temario de 3º eso - junta de andalucía · los números que se pueden descomponer en factores son...

I.E.S. Ciudad de Arjona Departamento de Matemáticas. 3º E.S.O. 2010-2011

TEMARIO DE 3º ESO

1. Números Enteros. Divisibilidad. Potencias

2. Los números Racionales.

3. Radicales.

4. Proporcionalidad.

5. Sucesiones.

6. Polinomios.

7. Ecuaciones e inecuaciones.

8. Sistemas de ecuaciones.

9. Geometría.

10. Funciones y propiedades.

11. Estadística Unidimensional.


SISTEMA DE EVALUACIÓN DE TERCERO DE LA E.S.O.

• Nota: Se obtendrá de la media ponderada siguiente:

1. Exámenes 70%

2. Trabajo en clase y casa 20% ( Se valorará la actitud)

3. La libreta un 10% (Se valorará el trabajo es decir: la corrección y

repetición de los ejercicios más que la presentación).

• Exámenes: Se realizará, al menos, un examen por unidad, al final de la

evaluación se hará un examen donde entrará todo. Siguiendo la siguiente

calificación: 50% el final y la media de los previos el 50 %, si la nota final es

mejor entonces será ésa.

• Hojas: Se entregarán todas aquellas que se crean convenientes, siendo

obligatorio el hacerlas. Al final de un tema se sacará una hoja especial que

alumno tiene la obligación de hacerla, pero será voluntario el entregarla para

corregirla.


UNIDAD Nº 1: NÚMEROS ENTEROS. DIVISIBILIDAD. 1. Números enteros y naturales. 2. Valor absoluto. 3. Orden y representación en la recta. 4. Operaciones, reglas prácticas y jerarquía. 5. Divisibilidad: Divisores, múltiplos, criterios de divisibilidad, primos y MCM y MCD. 6. Potencias y propiedades.

1. Números enteros y naturales.

Definición: Los números naturales son los que utilizamos para contar N={0, 1, 2, 3, 4, ……….} Definición: Los números enteros son los naturales y los negativos Z={….,-180,.,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,.….} Los positivos pueden no llevar signo 3= +3

2. Valor absoluto.

El valor absoluto de un número a es

−=

negativo es si

positivo es si

aa

aaa

Ejemplos: 231231 16351635- 33 33 =+===−

Llamaremos opuesto de un número al número cambiado de signo: el opuesto de “a” es “-a” opuesto de 8 es -8 opuesto de -7 es 7

3. Orden y representación en la recta. Todo número positivo es mayor que cualquier número negativo: -2<2 Si dos números son positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto: 3<4 Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto: -4<-2 Representación gráfica:

4. Operaciones, reglas prácticas y jerarquía. {{

absolutor mayor valo tieneque del signo el pone sey absolutos valoreslosrestan sesigno distinto

signo mismo el pone le sey absolutos valoreslossuman sesigno mismoSuma

Resta: de aquí surge la necesidad de ampliar los naturales para dar solución a la operación Producto y cociente: Primero multiplicamos o dividimos signos (regla de los signos) y luego los valores absolutos

÷• ó + - + + -

Regla de los signos

- - +

restasy sumas Tercero

cocientesy productos Segundo

paréntesisresolver Primero

soperacione las de Jerarquía

5. Divisibilidad: Divisores, múltiplos, criterios de divisibilidad, primos y

MCM y MCD. Definiciones: Un número es divisible por otro cuando al dividirlos el resto es cero. Los números que se pueden descomponer en factores son números compuestos (tienen tres o más divisores).


Los números que no se pueden descomponer en factores son números primos (sólo tienen dos divisores: el mismo y la unidad).

exacto es :división la dedivisor es abba ⇔

→

⋅=→⇔

dedivisor es

ó

de múltiplo es

ab

bka

ba

Descomponer un número es escribirlo como producto de números primos. Criterios de divisibilidad: Por “2” si la última cifra es par. Por “3” si la suma de las cifras es 3 o múltiplo de 3. Por “5” si la última cifra es 0 ó 5. Por “7” hay que dividir. Por “11” si la suma de las cifras de lugar impar menos la suma de las cifras de lugar par es 0, 11 ó múltiplo de 11. Definiciones: M.C.D.= Es igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente. M.C.M.= Es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente. 6. Potencias y propiedades. Def: ��

veces

.....n

n aaaaa ⋅⋅⋅⋅=

Por definición (importantísimo)

=

==

−n

n

aa

aa

a

1

11

0

Importante ( )

−=−

impar es si

par es si

na

naa

n

n

n

Propiedades:

1.- ( ) nnnbaba ⋅=⋅

2.- n

nn

b

a

b

a =

3.- mnmn aaa +=⋅

4.- nm

n

m

aa

a −=

5.- ( ) nmnm aa ⋅=


UNIDAD Nº 2: LOS NÚMEROS RACIONALES. 7. Conceptos. 8. Fracciones equivalentes. Simplificar. 9. Fracciones como operador. 10. Reducción a común denominador. 11. Orden y representación en la recta real. 12. Operaciones y propiedades. 13. Expresiones decimales. 14. Notación científica. Potencias de base 10.

7. Conceptos.

Definición: Llamaremos fracción a una expresión matemática del tipo b

a, siendo a y b números enteros

y 0≠b . rdenominado

numerador

→→

b

a

b

a representa al número que se obtiene de dividir el numerador entre el denominador.

