VECTORES.Todos los libros de texto para la enseanza de la fsica, resaltan la importancia y la utilidad de los vectores en el aprendizaje de sta ciencia, y eso no se discute. Sin embargo, para un lector que no desea ser fsico de profesin pero que desea aprehender el concepto y manejar algo del tema de vectores, encontrar a continuacin una gua para alcanzar tal propsito. La experiencia indica que el obstculo que tiene el pblico en general es dejar de lado u olvidar desde dnde se realizan las observaciones de toda ndole*. Por ejemplo, si usted entiende lo que esta leyendo cabe pensar que usted conoce o sabe interpretar el idioma espaol, es decir el lector y el escritor manejan una serie de cdigos en que se entienden y comunican. Para el caso de los vectores implica que para entenderlos se hace necesario construir ciertos cdigos desde lo que conoce como un sistema de coordenadas. El camino a seguir es, primero debe aprender ha establecer el sistema de coordenadas, hasta que sea un acto casi que inconsciente; segundo construir las coordenadas de un punto en tal sistema, labor en la cual debe entrenarse hasta realizarlo de manera automtica y tercero construir el vector a la manera del sistema de coordenadas usado. Finalmente vendr el problema de qu operaciones pueden realizarse con esos vectores y que representan en el mundo fsico real.Sistemas de coordenadas y ubicacin de puntosComo se mencion anteriormente para entenderse entre dos personas, stos deben conocer y manejar el mismo conjunto de cdigos en los que interactan. El sistema de coordenadas es la manera objetiva de establecer y comunicar la ubicacin de los objetos en el espacio. Otra idea, a lo newtoniano, es la manera matemtica de entender el espacio en el cual se encuentran y se ubican los objetos de los cuales se desea tener informacin. A lo largo de la historia los seres humanos han inventado ciertas maneras de hacerlo y tienen nombres que recuerdan a sus creadores, por ejemplo sistema de coordenadas cartesianas en honor a Rene Descartes (1596-1650), otros hacen referencia a formas geomtricas, por ejemplo sistema de coordenadas cilndricas o sistema de coordenadas esfricas, entre otros. Pero todos tienen algo en comn, un punto llamado origen, desde donde se establece la ubicacin de los puntos que permiten caracterizar a cualquier objeto*. EL ESPACIO UNIDIMENSIONALLa lnea recta euclidiana, es la primera aproximacin a los sistemas coordenados. Es una representacin extraa del espacio, porque todos los objetos del universo y condiciones fsicas estn sobre una lnea recta euclidiana, es decir es una sucesin de puntos sin dimensin, bastante raro no les parece. Lo que se ha hecho histricamente es que de todos los puntos que componen a la recta existe un punto, tomado arbitrariamente, llamado origen O, que tiene dos propiedades: divide dicha recta en dos trozos y permite a un observador comunicarle a otro la ubicacin de dnde se encuentra un objeto que este sobre la recta. Por ejemplo, si una muy pequea hormiga que se encuentra sobre una recta que estamos a punto de pisar y nos quisiera comunicar su posicin, esta obligada a hacernos ver la recta y usar un punto de referencia O sobre la recta que sea evidente para ella y el pisador, para as desde ese punto dar su ubicacin* en trminos de una escala de medida. No confundir con sistema de unidades (cm, mm, etc.). De lo anterior cabe resaltar, que se requieren dos puntos sobre la recta para ubicar uno de ellos con respecto al otro, el origen y cualquier otro punto. Los especialistas lo llaman caso unidimensional, porque los puntos y sus condiciones cinemticas o dinmicas involucradas en un problema se encuentran sobre esa lnea recta euclidiana.Reflexin 1: Si nuestra extraa hormiga grita, en espaol y lo suficientemente fuerte para que la oigamos, estoy a 35 cm del punto origen! Es suficiente esa informacin para ubicarla?, deber ser exhaustivo en sus anlisis y redctelos. Adems, por cultura general averige, Cul es la intensidad mnima a la cual a debe gritar la hormiga para ser escuchada?, qu tamao tendra la hormiga? En la siguiente figura, se muestran algunas posibles representaciones de rectas euclidianas con algunas orientaciones. En todas se seleccion un punto de referencia 0 y se marcaron con una escala de medida arbitraria algunos puntos.

En las figuras anteriores, el punto N se encuentra a 3 unidades del punto origen 0, pero esta informacin no es suficiente. Como se ve de las figuras, es necesario establecer una orientacin a partir del punto origen. Por ejemplo, en la recta horizontal el punto esta a 3 unidades a la derecha del origen 0, en el caso de la recta vertical el punto esta a 3 unidades por encima del origen, en la recta inclinada a la izquierda el punto N esta a 3 unidades de arriba hacia abajo a lo largo de la inclinacin de la recta. De lo anterior, dada una recta para precisar la ubicacin de un punto se requieren dos cosas: 1. necesidad de usar un nmero de unidades, 2. y complementarla con una descripcin exhaustiva de dnde encontrar o ubicar el punto a partir del origen. Para que esta descripcin no sea tan larga, se ha establecido un cdigo que se lee positivo o negativo segn el punto este a un lado o a otro del origen segn lo indica la punta de una flecha colocada sobre la recta. La descripcin que acompaa al nmero se conoce como sentido, positivo o negativo.

Se llama eje a la recta en que estn indicados el origen de referencia, la unidad de medida y la direccin positiva. La coordenada de un punto en el eje es el nmero que determina la posicin del punto en ese eje y el origen se le conoce como eje de coordenadas. Para simplificar tanta descripcin se usa una notacin matemtica corta, por ejemplo N(+3) designa al punto N con coordenada 3 en direccin positiva o P(-3) designa al punto P con coordenada 3 en direccin negativa . En ambos casos lo que se puede ver es que ambos puntos estn a la misma distancia del origen de coordenadas.

De esta forma se ha establecido una correspondencia entre los puntos de una lnea recta y los nmeros. As a cada punto de la recta corresponde un nmero determinado, su coordenada, y a cada nmero, (en esta misma correspondencia) le corresponde un punto determinado en la lnea recta. Esta correspondencia en matemtica se llama biunvoca. Parece fcil establecer esa correspondencia pero cuando los matemticos pensaron en esto result que se requiri la construccin de una teora complicada que respondiera a qu es un nmero y qu se debe entender por un punto?, estas dos preguntas corresponden a los fundamentos de la geometra y a la axiomtica de los nmeros.El valor absoluto de un nmero c (o mdulo del nmero c) es la distancia desde un punto A hasta el origen de coordenadas. El mdulo del nmero se designa colocando el nmero c entre unas lneas verticales: |c|, es el mdulo de c. Por ejemplo, |-5|=5. Volveremos a estos cuatro ltimos prrafos por ser un elemento fundamental en el entendimiento del concepto vector. Para terminar, en el tiempo se ha hecho costumbre denotar a los ejes horizontales como el eje de las x y los ejes verticales como el eje de las y, que tienen los atributos asociados a un eje. Ejercicios 1.1 Sobre un eje vertical:0. Escriba el procedimiento que debe realizar para ubicar un punto en el sistema de coordenadas unidimensionales. 1. Marque el punto P(-2). Encuentre en el eje dos puntos A y B que estn a cuatro unidades del punto P. cules son las coordenadas de los puntos A y B?2. Cul de los dos puntos esta esta ms arriba A(c) o B (-c)? Ojo, no es un ejercicio trivial.3. Marque en el eje los puntos A(7) y B(-4). Encuentre la coordenada del punto medio del segmento AB. 4. Deduzca una formula general para calcular la distancia entre dos puntos del eje. Es decir, dado dos puntos A (y1) y B (y2), determinar la distancia d(A, B) ente ellos. Analice las seis posibilidades en un eje, dibuje. Cambiar la formula si el eje fuera horizontal? Justifique.

