EJERCICIOS PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES 3º

PROPORCIONALIDAD- Proporcionalidad directa

1. Completa la siguiente tabla para que las magnitudes sean directamente proporcionales:

6 2 0,5

8 5 4,5

Solución:

6 3,2 2 1,8 0,5

15 8 5 4,5 1,25

2. La rueda de una bicicleta da 54 vueltas cada 90 metros. ¿Cuántas vueltas habrá dado después de recorrer un kilómetro?

Solución:Relación de proporcionalidad:

3. Se sabe que la altura y la sombra de un edificio son proporcionales. Si la sombra de un edificio de 30 m es 8 m, ¿qué altura tendrá otro edificio cuya sombra en el mismo momento mide 12 m?

Solución:

Sea x la altura del edificio:

El edificio mide 45 m

4. Para componer una aleación se utiliza estaño y cobre. Si la constante de proporcionalidad entre los dos metales es 3/5, ¿cuánto cobre se utilizaría para 45 gramos de estaño?

Solución:Se emplea 3 gramos de estaño por 5 gramos de cobre.Por tanto,

Se utilizan 75 gramos de cobre

5. La constante de proporcionalidad directa entre dos números es 0,75. El mayor es 20. Calcula el menor.

Solución:

El menor es 15

- Repartos directamente proporcionales

1. Reparte 4 475 proporcionalmente a 5, 7 y 13.

Solución:Si k es la constante de proporcionalidad directaA 5 le corresponde 5kA 7 le corresponde 7kA 13 le corresponde 13kAsí: Luego a 5 le corresponde 5 · 179 = 895 a 7 le corresponde 7 · 179 = 1253 a 13 le corresponde 13 · 179 = 2327

2. En una biblioteca se colocan 2610 libros en dos muebles de 40 y 50 estanterías cada uno. ¿Cuántos libros se colocarán en cada mueble si se reparten proporcionalmente al número de estantes de cada uno?

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad directa:En el primer mueble se colocarán: 40 kEn el segundo mueble se colocarán: 50 kPor tanto:

Luego en el primer mueble se colocarán librosen el segundo mueble se colocarán libros

_____ 2610

3. Reparte 90 en partes directamente proporcionales a 2 y 4.

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad directa:A 2 le corresponde: 2 kA 4 le corresponde: 4 kPor tanto:

Luego a 2 le corresponde a 4 le corresponde

_____ 90

4. Un padre reparte entre sus dos hijos 72 euros en partes directamente proporcionales a la edad de cada uno. Si Luis tiene 9 años y Marta 15 años, ¿cuánto le corresponde a cada uno?

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad directa:A Luis le corresponde: 9 kA Marta le corresponde: 15 kPor tanto:

Luego a Luis le corresponde eurosa Marta le corresponde euros

_____ 72

5. Reparte 246000 en partes directamente proporcionales a 1500, 2000 y 2500.

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad directa:A 1500 le corresponde: 1500 kA 2000 le corresponde: 2000 kA 2500 le corresponde: 2500 kPor tanto:

Luego a 1500 le corresponde a 2000 le corresponde a 2500 le corresponde

_______ 246000

6. Se quieren repartir 396 m2 de un terreno entre tres familias, de forma directamente proporcional al número de hijos de cada una. Si cada familia tiene 2, 4 y 5 hijos respectivamente, ¿qué parte del terreno recibirá cada una?

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad directa:A la primera familia le corresponde: 2 kA la segunda familia le corresponde: 4 kA la tercera familia le corresponde: 5 k Por tanto:

Luego a la primera familia le corresponde

a la segunda familia le corresponde

a la tercera familia le corresponde _____

396

- Proporcionalidad inversa

1.Calcula el valor de x en el siguiente caso de proporcionalidad compuesta inversa:

Mag A Mag B Mag C

64 1 1

x 4 10

Solución:Método de reducción a la unidad:64 - 1 - 1

- 4 - 1

- 4 - 10

Por tanto x = 1,6

2.Tres personas pintan una valla en 2 días, ¿cuánto tardará en pintarla una persona sola?