Ejemplos:

Si son fracciones ,........6-

5- ,

8

0 ,

1

4- ,

238

24 ,

8

7 ,

5

2 No son fracciones ,.....

3

2 ,

32-

7 ,

0

12 ,

4

53′

′

Definición: Los números racionales son los que se pueden escribir en forma de fracción.

Q=

≠∈ 0y , / bZbab

a

8. Fracciones equivalentes. Simplificar.

5

3 representa a 0´6;

10

6 representa a 0´6,

15

9 representa a 0´6,

20

12 representa a 0´6.

Hay infinitas fracciones que representan un mismo número, y las llamaremos fracciones equivalentes.

Definición: Dos fracciones d

cy

b

ason equivalentes sí y sólo sí cbda ⋅=⋅ (es decir al multiplicarlas

en cruz obtenemos el mismo resultado). Si son equivalentes se le pone el signo =.

Ejemplo: 14

24es equivalente a

70

120 porque {

168012014

16807024

=⋅=⋅

y se representa 70

120

14

24 =

Obtención de fracciones equivalentes: Amplificación: Multiplicamos numerador y denominador por un mismo número distinto de cero.

36

21

312

37

12

7 =⋅⋅=

Simplificación: Dividimos numerador y denominador por un mismo número que sea divisor común de

ambos. 37

16

5:185

5:80

185

80

2:370

2:160

370

160 ====

Cuando una fracción no se puede simplificar más se llamará fracción irreducible. Hay dos métodos para obtener la fracción irreducible:


a) Ir simplificando poco a poco hasta no poder más: 3

2

15

10

45

30

135

90

270

1805:

5:

3:

3:

3:

3:

2:

2:

====

b) Hallar el m.c.d. del numerador y denominador y vivir por el: ( ) 90270,180... =dcm 3

2

270

18090:

90:

=

9. Fracciones como operador.

Cuando una fracción b

a actúa como operador de una cantidad “C”, el resultado es lo que se obtiene de

multiplicar la cantidad “C” por a y dividir por b . b

CaC

b

a ⋅=⋅

Ejemplo: Calcula los 4

3de 20; 15

4

60

4

20320

4

320

4

3 ==⋅=⋅=de

10. Reducción a común denominador. Es halla fracciones equivalentes que tienen por denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Ejemplo: Reducir a común denominador 2

3;

12

1;

4

6;

3

2 −−.

=⋅=

=

=

22

3212

24

33

2

2

m.c.m.= 12322 =⋅

12

18;

12

1;

12

18;

12

8 −−

11. Orden y representación en la recta real. Orden: tenemos dos métodos:

a. Basándonos en el orden de los números decimales. Dividimos numerador entre denominador.

405

2;250

4

1;51

2

3...;660

6

4;40

5

2 ′−=−′−=−′=′=′=

2

3

6

4

5

2

4

1

5

2 <<<−<−

b. Reduciendo a común denominador y ordenando los numeradores.

5

2;

4

1;

2

3;

6

4;

5

2 −− m.c.m=60

60

24;

60

15;

60

90;

60

40;

60

24 −−⇒

2

3

6

4

5

2

4

1

5

2 <<<−<−

Representación: a) A lo bestia: Calcula la división (número decimal) y se representa por aproximación.

Ejemplo: 405

2 ′= ; ..6606

4 ′−=−; 51

2

3 ′= ; ...7107

5 ′−=−:

b) Utilizando el teorema de thales (división de un segmento en partes iguales)


12. Operaciones y propiedades. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES:

a. Igual denominador: Se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador: b. Distinto denominador: Se reduce a común denominador y se opera como en el caso anterior a)

Propiedades:

i. Asociativa

++=+

+f

e

d

c

b

a

f

e

d

c

b

a

ii. Conmutativa b

a

d

c

d

c

b

a +=+

iii. Elemento neutro “0” b

a

b

a

b

a =+=+ 00 (El elemento neutro se puede expresar con

cualquier denominador distinto de cero)

iv. Elemento opuesto de b

a es

b

a− porque al sumarlos da “0”

PRODUCTO DE FRACCIONES: El producto de dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el

denominador el producto de los denominadores. db

ca

d

c

b

a

⋅⋅=⋅

Propiedades:

v. Asociativa

⋅⋅=⋅

⋅f

e

d

c

b

a

f

e

d

c

b

a

vi. Conmutativa b

a

d

c

d

c

b

a ⋅=⋅

vii. Elemento unidad “1” b

a

b

a

b

a =⋅=⋅ 11 (El elemento unidad se puede expresar como una

fracción en la que el denominador y el numerador son iguales y distintos de cero)

viii. Elemento inverso de b

a es

a

b porque al multiplicarlos da “1”

DIVISIÓN DE FRACCIONES Dividir dos fracciones es multiplicar la primera por la inversa de la segunda.

Es decir multiplicamos en cruz. X cb

da

d

c

b

a

⋅⋅=:

13. Expresiones decimales. Toda fracción irreducible tiene una expresión decimal, que se obtiene dividiendo numerador entre denominador.