EL ESPACIO BIDIMENSIONALEl plano, es la segunda aproximacin a ubicar los objetos en el espacio. Este plano se piensa como si fuera una lmina de vidrio sobre una mesa, pero esta descripcin trae consigo la imagen que el plano debe estar colocado horizontalmente, pero tambin podra pensarse que es una lmina de una puerta de vidrio que conlleva a la imagen de un plano vertical, por lo tanto, el plano en general puede estar en cualquier inclinacin con tal que sobre este plano queden tanto el observador y los objetos a ubicar, es decir los puntos involucrados en un problema. Piense por ejemplo como un jardinero de beisbol usa tal plano para capturar una bola o un basquetbolista usa el plano entre l y la cesta para enviar la pelota, que enceste es otro cuento, tambin se usa tal plano cuando usted quieto en un punto observa la salida el sol y su viaje por el cielo en un da cualquiera. Suponga nuevamente a la extraterrestre hormiga sobre un plano y desea conocer su posicin, requiere como antes el uso de un punto de referencia O en el plano, incluso la hormiga puede decidir estar sobre este punto. Supongamos que el punto origen esta lejos de la hormiga. La hormiga para saber dnde se encuentra con respecto al punto de referencia O, puede hacer dos cosas: primero, puede trazar (imaginariamente) una lnea recta euclidiana que pase por el punto de referencia y ella, con lo cual estaramos exactamente en el mismo caso unidimensional y sera entonces un absurdo porque para qu tanto plano? Segundo, puede utilizar una lnea semirrerecta euclidiana de referencia que pase por el punto de referencia O, (esta recta se le conocer como eje polar y el punto de referencia como polo, tal como los bautiz Bernoulli desde 1691). Esta semirrecta tiene que indicar el origen de referencia y la direccin con la punta de una flecha. Para resolver el problema de construir la descripcin de su ubicacin con respecto al eje polar, la extraa hormiga usar el ngulo de inclinacin que tiene ella con respecto al eje polar. Cmo edifica la descripcin de la inclinacin?: primero se hace necesario que construya el segmento euclidiano que pase por el polo y ella, segmento OH, y luego mida el grado de abertura que tiene el segmento y la recta polar, ngulo . Recuerde que el segmento se caracteriza por poseer una medida determinada, es decir tiene una distancia determinada por los dos puntos. La medida o distancia junto con el valor del ngulo son los dos valores necesarios que debe hacernos saber la hormiga para poderla ubicarla, que se presentan como una pareja de datos. Histricamente se conoce el uso de este sistema desde Hiparco (190 a.C- 120 a. C) para ubicar estrellas en la bveda celeste y actualmente se conoce como sistema de coordenadas polares. Los especialistas lo llaman caso bidimensional. Reflexin 2: Si nuestra extraa hormiga grita, en espaol y lo suficientemente fuerte para que la oigamos, estoy a 35 cm del punto origen y a un ngulo de 60 con referencia al eje polar! Es suficiente esa informacin para ubicarla?, redacte sus anlisis.

En la figura arriba, se muestran dos posibles representaciones de ejes polares. En estas se seleccion un punto de referencia o polo 0, y el segmento OH esta descrito en rojo. Cabe hacer notar que el ngulo tiene dos posibilidades de ser medido, en sentido horario o antihorario. Por lo general, el sentido se denota con un arco con una punta de flecha que indica como debe leerse sentido horario o sentido antihorario. Abreviando, usualmente el cdigo antihorario ser denotado positivo en tanto que horario ser denotado negativo para el ngulo entre el eje polar y el segmento, pero se ha establecido que no se usar un ngulo negativo a menos que se especifique, por lo cual queda que las coordenadas de un punto en el sistema polar siempre sern positivas, el valor absoluto de la distancia y el sentido antihorario para el ngulo, en general un punto se especifica con las coordenadas (r,). En este sistema de coordenadas, las coordenadas del punto H(30m, 30), designa al punto H que esta a una distancia de 30 m del polo(origen de coordenadas) y con un ngulo de 30 medidos en sentido antihorario desde el eje polar Se debe considerar que las unidades de medida del ngulo pueden expresarse en radianes o en grados sexagesimales, el lector debe tener en mente que rad = 180 (grados sexagesimales). Ejercicios 1.25. Escriba el procedimiento que debe realizar para ubicar un punto en el sistema de coordenadas polares. 6. Qu aspecto tendr un plano que permita ubicar rpidamente coordenadas polares? Dibuje a mano alzada tal plano. Compare su respuesta con un plano polar.7. Marque el punto H(5, 30). Encuentre las coordenadas polares de los puntos A y B que se encuentren a una distancia de cuatro unidades del punto H.8. Marque los puntos A (7, 30) y B (4, 45) en el plano polar. Determine las coordenadas polares del punto medio C.9. Deduzca una formula general para calcular la distancia entre dos puntos en el sistema de coordenadas polares. Es decir, dado dos puntos A (r1, 1) y B (r2, 2), determinar la distancia d(A, B) ente ellos. En el mtodo empleado anteriormente se dividi el plano en 2 partes, la parte que est por encima del eje polar y la parte que est por debajo. Cabe preguntarse por qu no dividirlo en 4 partes, o cuadrantes? Otra manera diferente de ubicarse nuestra extraa hormiga es que use un par de lneas euclidianas mutuamente perpendiculares cuya interseccin es el punto de referencia O, u origen de coordenadas. Las rectas euclidianas se conocern como ejes. Nuevamente supngase que la hormiga esta lejos del origen en cualquier parte del plano, para resolver el problema de ubicarse en este sistema de coordenadas, la hormiga debe elegir uno de los ejes (recta euclidiana) como recta de referencia inicial y proyecta una lnea recta paralela a sta, llamada lnea proyectante. La longitud del segmento generado desde el punto donde se encuentra la hormiga hasta el punto interseccin al encontrar la siguiente recta euclidiana, se conoce como el valor de la componente en ese eje, la accin realizada se denominar como movimiento rgido. A partir de este punto interseccin mide la distancia hasta el punto de referencia O sobre esta recta euclidiana, otro movimiento rgido. Las dos distancias medidas son suficientes para determinar la ubicacin de un punto en este sistema de coordenadas, conocido sistema cartesiano de coordenadas, tambin lo llaman sistema rectangular de coordenadas, las medidas se presentan como una pareja de datos. Los especialistas lo llaman como caso bidimensional.Reflexin 3: Si nuestra extraa hormiga grita, en espaol y lo suficientemente fuerte para que la oigamos, estoy a 35 cm al punto origen O sobre una de las rectas, y 20cm al punto origen O sobre la otra recta! Es suficiente esa informacin para ubicarla?, redacte sus anlisis y concluya. Cul es el elemento bsico faltante que hace que las respuestas en las reflexiones 1,2 y 3 sea la misma?

