EJERCICIOS DE APLICACIN DE DERIVADAS

PARTE I

EJERCICIO 6.10

ex=2-x

f(x)= ex-2+x , x0=0.51) Escriba la ecuacin de la recta normal a la curva en un punto P. Qu relacin tiene su pendiente con la pendiente de la recta tangente en P?

fXo=ex0-2+x0

f(0,5)= e0,5-2+0,5f(0,5)=0,15

f'(x)= ex+1

f'(0,5)= e0,5+1f'(0,5)=2,65

Y- f(x0)= f'(x0)(x-x0)Y-0,15=2,65(X-0,5)

Y=2, 65X-1, 44+0, 15

Y=2, 65X-1, 29

2) Qu relacin existe entre el crecimiento de una funcin y el signo de su derivada? Ejemplifique.

Relacin entre la derivada y el crecimiento o decrecimiento de una funcin

Sea f una funcin derivable,

Diremos que una funcin y=f(x) es CRECIENTE en xo cuando existe un entorno de xo tal que:

Si xxo entonces f(x) f (xo)y si xox entonces f(xo)f(x)

Si f es derivable ser:

Diremos que una funcin y=f(x) es DECRECIENTE en xo cuando existe un entorno de xo tal que:

si xxo entonces f(x)f(xo)y si xox entonces f(x)f(xo)

En este caso:

Si f'(xo) 0, entonces f es creciente en xo Si f'(xo)0, entonces f es decreciente en xo

Ejemplo:Clculo de intervalos de crecimiento y decrecimiento En la escena estn representadas la funcinf(x)=x3-3x+1 y su derivada f'(x)=3x2-3 Comprueba, a la vista del signo de la derivada si la funcin es creciente o decreciente en x=-1,5 x=0 x=2

Para calcular en qu intervalos la funcin es creciente o decreciente procederemos: Resolvemos la ecuacin: f'(x)=0 Soluciones: x=1, x=-1 Calculamos el signo de la derivada antes y despus de estos valores

x1, f'(x) 0, f creciente en (1,+)

3) Establezca las condiciones de monotona de una funcin f: R R derivable en todo su dominio

4. Defina

Mnimo relativo

Valor de una funcin, que es menor que los valores de la funcin en puntos cercanos, pero que no es el menor de todos los valores.

Si F y f son derivables en a, a es un mnimo relativo si se cumple:

1. f(a)=0

2. f(a)>03. Mximo Global

4. Un punto X0 se dice que es un mximo global

5. de una funcin f si no existe ningn otro punto donde la funcin tome un valor mayor al que

6. toma en X0.

7. 5. A qu se llama punto crtico?

8. Un punto crtico de una funcin de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la funcin no es diferenciable o cuando su derivada es 0.1 2 El valor de la funcin en el punto crtico es un valor crtico de la funcin. Estas definiciones admiten generalizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre Rm y Rn, y mapas diferenciables entre variedades diferenciables.

9. 6. Cul es la condicin necesaria para la existencia de extremos? De ejemplos que demuestren que la condicin no es suficiente.

10. Teorema (de los extremos absolutos de Weierstrass)

11. Sea F(x) una funcin continua en [a,b]. entonces f(x) alcanza un mximo y un mnimo absolutos sobre [a,b]

12. El teorema garantiza la existencia de mximo y mnimo de la funcin bajo condiciones de continuidad. Si la funcin es discontinua en un cerrado [a,b], puede no tener ni mximo, ni mnimo ni ambos. Pero puede suceder que una funcin sea discontinua en algunos puntos del intervalo [a,b] y sin embargo presentar a la vez mximo y mnimo.

13. El teorema es una condicin suficiente para encontrar extremos absolutos en el intervalo cerrado, pero no es necesaria. Si la funcin no fuera continua o si el intervalo no fuera cerrado, es posible que presente extremos absolutos.

14. La funcin presenta una discontinuidad en el punto c, siendo a < c < b. El menor valor de la funcin corresponde a x=a, pero notiene valor mximo

15.

16. La funcin definida en el cerrado [-1,1] de forma que f(x)=x3 si x0 y f(0)=1/2, presenta una discontinuidad en x=0 y sin embargo alcanza el mnimo en x=-1 y el mximo en x=1

17.

18.19. 7. Cul es la condicin suficiente para la existencia de extremos relacionados

con la primera derivada de la funcin? 20.21. La condicin necesaria es que Sea (f, D) derivable en a c R. Si f posee un mximo o

un mnimo en a, entonces f(a) = 0, ese es un punto de tangente horizontal22.23. 8. Escriba el criterio para determinar los mximos y mnimos de tangencia

vertical 24.25. Recordemos que f derivable, es estrictamente creciente (decreciente) en a si, y slo

si f(a) >0 (f(a)

28.3. Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la funcin ha de ser dos veces

derivable).a. Si f(a) = 0 y f(x) > 0, f posee en a un mnimo local.b. Si f(a) = 0 y f(x) < 0, f posee en a un mximo local.

29.30.31. 9. Defina:32. a) Concavidad hacia arriba 33.

34. Sea una funcin cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto .

Si , la grfica de es cncava hacia arriba en .

35.

36.37. b) Punto de Inflexin 38.39. El punto que, en una funcin continua, separa la parte convexa de la cncava, se

llama punto de inflexin de la funcin. En ellos la funcin no es cncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revs.

Los puntos de inflexin estn caracterizados por:

TEOREMA

40. Sea la ecuacin de una funcin.

41. Si no existe, y la derivada cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la funcin de abscisa x=a es un punto de inflexin.

42.

43. 10. Cuntos tipos de puntos de inflexin se presentan? Por qu?. Enuncie el criterio para determinarlos en cada caso e ilustre cada uno con un grfico.

