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Ejercicios de álgebra Vol. III

Ejercicios de álgebra. Vol. III

© Enrique Izquierdo Guallar

ISBN: 978-84-9948-356-6Depósito legal: A-789-2011

Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33C/ Decano, 4 – 03690 San Vicente (Alicante)[email protected]

Printed in SpainImprime: Imprenta Gamma. Telf.: 96 567 19 87C/ Cottolengo, 25 – 03690 San Vicente (Alicante)[email protected]

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o trans-mitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

3

Prólogo

Analizados todos estos temas, en forma de preguntas de test, en el Volumen I: Álgebra, expongo estos conocimientos (ampliados en el tema de Diagonalización de endomorfismos), en este nuevo Volumen III, constituido por una extensa colección de ejercicios.

He intentado, en este nuevo volumen, volver a repasar los conceptos más impor-tantes de estos temas, con una Colección de Ejercicios Resueltos y Propuestos con so-luciones, indicando los métodos más eficaces para resolver las preguntas planteadas.

Son conceptos fundamentales, parecidos a los propuestos en exámenes en distin-tas carreras técnicas y de ingenierías y he querido resolver, con los procedimientos mas adecuados en cada caso (a veces más de un método), los problemas que normal-mente se plantean.

El volumen consta de una extensa colección de ejercicios con las preguntas más frecuentes, ampliado con una serie de ejercicios propuestos con soluciones, para que el alumnado trabaje por su cuenta, y pueda ver si ha asimilado los conceptos necesa-rios en los distintos temas expuestos.

Espero que esta Colección de Ejercicios facilite al alumnado la completa asi-milación y comprensión de estos conceptos y le permita resolver cualquier ejercicio correspondiente a los temas aquí analizados.

He evitado, en algunas ocasiones, los procedimientos formales, explicando de una forma más sencilla y comprensible, según mi opinión, el concepto correspon-diente.

El autor

ÍNDICE

Tema 1.- Matrices - Determinantes - Cambios de base .............................................7

Tema 2.- Subespacios vectoriales ............................................................................53

Tema 3.- Aplicaciones lineales.................................................................................77

Tema 4.- Sistemas de ecuaciones lineales ..............................................................121

Tema 5.- Diagonalización de endomorfismos ........................................................159

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Tema 1.- Matrices-Determinantes-Cambios de base

-Matrices-Determinantes-Cambios de base

MATRICES 2 1 3 3 1 21.- Dadas las matrices: A = B = 0 -1 3 , hallar, si es posible, A · B y B · A 0 1 4 2 1 5

Solución: Para que se puedan multiplicar dos matrices Amxn y Bpxq, debe verificarse que n = p, y el resultado es una matriz Cmxq

En este ejercicio: A2x3 · B3x3 sí es posible, pero B3x3 · A2x3 no se puede realizar.

2 1 3 3 1 2 12 4 22A · B = 0 -1 3 = 0 1 4 2 1 5 8 3 23

--------------------------------------------

2 1 -1 3 3 12.- Dadas las matrices: A = B = y C = , hallar A+(B-C)t

0 3 0 4 2 5

Solución:

-1 3 3 1 -4 2B – C = – = 0 4 2 5 -2 -1

-4 -2(B – C)t = 2 -1

2 1 -4 2 -2 3A+(B – C)t = + = 0 3 -2 -1 -2 2

--------------------------------------------

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Matrices - Determinantes - Cambios de base

1 0 -3 2 1 43.- Dadas las matrices: A = 2 1 5 y B = , hallar At · 2Bt

-1 2 4 0 3 2Solución:

1 2 -1 2 0 4 0 1 2 -1 4 0 -8 8At = 0 1 2 Bt = -1 3 2Bt = -2 6 → At · 2Bt = 0 1 2 -2 6 = 14 14 -3 5 4 4 2 8 4 -3 5 4 8 4 10 46

--------------------------------------------

2 1 34.- Dada la matriz A = 0 -1 4 , hallar la forma de las matrices que conmutan 1 0 1con A, es decir, que se cumple que A · B = B · A

Solución:

Dada una matriz, no cualquier matriz conmuta con ella; pero existen matrices que sí cumplen la propiedad conmutativa del productoImpongamos que A · B=B · A.