En la siguiente figura se muestran algunas posibles maneras de concebir el plano. En ambos casos las lneas son perpendiculares, slo que habitualmente la manera de presentarlo es suponer que una lnea es horizontal, conocida como eje x y la lnea vertical se conoce como eje y, como ya se haba mencionado anteriormente. Eso de los nombres x, y o z son ya una tradicin.

La norma en la presentacin de la pareja de datos en este sistema de coordenadas establece que la pareja este en un orden establecido: el primer dato corresponde al primer del eje seleccionado por ejemplo el x, en tanto que el segundo dato corresponde al siguiente eje, por ejemplo el y. En este sistema de coordenadas, las coordenadas del punto P(3,4), designa al punto P que esta a 3 unidades del origen en la direccin positiva del eje x y desde ese lugar paralelo al eje y se debe mover +4 unidades en la direccin positiva de ese eje; o tambin designa al punto que esta a 4 unidades del origen en la direccin positiva del eje y a partir de ese lugar paralelo al eje x se debe mover 3 unidades en la direccin positiva de ese eje. En ambos casos se usan dos movimientos rgidos sobre o paralelos a los ejes: el primero lnea azul y el segundo lnea roja.

Las coordenadas del punto P de la figura adjunta, se obtienen haciendo dos movimientos rgidos, como ya lo sabe. Partiendo del origen O, siguiendo el segmento azul hacia la izquierda sobre el eje x implica que la componente en este eje debe ser -3 (negativo tres) porque la direccin positiva de este eje esta indicada hacia la derecha indicada por la cabeza de la flecha. A partir de este lugar el siguiente movimiento rgido se hace sobre el segmento rojo hacia arriba, que coincide con la direccin positiva del eje y por lo tanto la componente en este eje debe ser +4. Puede ensayar invertir los movimientos rgidos para encontrar el mismo resultado. En resumen, las coordenadas del punto P son (-3, 4)

Las coordenadas del punto P de la figura adyacente, se obtienen haciendo dos movimientos rgidos, como ya lo sabe. Partiendo del origen O, siguiendo el segmento azul hacia la abajo sobre el eje y implica que la componente en este eje debe ser -4 (negativo cuatro) porque la direccin positiva de este eje esta indicada hacia la arriba indicada por la cabeza de la flecha. A partir de este lugar el siguiente movimiento rgido se hace sobre el segmento rojo hacia la izquierda, que no coincide con la direccin positiva del eje x por lo tanto la componente en este eje debe ser -3. Puede ensayar invertir los movimientos rgidos para encontrar el mismo resultado. En resumen, las coordenadas del punto P son (-3, -4).

Las coordenadas del punto P de la figura adyacente, se obtienen haciendo los dos movimientos rgidos. Partiendo del origen O, siguiendo el segmento azul hacia la derecha sobre el eje x implica que la componente en este eje debe ser +3 (positivo tres) porque la direccin positiva de este eje esta indicada hacia la derecha indicada por la cabeza de la flecha. A partir de este lugar el siguiente movimiento rgido se hace sobre el segmento rojo hacia abajo, que no coincide con la direccin positiva del eje y por lo tanto la componente en este eje debe ser -4. Puede ensayar invertir los movimientos rgidos para encontrar el mismo resultado. En resumen, las coordenadas del punto P son (3, -4). Ejercicios 1.210. Escriba el procedimiento que debe realizar para ubicar un punto en el sistema de coordenadas cartesianas.11. Como ejercicio mental sin dibujar un plano cartesiano descubra el mensaje oculto por los siguientes puntos si se ubicaran en un sistema cartesiano: (1;4) (1;3) (1;2) (2;4) (2,5;3,5) (3;3) (2,5;2,5) (2;2)(4;2) (4,5;3) (5;4) (5,5;3) (6;2) (5;3) (7;2) (7;3) (7;4) (7,5;3,5) (8;3) (8,5;2,5) (9;2) (9;3) (9;4)(10,4) (10;3) (10,2)(12;4) (11;4) (10;4) (10;3) (10;2) (11;2) (12;2) (11;3)(13;4) (13;3) (13;2) (14;2) (15;2)(16;4) (16;3) (16;2) (17;2) (18;2)(19;2) (19,5;3) (20;4) (20,5;3) (21;2) (20;3) 12. Determine las coordenadas del punto medio de los puntos A(3;4) y B(-5,-2). Deduzca una formula general para calcular las coordenadas del punto medio dado dos puntos, es decir si se tienen dos puntos P1(x1; y1) y P2(x2; y2) debe hallar las coordenadas del punto que equidista entre ellos.13. Deduzca una formula general para calcular la distancia entre dos puntos del plano cartesiano. Es decir, dado dos puntos P1(x1; y1) y P2(x2; y2), determinar la longitud del segmento P1P2. Analice las seis posibilidades que surgen si los puntos estn en los diferentes cuadrantes, dibuje.14. Para corroborar su respuesta del ejercicio 1 arriba presentado, ubique en un sistema cartesiano los puntos. Observe las letras y sus coordenadas. Si un objeto geomtrico (letra) se mueve en el plano se dice que existe una traslacin, deduzca una regla general para una traslacin de un objeto geomtrico en el plano. Todos los puntos que se encuentran en un plano se pueden describir por una recta y un ngulo, coordenadas polares o un par de rectas mutuamente perpendiculares que segmentan el plano en cuadrantes

TRANSFORMACION DE COORDENADASComo en el plano hemos encontrado dos maneras de establecer las coordenadas de un punto es decir, el sistema de coordenadas polares y cartesianas, es usual realizar la operacin de transformar las coordenadas de un punto en un sistema a otro equivalente. Caso 1. El problema es encontrar las coordenadas cartesianas del punto H cuyas las coordenadas polares son H(30m;30). Para resolver este problema se hace necesario establecer como norma general que el eje polar coincida con alguna lnea cartesiana definida la persona que hace la transformacin y sea de conocimiento general para los otros. Histricamente se ha usado que el eje polar tiene que coincidir con el eje x de las coordenadas cartesianas y en direccin positiva. La anterior norma hace que exista una relacin trigonomtrica simple para obtener las coordenadas cartesianas del punto. Como se muestra en la figura adjunta al hacer coincidir el eje polar con el eje x, los segmentos correspondientes a las proyecciones resultan ser: y Aplicando la expresin anterior al problema propuesto, el lector debe llegar a la conclusin que las coordenadas polares H(30; 30) equivalen en el sistema de coordenadas cartesianas H(15m;15m).Recuerde que: , y Se recomienda para el uso de la construccin de las coordenadas cartesianas a partir del sistema polar, la siguiente regla nemotcnica que ayudar en la construccin de los vectores tridimensionales. Dado el radio y el ngulo en el sistema polar, las coordenadas cartesianas se escriben en trminos slo de la funcin trigonomtrica coseno: y Donde el ngulo es el ngulo que forma el radio con la lnea vertical imaginaria positiva, eje y, sin importar si el ngulo se lee en sentido horario o antihorario. Estudie los casos que se muestran a continuacin, el punto H en coordenadas polares debe ser transformado a coordenadas cartesianas: Ejercicios 1.315. Escriba el procedimiento que debe realizar para transformar las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas polares a cartesianas.16. Encontrar las coordenadas cartesianas para los puntos descritos en coordenadas polaresA(6m ; 60), B(14cm; 120), C(15m; 270), D( 49cm; 330), E(6m; 420)17. Encuentre las coordenadas cartesianas del punto B de manera que se encuentre a una distancia de 5 unidades del punto H(5 ; 30) de manera que el segmento BH sea paralelo al eje x.18. Encuentre las coordenadas cartesianas del punto C de manera que se encuentre a una distancia de 5 unidades del punto H(5 ; 30) de manera que el segmento CH sea paralelo al eje y.19. Encuentre las coordenadas cartesianas de un punto B de manera que se encuentre a una distancia de 10 unidades del punto H(5 ; 60) de manera que el segmento BH se encuentre en el tercer cuadrante.