44. Otra de las aplicaciones fundamentales de las derivadas es su utilizacin para estudiar el tipo de concavidad y los puntos de inexion de una funcin. Para este estudio necesitaremos la segunda derivada. Las funciones presentan concavidades hacia arriba o concavidades hacia abajo en un intervalo cuando son de la forma indicada en la Figura 3.Observemos, en primer lugar, el caso de la concavidad hacia arriba. Si nos fijamos en la Figura 3, observaremos que Y crece cada vez ms deprisa, es decir su velocidad de variacin es cada vez mayor, lo cual significa que y' = F' (x) es creciente. Esto se traduce en que y'' = f''(x) > 0. En resumen:

45. Regla

46. Cuando y'' = f''(x) > 0 en un intervalo, la funcin presenta una concavidad hacia arriba en ese intervalo.

47. Observemos, ahora, el caso de la concavidad hacia abajo. Si nos jamos en la Figura 3, observaremos que Y crece cada vez ms despacio, es decir su velocidad de variacin es cada vez menor, lo cual signica que y' = f '(x) decreciente. Esto se traduce en que y'' = f''(x) < 0. En resumen:

48. Regla

49. Cuando y'' = f''(x) < 0 en un intervalo, la funcin presenta una concavidad hacia abajo en ese intervalo.

50. Un punto de inexion es un punto x0 en el que se produce un cambio en el tipo de concavidad. Ver Figura 4. Al haber un cambio en el tipo de concavidad, la derivada segunda pasa de ser positiva a ser negativa, o al revs. En resumen, tenemos:

51. Regla

52. La funcin presenta un punto de inexion en x0 cuando ocurren

53. las siguientes cosas:

54. 1. f''(x0) = 0

55. 2. La derivada segunda cambia de signo.

56. Es muy frecuente evaluar la derivada tercera, f(3(x0), para determinar si nos encontramos ante un punto de inexion. Pero, como se acaba de indicar, eso es innecesario. Es suciente con analizar la derivada segunda.

57. Una propiedad interesante de los puntos de inexion es la siguiente:

58. En un punto de inexion, la derivada primera pasa de ser creciente a ser decreciente (o al revs). Es decir, en un punto de inexion, la derivada primera alcanza un mximo (o un mnimo). Pero la derivada primera es la velocidad de variacin de Y as que, por tanto:

59. Signicado de un punto de inexion

60. En un punto de inexion, la velocidad de variacin alcanza un mximo (o un mnimo).

61. El programa de trabajo para determinar los distintos tipos de concavidad

62. de una funcin y sus puntos de inexion es el siguiente:

63. 1. Calculamos la funcin derivada segunda: y'' = f''(x).

64. 2. Planteamos y resolvemos la ecuacin f''(x) = 0. Las soluciones de esta ecuacin sern los potenciales puntos de inexion.

65. 3. Determinamos cmo es la derivada segunda (positiva o negativa) entre los potenciales puntos de inexion. Para esto, bastar con evaluar esta derivada segunda en un punto de cada uno de los intervalos obtenidos.

66. 4. Aplicamos las reglas descritas anteriormente.

67. FIGURA 3.

68.

69. FIGURA 4.

70.

71. Ejemplo Consideramos la funcin y =X33 2X2 +3x + 5.72. Aplicamos los pasos anteriores:

73. 1. Calculamos la derivada segunda:

74. y' = f'(x) = X2 4x + 3 y'' = f''(x) = 2x 4.

75. 2. Planteamos la ecuacin f''(x) = 0 2x 4 = 0 Obtenemos la solucin x = 2.76. 3. Por ejemplo, para x = 0: f''(0) = 4 < 0. Tenemos que f''(x) < 0,

77. para x < 2.

78. Por ejemplo, para x = 4: f''(4) = 4 > 0. Tenemos que f''(x) > 0, para x > 2..

79. En resumen:

80. Para x < 2, la funcin es cncava hacia abajo.

81. Para x = 2, la funcin presenta un punto de inexion.

82. Para x > 2, la funcin es cncava hacia arriba.

83.

84. 11. Enuncie la condicin suficiente para los extremos por el criterio de la segunda derivada. Ejemplifique.

85. Variacin de la segunda derivada

86. Sea una funcin derivable ms de una vez.

Teorema (condicin suficiente para la existencia de extremos)

Pueden ocurrir los siguientes casos:

87. La funcin f tiene en el punto xo un mnimo relativo.

88. La funcin f tiene en el punto xo un mximo relativo.

89. No se puede afirmar nada.

90.Demostracin

a. Si es creciente en

91. La derivada es negativa a la izquierda de xo y es positiva a la derecha de xo, luego la funcin f es decreciente a la izquierda de xo y es creciente a la derecha de xo. Se puede afirmar que en xo hay un mnimo relativo.92.

b. Si es decreciente en

93. La derivada es positiva a la izquierda de xo y es negativa a la derecha de xo, luego la funcin f es creciente a la izquierda de xo y es decreciente a la derecha de xo. Se puede afirmar que en xo hay un mximo relativo.

94. Ejemplo:

Los puntos crticos son:

95.96.

En el punto xo=0, no se puede afirmar NADA. En el punto x1=3/2 hay un MNIMO RELATIVO.

97. TABLA DE VALORES

98.X

99.Y

100.

101.0

102.3

103.NA

DA

104.3/

105.2

106.MN

IMO

107.

108. 12. Formule las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos de una funcin.

109. Definicin. Una funcin tiene un mximo (mnimo) en un

punto si el valor de la funcin en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto X(x,y) de algn entono de P.

110. Condiciones necesarias de extremo. Si una funcin diferenciable

alcanza un extremo en el punto entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto son iguales a cero, o sea:

111. ;

112. Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos crticos o estacionarios. No todo punto crtico es un punto extremo.

113. Condiciones suficientes para la existencia de extremos.

114. (a) Caso de dos variables. Sea un punto crtico de una

funcin con las derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y sea

el determinante de su matriz hessiana, entonces:

115.

116. Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da , si es negativa mximo y si es positiva mnimo). Si el hessiano es negativo no hay extremo. Y si el hessiano es cero hay duda (que habr que resolver por otro mtodo)

117. (b) Caso de tres o ms variables. Calculamos los siguientes determinantes:

118. ; ; ;...;

i. Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la funcin tiene un mnimo

en

ii. Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor

negativo ), entonces la funcin tiene un mximo en

iii. En cualquier otro caso hay duda

119.

120. 13. Qu es un punto cuspidal?

121. Si ests en Estadstica valor cuspadla significa el valor del modo o moda que es el valor de la variable que ms se repite y por eso le corresponde el punto ms alto en el grfico de los datos.Si ests en anlisis matemtico general un punto cuspadla pareciera ser un punto de la grfica donde hay un mximo.

122. 14. Cmo se procede a hallar la ecuacin para una asntota oblicua?

123. 1 PARTE: Clculo de la pendiente "m"

124. ECUACIN DE LA ASNTOTA: ---- y = mx + n

125. ECUACIN DE LA FUNCIN: -----y = f(x)

126.