2 1 3 a b c a b c 2 1 30 -1 4 d e f = d e f 0 -1 4 →1 0 1 g h i g h i 1 0 1

2a+d+3g 2b+e+3h 2c+f+3i 2a + c a - b 3a+4b+c -d+4g -e+4h -f+4i = 2d+ f d - e 3d+4e+f → a+g b+h c+i 2g+ i g - h 3g+4h+i

2a+d+3g = 2a+c d+3g = c -d+4g =2d+f → -3d+4g=f a+g = 2g+I a - g = i

2b+e+3h = a - b 3b+e+3h =a → e = a - 3d/4 - 3g+3d/2 = a - 3g+3d/4 -e+4h = d - e → d=4h→h=d/4 b+h = g - h b=g - 2h=g - 2d/4 =g - d/2

2c+f+3i = 3a+4b+c-f+4i =3d+4c+f → con los valores anteriores, se cumplen las tres.c+i= 3g+4h+i

9


Por lo tanto, las matrices B que conmutan con A, tienen la forma:

a g - d/2 3g + dB = d a - 3g+3d/4 4g - 3d a,d,g ∈ R g d/4 a - g

--------------------------------------------

5.- Descomponer una matriz cuadrada A, en una suma de una matriz B1 simé-trica y otra matriz B2 antisimétrica

4 3 0Como caso particular, descomponer de esa forma la matriz A = -1 2 5 1 3 4

Solución:

-Si a una matriz cuadrada, se le suma su traspuesta, resulta siempre una matriz simétrica.

Ejemplo:

2 1 3 2 0 1 4 1 4Sea A = 0 1 4 → At = 1 1 -2 →A+At = 1 2 2 Simétrica 1 -2 4 3 4 4 4 2 8

-Si a una matriz cuadrada se le resta su traspuesta, resulta una matriz antisimétrica.

Ejemplo:

3 5 3 1 0 4A= At = A - At = Antisimétrica 1 7 5 7 -4 0

Entonces, cualquier matriz cuadarada A admite la descomposición:

A = 1/2(A+At)+1/2 (A - At), donde el primer sumando es una matriz simétrica y el segundo es una matriz antisimétrica

En particular:

4 3 0 4 -1 1A = -1 2 5 →At = 3 2 3 → 1 3 4 0 5 4

10


4 3 0 4 -1 1 8 2 1 4 1 1/21/2(A+At) = 1/2 -1 2 5 + 3 2 3 = 1/2 2 4 8 = 1 2 4 1 3 4 0 5 4 1 -2 0 1/2 4 4

4 3 0 4 -1 1 0 4 -1 0 2 -1/21/2(A - At) = 1/2 -1 2 5 - 3 2 3 = 1/2 -4 0 2 = -2 0 1 1 3 4 0 5 4 1 -2 0 1/2 -1 0

Entonces: 4 3 0 4 1 1/2 0 2 -1/2-1 2 5 = 1 2 4 + -2 0 1 1 3 4 1/2 4 4 1/2 -1 0

--------------------------------------------

1 -1 2 36.- Hallar el rango de la matriz A = 2 1 4 5 4 -1 8 11 5 1 6 9

Solución

1 -1 2 3 2 1 4 5 rg A = rg 4 -1 8 11 = (2.ª f - 1.ª · 2, 3.ª f - 1.ª · 4, 4.ª f - 1.ª · 5) = 5 1 6 9

1 - 1 2 3 0 3 0 -1 rg 0 3 0 -1 = (3.ª f - 2.ª, 4.ª f - 2.ª · 2) = 0 6 -4 -6

1 -1 2 3 0 3 0 -1rg 0 0 0 0 = 3 0 0 -4 -4

--------------------------------------------

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2 1 37.- Calcular, según los valores de a, el rango de la matriz M = 0 1 4 1 2 a

Solución:

2 1 3 2 1 3 2 1 3rg M = rg 0 1 4 = (3.ª f - 1.ª · 2) = rg 0 1 4 = (3.ª f - 2.ª · 3) = 0 1 4 1 2 a 0 3 2a-3 0 0 2a - 15

2a - 15 = 0 → a = 15/2

Si a = 15/2 →rg A =2 Si a ≠ 15/2 →rg A = 3

--------------------------------------------

2 18.- Dada la matriz A = , hallar su inversa por definición 0 3

Solución:

Por definición, se denomina inversa de una matriz A, y se representa por A-1, a una ma-triz que cumple: A · A-1 = A-1 · A = I , siendo I la matriz Identidad de igual orden que A. Para que A-1 exista, debe ser cuadrada y su determinante distinto de cero.

a bSea A-1 = c d

2 1 a b 1 0 2a+c 2b+d 1 0A · A-1 = = → = 0 3 c d 0 1 3c 3d 0 1

Igualando los elementos:

2a + c = 1 3c = 0 c = 0, a = 1/2 1/2 1/32b + d = 0 → A-1 = 3d = 1 d = 1/3, b = -1/6 0 -1/6