Caso 2. El problema es encontrar las coordenadas polares del punto P cuyas las coordenadas cartesianas son P(30m; -51,96m).Para resolver el problema nuevamente se establece la norma general que el eje x del sistema de coordenadas cartesianas coincida con el eje polar. La anterior norma hace que se pueda construir mediante el teorema de Pitgoras y la relacin trigonomtrica de tangente obtener las coordenadas polares del punto. Como se muestra en la figura adjunta al hacer coincidir el eje x con el eje polar, de esta manera el valor absoluto de los segmentos correspondientes a las proyecciones resultan ser los catetos del tringulo, por lo tanto: y Aplicando la expresin anterior al problema propuesto, el lector debe llegar a que las coordenadas cartesianas P(30m; -51,96m) equivalen en el sistema de coordenadas polares P(60m; 300). Cabe anotar que algunas calculadoras arrojan un resultado de -59,999 o aproximando a -60 para , debe recordar lo establecido para el sentido positivo o negativo del sistema de coordenadas polares. Se recomienda que se observen los signos que acompaan a cada uno de los valores de la pareja ordenada que corresponde a las coordenadas cartesianas de un punto, ya que esto le permite establecer en qu cuadrante esta ubicado el punto y se hace a una idea rpida del valor del ngulo para el sistema de coordenadas polares. Estudie nuevamente los ejemplos anteriormente mostrados en las figuras, donde se evidencia como los signos de las coordenadas cartesianas evidencian su ubicacin en los diferentes cuadrantes y dan idea del valor del ngulo en el sistema de coordenadas polares.

Ejercicios 1.420. Escriba el procedimiento que debe realizar para transformar las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas cartesianas a polares.21. Encontrar las coordenadas polares para los puntos descritos en coordenadas cartesianas:A(6m ; 6m), B(-4cm; 3cm ), C(-8m; -6m), D( 3cm; -4), E(-3m; -3m )22. Encuentre las coordenadas polares de un punto H que se encuentra a una distancia de 15 unidades del punto B(8 ; -6) de manera que el segmento HB sea paralelo al eje x.23. Encuentre las coordenadas polares de un punto H de manera que se encuentre a una distancia de 15 unidades del punto C(-8 ; 6) de manera que el segmento HC sea paralelo al eje y.

24. Encuentre las coordenadas polares y cartesianas de los puntos A, B, C y D de la figura arriba. Calcule la longitud del segmento CD sabiendo que el punto D se encuentra directamente encima del punto B.

El espacio tridimensionalRetomando a nuestra extraa hormiga que se encuentra suspendida instantneamente en el aire y desea conocer su ubicacin en el espacio, tendr que proceder de la manera habitual como se ha desarrollado los sistemas de coordenadas anteriores. Ubicara un punto de referencia, el origen de coordenadas O. Coordenadas Cartesianas XYZ: Siguiendo con la lnea de trabajo de usar las lneas rectas cartesianas, la hormiga puede construir sistemas de referencia, usando las ideas anteriores de utilizar lneas rectas mutuamente perpendiculares o lneas y ngulos, que dar origen al sistema cartesiano tridimensional, cilndrico o esfrico como se ver a continuacin. Cuando la hormiga utiliza una tercera lnea euclidiana perpendicular que pasa por el origen de coordenadas en el plano, trae como consecuencia que el espacio queda divido en ocho partes u octantes. La tercera lnea es conocida como el eje z. Como se vio en la seccin anterior un par de lnea perpendiculares describen un plano, entonces los ejes x e y generan un plano, los ejes x y z generan otro plano, y finalmente los ejes y e z otro, estos tres planos son mutuamente perpendiculares y sus intersecciones generan los octantes. El lector debe tomar la costumbre y la iniciativa de ubicar el sistema de coordenadas en cualquier lugar de la hoja de trabajo que este usando. Realizado lo anterior, aparece el problema de identificar las coordenadas de un punto en este sistema. Vamos paso a paso a mostrar la manera de hacer tal operacin y ayudar a la hormiga a ubicarse: Considere, el sistema de coordenadas mostrado en la figura 1.0 con un punto A, ubicado en ste espacio. Para ubicar las coordenadas del punto A, basta con utilizar la siguiente afirmacin como en el caso bidimensional partiendo del punto origen, O, y usando tres movimientos rgidos, reales o imaginarios, uno por cada eje, ya sea sobre los ejes coordenados o paralelos a stos, hasta llegar al punto deseado, de esta forma se obtienen las coordenadas del punto. Para ilustrar lo anterior, supngase el punto A en el espacio y la idea es determinar las coordenadas del punto. Para nuestro propsito, se muestran las seis (6) diferentes maneras de llevar a cabo tal operacin. El primer movimiento se describe por la lnea azul, el segundo movimiento en rojo y el tercer movimiento en verde. Para escribir las coordenadas del punto se consignan siguiendo la regla de colocar los valores para la coordenada x, la de y e se termina con la coordenada para la z. Como es sabido todo punto se identifica como la triada de nmeros P(x, y, z). En la figura 1.1 es claro que el primer movimiento, lnea azul, fueron 4 unidades a lo largo del eje x partiendo desde el punto origen, en el sentido positivo, hasta aqu se escribira (4,0,0); luego desde este lugar nos movemos cinco (5) unidades paralelo al eje Y en sentido positivo, lnea roja, lo que se escribir como (4,5,0) y finalmente desde este sitio nos movemos cuatro (4) unidades paralelo al eje z en sentido positivo, lnea verde, lo que se escribe finalmente como (4,5,4). Con lo que se termina de ubicar las coordenadas del punto. En la figura 1.2 el primer movimiento, lnea azul, fueron 4 unidades a lo largo del eje x partiendo desde el punto origen, en el sentido positivo, hasta aqu se escribira (4,0,0); luego desde este lugar nos movemos cuatro (4) unidades paralelo al eje z en sentido positivo, lnea roja, lo que se escribir como (4,0,4) y finalmente desde este sitio nos movemos cinco (5) unidades paralelo al eje y en sentido positivo, lnea verde, lo que se escribe finalmente como (4,5,4). Con lo que se termina de ubicar las coordenadas del punto.En la figura 1.3 el primer movimiento, lnea azul, fueron 4 unidades a lo largo del eje z partiendo desde el punto origen, en el sentido positivo, hasta aqu se escribira (0,0,4); luego desde este lugar nos movemos cinco (5) unidades paralelo al eje Y en sentido positivo, lnea roja, lo que se escribir como (0,5,4) y finalmente desde este sitio nos movemos cuatro (4) unidades paralelo al eje x en sentido positivo, lnea verde, lo que se escribe finalmente como (4,5,4). Con lo que se termina de ubicar las coordenadas del punto.