127. Esto quiere decir que "m" es un valor muy prximo al cociente entre f(x) y x, cuando x toma valores grandes (en valor absoluto). Por tanto, para calcular "m" hallaremos el siguiente lmite

128.

129. 2 PARTE: Clculo de la ordenada en el origen "n"

130. ECUACIN DE LA ASNTOTA: ---- y = mx + n

131. ECUACIN DE LA FUNCIN: -----y = f(x)

132. Despus de calcular "m" es fcil hallar el valor de "n". Fijndote en la definicin

inicial, se cumple que .

133.

134. Operando se obtiene que "n" tomar el valor

135. 15. Describa el procedimiento general a seguir para trazar una curva si se conoce su ecuacin

136. En matemtica y computacin, el mtodo de Euler, llamado as en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integracin numrica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.

137. El mtodo de Euler es el ms simple de los mtodos numricos resolver un problema del siguiente tipo:

138.

139. consiste en dividir los intervalos que va de a en subintervalos de

ancho ; o sea:

140.

141. de manera que se obtiene un conjunto discreto de puntos:

del intervalo de inters . Para cualquiera de estos puntos se cumple que:

142.

.143.

La condicin inicial , representa el punto por donde pasa la curva solucin de la ecuacin del planteamiento inicial, la cual se denotar

como .

144. Ya teniendo el punto se puede evaluar la primera derivada de en ese punto; por lo tanto:

145.

146.

147.

148.149. Grafica A.

150. Con esta informacin se traza una recta, aquella que pasa por y de

pendiente . Esta recta aproxima en una vecindad de . Tmese la

recta como reemplazo de y localcese en ella (la recta) el valor de

correspondiente a . Entonces, podemos deducir segn la Grfica A:151.

152.

Se resuelve para :

153.154.

Es evidente que la ordenada calculada de esta manera no es igual a , pues

existe un pequeo error. Sin embargo, el valor sirve para que se aproxime

en el punto y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesin de aproximaciones siguiente:

155.156.

157. 16. Describa las tcnicas generales que permiten resolver un problema de optimizacin.

Asignar smbolos a todas las magnitudes a determinar.

Escribir una ecuacin primaria para la magnitud que debe ser optimizada.

Reducir la ecuacin primaria a una ecuacin con solo una variable independiente. Eso puede exigir el uso de las ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuacin primaria (sistema de ecuaciones).

Determinar el dominio de la ecuacin primaria. Esto es, hallar los valores para los que el problema planteado tiene sentido.

Determinar puntos crticos de la funcin por medio de la primera derivada de la funcin.

Realizar la segunda derivada para determinar la concavidad de la funcin y as saber los cuales puntos crticos son valores mximos o mnimos.

158.

159. 17. Escriba la frmula para el desarrollo del polinomio de Tylor de una funcin

160. Q(x) =

161. 18. Como se aplica la frmula de Tylor en la resolucin de mximos y mnimos

162. Sea con n derivadas continuas en un intervalo (a,b) que contiene a xo y supngase que f ' (xo) = 0, f '' (xo) =0, f (3) (xo) = 0, ... , f (n-1) (xo) = 0 y f (n) (xo) 0; entonces si n es par:

163. 1. Si n es par:

164. a) f (n) (xo) < 0 f toma un mximo relativo en xo.

165. b) f (n) (xo) > 0 f toma un mnimo relativo en xo.

166. 2. Si n es impar, la funcin no alcanza un valor extremo en xo.

167. Demostracin: Supongamos primero que n es par.

168. Como f (n) (x) es continua en un intervalo (a, b) que contiene a xo y f (n) (xo) < 0, podemos encontrar un subintervalo(xo - d , xo + d ) (a, b) de tal manera f (n) (x) sea negativa en este subintervalo. Grficamente lo vemos en la siguiente ilustracin para la funcin f (n):

169.

170.

171. Consideremos x en el intervalo (xo - d , xo + d ), por el Teorema de Taylor:

172.

173. con En = y c entre x y xo

174. como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo, se tiene:

175.

176. f (n) (c) < 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - d , xo + d ) donde la n-sima derivada es negativa.

177. Al ser f (n) (c) < 0 y n par, la expresin (x - xo)n < 0 y por lo tanto

y en consecuencia f(x) < f(xo) para toda x en el intervalo (xo - d , xo + d ), lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo, es decir f alcanza un mximo relativo en xo.

178. 19. Describa en que consiste el mtodo de Newton-Raphson?

179. El mtodo de Newton-Raphson es un mtodo iterativo que nos permite aproximar la solucin de una ecuacin del tipo f(x)=0.

180. Partimos de una estimacin inicial de la solucin x0 y construimos una sucesin de aproximaciones de forma recurrente mediante la frmula

181.

182. Por ejemplo, consideremos la ecuacin

183. ex=1x

184. En este caso es imposible despejar la incgnita, no obstante, si

representamos las curvas y = ex, y = 1/x en el intervalo x [0,4], es evidente que la ecuacin tiene una solucin en este intervalo

185.

186. Para aplicar el mtodo de Newton-Raphson, seguimos los siguientes pasos:

187. 1. Expresamos la ecuacin en la forma f(x)=0, e identicamos la funcin f. En el ejemplo es

188. fx=ex-1x189. 2. Calculamos la derivada

190. f'x=ex+1x2191. 3. Construimos la frmula de recurrencia

192. xi+1=xi-eix-1xieix-1xi

193. 4. Tomamos una estimacin inicial de la solucin. En este caso podemos tomar por ejemplo x0= 1.0, y calculamos las siguientes aproximaciones. Desde el punto de vista prctico, si deseamos aproximar la solucin con 6 decimales, podemos detener los clculos cuando dos aproximaciones consecutivas coincidan hasta el decimal 8. En nuestro caso, obtendramos

194.

195. 5. Podemos, entonces, tomar como solucin x = 0.567143

196. 20. Cundo no se puede aplicar el mtodo de Newton-Raphson para encontrar las races de una ecuacin?

197.

198. No se aplica el mtodo de Newton- Raphson cuando no es necesario encontrar races, cuando es funcin lineal

199.

200.

201.

202.

203.

204.

205.

206.

207.

208.

209.

210.

211.

212.

213.