Solución:Buscamos la constante de proporcionalidad inversa:

3.La constante de proporcionalidad inversa entre dos números es 63 y uno de ellos es el 14, ¿cuál es el otro?

Solución:

4. Un campamento de 45 alumnos tiene provisiones para 16 días, ¿cuántos días podrá durar el campamento si fuesen 15 alumnos más?

Solución:Si fueran 60 alumnos el campamento podría durar:

buscamos la constante de proporcionalidad inversa:

5. Marta tarda 36 minutos en ir andando al colegio, ¿cuánto tardará si decide ir a 1/3 de la velocidad habitual? ¿y si decide ir el doble de rápido?

Solución:Si decide ir a 1/3 de la velocidad tardará:Relación de proporcionalidad inversa:

Si decide ir al doble de la velocidad tardará:Relación de proporcionalidad inversa:

- Repartos inversamente proporcionales

1. Reparte 78 en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y 4.

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad inversa:

A 2 le corresponde:

A 3 le corresponde:

A 4 le corresponde:

Por tanto:

Luego a 2 le corresponde

a 3 le corresponde

a 4 le corresponde

_____ 78

2. Reparte 518 en partes inversamente proporcionales a 8, 10 y 12.

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad inversa:

A 8 le corresponde:

A 10 le corresponde:

A 12 le corresponde:

Por tanto:

Luego a 8 le corresponde

a 10 le corresponde

a 12 le corresponde

_____ 518

3. Reparte 330 en partes inversamente proporcionales a 5 y 10.

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad inversa:

A 5 le corresponde:

A 10 le corresponde:

Por tanto:

Luego a 5 le corresponde

a 10 le corresponde

_____ 330

- Proporcionalidad compuesta

1 Para cubrir el suelo de una casa se necesitan 270 baldosas de 24 cm de largo y 15 de ancho. ¿Cuántas baldosas serían precisas si cada una mide 20 cm de largo y 12,5 cm de ancho?

Solución:270 baldosas 24 cm de largo 15 cm de anchox baldosas 20 cm de largo 12,5 cm de ancho

Proporcionalidad compuesta inversax=388’8

2. 5 personas consumen en 2 días 100 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua consumirán 8 personas durante una semana?

Solución:5 personas 2 días 100 litros8 personas 7 días x litros

Proporcionalidad compuesta directa x=560 litros

3. Un ganadero quiere transportar cierto número de vacas. Para ello contrata 15 camiones con una capacidad de 8 vacas cada uno, que realizarán el trabajo en 10 días. ¿Cuánto tiempo tardarán si contrata la tercera parte de camiones con una capacidad para 12 vacas?

Solución:15 camiones 8 vacas c/u 10 días5 camiones 12 vacas c/u x días

Proporcionalidad compuesta inversa

x=20 días

4. Para transportar 450 kilogramos de alimentos se contratan 3 camiones con una capacidad de 4 toneladas cada uno. ¿Cuántos camiones de dos toneladas y media habrá que contratar para transportar 750 kilogramos de alimentos?

Solución:450 kg 3 camiones 4 Tn750 kg x camiones 2,5 Tn

Proporcionalidad compuesta directa-inversa

x= 8 camiones

5. Un ciclista para recorrer una distancia emplea 7 días, a razón de 60 kilómetros por día, pedaleando 6 horas diarias. ¿Cuántos kilómetros deberá realizar cada día si quiere cubrir la misma distancia en 5 días pedaleando 8 horas diarias?

Solución:60 km/día 6 horas/día 7 días x km/día 8 horas/día 5 días

Proporcionalidad compuesta inversaX=63 km/día

6. Un mecánico trabajando una hora diaria tarda 6 días en reparar un vehículo. ¿Cuánto tiempo tardarán 3 mecánicos en repararlo si trabajan 5 horas diarias?