--------------------------------------------

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1 0 -39.- Dada la matriz M = 0 1 1 , hallar M-1 por definición 1 2 0

Solución:

1 0 -3 a b c 1 0 0 a-3g b-3h c-3i 1 0 0 0 1 1 d e f = 0 1 0 → d+g e+h f+i = 0 1 0 → 1 2 0 g h i 0 0 1 a+2d b+2e c+2f 0 0 1

a-3g = 1 d+g=0 → g = -d, a = -2d→ -2d+3d = 1→d = 1, g = -1, a = -2 a+2d=0

b-3h=0 -2 - 6 3 e+h=1 →b=3h, e= -b/2= -3h/2→3h/2+h=1…-h/2=1→h= -2, b= -6, e = 3 → A-1 = 1 3 -1 b+2e=0 -1 -2 1

c-3i=0 f+i=0 →i= -f, c=1-2f→1-2f+3f=0→f= -1, i=1, c=3 c+2f=1

--------------------------------------------

1 3 2 -110.- Resolver la ecuación matricial AX = B, siendo A = y B= 0 1 0 3

Solución:

1.ª forma:

a bA2x2 · Xmxn=B2x2 → m=n=2→X es una matriz 2 x 2→ X = c d

1 3 a b 2 -1 a+3c b+3d 2 -1 a+3c = 2 a = 2 2 -10 = → = → c = 0 → X= 0 1 c d 0 3 c d 0 3 b+3d = -1 b = -10 0 3 d= 3

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2.ª forma:

AX=B→A-1AX=A-1B→I · X = A-1 · B→X=A-1 · B

Calculemos A-1:

1 3 a b 1 0 a+3c=1 1 -3 = → c=0 →a = 1,b = -3,c = 0,d = 1→A-1= 0 1 c d 0 1 b+3d=0 0 1 d=1

1 -3 2 -1 2 -10X = A-1 · B = =

0 1 0 3 0 3

--------------------------------------------

1 3 0 111.- Dadas las matrices A = y B= , resolver la ecuación matricial: AX+XB = B 0 -1 2 4

Solución:

Como la matriz X no ocupa la misma posición en ambos sumandos, no se puede despejar para hallarla por medio de la matriz inversa.

a b 1 3 a b a b 0 1 0 1Sea X = → + = c d 0 -1 c d c d 2 4 2 4

a+3c b+3d 2b a+4b a+3c+2b 5b+a+3d 0 1 = + = → -c -d 2d c+4d 2d-c c+3d 2 4

a+3c+2b=05b+a+3d=12c-d=2 →Resolviendo el sistema: a= -143/49, b=19/21, c=10/7, d=6/7→c+3d=4

-143/49 19/21 X = 10/7 6/7

--------------------------------------------

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2 1 3 3 112.-Dadas las matrices A = y B = 2 4 , hallar: rg A, rg B, rg A·B 0 1 2 -1 5

Solución:

2 1 3 3 1 3 1 3 1rg A = rg = 2 rg B = rg 2 4 = rg 0 10 = rg 0 10 = 2

0 1 2 -1 5 0 16 0 0

2 1 3 3 1 5 21rg A·B = rg 2 4 = rg = 2 0 1 2 -1 5 0 14

--------------------------------------------

2 1 1 0 313.- Calcular las matrices inversas de: A = y B = -1 2 4 por medio 3 -1 1 3 5del método de Gauss

Solución:

La inversa por el método de Gauss (2º método para calcular la inversa de una matríz) consiste en colocar la matriz y a su derecha, la matriz identidad del mismo orden. Con operaciones elementales, en filas, se pasa la matriz identidad a la izquierda y la matriz que queda a la derecha es la inversa.

A-1 2 1 1 0 2 1 1 0 10 0 2 2 = (2.ª f ·3-1.ª f ·2) = = (1.ª f ·5+2.ª f) = = 3 -1 0 1 0 -5 -3 2 0 -5 -3 2

1 0 2/10 2/10 1/5 1/5 = (1.ª : 10, 2.ª : 5) = → A-1= 0 1 3/5 -2/5 3/5 -2/5

B-1

1 0 3 1 0 0 1 0 3 1 0 0 1 0 3 1 0 0-1 2 4 0 1 0 = (2.ª+1.ª, 3.ª-1ª) = 0 2 7 1 1 1 = (3.ª·2-2.ª·3) = 0 2 7 1 1 1 1 3 5 0 0 1 0 3 2 -1 0 1 0 0 -17 -5 -3 -1

15


1 0 0 2 -9 -3 = (1.ª·17+3.ª·3, 2.ª·17+3.ª·7) = 0 54 0 -68 -34 -10 = [2.ª:54, 3.ª: (-17)] = 0 0 -17 -5 -3 -1

