro desconocido esp ]0, 1[.Si(x1,...,xn) es una muestra entera, la verosimilitud vale:

L(x1,...,xn;p) =pn(1p)

xin

i) Log(L(x1,...,xn;p)) =nlog(p) + (

xi n)log(1p)

ii) log(L(x1,...,xn;p))p

= np

+

xin1p

iii) p= n

xi

2.3. Ejercicio 3

- Sea x1.x2,...,xn una muestra de tamano n, de una distribucion binomial B(1, p) donde0< p


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4to paso:

p

[ln[L(x1,...,xn;p)]] = 0

xir

+ n+

xi1p = 0

1p+p(n+

xi)

p(1p) = 0

xi pn= 0

xi=pn

pn =x

Donde:

p(1p) =x(1 x) Estimadorpn =

xin

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