Ejemplo: 30.....33......3333303

1 ⌢′=′= ; 611.....66....1666660

6

1 ⌢′=′= ; 40

5

2 ′=

Las expresiones decimales pueden ser :

Mixtas

PurasPeriódicas

exactas

Importante: Toda expresión decimal exacta o periódica se puede expresar en forma de fracción (hacer ejercicios).


Si la expresión no es exacta ni periódica (es decir ilimitada no periódica) no se puede expresar como fracción. A todos estos números se les llama números irracionales. Ejemplo: .....................0000001000100000101001000102′

( )

>−−↔

2 Irracional Número fracción. es Noperiódica no ilimitada

Q racional NúmeroFracción exacta PeriódicaodecimalExpresión

14. Notación científica. Los números de muchas cifras, ya sean enteros o decimales, se manejan mejor escribiéndolos en

notación científica. La notación científica se basa en escribirlos de la forma nbcda 10... ⋅′ ,

donde a es un número entero de una sola cifra, y n es un número entero cualquiera.

Ejemplo: 2010432000000000002430000000 ⋅′=

14107895000578900000000000 −⋅′=′ Si n es positivo el número es muy grande, y si es negativo es muy pequeño. Las operaciones con números en notación científica se suelen hacer con la calculadora.


UNIDAD Nº 3: RADICALES.

1. cONCEPTO.

Definición: Llamaremos radical a una expresión matemática del tipo

⇒radicando el es

orden u índice el es

a

nan .

axxa nn =⇔= Importante:

Si n es impar � Hay una solución con el mismo signo del radicando ( 53 125 −=− )

soluciónhay no negativo es radicando el Si

solución unahay cero es radicando el Si

negativa otray positivo una soluciones doshay cero quemayor es radicando el Si

par esn Si

2. RADICALES EQUIVALENTES Dos radicales son equivalentes si representan el mismo número ( 93 5128 = )

¿Cómo se obtienen radicales equivalentes? 120 801012 826 423 2 aaaa →→→ •••

Multiplicando el índice y el exponente del radicando por el mismo número (o dividiendo) Para simplificar radicales dividimos el índice y los exponentes del radicando por divisores comunes.

3. REDUCCIÓN DE RADICALES A ÍNDICE COMÚN. Pasos a seguir: 1.Hallar el m.c.m. de los índices 2.Colocarlos radicales cuyo índice sea el m.c.m. 3.Dividir el m.c.m. por el índice anterior y multiplicar por el exponente del radicando inicial

5 46 23 3;5;7 m.c.m.(3,6,5)=30

30 2430 1030 10 3;5;7

4. MULTIPLICACIÓN DE RADICALES. • Si tienen el mismo índice � Mismo índice y se multiplican los radicandos

33333 96682682 =⋅⋅=⋅⋅ • Si tienen distinto índice � se reduce a igual índice y posteriormente se multiplican los radicales

6 926 336 26336 725)7(25725 ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅

5. INTRODUCCIÓN Y EXTRACCIÓN DE FACTORES BAJO EL MISMO RADICAL.

Introducción: Para introducir un número dentro de un radical es necesario elevarlo al índice del radical: 5 55 2323 ⋅=⋅ n nn baba ⋅=⋅

Extracción: Para extraer un factor de un radical es necesario que esté elevado al índice del radical. Lo

sacamos fuera eliminando el índice. n nn n baba ⋅=⋅ . Muchas veces es necesario descomponer en factores primos el radicando.

33 33 2552250 ⋅=⋅= 3 253 23 2333333 17 aaaaaaaaaaaaaaa ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= (se hubiera hecho más rápido

dividiendo 17 entre 3 que da un cociente de 5(exponente de fuera) y de resto 2(exponente de dentro)) 7 5227237 4951623 cbadbadcba ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅


6. DIVISIÓN DE RADICALES.

• Si tienen el mismo índice � Mismo índice y se dividen los radicandos 333

3

36

18

6

18 ==

• Si tienen distinto índice � se reduce a igual índice y posteriormente se dividen los radicales

66 563

8

6 3

6 83 43

3222

2

2

2

2

2

2

16 =====

7. SUMA DE RADICALES. 32 + No se puede hacer.

No se pueden sumar radicales, lo único que podemos hacer es agrupar radicales iguales.

2045 + Aparentemente no se puede hacer nada, pero vamos a descomponer los radicandos y extraer los factores que podamos. 45=32·5 20=22·5

5552535·25·32045 22 =+=+=+

331335323335·33·233751227 223 −=−=−−+=−−+=−−+

8. POTENCIA DE UN RADICAL. Para realizar la potencia un radical multiplicamos los exponentes de la potencia y el

radicando. ( ) n pmp

n m aa ·= ( ) 3 223 77 =

( ) 3 83 22223 23 23 23 24

3 2 ······ aaaaaaaaaa === ( ) 3 83 4·24

3 2 aaa ==

9. RAÍZ DE UN RADICAL.

Para realizar la raíz de un radical multiplicamos los índices de los radicales. npp n aa

·=

1204·2·5·33 5 4 aaa ==

10. RACIONALIZACIÓN. La racionalización consiste en eliminar los radicales de los denominadores de las fracciones. 1er Caso: Raíces Cuadradas

Multiplicamos numerador y denominador por la raíz del denominador:

15

32

3·5

32

3·5

32

3·3·5

3·2

35

22

====

2º Caso: Otras Raíces Multiplicamos el numerador y el denominador por un radical de índice el del denominador anterior y radicando la potencia del radicando anterior que nos falta para llegar al índice del radical.

