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Problemas aritméticosPara resolver muchas situaciones es necesario aplicar técnicas de

proporcionalidad y el manejo de porcentajes.

Existen muchas situaciones que se resuelven con reglas de tres simples, directas o inversas, y métodos de reducción a la unidad.

Proporcionalidad simple

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando:

• Al aumentar una el doble, el triple…, la otra aumenta en igual medida.

• Al disminuir una a la mitad, un tercio…, la otra disminuye en la misma medida.

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando:

• Al aumentar una el doble, el triple…, la otra disminuye la mitad, un tercio…

• Al disminuir una a la mitad, un tercio…, la otra aumenta el doble, el triple…

Proporcionalidad simplePedro y María tienen que realizar un trabajo para clase. Una vez

realizado, deciden pasarlo a ordenador y tardan 20 minutos en las 4 primeras páginas. Si el trabajo tiene 22 páginas, todas con la misma

extensión, ¿cuánto tiempo emplearán en pasarlo a ordenador?

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Proporcionalidad simpleFélix tiene una conexión a Internet por cable con una velocidad de 512 kbps. Sus dos ordenadores obtienen, cada uno, una velocidad de 256 kbps. ¿Qué velocidad tendría cada ordenador si estuvieran conectados seis ordenadores?

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Repartos proporcionalesAl repartir una cantidad en partes

directamente proporcionales a una serie de números, las partes se calculan

multiplicando cada número por la cantidad que se quiera repartir, dividida entre la

suma de los números.

Repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a una serie de números equivale a repartirla en partes directamente proporcionales

a los inversos de dichos números.

Tres jardineros reparten 420 € en partes directamente proporcionales al número de horas trabajadas. Si Juan trabaja 6 horas, Lucía 5 y Jesús 8, ¿qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno?

DIRECTAMENTE

PROPORCIONALES

Repartos proporcionales

INVERSAMENTE

PROPORCIONALES

En un testamento se leía lo siguiente: “Deseo repartir mi capital en partes inversamente proporcionales a las edades de mis tres herederos”. Si el capital es 7.000 €, y las edades de sus herederos son 40, 50 y 80 años, respectivamente, ¿cuánto le correspondió a cada uno?

Repartos proporcionales

Cuando una situación de proporcionalidad, inversa o directa, relaciona más de dos magnitudes, hablamos de proporcionalidad

compuesta.

Proporcionalidad compuesta

Para resolver una situación de proporcionalidad compuesta, se utilizan los mismos métodos que para la proporcionalidad simple: regla de tres compuesta y método de reducción a la unidad.

Veinte obreros han tendido durante 6 días 400 metros de cable, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 metros de cable?

Proporcionalidad compuesta

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento dividido entre 100.

Porcentajes

Ca 100

a C de %

1. Si un televisor cuesta 2.000 € y hemos pagado el 65%, ¿qué cantidad hemos pagado?

2. Si un televisor cuesta 2.000 € y nos quedan por pagar 600 €, ¿qué porcentaje hemos pagado?

Aumentar una cantidad C un a% equivale a calcular (100 + a) % de C.

Disminuir una cantidad C un a% equivale a calcular (100 – a) % de C.

Aumentos y disminuciones porcentuales

Unos grandes almacenes anuncian las segundas rebajas, del 15%, tras las primeras, que fueron del 10%. ¿Cuánto costarán unas zapatillas que costaban sin rebajar 42 €?

El interés simple, i, es el beneficio que origina una cantidad de dinero llamado capital, C, en un periodo de tiempo, t, a un rédito determinado, r.

años) en t ( 100

trCi

Si el tiempo se da en meses o en días, la fórmula se transforma en:

meses) en t ( 200.1

trCi

días) en t (

000.36

trCi

Interés simple

Calcular el interés que obtendremos si invertimos un capital de 100 € a un rédito del 3,5% durante un periodo de dos años y medio.

Interés simple

Cuando los intereses que se obtienen al final de cada periodo de inversión no se retiran, como

hacemos en el interés simple, sino que se añaden al capital y se reinvierten, estamos ante el

concepto de interés compuesto.

t

if CC

100r

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El capital final, Cf, obtenido al invertir un capital, Ci, a un rédito, r, durante un tiempo, t, a interés compuesto, es:

Interés compuesto

Interés compuestoCalcular el capital invertido que hemos invertido a interés compuesto durante 2 años al 5% para que produzca un capital final de 200 €.

t

if CC

100r

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