1 0 0 2 -9 -3 = 0 1 0 -68/54 -34/54 -10/54 0 0 1 5/17 3/17 1/17

2 -9 -3 B-1 = -34/27 -17/27 -5/27 5/17 3/17 1/17

--------------------------------------------

2 1 3 2 014.-Dadas las matrices A = y B = 3 1 , comprobar que (AB)t = Bt · At

-1 4 5 1 2

Solución:

3 1 2 2 0 5 5 5 -9A·B = -3 1 = (A·B)t = →(A·B)t = Bt ·A -1 4 5 1 2 -9 14 5 14

3 -1 2 -3 1 2 -3 1 3 -1 5 -9At = 1 4 Bt = →Bt ·At = 1 4 = 2 5 0 1 2 0 1 2 2 5 5 14

--------------------------------------------

1 1 215.- Calcular la inversa de la matriz A = 0 1 3 . Por definición y por Gauss 1 -1 0

Solución:

Por definición:

1 1 2 a b c 1 0 0 a+d+2g b+e+2h c+f+2i 1 0 00 1 3 d e f = 0 1 0 → d+3g e+3h f+3i = 0 1 0 →1 -1 0 g h i 0 0 1 a-d b-e c-f 0 0 1

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a+d+2g = 1 b+e+2h=0 c+f+2i=0 a= 3/4 b= -1/2 c=1/4d+3g=0 e+3h = 1 f+3i=0 → Resolviendo → d= 3/4 e= -1/2 f= -3/4 →a-d= 0 b-e=0 c-f=1 g= -1/4 h= 1/2 i= 1/4

3/4 -1/2 1/4 A-1 = 3/4 -1/2 -3/4 -1/4 1/2 1/4

Por Gauss:

1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 0 0 0 1 3 0 1 0 = (3.ª f-1.ª f) = 0 1 3 0 1 0 = (3.ª+2.ª ·2) = 0 1 3 0 1 0 = 1 -1 0 0 0 1 0 -2 -2 -1 0 1 0 0 4 -1 2 1

2 2 0 3 -2 -1 4 0 0 3 -2 1= (1.ª ·2-3.ª, 2.ª · 4-3.ª ·3) = 0 4 0 3 -2 -3 = (1.ª ·2-2.ª) = 0 4 0 3 -2 -3 = (1.ª ·4, 2.ª : 4, 3.ª : 4) 0 0 4 -1 2 1 0 0 4 -1 2 1

1 0 0 3/4 -1/2 1/4 3/4 -1/2 1/4 = 0 1 0 3/4 -1/2 -3/4 → B-1 = 3/4 -1/2 -3/4 0 0 1 -1/4 1/2 1/4 -1/4 1/2 1/4

--------------------------------------------

2 1 A – B = 16.- Dado el sistema de matrices: 0 3 , hallar A2-B2

-1 0 A + B = 4 3

Solución:

Debido a que las matrices no tienen, en general, la propiedad conmutativa, A2-B2 ≠ (A+B)(A-B).Hallemos primero las matrices A y B:

2 1 -1 0 1 1 1/2 1/2 Sumando ambas ecuaciones, 2A = + = → A = 0 3 4 3 4 6 2 3 -1 0 2 1 -3 -1 -3/2 -1/2Restando ambas ecuaciones, 2B = - = → B = 4 3 0 3 4 0 2 0

17


1/2 1/2 1/2 1/2 5/4 7/4 -3/2 -1/2 -3/2 -1/2 5/4 3/4A2 = = B2 = =

2 3 2 3 7 10 2 0 2 0 -3 -1

5/4 7/4 5/4 3/4 0 1A2-B2 = - = 7 10 -3 -1 4 11

--------------------------------------------

2 1 -1 0 0 317.- Dadas las matrices A = , B = y C = , resolver la 3 2 2 4 1 2ecuación matricial

AX+Bt = 2C

Solución:

AX+Bt=2C →AX= 2C-Bt→X = A-1(2C-Bt)

0 3 0 6 -1 0 t -1 2 0 6 -1 2 1 42C = 2 · = Bt = = 2C-Bt = - = 1 2 2 4 2 4 0 4 2 4 0 4 2 0

2 1 a b 2a + c 2b+d 1 0 2a+c =1 3a+2c=0 a=2,c= -3A·A-1= I → = → → → 3 2 c d 3a + 2c 3b+2d 0 1 2b+d =0 3b+2d=1 b = -1, d= 2