7

7·8

7·

7·8

7·7

7·8

7

8 5 3

5 5

5 3

5 35 2

5 3

5 2=== Multiplicamos por 5 37· porque nos falta a 3 para llegar a 5.

3er Caso: Suma y resta de Raíces cuadradas: Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

La operación conjugada de la suma es la resta y la de la resta la suma. El conjugado de 32 + es

32 − . Si nos damos cuenta al multiplicarlos ( )( ) ( ) ( ) 1323232·3222

−=−=−=−+

( )( )( ) ( ) ( ) 2

35

35

35

35

35

35·35

35·1

35

122

+=−+=

−

+=+−

+=−


TEMA 4: PROPORCIONALIDAD.

1. Proporcionalidad de magnitudes. 2. Repartos proporcionales. 3. Porcentajes. 4. Mezclas.

1. Proporcionalidad.

A) Proporcionalidad directa (D) Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una la otra también aumenta o al disminuir una disminuye la otra.(Al doble de una magnitud le corresponde el doble de la otra). Es decir cuando el cociente de dos cantidades correspondientes es siempre constante. Ejemplo: Un coche recorre 700km consumiendo 35 litros ¿Cuánto consume al recorrer 1000 km?

litros x km 1000

litros 35 km 700

→→d

x

1000

35

700 = ; litros 50700

100035 =⋅=x

Es directa: doble de distancia � doble consumo. Es decir los elementos los multiplicamos en cruz. B) Proporcionalidad inversa ( I ) Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una la otra también disminuye o al disminuir una aumenta la otra. Es decir cuando el producto de dos cantidades correspondientes es siempre constante. Ejemplo: Cuatro obreros tardan 20 días en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardan 5 obreros?

días x obreros 5

días 20 obreros 4

→→i

x⋅=⋅ 5204 165

204 =⋅=x

Es inversa: doble de obreros � mitad de tiempo Es decir los elementos los multiplicamos en linea. C) Proporcionalidad compuesta: 1. Identificar las magnitudes. 2. Colocarlas en orden. 3. Identificar si es D o I, cada una más con la siguiente. 4. Resolver. Ejemplo:

a) Un solador embaldosa 300m2 en 5 días trabajando 8 horas/diarias. Se compromete en embaldosar un suelo de 450 m2 en 6 días. ¿Cuántas horas trabajará al día? Superficie(m2)

horasx días 6m 450

horas 8 días 5m 300

horas/día días )(mSuperficie

2

i2

2

→→→→d 854506300 ⋅⋅=⋅⋅ x ; horas/día10

6300

85450 =⋅

⋅⋅=x

Doble superficie � doble días (D) Doble días � mitad de horas (I) b) Una piara de 23 cerdos se come en 50 días 2990 kg. de pienso. ¿cuántos días duran 6240 kgr. de pienso a 75 cerdos?

Kg 6240 días x 75

Kg 2990 días 5023

pienso días cerdosd

→→→→i 29907562405023 ⋅⋅=⋅⋅ x ; 32

299075

62405023 =⋅

⋅⋅=x días

Doble número de Cerdos � comida para la Mitad de días (I) ; Doble número de días � doble número de kg. de pienso para alimentar a los cerdos. (D)


2. Repartos Proporcionales. Valores: t........., c, b, ,a t.......cbas (suma) ++++=

Fracciones: s

t,........,

s

c,

s

b,

s

a

s

t........

s

c

s

b

s

a1 (suma) ++++=

Ejemplos: • Tres grifos aportan de caudal 2 l/s , 5 l/s y 7 l/s, respectivamente. Se abren simultáneamente.

a) ¿Qué fracción de esta habrá aportado cada uno? b) Si la capacidad de la piscina tiene una capacidad de 17080 l. ¡Qué volumen de agua ha

manado de cada grifo? a) 2+5+7=14

Fracciones: 2 litros/s � 7

1

14

2 = 5 litros/s � 14

5 7 litros/s �

2

1

14

7 =

b) Corresponden:

2 litros/s � litros 244017080 7

1 =de

5 litros/s � litros 61001708014

5 =de

7 litros/s � litros 854017080 2

1 =de

NOTA: Cuando nos digan que el reparto es inversamente proporcional, lo hacemos con los inversos de los números. Ejemplo: Reparte 1550 en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y 5.

Reparto a 5

1

3

1,

2

1y ; suma ==++=++

30

31

30

61015

5

1

3

1

2

1

Fracciones: 31

15

62

30

30

31:

2

1

2

1 ==→ ; 31

10

93

30

30

31:

3

1

3

1 ==→ ; 31

6

155

30

30

31:

5

1

5

1 ==→

Corresponden:

2 750155031

15

2

1 =→

de 3 5001550

31

10

3

1 =→

de 5 3001550

31

6

5

1 =→

de

3. PORCENTAJES. Diferentes formas de expresar un porcentaje:

Porcentaje: 12% Fracción: 100

12 Decimal: 120′

360100

3000123000 de %12 =⋅= 3603000120 =⋅′

A) Calcular el porcentaje. (dos formas) 1. Un pantalón cuesta 30 euros, y en rebajas 6 euros, ¿Qué porcentaje del total representa?