214. EJERCICIO 6.11

215. 1. Halle la ecuacin de la tangente a la curva y=x3+3x2-5 , que es perpendicular a la recta 2x-6y+1=0

216. y=x3+3x2-5 2x-6y+1=0

217. y'=3x2+6x -6y=-2x-1

218. y=2x+16

219. y'=26-(2x+1)(0)36

220. y'=1236

221. y'=13

222. 3x2+6x= 13

223. 3x(x+2)= 1

224. (x+2)= 13x

225. x2= -53

226. x= -53227.

228.

229.

230.

231.

232.

233.

234.

235. 2. Encuentre la ecuacin de la recta normal a la curva y= x ln(x) que es paralela a la recta 2x-2y+3=0.

236. Funcin 1:237. f (x)= x ln(x).238. Funcin 2:239. g(x)=2x-2y+3240.241. Desarrollo:

242. f (x)= x ln(x) g(x) = 2x-2y+3 = 0

y=2(2)-(2x+3)(0)4

243. f (x)= ln(x)+x ( 1x ) -2y = -2x-3y=2(2))4

244. = ln(x)+1. 2y = 2x+3 y=1

245. y = 2x+32246.

247. Igualamos derivadas: Sustitucin:

248. f(x) = - 1g'(x) f(x0) = x0 ln(x0) f(x0) = ln(x0) +1

249. ln(x)+1= - 1 f(e-2) = (e-2)ln(e-2) = ln(e-2)+1250. ln(x) = - 1 1 = (0.14)(-2) = -2+1251. ln(x) = 2 = - 0.28 = -

1252. X0 = e-2

253.

254. Recta normal: Grfica:

255. y f(x0) = -1f'x0(x-xo)

256. y (- 0.28) = -1-1(x-e-2) 257. y + 0.28 = 1(x-0.14) 258. y = x-0.14-0.28 259. y = x 0.42260.

261.

262.

263.

264.

265. 3. Halle la ecuacin de la recta tangente a la hiprbola y = x+9x+5 que pasa por el origen de coordenadas.

266. Origen de Coordenadas = (0,0) entonces: xo= 0.

267. Desarrollo:

268. f(x) = x+9x+5 Sustitucin:

269. f(x) = 1x+5-(x+9)(1)(x+5)2 f(x0) = -402+10(0)+25270. = x+5-x-9x2+10x+25 = -425271. = -4x2+10x+25272.

273. Recta Tangente: Grfica:

274. y f(x0)= f(x0) (x- x0)

275. y = -425 x276. y = -425 x 277.

278.

279.

280.

281. 4. Dada la curva x2+3y2+3x-4y-3=0, halle el valor de k de manera que la recta 5x+2y+k=0 sea tangente a la curva indicada.

282. Desarrollo:

283. x2+3y2+3x-4y-3=0 5x+2y+k=0

284. y1 =-3x2-9x+133+2 y= -5x-k2

285. y 2=- -3x2-9x+133+2286. Entonces para que la recta 5x+2y+k=0 sea tangente a la curva k= - 7.

287.

288.

289. Grfica:

290.

291.

292.

293. 5. Determine la ecuacion de la rectas normales ala curva y=x3-4x que son paralelas a las rectas que pasan por el punto (4,13) y que son tangentes a

y=2x-1 .294. Ec de la recta Normal

295. fx=x3-4x

296. f4=(4)3-4(4)

297. f4=48

298. MN=-1MT

299. MN=-18

300. MN=f'x

301. MN=f'4=34-4=8

302. y-yo=mx-xo

303. y-13=-18x-4

304. y-13=-18+12

305. y=-18x+272306.

307. 6. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva dada en los puntos indicados.

a) y=6-2x-x3 en x=-1b)

c) y=3

d) y'=-2-3x226-2x-x312 e)

f) f'(x)=-2-3(-1)226-2x-(-1)312

g) f'(x)=-56

h) y-y1=mx-x1 y-y1=-1mx-x1

i) y-3=-56x+1 y-3=65x+1 j) 6y-24=-5x-6 5y-15=6x+6=0

5x+6y-18=0 6x-5y+21=0 k)

l) y=4

m) y'=12(2x+4x32x4+2012

n) f'(x)=12(2(2)+423224+2012 )

o) f'x=103

p) y-y1=mx-x1 y-y1=-1mx-x1

q) y-4=103x-2 y-4=-310x-2

r) 3y-12=10x-20 10y-40=-3x+6

s) 10x-3y-8=0 3x+10y-46=0t)

u)

v)

w)

x) y=e+1

y) y'=ex

z) f'-1=1e

aa) y-e-1=1ex+1 y-e-1=-ex+1

ab) ey-e2-1=x+1 y-e-1=-ex+e

ac) x-ey+e2+1=0 ex-y+2e+1=0ad)

ae)

af)

ag) 3x2-3y2-6xydxdy=0

ah) dxdy=(x2-y2)2xyai)

aj) y-1=(x2-y2)2xyx+0 y-1=-2xy(x2-y2)x+0 ak)

al) y-1=(x2-y2)2xyx+0 y-1=2xy(x2-y2)x+0

am)2xy2-2xy=x2-y2 x2y-x2-t2=2x2y+y2an)

ao) y=(x3)^(1/2)

ap) y=8

aq) f'x=12x3 2x

ar) f'x=12x2

as) f'x=132

at) y-y1=mx-x1 y-y1=-1mx-x1

au) y-8=132x-4 y-8=-32x-4 av)

aw)

ax)

ay) y2+2xy+2ydxdy=1x+dxdy

az) dxdy=y2+2xy+2y x2y

ba) dxdy=02+2x*0+2*0 12y

bb) dxdy=12bc)

bd) y-y1=mx-x1 y-y1=-1mx-x1

be) y-0=12x-1 y-0=-2x-1 bf) X-y-1=0 2x+y-2=0

bg) 7. En que punto de la tangente a la curva y=lnx,esta inclinada con respecto al

ejex,bajo un angulo de magnitud 4?

bh)

bi) 11. Calcule los extremos de las funciones siguientes

bj)

1. x2(x-11)2

2. y=x4-22x3+21x2y=4x3-66x2+42xx4x2-66x+42=0

3. x1=0 , x2=1433-921, x3=1433+921 4.

5. y=12x2-132x entonces y0=0 , y0,66= -81,84 , y15,84=5101.746.

7. y(0)=0 , y(0.66)=3.01 , y(15,84)=-19212.9

8.

