UTT Universidad Tecnológica de Torreón

ESTADÍSTICA

PROCESOS INDUSTRIALES

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

EJERCICIOS Y SOLUCIONES

GRUPO 2 ´´A´´

ROSALVA GUERRERO HERNANDEZ

18 DE MARZO DEL 2012

EJERCICIOS Y SOLUCIONES

Distribuciones comúnmente usadas

1. 1 Distribución de Bernoulli

Para cualquier ensayo de Bernoulli se define a la variable aleatoria X así:

Si el experimento “éxito”, entonces X =1. De lo contrario, X=0. De ahí que

X sea una variable aleatoria discreta, con función de masa de

probabilidad p(x) definida por

P (0)=P(X=0) = 1-p FRACASO

P (1)= P(X=1)=p ÉXITO

Media y varianza de una variable aleatoria de Bernoulli

Es fácil calcular la media y la varianza de una variable aleatoria de

Bernoulli.

Resumen

Si X Bernoulli (p), entonces

Media = (0) (1-p) + (1) (p)= P Media = p

Varianza = (0 -p)2 (1 – p) + (1 – p)2(p) = P (1-p) Varianza = p (1 – p)

Ejercicio 1.1 Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte

superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55.

a) Sea X = 1. Si anota el tiro, si no lo hace, X = 0. Determine la media y la

varianza de X.

Solución

M = (0) (1 - 0.55) + (1) (0.55)

= .55

V = (0 - 55)2 (1-.55) + (1 -0.55)2(0.55) =0.2575

A continuación otra forma de interpretarlo:

Media

(X – M)2 (P)

b) Si anota el tiro su equipo obtiene dos puntos; si lo falla, su equipo no recibe

puntos. Sea Y el número de puntos anotados. ¿Tiene una distribución de

Bernoulli? Si es así, encuentre la probabilidad de éxito si no explique por qué.

Solución: no es una distribución de Bernoulli, ya que una distribución

de Bernoulli sus resultados siempre son X = 1, X = 0

C) Determine la media y la varianza de Y

Solución:

y p (y)(P) Media

2 .55 1.1 (Y-M) (P)

0 .45 0 (2-1.1)2(0.55) =0.4455

M= 1.1 (0-1.1)2(0.45) =0.5445

Y=0.99 Varianza

X P (X)(p)

1 0.55 1(0.55) = 0.55

0 0.45 0(0.45) = 0

M = 0.55

(1- 0.55)2 (0.55) = 0.111375

(0-0.55)2 (0.45) = 0.136125

V = 0.2475

Ejercicio 1.2 En un restaurante de comida rápida, 25% de las

órdenes para beber es una bebida pequeña, 35% una mediana y 40% una

grande. Sea X=1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida

pequeña y X=0 en cualquier otro caso Sea Y=1 si la orden es una bebida

mediana y Y= 0 en cualquier otro caso. Sea Z=0 si la orden es una bebida

pequeña o mediana y Z=0 para cualquier otro caso.

a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. Determine Px

b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. Determine Py.

c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z. Determine Pz.

d) ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1?

e) ¿Es Pz = Px + Py?

f) ¿Es Z =X + Y? Explique.

SOLUCION:

a) X-( y + z) Y=35%=0.35 Z=40%=0.40

1-(0.35+0.40)

1-(0.75)=0.25 por lo tanto Px=25

b) Y- ( X + Z ) X=25%=.25 Z=40%=.40

1-(0.25+.40)

1-(0.65)=0.35 Py=35%

c) Z – (X+ Y) X=25%=0.25 Y=35%=0.35

1 – (0.25+.35)

1- ( 0.6)= 0.4 Pz= 40%

d) No porque la suma de sus porcentajes es menor a 1

e) No porque Pz= 40% y Py = 35%

f) No.

Ejercicio 1.3 Se lanza una moneda de 1 y de 5 centavos. Sea X =

1 si sale cara en la moneda de 1 centavo y X=0 en cualquier otro caso.

Sea Y=1 si sale cara en la moneda de 5 centavos y Y=0 en cualquier

otro caso. Sea Z =1 si sale cara en ambas monedas y Z=0 en cualquier

otro caso.

a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. Determine Px.

c) Sea Py la probabilidad de éxito de X. Determine Px.

d) Sea Pz la probabilidad de éxito de X. Determine Pz.

e) ¿Es Pz= PxPy?

f) ¿Es Z= XY? Explique.

SOLUCION:

a) X=0.5

X P (x)(P)

1 .5 1(0.5) =0.5

0 .5 0(0.5) =0

.5 0.5

b) Y=0

c) Z=.33

Z P (Z)(P)

1 0.33 1(.33) =0.33

0 0.66 0(.66) =0

d) Si porque aun teniendo el mismo resultado no depende uno del

otro.

e) No, porque los tres resultados son independientes.

f) Si porque Z=1, X=1, Y=1, por lo tanto 1=1 x1 =1=1

Ejercicio 1.4 Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z =

XY.

a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli.

b) Demuestre que si X y Y son independientes, entonces Pz= PxPy.