a) Regla de tres: % x € 6

%100€ 30 d

→→

%2030

1006 =⋅=x

b) Fracciones: %202030

6 =′= Rebaja/Precio

Aumento porcentual (Impuestos): Aumentar una cantidad en un a% es equivalente a calcular el (100+a)% Ejemplo: (tres formas)


Se quiere vender un frigorífico un 20% más caro que actualmente su valor es de 480 euros.

a) 20% de 480= 96100

48020 =⋅€ � 480+96=576 €

b) 20%=0´20 � 1+0´20=1´2 � 57621480 =′⋅ €

c) € x %120

€480%100

→→d

€576100

480120 =⋅=x

Disminución porcentual (Rebajas): Disminuir una cantidad en un a% es equivalente a calcular el (100-a)% Ejemplo: (tres formas): Unos guantes valen 18 euros si los rebajamos 15%, ¿Cuánto cuesta? ( tres formas)

a) 15% de 18= 72100

1815 ′=⋅€ � 18-2´70=15´30 €

b) 15%=0´15 � 1-0´15=0´85 � 305185018 ′=′⋅ €

c) € x %85

€18%100

→→d

€3051100

1885 ′=⋅=x

4. MEZCLAS Usar tabla. ¿Cuánto café de 1500 pts/kgr. hay que mezclar con 3kilos de café de 1000 pts/kgr. para que el kilo de mezcla valga 1200 pts?

Tipo de café Cantidad Precio coste A x 1500 x1500 B 3 1000 31000 ⋅

Mezcla total x+3 1200 ( ) 12003 ⋅+x

( ) 31000150012003 ⋅+=⋅+ xx

3000150036001200 +=+ xx x300600 = � 2=x Kg


UNIDAD Nº 5: SUCESIONES DE NÚMEROS REALES

1. DEFINICIONES, NOTACIONES, TÉRMINO GENERAL. Definición: Se llama sucesión a un conjunto de números reales dados ordenadamente de modo que se puedan enumerar (primero, segundo, …) 2, 4, 6, 8, 10, ………….. A los elementos se les llama términos y se designan por ia � término i-ésimo.

a1=2, a2=4, a3=6, a4=8, a5=10,…………….., an=2n (término general) Formas de definir las sucesiones: • Mediante la lista (enunciado) de todos sus términos (2, 4, 6, 8, 10, 12, ……………) • Mediante el término general ( )nfan = (fórmula con n) (an=2n; a1=2·1=2, a2=2·2=4, a3=2·3=6,

…)

• Mediante una ley de recurrencia (definirla a partir de términos anteriores) (a1=2 y an+1=2+ an � a2=2+a1=2+2=4, a3=2+a2=2+4=6, ……………)

Ejemplos:

13 −= nan

1114·3

813·3

512·3

211·3

4

3

2

1

=−==−==−=

=−=

a

a

a

a

12 += nna

322

162

82

42

144

133

122

111

==

==

==

==

+

+

+

+

a

a

a

a

21

2

1

2

5

3

−− −===

nnn aaa

a

a

1179·22

957·22

735·22

345

234

123

=−=−==−=−==−=−=

aaa

aaa

aaa

Para determinar el término general es muy importante saber si una sucesión es geométrica o aritmética. 2. PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Una sucesión se dice que es una progresión aritmética (P.A.) cuando cada término se obtiene sumando al anterior un número fijo llamado diferencia “d” � daa kk += −1

O cuando la diferencia entre dos términos consecutivos es constante (a esa constante se le llama diferencia) daa kk =− −1 cte.

Término general: daa += 12 ; daddadaa 21123 +=++=+= ;

daddadaa 32 1134 +=++=+= daddadaa 43 1145 +=++=+= …………….

( )dnaan ·11 −+=

Por lo tanto, en toda progresión aritmética sabiendo dos términos, o un término y la diferencia podemos calcular todos los términos. Ejemplos:

• En una P.A. a1=12 y d=7. Hallar a30 � a30=a1+(30-1)·d=12+29·7=12+203=215 (el término general seria: an=a1+(n-1)·d=12+(n-1)·7=12+7n-7=7n+5)

• En una P.A. a1=13 y d=-2. Hallar a18 � a18=a1+(18-1)·d=13+17·(-2)=13-34= -21 • En una P.A. a6=4 y d=1/2. Hallar a20.

2

55 116 +=+= adaa �

2

3

2

54

2

54 11 =−=→+= aa 11

2

22

2

19

2

3

2

1·19

2

320 ==+=+=a

• En una P.A. a10=24 y d=3. Hallar a1 y a40. 327249 11110 −=→+=→+= aadaa 1143·39339 4040140 =→+−=→+= aadaa

Suma de los “n” primeros términos de una progresión aritmética: ( )

2

·1 naaS nn

+=

Ejemplo: En la sucesión 3, 5, 7, 9, 11,…. Hallar an, a18, a101, a14, S50. 5-3=2; 7-5=2; 9-7=2, … Es una P.A. de diferencia d=2.

( ) ( ) 1222321311 +=−+=−+=−+= nnndnaan


37118·218 =+=a 2031101·2101 =+=a 29114·214 =+=a 101150·250 =+=a

( ) ( )2600

2

50·104

2

50·1013

2

50·50150 ==+=

+=

aaS

3. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Una sucesión se dice que es una progresión geométrica (P.G.) cuando cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón “r” � raa kk ·1−=

O cuando el cociente entre dos términos consecutivos es constante (razón) ra

a

k

k =−1

cte.