En la figura 1.4 es claro que el primer movimiento, lnea azul, fueron 4 unidades a lo largo del eje z partiendo desde el punto origen, en el sentido positivo, hasta aqu se escribira (0,0,4); luego desde este lugar nos movemos cuatro (4) unidades paralelo al eje x en sentido positivo, lnea roja, lo que se escribir como (4,0,4) y finalmente desde este sitio nos movemos cinco (5) unidades paralelo al eje y en sentido positivo, lnea verde, lo que se escribe finalmente como (4,5,4). Con lo que se termina de ubicar las coordenadas del punto.

En la figura 1.5 es claro que el primer movimiento, lnea azul, fueron 5 unidades a lo largo del eje y partiendo desde el punto origen, en el sentido positivo, hasta aqu se escribira (0,5,0); luego desde este lugar nos movemos cuatro (4) unidades paralelo al eje z en sentido positivo, lnea roja, lo que se escribir como (0,5,4) y finalmente desde este sitio nos movemos cuatro (4) unidades paralelo al eje x en sentido positivo, lnea verde, lo que se escribe finalmente como (4,5,4). Con lo que se termina de ubicar las coordenadas del punto.

En la figura 1.6 es claro que el primer movimiento, lnea azul, fueron 5 unidades a lo largo del eje y partiendo desde el punto origen, en el sentido positivo, hasta aqu se escribira (0,5,0); luego desde este lugar nos movemos cuatro (4) unidades paralelo al eje x en sentido positivo, lnea roja, lo que se escribir como (4,5,0) y finalmente desde este sitio nos movemos cuatro (4) unidades paralelo al eje z en sentido positivo, lnea verde, lo que se escribe finalmente como (4,5,4). Con lo que se termina de ubicar las coordenadas del punto.

En la figura arriba se muestra a la extraa hormiga H que desea determinar las coordenadas de su ubicacin en el sistema cartesiano mostrado. Para hacerlo puede usar el mtodo que se describi para el plano, ampliando su concepto a tres dimensiones. Por el punto H desde donde se encuentra ubicada la hormiga se construyen tres lneas rectas paralelas una por cada eje coordenado[footnoteRef:1]*llamadas lneas proyectantes, es claro que estas lneas se extienden hasta el infinito. Cada lnea proyectante cortar al plano determinado por los ejes que no son paralelos a dicha proyectante, el punto de corte entre el plano y la proyectante se conoce como punto visual o punto en la vista (Pv). Luego la hormiga debe construir el segmento que se forma entre ella y el PV, es decir la medida de tal segmento ser la coordenada en el eje al cual es paralela la proyectante, el sentido queda determinado por la direccin del eje. [1: El mtodo aqu descrito fue propuesto por Gaspar Monge, en su conferencia de 1794 en Paris El espacio y su representacin. Los elementos geomtricos bsicos sobre los cuales apoy todo su argumento son: 1. La existencia de las rectas paralelas y 2. La aceptacin del teorema quinto de Euclides, sobre la existencia de una y solo una recta paralela a una recta dada por un punto externo a ella. Que con el tiempo se llamara comnmente Geometra Descriptiva. El comentario del prominente matemtico Gauss luego de la conferencia fue Euclides dio las bases de la geometra plana y Monge las del Espacio ]

En la figura adjunta se muestra la recta proyectante en color verde paralela al eje z, y el punto interseccin, en color rojo, de la recta proyectante con el plano XY, rotulado como PVI (punto visual inferior). Suponga que la longitud del segmento es de 3 unidades, se encuentra que la direccin positiva del eje corresponde con el sentido del segmento, por lo tanto la coordenada en z ser 3 (positivo).

En la figura adjunta se muestra la recta proyectante paralela al eje y junto con el punto interseccin de la proyectante con el plano XZ, rotulado como LI (punto visual lateral izquierdo), suponga que la longitud del segmento fuera 6 unidades, se observa que la direccin positiva del eje corresponde con la del segmento, por lo tanto la coordenada en y ser 6 (positivo).

En la figura adjunta se muestra la recta proyectante paralela al eje x, y el punto interseccin de la proyectante con el plano YZ, rotulado como T (punto visual posterior o trasero), suponga que la longitud del segmento fuera 2 unidades, se observa que la direccin positiva del eje corresponde con la del segmento, por lo tanto la coordenada en x ser 2 (positivo).Con los tres valores las coordenadas de la hormiga se escribirn como una trada ordenada de acuerdo con lo expuesto anteriormente H(2;6;3). Recuerde que se debe escribir en orden (la coordenada x; la coordenada y; coordenada z). Esto es equivalente a determinar la posicin de la hormiga con la metodologa de los movimientos rgidos. El lector debe practicar las dos maneras de ubicar los puntos en el sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales para adquirir velocidad en la posterior construccin de los vectores espaciales. Ejercicios 1.525. Compare las maneras de ubicar las coordenadas por el mtodo de movimientos rgidos y el de proyecciones.26. Las coordenadas de cierta letra son: (-3; -2; 1) (-3; -2; 1,5) (-3; -2; 2) (-3; -2; 2,5) (-3; -2; 3) (-3; -1,5; 2) (-3; -1; 1) (-3; -1; 1,5) (-3; -1; 2) (-3; -1; 2,5) (-3; -1; 3), ubquelas en un sistema coordenado cartesiano tridimensional.27. Ubique las coordenadas de la letra del ejercicio anterior sobre un plano XY. Observe que realizar esa operacin es hacer una rotacin.28. Para la figura adjunta escriba las coordenadas cartesianas de los puntos A, B, C y D. Para resolver problemas similares en los cuales no le rotulan los ejes del sistema, debe tomar la iniciativa y nombrarlos como desee, guardando las normas establecidas, como por ejemplo ubique el punto origen, establezca la direccin positiva del eje. 29. Deduzca una formula general para calcular la distancia entre dos puntos del sistema cartesiano tridimensional. Es decir, dado dos puntos P1(x1; y1; z1) y P2(x2; y2; z2), determinar la longitud del segmento P1P2. Analice las posibilidades que surgen si los puntos estn en los diferentes octantes, dibuje. Aplique a la distancia entre los puntos A y B de la figura anterior.