Solución:1 mecánico 1 horas/día 6 días3 mecánico 5 horas/día x días

Proporcionalidad compuesta inversa

3 mecánicos trabajando 1 hora diaria tardarán: días

3 mecánicos trabajando 5 horas diarias tardarán: días 9 horas y 36 minutos

PORCENTAJES- Aumentos y disminuciones porcentuales

1. Un equipo de música cuesta 120 euros más el 16% de IVA, ¿cuánto habrá que pagar por el equipo?

Solución:El 16% de 120 euros es:

euros

Por tanto, el equipo costará 120 + 19,20= 139,20 euros.

2. En una tienda rebajan un juego que costaba 28 euros en un 18%, ¿cuánto habrá que pagar por el juego después del descuento?

Solución:El 18% de 28 es:

Por tanto, el precio final es 28 - 5,04=22,96 euros.

3. Un programa de televisión fue visto en el mes de septiembre por 540 000 espectadores, lo que supone un 28% más que el mes anterior. ¿Cuántos espectadores vieron el programa en el mes de agosto?

Solución:El porcentaje de espectadores en septiembre es el 128% con respecto al 100 % del mes de agosto.Por tanto,

4. Se compra un coche de 36 000 euros, pagando los al contado y el resto con un aumento del

18% en mensualidades durante dos años. ¿Cuánto corresponde pagar cada mes?

Solución:

euros se pagan al contado.

El resto: 36 000 14 400 = 21 600 euros se aplazan.

euros es el aumento.

Lo que hay que pagar en 2 años es: 21 600 + 3 888 = 25 488.

La mensualidad: euros

- Porcentaje que representa una cantidad

1. Si 2 de cada 8 alumnos de la clase suspenden una asignatura, ¿qué tanto por ciento de alumnos aprobará la asignatura? ¿Cuántos alumnos suspenden si en la clase hay 36 alumnos?

Solución:El tanto por ciento de alumnos que suspenden la asignatura es:

Por tanto, un 75% de los alumnos aprueba.El número de alumnos que suspende es:

2. Una impresora cuesta 359 euros, pero como hay que pagar el IVA, al final vale 416,44 euros. ¿Qué tanto por ciento de IVA has pagado?

Solución:

Si el tanto por ciento de IVA es x, entonces: es la cantidad de IVA que hay que

pagar.

Por tanto:

Se ha pagado el 16% de IVA.

3. En una clase, el 50% de los estudiantes lleva gafas, el 30 es rubio y el 10% es rubio y lleva gafas. ¿Qué porcentaje de estudiantes no son rubios y no llevan gafas?

Solución:Resulta más sencillo haciendo un esquema que represente el número de estudiantes con cada una de las características de cada 100 de ellos. Pero como 100 es demasiado grande, lo haremos de 10 y en ese caso, 5 llevan gafas, 3 son rubios y 1 es rubio y lleva gafas que se representa en gris en la cuadrícula: Estudiantes con gafas Estudiantes rubios Estudiantes rubios con gafas

Todos juntos

Los cuadros en blanco representan los 3 estudiantes que no son rubios ni llevan gafas de los 10. Esto es:

4. El salario de una persona es 1265 euros mensuales y aumenta en 22,77 euros. ¿Cuál es el porcentaje de la subida?

Solución:El tanto por ciento de la subida es:

5. Calcula el tanto por ciento de alcohol en una mezcla de 3 litros de alcohol y 5 litros de agua.

Solución:Líquido total: 3 + 5 = 8

es el tanto por 1.

El tanto por ciento es: 0,375 · 100 = 37,5%

-Porcentajes encadenados1. Un artículo que vale 120 euros, ante la excesiva demanda, sube un 20%. Luego, cuando se reduce la demanda, se rebaja un 20%. ¿Sigue valiendo lo mismo que antes?

Solución:Subida: 120 · 1,20 = 144 eurosRebaja: 144 · 0,8 = 115,20 eurosVale menos que antes de la subida.2. ¿Quién es mayor, el 20% del 50% de 80 o el 250% del 5% de 50?

Solución:

3. Una moto está etiquetada, sin IVA (16%),en 800 euros. El vendedor le dice que puede hacerle una rebaja del 20%. Calcula su coste final con porcentajes encadenados.

Solución:Coste: 800 · 0,8 · 1,16 = 742,40 euros