9. Mximo en (0,66;3,01) Mnimo en (15,84;-19212.9)

10.

11. x4-8x3+22x2-24x+1212.

13. y=4x3-24x2+44x-24 entonces solo existe una raiz x1=12 14.

15. y=12x2-48x+44y0,5=2316.

17. Mnimo en (0,5;23)

18.

19. 3x-x20.

21. y=x13-x12y=13x-23-12x-122-36x63x2 enotnces x1=64729 22.

23. y=96x-8363x5 entonces y64729=-3.2024.

25. Mximo en 64729;-3,2026.

27. 2x3x2-428.

29. y=2x4-24x2(x2-4)2 entonces x1=0 , x2=23 , -2330.

31. y=16xx2+12x2-43 entonces y0=0 , y23=2,6 , y-23=-2.632.

33. mnimo en 23;2,6) Maximo en (-23;-2,6)34.

35.

36. -x-337.

38. y=-x-312-x-32x-6 entonces por la grfica es una asntota oblicua, y no tiene races.39.

40. 3x2-x41.

42. x23-xy=233x-1 entonces por la grafica no hay raices, por lo tanto es una asintota

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50. 12. determine el sentido de la concavidad de los grficos de las funciones siguientes y localice los puntos de inflexin

51.

52.

53.

54.

55.

56. i) y=ln2xx,x>0;

57. y'=-logx-2logx))x2

58. max

59. (log2(x))/x=0 = 4e2

60. en x=e2

61. min

62. =(log2(x))/x=0 en

63. x=164.

65. Puntos de inflexin y concavidad

66.

67. y''=+2log2x-3logx+1x3

68. 2log2x-3logx+1x3=0

69. x1=32

70. x2=071.

72.

73. j)y=1-3x-22

74. y'=0-2xx-23(3x-22

75. -2xx-233x-22=0

76. x1=1

77. x2=078.

79.

80.

81. k) y=x2-53125

82. y'=3x2-52x125

83. 3x2-52x125=0

84. 3x2-152x=0

85. x1=0

86. x2=2.23

87. x3=-2.2388.

89. Puntos de inflexin y concavidad

90. y''=61253x2-5

91. 61253x2-5=092.

93. x1=1.29

94. x2=-1.29

95. f''0= -625 Concava hacia abajo

96. f''2=+42125 Concava hacia arriba97.

98. l)y=x+1ln2x+1

99. y'=lnx+1lnx+1+2

100. max=4e2 en x=-1+1e2

101. min=0 en x=0102.

103. Punto de inflexin y concavidad

104. y''=2lnx+1+1x+1

105. 2lnx+1+1=0106. Resolviendo la ecuacin mediante factorizacin

107. -1;-1+1e 108.

109. m)y=x2x2+7110.

111. y'=2x2+7 1-x2x2*2x2+7x2+7

112. 2x2+7 1-x2x2*2x2+7x2+7=0

113. x2+712-2x22*2x2+7 =0

114. 7 x2+732 =0115.

116. Raz x=0 117.

118. Punto de inflexin y concavidad

119. y''=-21xx2+752

120. -21xx2+752=0

121. x=0122.

123. para f''1= -0.11 Concava hacia abajo

124. para f''-1=0.11 Concava hacia arriba

125.

126. n)y=x3x2+7

127. y'=3x2+7 1-x2x33x2+723x2+72

128. y'=3x2+7-2x233x2+723x2+72129.

130. y'=x2+213x2+743131.

132. x2+213x2+743=0133.

134. x1=4.58135.

136. x2=-4.58

137. En x1 y x2 la funcin es paralela al eje de las x, es decir que tenemos un minimo y un mximo

138.

139. Concavidad y punto de inflexin

140. y''=-2xx2+639x2+773

141. -2xx2+639x2+773=0142.

143. x1=7.93i

144. x2=-7.93i

145. x3=0146.

147. f''1=-19 Concava hacia abajo

148. f''-1=19 Concava hacia arriba149.

150.

151. o)y=x2-4xx2+8x+16

152. y'=x2+8x+162x-4-x2-4x(2x+8)x2+8x+162

153. y'=x+4x+42x-4-xx-42(x+4)x+4x+42

154. y'=x+4x+42x-4-2xx-

4(x+4)x+4x+42

155. y'=4(3x-4)x+43 156.

157. 43x-4x+43=0158.

159. x1=0

160. x2=4

161. min=-18 en x=43162.

163. Concavidad y punto de inflexin

164.

165. y''=-24x-4x+44166.

167.

168. -24x-4x+44=0

169. 24x-96=0

170. x=9624

171. x=4172.

173. f''5=-82187 Concava hacia abajo174.

175. f''3=242401 Concava hacia arriba

176.

177.

178.

179.

180.

181.

182.

183.

184. 13. Halle las asntotas de las curvas siguientes

185.

186.

187.

188.

189. 14. Investigue y trace el grafico de las funciones siguientes

190. y=x3-3x2-x+3

191. y=x6-3x4-3x2-7

192.

193.

194.

195.

196. y=3x-x197.

198.

199.

200. y=2x3x2-4

201.

202.

203. y=-xx2+1

204.

205.

206. y=x2+2x

207.

208.

209. y=(x-1)2x+1

210.

211.

212. y=8x2-9

213.

214.

215. y=(x-1)2x+1(2-x)

216.

217.

218. y=1x+1(x-2)

219.

220.

221. y=(x+1)(2-x)(2x+3)

222.

223. y=(x-1)(x-2)x

224.

225.

226. y=1x2-5x+6

227.

228.

229. y=(x2-9)(x2-4)

230.

231.

232. y=12sen2x+cos(x)

233.

234. y=senx+2sen2

235.

236.

237. y=xln(x)

238.

239.

240.

241. y=x+ln(x2-1)

242.

243.

244.

245. y=x2e-x

246.

247.

248.

249. y=ln(x2)e-x^2

250.

251.

252. y=2x-tan(x)

253.

254.

255.

256. y=arcsen1-x21+x2

257.

258. y=ln(senx)

259.

260.

261.

262. y=ln(1-e-x)263.

264.

265.

266. y=ln(e+1x)

267.

268.

269. y=cosx-ln(cosx)

270.

271.

272. 15. Descomponga el nmero 8 en dos sumandos de manera tal que la suma de sus cubos sea mnima?