Término general: raa ·12 = 21123 ···· rarraraa ===

31

2134 ···· rarraraa === 4

13

145 ···· rarraraa ===

11· −= n

n raa Ejemplo:

• Halla el término 10 de la sucesión 2, 4, 8, 16, 32, ….

4:2=2; 8:4=2; 16:8=2, … Es una P.G. de razón 2. 102422·2· 1099110 ==== raa

• En una P.G. a4=27 y a1=1. Halla la razón

32727·127· 333314 =→=→=→=→= rrrrraa

Suma de los “n” primeros términos de una progresión geométrica:

1

· 1

−−=

r

araS nn

Ejemplo: • En la sucesión 2, 6, 18, 54, …. Calcula an, a8, S10.

6:2=3; 18:6=3, 54:18=3;.. Es una P.G. de razón 3. 111 3·2· −− == nn

n raa

43742187·23·2 78 ===a

3936619683·23·2 910 ===a 59048

2

118096

13

23·39366

1

· 11010 ==

−−=

−−

=r

araS

4. REPRESENTACIÒN EN LA RECTA REAL Se coloca cada término. Ejemplos:

• an=2n-2; a1=0; a2=2; a3=4; a4=6; a5=8; a6=10; ….

• n

an1= .;.........

5

1 ;

4

1 ;

3

1 ;

2

1 ;1 54321 ===== aaaaa

• ( )nna 1−= ;........1 ;1 ;1 ;1 ;1 ;1 654321 =−==−==−= aaaaaa

5. PROPIEDADES

MONOTONÍA: Creciente y decreciente


Una sucesión an se dice que es creciente si cada término es mayor o igual que todos los anteriores ........... 11654321 ≤≤≤≤≤≤≤≤≤ +− nnn aaaaaaaaa ; es decir

na es creciente si 01 ≥−+ nn aa ↑

Una sucesión an se dice que es decreciente si cada término es menor o igual que todos los anteriores

........... 11654321 ≥≥≥≥≥≥≥≥≥ +− nnn aaaaaaaaa ; es decir

na es decreciente si 01 ≤−+ nn aa ↓

Ejemplos: 2+= nan Vamos a verlo de tres formas:

a) Escribiendo la sucesión: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ……. Se ve que es creciente.

b) Representándola: c) 01 ≥−+ nn aa ;

( ) ( ) ↑≥=−−+=+−+=−

+=+=++=

++ 012323

2

3211

1nnnnaa

na

nnann

n

n

Ejemplos: nan 31 −= Vamos a verlo de tres formas:

a) Escribiendo la sucesión: -2, -5, -8, -11, -14, -17, ……. Se ve que es decreciente.

b) Representándola: c) 01 ≤−+ nn aa ;

( ) ( ) ↓≤−=+−−−=−−−−=−

−=−−=−−=+−=

++ 043333123

31

233311311

1nnnnnaa

na

nnnann

n

n

ACOTACIÓN: Una sucesión an se dice que está acotada superiormente INnkak n ∈∀≤∃ / (existe

un número que es mayor que cualquier término de la sucesión)

Ejemplo: n

an1= �

5

1,

4

1,

3

1,

2

1,1 está acotadamente por 1, por 2, por 3, …..

Una sucesión an se dice que está acotada inferiormente INnkak n ∈∀≥∃ / (existe

un número que es menor que cualquier término de la sucesión)

Ejemplo: n

an1= �

5

1,

4

1,

3

1,

2

1,1 está acotadamente por 0, por -1, por -2, …..

Una sucesión an se dice que está acotada

nteinferiorme acotada está

ntesuperiorme acotada está

n

n

a

a


UNIDAD Nº 6: POLINOMIOS. 1. CONCEPTOS.

MONOMIO: Producto de números y letras 26x 325 cab− zxy2

2

13

Coeficiente: Número que acompaña a las letras 6 -5 2

13

Parte literal: Producto de las letras 2x 32cab zxy2

Grado: Suma de los exponentes de las letras 2 1+2+3=6 1+2+1=4

Monomios semejantes: Son aquellos que tienen la misma parte literal. 26x ; 27x−

Monomios opuestos: Son aquellos que son semejantes y tienen los coeficientes opuestos. 26x y 26x− . POLINOMIO: Suma y resta de monomios. A los monomios que lo forman los llamamos términos. Se dice que es Reducido si los monomios no son semejantes. Normalmente los polinomios los expresaremos con letras mayúsculas, empezando por la P, y entre paréntesis las letras que lleve

P(x,y,z)= 134123 44852 −−+ yzxxyx Grado: Mayor de los grados de los monomios que lo forman: El polinomio anterior es de grado 9. Término independiente: Monomio de grado cero (no lleva letras). (-13) Polinomio completo: Aquel que poseo términos de todos los grados inferiores al grado del

polinomio. Polinomio ordenado: Los términos vienen ordenados por grados.

127364 2345 −−++− xxxxx Es un polinomio completo y ordenado 2. VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

Es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por números determinados.