2 -1 2 -1 1 4 0 8A-1= → X= A-1(2C-Bt) = = -3 2 -3 2 2 0 1 -12

Otra forma,

AX+Bt=2C→A2x2 · Xmxp = M2x2 →m=2,p=2→ X2x2

2 1 a b -1 0 t 0 3 2a+c 2b+d -1 2 0 6 + = → + = →3 2 c d 2 4 1 2 3a+2c 3b+2d 0 4 2 4

18


2a+c 2b+d 0 6 -1 2 1 4 2a+c = 1, 3a+2c=2 a=0, c=1 = - = → →3a+2c 3b+2d 2 4 0 -4 2 4 2b+d = 4, 3b+2d=0 b=8, d= -12

0 8 → X = 1 -12

--------------------------------------------

2 1 018.- Dada la matriz A = -1 2 3 , hallar las matrices B que conmutan con la matriz dada 0 0 -2

Solución:

a b cSean las matrices que conmutan con A de la forma B = d e f g h i

2 1 0 a b c a b c 2 1 0Entonces, -1 2 3 d e f = d e f -1 2 3 0 0 2 g h i g h i 0 0 2

2a+d 2b+d 2c+f 2a-b a+2b 3b-2c -a+2d+3g -b+2e+3h -c+2f+3i = 2e-d d+2e 3e-2f → -2g -2h -2i 2g-h g+2h 3h-2i

2a-d = 2a-b 2b+e = a+2b 2c+f = 3b-2c

-a+2d+3g=2d-e e=a a 0 c-b+2e+3h=d+2e Resolviendo los sistemas: f= -4c → B = 0 a -4c -c+2f+3i=3e-2f b=d=g=h=0 0 0 (3a+17c)/3 i=(3a+17c)/3-2g=2g-h-2h=g+2h-2i=3h-2i

---------------------------------------------

19


1 0 3 1 1 2 1 319.- Hallar la matriz X, que verifique: AX+C=BX, siendo A= B = C = 2 -1 0 -1 3 4 2 -1

Solución:

AX+C=BX → AX-BX =C →(A-B) X = C Como (A-B) es una matriz 2x3, no se puede pasar como inversa al otro miembro y despejar así la matriz X, de la forma X= (A-B)-1 · C

a b 1 0 3 1 1 2 0 -1 1Sea X3x2 = c d A-B = - = e f 2 -1 0 -1 3 4 3 -4 -4

0 -1 1 a b c-e d-f 1 3 c-e = 1(A-B)X = = = → d-f = 3 → 3 -4 -4 c d 3a-4c-4d 3b-4d-4f 2 -1 3a-4c-4e = 2 3b-4d-4f = -1

a=(8c-d)/3 d= (3b-13)/8 e=c-1 f=(3b-37)/8

(8c-2)/3 b X = c (3b-13)/8 ∇ b,c ∈ R c-1 (3b-37)/8

--------------------------------------------

1 0 1 1 1 -220.- Resolver la ecuación matricial XA+BX = C, siendo A= B = y C = 2 3 -1 2 0 3

Solución:

Como la matriz X no ocupa la misma posición en ambos sumandos, no se puede despejar.

a b a b 1 0 1 1 a b 1 -2Sea X= → + = → c d c d 2 3 -1 2 c d 0 3

20


a+2b 3b + a+c b+d = 1 -2 a+2b+a+c =1c+2d 3d -a+2c -b+2d 0 3 3b+b+d = -2 Resolviendo, a=23/21, b = -13/21 3c+2d-a=0 c=1/21 d= 10/21 5d-b = 3

23/21 -13/21 X= 1/21 10/21

---------------------------------------------

0 1 321.- Hallar el rango de la matriz A = 1 2 -5 , según los valores de m m 1 2

Solución:

0 1 3 1 2 -5 1 2 -5 rg 1 2 -5 = rg 0 1 3 = (3.ªf-1.ªf · 2) = rg 0 1 3 = [3.ª-2.ª(1-2m)] = m 1 2 m 1 2 0 1-2m 2+5m

1 2 -5= rg 0 1 3 → Si m = 1/11, rg A = 2 0 0 1-11m Si m ≠ 1/11, rg A = 3

---------------------------------------------

1 1 -122.- Hallar la inversa de la matriz A = 0 1 3 , por definición de inversa ypor Gauss 1 0 2

Solución:

Por definición de inversa:

1 1 -1 a b c 1 0 0 a+d-g b+e-h c+f-i 1 0 00 1 3 d e f = 0 1 0 → d+3h e+3h f+3i = 0 1 0 →1 0 2 g h I 0 0 1 a+2g b+2h c+2i 0 0 1

a+d-g=1 d+3g=0 a+2g=0

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