Sean x e y dichos nmeros, se cumple que x+y=8 . Supondremos ; x0, y0 x3+y3=S (2) x=8-y

Reemplazando 1 en 2

Sy=(8-y)3+ y3 =24 y2-192y+512 =3 y2-24y+64 S'y=0; S'y=6y-24 y=4

y S(y)

0 64 4 16

Por lo tanto si y=4

x=8-4

x=4 Los nmeros son x=4 ; y =4

16. Cul es el nmero que al restarle su cuadrado se obtiene la diferencia mxima

Sea x dicho numero

Sea f(x)=x-x2, por la descripcin de la grafica sabemos qu es una prabola en la que el valor mximo se alcanza en su vrtice ya que es convexa

El mximo de la funcin es

R'x=0 R'x=1-2x 1-2x=0

x=12 (Punto crtico )

Rx tiene un mximo relativo en x=12 FUNCION DE LA PARABOLA :

Xv=-b2a= - -12(-1)= - -1-2= 12

EL nmero es x=12

20. En el espacio recorrido por un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba a

la velocidad inicial vo , se determina por la ecuacin S=vot-12gt2 . Determine la altura mxima de elevacin del cuerpo.

Resolucin:

Si S=vot-12gt2 la primera deriva de esta ecuacin seria la velocidad final del cuerpo

Por la regla de la cadena tenemos que: S'=dvodt*dtdg Resolviendo por la notacin anterior

S'=vo*-gt

S'=vf

vf=-vogt

Adems despejando la velocidad inicial de la ecuacin

S=vot-12gt2

vo=-12gt Ya que no se conoce el tiempo se trata de un problema implcito se realiza con la

ecuacin

vf2=vo2+2gh Despejamos de la ecuacin la altura mxima

hmax=vf2-vo22g Reemplazamos en la ecuacin la velocidad final y tenemos

hmax=vogt-12gt2g Por la propiedad asociativa y RTS tenemos

hmax=vot-12gtg

21. Demuestre que todos los rectngulos que pueden inscribirse en un circulo de radio r, el cuadrado tiene el rea y el permetro mximo.

Si dibujamos un circulo de radio r, con centro de coordenadas y un punto cualquiera en la circunferencia tal que unido al circulo O determina un segmento igual al radio. Trazado desde ese punto a lo largo de la circunferencia se formara el haz de todos los rectngulos inscriptos, cuya base llamaremos b, y la altura h.

Si dibujamos crculo vemos que en el punto mencionado tiene coordenadas sobre el eje X, igual a b/2 y sobre el eje Y, h/2 y como dicho punto pertenece a la circunferencia, se cumple que:

r2=x2+y2 Y remplazando X por b/2 y Y por h/2

r2=(b2) 2+(h2)2

h24= r2-b24 h = 4 r - b

h=r2-b2 (1)Por otra parte, en el rectngulo de base b y altura h, se tiene que el permetro P, esP = 2 b + 2 hReemplazando h por su valor en [2], nos da

P = 2 b + 2 r2-b2 Derivando para buscar el punto crtico

P=2 + 2 (- 2 b) 2 4 r - b

P=2 (4 r - b) - 2 b] (4 r - b)Igualando a cero para buscar un mximo

0 = 2 (4 r - b) - 2 b (4 r - b)Multiplicando por (4 r - b)0 = 2 (4 r - b) - 2 b (4 r - b) = b (4 r - b) = bElevando al cuadrado4 r - b = b4 r = 2 br = b/2Reemplazando este valor de r en la ecuacin [1], nos quedah = (4 b/2 - b).h = (2 b - b).h = bh = bLo que indica que el permetro mximo se logra cuando la altura es igual a la base, o sea cuando el rectngulo es un cuadrado

22. un banco quiere recortar sus costos laborales reduciendo el nmero de sus cajeros pero espera una prdida de negocios debido al descontento de los clientes por el tiempo de espera. Si el salario de cada uno de los cajeros es de 20 dlares diarios y la prdida en utilidades por tener nicamente x cajeros es igual a

400x+1 Dlares diarios. Encuentre el nmero de cajeros x que minimiza la prdida.

y=20x-400x+1

y=-380x+12

-380x+12=0

380=0

380=19 Kf(0)=reemplazo en la derivada y ser el nmero de x = 19

29. Hay que cercar una superficie rectangular por tres de sus lados con tela metlica de modo que linde por el cuarto lado con una pared de piedra. Qu dimensiones ser ms conveniente dar la superficie para que su rea sea mxima, si se dispone un total de 100 m lineales de tela metlica?

2h+b=100

b=80-h

A=b*h

A=80-hh

A=80-h2

A(h)=80-h2

A(h)=80-2h

Ah=0

80-2h=0

h=-78

Ah=-2

b=80-h

b=80--78

b=158 30.-De un pedazo de cartn de 32 cm por 20 cm se necesita fabricar una caja

abierta por arriba, cortando en los ngulos los cuadrados y luego doblando las salientes para formar los lados laterales de la caja. Halle el volumen de la caja.

V=l*a*h

V=32-2x20-2xx

V=640-64x-40+4x2x

V=640-64x-40x+4x3

V(x)=-25000x+2560x3+2560x2+256x4

V(x)=-25000+7680x2+5120x+1024x3

25000=7680x2+5120x+1024x3

25000=x(7680x+5120+1024x2)

19880=7680x+1024x2)

Vx=0

19880-7680x-1024x2=0

-768058982400-(-81428480)39760

x1=3531.26

x2=564.34

V(x)=-25000x+2560x3+2560x2+256x4

Vx=3,99 x 1016

31.- Halle la distancia mnima del punto (0,0) al grfico y =x

32. Encuentre un nmero que al sumarle con su cuadrado, esta suma tenga el valor mnimo.

Numero: x

Cuadrado del nmero: x2

suma=x+x2

suma=1+2x Hallamos el valor de x igualando a cero la derivada

1+2x=0

2x=-1

x=-12 33. Qu medidas tiene el tringulo rectngulo de mxima rea entre todos los

que tienen 10 cm de hipotenusa?

rea= x100+x22

rea=12 100x2-x4

Sacamos la derivada del rea

A= 12*200x-4x32100x2-x4 = 50x-x3150x2-x4 = x(50-x2)x150-x2 = 50-x2100-x2

Igualamos a cero para buscar x

A=0 x= 50

Por lo tanto la mxima rea para x= 50

=100+x2

=50

34. Una ventana tiene forma de rectngulo y su parte superior termina en un tringulo equiltero. El permetro de la ventana es de 3 m Cul debe ser la base del rectngulo para que la ventana tenga el rea mxima?

rea del triangulo rectngulo:x2 *34 rea del rectngulo: x*a

Permetro = 3m

El rea de la figura es:

A= x2 *34+ x*a Sacamos la derivada

A= 3x24+xa

A= 8x316

A= 3x2 Igualamos a cero para obtener x

3x2=0

3x=2

X=23 Por lo tanto la base debe ser igual a 1.155

35. Se requiere fabricar un cajn con tapa cuyo volumen sea de 72 dm3 y la relacin entre los lados de la base 1; 2 Qu superficies debern tener las aristas para que la superficie total del cajn sea la mnima?