Ejemplo: Calcula el valor numérico de P(x)= 1273 23 −−+ xxx para x=2 y x=-1. P(2)=3·23+7·22-2-12=3·8+7·2-2-12=24+14-2-12=24;P(-1)=3(-1)3+7(-1)2-(-1)-12=3(-1)+7·1+1-12=-3+7+1-12=-7

3. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS. De monomios:Para sumar dos monomios es necesario que sean semejantes: El resultado es otro monomio con la misma parte literal y coeficiente la suma o resta de los coeficientes

( ) 22222 9485485 xxxxx =−+=−+ De polinomios: Agrupamos los monomios semejantes y sumamos o restamos los términos semejante. (Nota: Restar es sumar con el opuesto)

( ) 1234 235 +−+= xxxxP ( ) 232 345 −+−+−= xxxxxQ

P(x)+Q(x)

13222

23 2

1 23 4

2345

345

235

−+−++

−+−+−

+−+

xxxxx

xxxx

xxx

P(x)-Q(x)

33246

23 2

1 23 4

2345

345

235

+−−+−

+−+−

+−+

xxxxx

xxxx

xxx

4. PRODUCTO DE POLINOMIOS. De monomios: Multiplicamos los coeficientes y la parte literal, que como son potencias, sumamos los

exponentes 75252 408·58·5 xxxx == + De polinomios: Multiplicamos cada término de primer polinomio por cada término del segundo polinomio y agrupamos los términos:


6541224

426 4

2 3 2

639 6

32

232

23456

2346

235

24

2

24

−++−+−

−++

+−−−

−++

+−×

−++

xxxxxx

xxxx

xxxx

xxx

xx

xxx

Cuando falta el término correspondiente a un grado dejamos un hueco por si luego aparece.

5. PRODUCTOS NOTABLES

Cuadrado de una suma: El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del

segundo más el doble producto del primero por el segundo. ( ) bababa ··2222 ++=+ Cuadrado de una diferencia: El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero más el

cuadrado del segundo menos el doble producto del primero por el segundo. ( ) bababa ··2222 −+=− Suma por diferencia: Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados (cuadrado del primero menos

el cuadrado del segundo). ( ) ( ) 22· bababa −=−+

Ejemplos: ( ) ( ) xxxxx 202545·2·25252 2222 ++=++=+

( ) ( ) xxxxx 249163·4·23434 2222 −+=−+=− ( ) ( ) ( ) 36496767·67 222 −=−=−+ xxxx

6. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. De monomios: Dividimos los coeficientes y la parte literal, que como son potencias, restamos los

exponentes ( ) 35858 58:408:40 xxxx == −

De polinomios: Pasos a seguir: ( ) ( )542:1549136 224 +−−+− xxxxx 1.Dividimos los monomios de

mayor grado 2.Multiplicamos el resultado por

el divisor. 3.Restamos al dividendo el

resultado anterior 4.Este resultado será el nuevo

dividendo. Volvemos a repetir el proceso hasta que el grado dividendo sea menor que el del divisor (Resto)

( ) ( ) 224 32:6 xxx =

( )234

22

15126

542·3

xxx

xxx

−+

=+−

15492812

15126

154913 6

23

234

24

−+−

−+−

−+−

xxx

xxx

xxx

��

resto

2

2

23

23

2234

224

511

1084

15194-

302412-

492812

263x 15126

542 154913 6

−+−

−+

−+

+−

−+−+−

+−−+−

x

xx

xx

xxx

xxx

xxxx

xxxxx

7 REGLA DE RUFFINI:

La regla de Ruffini nos va a permitir dividir polinomios por del tipo (x-a).

Procedimiento: ( ) ( )2:5136 3 −+− xxx 1.Se hace una caja y se colocan los coeficientes del dividendo en horizontal (si falta alguna se pone un cero). 2.Debajo y a la izquierda se coloca “a”. 3.Se baja el primer coeficiente del dividendo. 4.Multiplicamos este por a y lo ponemos debajo del segundo coeficiente.

Coeficientes: 6, 0, -13 y 5 a=2. Bajamos el 6. 6·2=12; 0+12=12 2·12=24; -13+24=11 2·11=22; 5+22=27

27 11 12 6

22 24 12

5 13- 0 6

2 ↓


5.Los sumamos y repetimos el proceso hasta el final. El último número es el resto, y los otros los coeficientes del cociente.

Resto 27

( ) 11126 2 ++= xxxC

Nota: Si se divide por (x-a) se pone en la caja “a”, pero si se divide por (x+a) se pone el la caja “-a”. Es decir, lo cambiamos de signo. 8 TEOREMA DEL RESTO

Teorema: El resto que se obtiene al dividir el polinomio ( )xP entre ( )ax − es igual al valor numérico del

polinomio para [ ])( aPax =

Demostración: ( ) ( ) ( ) RaxxCxP +−= · ( ) ( ) ( ) ( ) RRaCRaaaCaP =+=+−= 0··

En el ejemplo anterior: 27526485268·652·132·6)2( 3 =+−=+−=+−=P , que como nos dice el teorema del resto coincide con el resto de la división. 9 RAÍCES Definición: ax = es raíz del polinomio ( )xP ⇔ 0)( =aP .

A partir del teorema del resto: ax = es raíz del polinomio ( )xP ⇔ ( )axxP −:)( es exacta.