En este momento vamos a ampliar la ubicacin de un punto en el sistema tridimensional de coordenadas cartesianas siguiendo el mtodo nemotcnico de las componentes si se conocen una distancia y un ngulo, recuerde es algo parecido al sistema de coordenadas polares, revise la transformacin de coordenadas.El problema a resolver es determinar las coordenadas cartesianas de la ubicacin de nuestra extraa hormiga que se encuentra suspendida instantneamente en un punto H, suponiendo que conoce la distancia que existe entre el punto H y el origen O, es decir se conoce la magnitud del segmento HO, rotulado como R, y el ngulo que forma el segmento con un eje determinado. A los ngulos se acostumbra nombrarlos con las letras griegas. En la grfica adjunta se muestra como segmento HO forma un ngulo (alfa) con el eje x, el ngulo con el eje y se rotula (beta) y el ngulo con el eje z se denomina (gamma).Tales ngulos se llaman ngulos directores.Ahora para calcular la componente en cada eje usando la funcin coseno, debe buscarse sobre el eje un punto de manera que al construirse el segmento entre el y el punto en el espacio, en este caso el punto H, sea perpendicular al eje, de manera que se forma un tringulo rectngulo cuya hipotenusa es precisamente el segmento OH de longitud R, as el ngulo delimitado entre R y la componente buscada es conocido. La figura adjunta muestra el punto A que esta sobre el eje X y el segmento AH tiene que ser perpendicular al eje, aunque por la perspectiva no lo parece, de tal suerte que se puede construir el tringulo rectngulo OAH mostrado en color rojo y el ngulo . De manera similar ocurre con el punto B sobre el eje Y, donde el segmento BH es perpendicular al eje pudindose construir el triangulo rectngulo OBH, donde el ngulo esta formado por la hipotenusa R y la componente en el eje y, el tringulo se muestra en color verde. Para la componente en el eje Z que siguiendo el procedimiento descrito se obtiene el tringulo rectngulo OCH, mostrado en color azul. Tomando los tringulos por separado, se observa como el valor de la componente en el eje x, se calcula por , en el eje y por , en el eje z por como se muestra:

Los tres valores obtenidos formaran la triada de coordenadas que describen la ubicacin del punto en el espacio.Ejercicios 1.630. Si se conoce la distancia del origen a un punto y los ngulos que forma tal segmento con cada uno de los ejes coordenados con su direccin positiva, es decir los ngulos directores. Cuales son las coordenadas cartesianas de tal punto?31. La distancia entre un punto P y el origen de coordenadas de un sistema de coordenadas cartesianas es 24 cm., y los ngulos directores que se forman con los ejes coordenados x, y e z en direccin positiva son 120, 120 y 30 respectivamente, escriba las coordenadas cartesianas del punto P. En qu octante se encuentra ubicado?32. Considere el punto P(-6, 10, -8). Calcule la longitud del punto al origen de coordenadas, OP. Determine los ngulos que forman el segmento OP y cada uno de los ejes del sistema de coordenadas.33. Del ejercicio anterior compruebe que la suma los cosenos al cuadrado para cada eje es uno. Es decir que: 34. Deduzca una formula general para calcular los ngulos directores , , que se forman entre un punto con coordenadas P1(x1; y1; z1) y el origen. Analice las posibilidades que surgen si el punto est en los diferentes octantes.

Para determinar la posicin de un punto en un plano hemos usado el sistema de coordenadas cartesianas y el sistema de coordenadas polares. Para ubicar un punto en un espacio tridimensional hemos agregado una coordenada adicional al sistema cartesiano en el plano, pero Cmo ubicar un punto de otra forma que no sea cartesiana?, para empezar hagamos una pequea reflexin acerca del sistema de coordenadas cartesianas XYZ. Cualquier par de ejes definen un plano y el restante la tercera coordenada. Entonces podramos usar las coordenadas polares para describir un plano cualquiera y un eje perpendicular a tal plano, con lo cual podramos ubicar un punto H en el espacio, tales condiciones permiten establecer el llamado sistema de Coordenadas cilndricas. Por lo tanto las coordenadas del punto se escriben H(; ; d), donde las dos primeras coordenadas corresponden al sistema de coordenadas polares y la tercera coordenada es la menor distancia del punto H al plano.

Por lo general lo que se hace en los textos es hacer coincidir el plano de referencia con el plano XY del sistema de coordenadas cartesianas lo que evidentemente hace que el eje perpendicular al plano resulta ser el eje z. Para determinar las coordenadas de un punto H en este sistema se procede como sigue: desde el punto H se levanta una recta perpendicular al eje z. La interseccin entre el eje y la recta perpendicular genera el punto z. La magnitud del segmento Oz corresponde al valor de la coordenada en Z. Por el punto H se construye una recta paralela al eje perpendicular al plano de referencia. El punto de interseccin entre la paralela construida y el plano es el punto proyectado H sobre el plano de referencia, H. El segmento OH es la distancia (rho) que es la primera coordenada y que forma el ngulo con el eje polar (coincidente con x) segunda coordenada en este sistema.

En la figura adjunta se muestra la perspectiva de una superficie cilndrica que contiene el punto H en el espacio, su correspondiente punto proyeccin en el plano XY, H. A este ltimo punto, H, se le puede hacer girar todo el ngulo , en el plano generando un circulo de radio (rho), y luego para luego trasladarlo sobre el eje z. La descripcin anterior trae como consecuencia que cualquier punto en el espacio en este sistema de coordenadas pertenezca a una superficie cilndrica, de ah el origen del nombre del sistema de coordenadas.TRANSFORMACION DE COORDENADASDe manera semejante a la transformacin de coordenadas del sistema polar y el sistema cartesiano bidimensional, pues en este momento el lector puede intuir que existe la equivalencia entre el sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales y el sistema de coordenadas cilndricas. Se deja como ejercicio que el lector deduzca que las relaciones de transformacin para un punto con coordenadas cartesianas P(x,y,z) a coordenadas cilndricas son: y , z =zDonde x e y son las coordenadas cartesianas del punto proyeccin P en el plano XY, y el ngulo el ngulo que se forma entre el eje X (eje polar) y el radio (rho). Las relaciones de transformacin para un punto con coordenadas cilndricas P(, , z) a coordenadas cartesianas son: y , z = zDonde es la distancia entre el origen de coordenadas polares y la proyeccin del punto P en el plano polar y el ngulo es el grado de inclinacin que tiene con respecto al eje polar, que debe coincidir con el eje X.Ejercicios 1.735. Cules son los supuestos que se hacen para construir el sistema de coordenadas cilndricas?36. Considere el punto P(-6, 10, -8). Determine las coordenadas cilndricas del punto, dibuje la superficie cilndrica que contiene al punto P.37. Encuentre las coordenadas cartesianas del punto D( 49cm; 330, 15cm) dadas en coordenadas cilndricas.38. Deduzca las relaciones de transformacin para un punto con coordenadas cartesianas P(x,y,z) a coordenadas cilndricas.39. Deduzca las relaciones de transformacin para un punto con coordenadas cilndricas P(, , z) a coordenadas cartesianas. Ahora consideremos nuevamente la extraa hormiga situada en un punto P en el espacio. Cmo describir la ubicacin del punto de una manera diferente a las ya mencionadas? Comenzamos como siempre, considerando que existe otro punto O llamado origen de coordenadas. Teniendo como gua lo que se ha hecho, podemos pensar que se construye el segmento OP, a continuacin construimos una recta (eje) con origen en O, que no este sobre el segmento OP, lo que evidentemente genera un ngulo entre ellas, que lo llamare ngulo azimutal (esto se parece al sistema de coordenadas polares) y luego construimos un plano perpendicular a tal eje. Sobre este plano construyo una semirrecta sobre el plano con origen en O. Observe que la argumentacin es similar a la usada en coordenadas cilndricas pero la diferencia es sutil. Aqu el lector puede evidenciar la construccin de punto, segmento, lnea, plano. La ubicacin del punto P comenzar por usar la longitud OP y el ngulo , por lo tanto tenemos ya dos coordenadas para la ubicacin del punto P. Ahora se procede la construccin de una lnea recta paralela al eje pasando por el punto P, permitiendo proyectar el punto P sobre el plano como la interseccin y aparece el punto P. Construyendo la lnea perpendicular al eje que pasa por P se genera el punto interseccin E, as la longitud de este segmento PE es la misma que la longitud del segmento OP sobre el plano. En ngulo generado por OP con direccin de la semirrecta en el plano es la otra coordenada, tal ngulo rotulado como se conoce como colatitud, (se parece al sistema de coordenadas polares). Entonces para terminar las coordenadas del punto P en este sistema de coordenadas son P(; ; ). El sistema se conoce como sistema de coordenadas esfricas. Como se puede observar se usa una coordenada longitudinal y dos medidas angulares. Internacionalmente se tiene por convencin que los ngulos varan segn y .