V=72 dm3 B=1:2

V=L*2a

V=L*a*h

V=2a*a*h

72h=L*a

72h=A

Pero 2a2=A

Para el area minima derivamos

72h= 2a2

72h=4a

a=18h

L=2a

L=218h

L=36h LARGO

A=18h ANCHO

36. En un instante determinado, un barco B se encuentra situado a 65 millas al Este de otro barco A. El barco B empieza a navegar hacia el Oeste con una velocidad de 10 millas por hora, mientras que el A lo hace hacia el sur con una velocidad de 15 millas por hora. Si se sabe que las rutas iniciales no se modifican, calcule el tiempo que transcurrir hasta que la distancia que los separa sea la mnima. Halle su distancia.

Tenemos 2 vectores x e y:

x para el barco 1y para el barco 2

x = 10t+65y = 15t

de el teorema de Pitgoras podemos encontrar la longitud de la hipotenusa del triangulo que se forma en el plano del movimiento de estos dos barcos

R = (x2+y2) R = 10t+652+15t2 R = (100t2+1315t+4225) los mnimos encontramos derivando una funcin que depende de un determinado factor en este tiempo, entonces buscamos el tiempo para el cual R es mnima y luego reemplazaremos t obtenido en la ecuacin R.

d100t2+1315t+4225dt=0200t = 1315

t = 6.6 horas

reemplazando este tiempo en la ecuacin de Robtenemos que R mnima es: 131.4 millas

37. Una compaa advierte que puede vender toda la existencia de cierto producto que elabora a un precio de 2 dlares por unidad. Se estima que la

funcin de costo del producto es ((100+12(x50)2) dlares por x unidades producidas:

a) Determine el nmero de unidades producidas que maximizan la utilidad

b) Cul es la cantidad de utilidad mxima?

a) fx=((100+12(x50)2)

b) fx=100+x25000

c) fx=100+x2*5000-1d)

e) f2=100+4*5000-1

f) f2=100 unidadesg)

h) f'x=2x*5000-1

i) f'x=2x5000j)

k) f'1=2x*5000-1

l) f'1=2(1)5000=4*10-4 $m)

n) 4*10-4 $ * 1000 = 0.4o)

p) 38. Halle el tringulo rectngulo de rea mxima cuya hipotenusa es mxima

q)

r) rea:

A=b.a2s) Hipotenusa:

t) h2=a2+b2u) Despejamos a:

v) h2=a2+b2a=h2-b2Reemplazo en Area:

A=b.a2A=b.h2-b22 Al=12h2-b2+b.12h2-b2-2b0=12h2-b2+b.12h2-b2-2b

h2-b22=b2h2-b2b=12Area:

w) A=b.a2A=12.a2

x) 39. Se desea inscribir un rectngulo en la elipse cuya ecuacin es

x2a2+y2b2=1 . Cules sern sus dimensiones para que su rea sea mxima

y) x2a2+y2b2=1z) rea:

aa) A:a.b

ab) x2a2+y2b2=1

x=a1-y2b2a=x1-y2b2A=x1-y2b2.b

ac)

ad)

ae) 40. Halle la altura de un cilindro recto de volumen mximo inscrito en una esfera de radio R.

af) Area:

A=2rh+r

ag) Volumen:

V= r2hah) Despejamos r:

ai) V= r2hr=VhReemplazamos en Area:

A=2rh+rA=2Vhh+Vh A=2hVh+2VhAl=2Vh+2h12Vh-Vh2+-2Vh2

0=2Vh+2h12Vh-Vh2+-2Vh22Vh2=2Vh-VhVh

aj)

ak)

al)

am)

an) 41. Cul de los cilindros de volumen dado tiene menor rea total?

ao)

ap) r= radio

aq) h= altura

ar)

as)

at)

au) Superficie del cilindro

av) S=2rh+2r2aw)Volumen del cilindro, despejamos altura:

ax) V=r2hh=Vr2ay) Reemplazamos h:

az) S=2rVr2+2r2S(r)=2Vr+2r22r2+Vrba) Derivamos:

bb) S'=22r-Vr2bc) Obtenemos puntos crticos:

bd) 22 r-Vr2=0MSD2 r-Vr2=0P.Modulativa (R,*)2 r3-V=0LCIP.Modulativa(R,*)r=3V2

be) Obtenemos la 2da. Derivada

bf) S''=22+2Vr3

bg) S''=22+2V3V23=22+2VV2=22+4=12

bh) S''=12>0la superficie sera minima.bi) Reemplazamos:

bj) h=V3V22

bk) S=23V2 h+3V2bl) 42. Hallar las dimensiones del rectngulo de rea mxima que se puede

inscribir en la porcin de parbola y^2= 4px, limitada por la recta x=a.

bm) El vrtice de la parbola es (0,0)bn)bo)bp)bq)br)bs)bt)bu) La base del rectngulo es x-a. la altura es 2y, debido a k su valor se duplica al ir en

sentido opuesto.

bv) rea: A=base * altura

bw)A=a-x*2ybx)by) Expresamos el rea en funcin de una sola variable:

bz) y2=4pxP.Modulativa R,*P.Inverso(R,*)x=y24pca)cb) Reemplazamos en la frmula del rea:cc)