SOLUCION:

a) Si. X y Y son variables de Bernoulli ya que X = 1 y Y = 1

Sea Z= XY = Z = (1) (1)=1

b) X=1, Y=1, Z=1

Pz = 1= Px =1=Py=1

Pz=Pxpy

1= (1) (1) = 1=1

Ejercicio 1.5 Sean X y Y aleatorias de Bernoulli. Sea Z=X+Y

a) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1, entonces Z es

variable aleatoria de Bernoulli.

b) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1 , entonces Pz= Px

+Py

c) Demuestre que si X y Y pueden ser iguales a 1, entonces Z no es

una variable aleatoria de Bernoulli.

SOLUCION.

a) X=1 X=0

Y=1 Y=0 Z=0+0 Z=0 no es una variable de Bernoulli.

b) Px=Px+Py

1=0+0 1=0 no son iguales

c) X=1, Y=1 Z=X+ Y Z=2 no es una variable de Bernoulli.

2.0 Distribución Binomial

Ejercicios

2. 1 La última novela de un autor ha tenido un gran

éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la

han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la

lectura:

1. ¿Cuál es la probabil idad de que en el grupo

hayan leído la novela 2 personas?

B (4, 0.8) p = 0.8 q = 0.2

2. ¿Y cómo máximo 2?

2.2 Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas

de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según

las tablas actuales, la probabil idad de que una persona en

estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la

probabil idad de que, transcurridos 30 años, vivan:

1. Las cinco personas.

B (5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3

2. Al menos tres personas.

3. Exactamente dos personas.

2.3 Si de seis a siete de la tarde se admite que un número

de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la

probabil idad de que, cuando se marquen 10 números de

teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?

B (10, 1/5) p = 1/5q = 4/5

2.4 La probabil idad de que un hombre acierte en el blanco

es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabil idad de que

acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la

probabil idad de que acierte por lo menos en una ocasión?

B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4

2.5 En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que

el 5% de los conductores controlados dan positivo en la

prueba y que el 10% de los conductores controlados no

l levan aprovechado el cinturón de seguridad. También se

ha observado que las dos infracciones son

independientes. Un guardia de tráfico para cinco

conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número

de conductores es suficientemente importante como para

estimar que la proporción de infractores no varía al hacer

la selección.

1. Determinar la probabi l idad a de que exactamente

t res conductores hayan comet ido alguna de las dos

inf racciones .

2. Determine la probabi l idad de que al menos uno de

los conductores contro lados haya comet ido alguna de las

dos inf racciones .

3.0 Distribución Poisson

Ejercicios

3.1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de Contabilidad son

muy inteligentes ¿Calcular la probabilidad de que si tomamos 100

alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes.

n = 100

P = 0.03

Lambda = 100 * 0.03 = 3

x = 5

e = 2.718281828

3.2 La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una

probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85

televisores, obtener la probabilidad de que existan 4 televisores con

defectos.

n = 85

P = 0.02

X = 4

Lambda = 1.7

3.3 En una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la

probabilidad de que si tomamos 20 pericos al azar 3 de ellos hablen ruso.

n = 20

p = 0.15

X = 3

Lambda =3

3.4 Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de

la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿ Calcular la

probabilidad de que 10 de ellos tengan defecto en la vista.

n = 50

p = 0.2

Lambda =10

3.5 El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún

problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular

probabilidad de que existan 5 registros con problemas?

n = 40

p = 0.08

Lambda =3.2

X = 5

4.0 Distribución Normal

Ejercicios

4.1La media y los que de los pesos de 500

estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación

típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen

normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

1. Entre 60 kg y 65 kg.

2. Más de 90 kg.

3. Menos de 64 kg.

4. 64 kg.

5.64 kg o menos.

4.2 En una ciudad se estima que la temperatura

máxima en el mes de junio si una distribución normal,

con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número

de días del mes en los que se espera alcanzar máximas

entre 21° y 27°.

4.3Se supone que los resultados de un examen

siguen una distribución normal con media 78 y

desviación típica 36. Se pide:

1. ¿Cuál es la probabi l idad de que una persona que se

presenta el examen obtenga una cal i f icación superior a 72?

2. Calcular la proporción de estudiantes que t ienen

puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos

de la puntuación que marca la f rontera entre e l Apto y e l

No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los

estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).

3. Si se sabe que la cal i f icación de un estudiante es mayor

que 72 ¿cuál es la pr ior idad de que su cal i f icación sea,

de hecho, superior a 84?

4.4Varios test de intel igencia dieron una

puntuación que sigue una ley normal con media 100 y

desviación típica 15.

1. Determinar el porcentaje de población que

obtendría un coef ic iente entre 95 y 110.

2. ¿Qué intervalo centrado en 100 cont iene al 50% de

la población?

3. En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos

se esperan que tengan un coef ic iente superior a 125?

4.5En un examen tipo test de 200 preguntas de elección

múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una

incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110

respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar,

calcular la probabil idad de aprobar el examen .

5.0 Distribución gamma