Lo usual es hacer coincidir el eje de referencia con una lnea recta vertical, similar al eje z descrito en el sistema de coordenadas cartesianas, por lo anterior el plano perpendicular a tal eje resultara ser el plano XY del sistema de coordenadas cartesianas sobre el cual se traza la semirrecta tomada como eje polar que se hace coincidir con la direccin positiva del eje X del sistema de coordenadas cartesianas. En la figura se muestra las coordenadas esfricas para el punto P. La distancia OP es la primera coordenada, rotulada por , el ngulo azimutal, , y el ngulo colatitud, . Para un todo punto P se tiene una distancia , para este valor constante si se hace variar el ngulo azimutal entre 0 y , se genera la lnea verde, si sta se hace rotar en todo el ngulo para , es decir entre 0 y 2, se genera la superficie de una esfera. Es tal el origen del nombre del sistema. El uso de este sistema de coordenadas esta asociado a la necesidad de los seres humanos de ubicarse sobre la superficie de la tierra. Para el caso que se muestra la lnea verde que pasa por los polos geogrficos se llama comnmente meridiano, se acepta que el meridiano que pasa por Greenwich es tomado como referencia, es decir un ngulo =0. La circunferencia roja se denomina paralelo, se toma el paralelo O como la circunferencia que pasa por el ecuador, este paralelo divide el globo terrqueo en dos secciones esfricas la superior norte y la inferior la sur. Es claro que el punto interseccin entre un paralelo y una latitud dar la ubicacin del punto sobre la superficie esfrica, as Bogot se ubica a 439'0'' latitud Norte y a 743'0'' longitud oeste, suponiendo que la tierra es completamente esfrica. Ejercicios 1.840. Cules son los supuestos que se hacen para construir el sistema de coordenadas esfricas?41. Ubique el punto P(5cm; 120; 30). Calcule la circunferencia del paralelo correspondiente.42. Calcular el radio del paralelo de una localidad que esta 45 de distancia del Polo Norte. Suponga que el radio como radio de la tierra 6378km.

43. Dos superficies esfricas se una sobre la otra, cuyos centros se encuentran sobre una misma lnea estn separados 15 cm. Las dos circunferencias se intersectan en un paralelo comn que mide 31,4159cm. Se el ngulo azimutal de la superficie esfrica inferior es de 30. Determine el radio de cada una de las superficies, adems calcule el ngulo azimutal correspondiente para la superficie esfrica superior. 44. Calcule la menor distancia entre dos puntos que se encuentran ubicados sobre un mismo paralelo sobre una superficie esfrica. Haga lo mismo para dos puntos que se encuentren sobre un mismo paralelo.

TRANSFORMACION DE COORDENADASAhora lo que se debe hacer es poder transformar las coordenadas esfricas en coordenadas cartesianas y viceversa. Luego transformaremos coordenadas esfricas en cilndricas y viceversa.Para transformar coordenadas esfricas en cartesianas, como se menciono arriba, hacemos coincidir el eje del sistema esfrico con el eje vertical del sistema cartesiano, el plano con el plano XY y la semirrecta de referencia con el eje x del sistema cartesiano de coordenadas. Las coordenadas esfricas del punto P(; ; ). Proyectando el punto P sobre el eje de referencia coincide con la coordenada Z del sistema de coordenadas cartesianas, por lo tanto . El segmento PE es paralelo al segmento OP, cuyo valor numrico se calcula usando la definicin de seno, se encuentra que el valor resulta ser . Proyectando el segmento OP en cada uno de los ejes cartesianos, se encuentra que los valores correspondientes a las coordenadas son: e As, las coordenadas cartesianas del punto P (; ;)

En el caso de dadas las coordenadas cartesianas del punto P(x; y: z) se requiere encontrar las coordenadas esfricas del punto. Con los valores de las coordenadas x e y, usando el teorema de Pitgoras, se calcula el segmento OP, por lo tanto , donde usando al funcin inversa para el ngulo . Como se ha explicado el segmento OP es igual al segmento PE, tenemos el tringulo rectngulo OEP con sus dos catetos conocidos, por lo tanto podemos obtenemos la hipotenusa, pero remplazando el valor de EP, en lo anterior: . Que equivale a . En el mismo tringulo OEP, podemos determinar el ngulo . As las coordenadas esfricas del punto son P(; ; )

Para transformar las coordenadas esfricas del punto P(; ; ) en coordenadas cilndricas, basta con interpretar las definiciones usadas en el sistema de coordenadas cilndricas, eso implica que el segmento OP rotulado como se confunde con el de las coordenadas esfricas, por lo tanto se denotara como R a partir de la figura, como la componente , y el segmento , de manera similar dadas las definiciones para el sistema de coordenadas cilndricas es claro que el ngulo de las coordenadas esfricas corresponde al ngulo de las coordenadas cilndricas por lo tanto las coordenadas cilndricas del punto P en trminos de las esfricas son P(; ; ).

En el caso de dadas las coordenadas de un punto P(R; ; z) en coordenadas cilndricas, donde se ha re-definido R como la longitud del segmento que se genera entre la proyeccin del punto P sobre el plano de referencia y el origen O de coordenadas y como el ngulo entre R y la semirrecta de referencia, para no confundir con las coordenadas esfricas. De la figura el tringulo rectngulo OPP, es evidente que la hipotenusa , del mismo tringulo el ngulo se calcula mediante . Por lo tanto las coordenadas cilndricas del punto P escritas en coordenadas esfricas son P( ; ; ).

Ejercicios 1.945. Transformar las coordenadas esfricas P(3m; 45; 30) en coordenadas cartesianas. Construya un dibujo. 46. Transformar las coordenadas cartesianas P(3m; 6m; 2m) en coordenadas esfricas. Construya un dibujo. 47. Transformar las coordenadas esfricas P(4m; 30; 120 ) en coordenadas cilndricas. Construya un dibujo. 48. Transformar las coordenadas cilndricas P(3m; 30; 2m) en coordenadas esfricas. Construya un dibujo. 49. Una esfera tiene un radio R = 3 cm; consideremos un punto de coordenadas (2; y; 6). Cul es el valor de la segunda coordenada para que el punto este sobre la superficie de la esfera? Determine las coordenadas del punto en coordenadas cilndricas y esfricas.