A=a-y24p*2yP.Distributiva (R,*)A=2ay-y32pcd)ce) Derivamos A:

cf) A'=2a-3y22pcg) Buscamos puntos crticos:

ch) 2a-3y22p=0P.Modulativa R,+P.Neutro Aditivo (R,+)2a=3y22pP.Modulativa R,*P.Inversiva (R,*)4ap=3y2P.Modulativa R,*P.Inversiva (R,*)43ap=y

ci) Segunda Derivada (analizar punto crtico):

cj) A''=-6y2p=-3yp

ck) A''=-343app

cw) 43. Determinar la altura del cilindro de volumen mximo que se puede inscribir en un cono circular recto dado.

cx)

cy) Consideramos que el cilindro tiene radio r y altura h.

cz)

da)

db)

dc)

dd)

de)

df)

dg)

dh)

di)

dj)

dk)

dl)

dm)

dn)

do) V=r2hdp)

dq)

dr)

ds) Obtenemos ecuacin con variables iguales a partir del grafico

dt)

du)

dv)

dw)

dx)

dy)

dz)

ea)

eb)

ec)

ed)

ee)

ef) Por semejanza se cumple:

eg) RH=rH-h

eh) De donde se obtiene la ecuacin: R(H - h) = rH de la cual despejaremos a una de las variables para despus sustituirla en la funcin volumen.

ei) Despejamos r:

ej) r=RHH-h

ek) Sustituimos:

el) V=r2h=RHH-h2h=R2H2H2-2Hh+h2hem)As, tenemos:

en) V(h)=R2H2H2h-2Hh2+h3eo) Obtenemos puntos crticos:

ep) V'(h)=R2H2H2-4Hh+3h2

eq) V'0MSDR2H2H2-4Hh+3h2=0P.Modulativa R,*P.Inversiva (R,*)3h-4Hh+H2=0er)

es) Tenemos que:

et) h=4H-4H2-43H223=4H16H2-12H26=4H2H6eu)

ev) Entonces:

ew)h1=4H+2H6=6H6=H

ex) h2=4H-2H6=2H6=13Hey) Segunda Derivada:

ez) V''(h)=R2H26h-4Hfa) Asi:

fb) V''h1=R2H26h1-4H=R2H22H>0

fc) V''h1>0h1 es un minimo localfd) Ademas:

fe) V''h2=R2H26h2-4H=R2H2613H-4H=R2H22H-4H=R2H2-2H>0

ff) V''h2=-R2H2

fi) Al=2*H*r-2*H*r2RDerivando en funcin de r resulta

Al'r=2*H-4*H*rRfj) Igualando a 0 da

0=2*H-4*h*rRDividiendo por 2H

0=1-2rR

fk) 2r=R

fl) r=R2fm) Volviendo a derivar nos da

Al'rt=-4*HR

Que siendo negativa confirma que el punto crtico es un mximoReemplazando en (1) nos da

h=H-H*rRh=H-H*RR2h=H-H2h=H2El cilindro debe tener un rea lateral de radio r=R2 y una altura h=H2

fn)

45. Cul de los conos circunscritos en torno a una esfera tiene el menor volumen?Tenemos que:

sen=RrLuego

tan=hr y as r*tan=Rsen*tan=Rcos=R*secDe este modo en trminos de , se tiene que

V=R*cosec2*R*sec3=*R33*cosec2*secDerivando

V'=R33*-2*cosec2*cot*sec+cosec2*sec*tanIgualando la derivada a 0

R33csc2sec-2cot+tan= 0Implicando

-2cot+tan= 0tan= 2tanY multiplicamos por la tangente

tan2 = 2De este modo, hemos llegado a que el cono con volumen mnimo cumple que la razn entre la altura y el radio es 2, y as, h = 2r. Pero entonces la longitud de la

generatriz, digamos g, de acuerdo al teorema de Pitgoras, cumplir.r + (2r) = g

3r = g,Xlo tanto implicando

csc = 6/4 = 3/2El volumen mnimo es

R(3/2)(3)/3 = R(3)/2.fo)

fp)

fq) 46.: Una ventana normanda consiste en un rectngulo coronado con un semicrculo. Halla las dimensiones para que ingrese un mximo de luz. Para un permetro P.El rea del rectngulo es base por altura. Como hemos llamado a la base "x" y a la altura "y" entonces:

fr) rea del rectngulo = x y

fs) El rea del semicrculo es siendo . Por tanto:

ft) rea del semicrculo =

fu) En consecuencia, el rea de la ventana ser:

fv) rea ventana =

fw) Dado que el permetro de la ventana es:

fx) Permetro ventana =

fy) Sabiendo que el permetro ha de ser igual a 10 m, obtenemos:

fz)

ga) Despejando:

gb)

gc) Queremos buscar la ventana de rea mxima y permetro P y, para ello, tendremos que maximizar la funcin rea de la ventana (Av). Como sta estaba en funcin de las variables x e y, sustituiremos el valor de y tendremos la funcin Av dependiente slo de la variable x.

gd)

ge)

gf) Derivando respecto de x e igualando a cero:

gh) Obtenemos ahora la segunda derivada y comprobamos el signo:

gi)

gj) La segunda derivada, independientemente del valor de x, ser siempre negativa. En consecuencia, podemos decir que obtenemos la ventana de mxima rea para .

gk) Las dimensiones del marco sern por tanto:

gl)

gm)Calculemos ahora el radio y el permetro de la semicircunferencia:

gn)

go)

gp) 47.- Dos carreteras se cruzan en Angulo recto. El automvil A esta situado en P a 5 kilmetros de la interseccin sobre una de las carreteras; el automvil B esta unido sobre la otra carretera en Q a 10 kilmetros de la interseccin. Los dos puntos parten simultneamente y se dirigen a la interseccin a una velocidad de 50km/h y 60km/h . Despus de haber partido cual es la distancia mnima que los separa

gq) MOVIL A

gr) V=xt

gs) MOVIL B

gt) V=15-xtgu) SISTEMAS DE ECUACIONES

gv) VAt=15-VBt

gw)t=1550+60

gx) t=322

gy) x=7511Kmgz) 48.-la solides de una viga rectangular es proporcional al producto de su ancho

por el cuadrado de su altura halle las dimensiones de la viga ms slida que puede obtenerse de un tronco cilndrico de a cm de dimetro

ha) r2=x22+y22

hb) y2=a2-x2

hc) R=Kah2

hd) R=Kx(a2-x2)

he) R'=Kx(2a-2x)

hf) 0=Kx(2a-2x)

hg) x=a

hh) y2=a2-x2

hi) y2=x2-x2

hj) y2=2x2

hk) y=2xhl)