RECAPITULANDOSe ha construido un procedimiento para determinar la posicin de un punto o un cuerpo mediante d un nmero u otro smbolo conocido como el mtodo de coordenadas. Los nmeros mediante los cuales se determina la posicin del punto se conocen como las coordenadas del punto propiamente dicho. Este mtodo permite representar numricamente diferentes figuras o cifrarlo como por ejemplo el ejercicio 11. Vale la pena mirar en retrospectiva lo hecho para ubicar un punto en el espacio, esto es dado un punto P es necesario costruir otro O, origen de coordenadas, y a partir de esto: Usamos una lnea recta para ubicar los puntos. La lnea recta tiene un punto origen y se le asocia una direccin positiva que grficamente se representa con la punta de una flecha y se denomina eje. La ubicacin de un punto se nombra P(#)sobre el nombre dado al eje. Se le ha pedido que desarrolle una formula que le permita calcular la distancia entre dos puntos del eje, Ejercicio 4. Usamos una lnea recta y un ngulo para ubicar los puntos en el plano. Sistema de coordenadas polares. La ubicacin de un punto se nombra P(R, ) con dos coordenadas. Para describir un plano se usan dos lneas rectas, ejes coordenados, mutuamente perpendiculares para ubicar los puntos en el plano. Sistema de coordenadas cartesianas. La ubicacin de un punto se nombra P(x, y) una por cada eje. Se le ha pedido que desarrolle una formula general que le permita calcular la distancia entre dos puntos del plano. Ejercicio 13. Construimos la manera transformar coordenadas polares en cartesianas y viceversa. Basta con hacer coincidir el eje polar con el eje x. Se aplican las definiciones de la trigonometra bsica y nemotcnicamente recuerde que la componente cartesiana es la distancia del origen al punto, es decir R, multiplicada por el coseno del ngulo que forma la distancia y el eje respectivo, as obtuvimos: y . Usamos tres lneas rectas, ejes coordenados, mutuamente perpendiculares para ubicar los puntos en el espacio. Sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales. La ubicacin de un punto se nombra P(x, y, z) con tres coordenadas una por cada eje. Se le ha pedido que desarrolle una formula general para calcular la distancia entre dos puntos del espacio. Ejercicio 29. Usamos un eje (z) y un plano perpendicular a tal eje. Para describir el plano usamos una distancia, , y un ngulo a la manera de un sistema polar de coordenadas. En el Sistema de coordenadas cilndricas tridimensionales la ubicacin de un punto se nombra P(, , z) con tres coordenadas. Usamos un eje de referencia (z) y la distancia del origen al punto P. denominada . El ngulo , azimutal, entre el eje de referencia y . Y un plano perpendicular al eje de referencia sobre el cual se proyecta el punto P. Se usa el ngulo , entre la proyeccin y un semieje de referencia sobre el plano. En el Sistema de coordenadas esfrica la ubicacin de un punto se nombra P(, , ) con tres coordenadas.

CONSTRUYENDO VECTORESLuego de la exposicin anterior, el lector ya esta familiarizado con los algunas maneras de ubicar puntos en el espacio y se encontrado la correspondencia biunvoca entre el conjunto de nmeros reales y los puntos de una recta. En este apartado lo que se pretende es construir un conjunto de elementos entre los cuales es posible definir operaciones que satisfacen en esencia las leyes formales de la adicin y la multiplicacin ordinarias, como las que se realiza con los nmeros reales. Describiremos a uno de tales conjuntos, conocidos como vectores.Cantidades Escalares:

EJERCICIOS PARA CONSTRUIR VECTORES

1. El ejercicio tiene por objeto que el lector escriba en forma vectorial cartesiana cada uno de los nueve (9) vectores que se presentan en la figura 1. Se recomienda que construya cada vector paso a paso, es decir, a. Nombre el vector, tenga en cuenta la magnitud fsica que representa, b. construya el vector espacial para el vector, recuerde que es la resta cartesiana entre el punto final y el punto inicial; c. tome la magnitud del vector espacial d. construya el vector unitario del vector, es decir tome el cociente del vector espacial sobre su magnitud, e. construya finalmente el vector, recuerde el teorema: todo vector se escribe como el producto de su magnitud por su vector unitario y aplique la ley distributiva.Analice sus resultados numricos y los signos de cada una de las componentes de los vectores unitarios de cada vector, y responda de manera escrita a cada una de las siguientes preguntas: a.1. qu propiedad geomtrica poseen los vectores de magnitud 25N en la figura? ___________________________________________________________________________________a.2. qu propiedad de sentido tienen los vectores unitarios para los vectores de 25 N? ___________________________________________________________________________________

a.3. dependen del lugar donde se encuentran? Generalice su respuesta para vectores que cumplan con lo anotado en a.1 y a2 _____________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________b1. Qu propiedad geomtrica poseen los vectores de magnitud 22 N y 5N en la figura, con respecto a los ejes coordenados? ________________________________________________________________b2. Cules son las coordenadas cartesianas del vector unitario del vector de 22 N y las del vector 5 N?________________________________________________________________________________b.3. generalice las respuestas en b1 y b2 para todo unitario vector que pertenece a un vector paralelo a un eje coordenado ________________________________________________________________

c.1. Es necesario conocer las coordenadas del punto inicial y el punto final del vector para construir el vector unitario de un vector?; observe los vectores de 10 N, 22 N, 5 N. ________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Figura 1c.2 qu representa la magnitud del vector espacial? ___________________________________________________________________________________c.3 Analice uno de los vectores escrito en forma vectorial cartesiana, qu representa cada uno de los valores que componen al vector junto con su signo y el vector unitario correspondiente a cada eje coordenado? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2. La caja mostrada en la figura 2, posee un peso de 9800 N, esta sostenida por los tres cables, de manera que se encuentra en equilibro. El lector debe escribir los cuatro vectores fuerza en forma vectorial cartesiana. a. Nombre el vector, tenga en cuenta la magnitud fsica que representa, en este caso observe como resolvi el vector F del ejercicio anterior b. construya el vector unitario del vector, es decir tome el cociente del vector espacial sobre su magnitud, directamente de la figura sin realizar la resta cartesiana c. construya finalmente el vector, recuerde el teorema: todo vector se escribe como el producto de su magnitud por su vector unitario y aplique la ley distributiva.

3. La torre mostrada en la figura 3, esta sostenida por tres cables tensores. En la prctica estos tensores realizan fuerza a la torre para evitar el movimiento cuando corrientes de viento actan sobre ella. La fuerza neta que ejercen los tensores queda dirigida hacia el suelo. En el suelo los ingenieros civiles colocan una contrachapa que ejerce una fuerza de igual magnitud y sentido contrario a la fuerza neta ejercida por los tensores, para evitar que la torre se entierre en el suelo. El lector debe escribir las fuerzas ejercidas por los tensores en forma vectorial cartesiana y la fuerza que ejerce la contrachapa.

4. La figura 4, muestra dos vectores que se encuentran en el espacio, referenciados a los ejes coordenados. Escribir en forma vectorial cartesiana los dos vectores. a. observe el tringulo rectngulo que contiene al vector, suponiendo como valor de hipotenusa la magnitud del vector, calcule la magnitud de cada cateto y su respectiva orientacin b. Observe si la magnitud orientada calculada, es una componente del vector, a ser escrito en forma cartesiana, si cumple con la respuesta dada en c.3, en caso contrario debe continuar buscando la condicin c.3.

Figura 2

Figura 4Figura 3