Es decir ax = es raíz del polinomio ( )xP ⇔ ( ) ( )xCaxxP ·)( −= Teorema Fundamental del Álgebra: Todo polinomio de grado “n” admite como máximo “n” raíces (siempre van de dos en dos). Raíces simples: Si todas las raíces son distintas Raíces dobles: Si tiene dos raíces iguales. Raíces múltiples: Si tiene más de dos raíces iguales. Cálculo de raíces enteras de un polinomio:

a) Con término independiente: Las posibles raíces son los divisores del término independiente (lo comprobamos por Ruffini).

1243 23 −−+ xxx Divisores de 12={ }12,6,4,3,2,1 ±±±±±±

12- 1 4 1

0 4 1

12- 4- 3 1

1 ↓ 1 no es raíz

0 1

3

0 3- 1

6- 2-

0 6 5 1

12 10 2

12- 4- 3 1

3

2-

2

↓

↓

↓

Las raíces son 2, -2 y

3

{ }93,1,D(9) 910 24 ±±±=+− xx

{ }93,1,D(9) 962 ±±±=+− xx

0 1

3

0 3- 1

9- 3

9 6- 1

3

3

↓

↓Raíces: 3 doble


0 1

3-

0 3 1

9 3

0 9- 0 1

9 0 1-

0 9- 9- 1 1

9- 9- 1 1

9 0 10- 0 1

3-

3

1-

1

↓

↓

↓

↓

Raíces 1,-1,3 y -3

b) Cuando no tiene término independiente: Sacamos factor común “x” elevado al menor exponente. Corresponderá a la raíz 0 de orden ese exponente.

( )65·65 223 +−=+− xxxxxx Una raíz será 0 (x)

0 1

3

0 3- 1

6- 2

6 5- 1

3

2

↓

↓

3

2

0

Raíces

( )4·4 2224 −=− xxxx Una raíz será 0 y doble (x2)

0 1

2-

0 2 1

4 2

4- 0 1

2-

2

↓

↓

2-

2

doble 0

Raíces

10 DESCOMPOSICIÓN DE POLINOMIOS Teorema de Descomposición: Un polinomio ( )xP de grado n, que admite n raíces nrrr ,........,, 21 y cuyo coeficiente principal es “a”

admite una descomposición de la siguiente forma: ( ) ( ) ( ) ( )nrxrxrxaxP −−−= .··.........·· 21

( ) 12102 2 +−= xxxP

D(12)= { }12,6,4,3,2,1 ±±±±±±

0 2

6

0 6- 2

12- 4

12 10- 2

3

2

↓

↓

3

2Raíces 2

principal

eCoeficient

( ) ( ) ( )3·2·2 −−= xxxP

( ) 13 −= xxP D(-1)={ }1±

3 2 1

N 2 1

0 1 1 1

1 1 1

1- 0 0 1

1

1

O←↓

↓

raíz

1 0 1

0 1-

1 1 1

1-

esNO

↓

1 eirreducibl polinomio

1 1

23

++−

xx

raícesx

( ) ( ) ( )1·1 2 ++−= xxxxP

( ) 14 −= xxP D(-1)={ }1± 1243)( 23 −−+= xxxxP

D(12)= { }12,6,4,3,2,1 ±±±±±± Las raíces son 2, -2 y 3

( ) ( ) ( )3·2·2)( −+−= xxxxP


{ }93,1,D(9)

910)( 24

±±±=+−= xxxP

Raíces 1,-1,3 y -3 ( ) ( ) ( ) ( )3·3·1·1)( +−+−= xxxxxP

4 3 2 1

NO 3 2 1

0 1 1 1 1

1 1 1 1

1- 0 0 0 1

1

1

↓

↓

2 1- 1

N 1 1 -

0 1 0 1

1- 0 1 -

1 1 1 1

1

1-

O←↓

↓

−

1 eirreducibl polinomio

1- 1, 1

24

+−

x

raícesx

( ) ( ) ( ) ( )1·1·1 2 ++−= xxxxP

{ }93,1,D(9)

96)( 2

±±±=+−= xxxP

Raíces: 3 doble

( ) ( ) ( )233·3)( −=−−= xxxxP

( )65·65)( 223 +−=+−= xxxxxxxP Las raíces son 0, 2 y 3

( ) ( )3·2·)( −−= xxxxP

( )4·4)( 2224 −=−= xxxxxP Las raíces son 0 (doble), 2 y -2

( ) ( )2·2·)( 2 +−= xxxxP


UNIDAD Nº 7: ECUACIONES E INECUACIONES.

1. CONCEPTOS.

A. IGUALDADES Y ECUACIONES. Igualdad: Son dos expresiones separadas por el signo igual. Las igualdades pueden ser entre

números (numéricas) o entre expresiones algebraicas (algebraica). Las igualdades pueden ser ciertas (4+2=6) o falsas (2=4)

Identidad: Es una igualdad se siempre es cierta. Identidad numérica� 4+5=6+2+1 Identidad algebraica � x +2y =2y+x Ecuación: Es una igualdad algebraica (donde las letras se llaman incógnitas) que se cumple sólo para

ciertos valores de las letras (incógnitas). Solución: Son los valores que tienen que tomar las incógnitas para que se verifique la igualdad. Resolución de una ecuación: Es encontrar las soluciones.

B. ECUACIONES EQUIVALENTES. TRANSFORMACIONES. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Por tanto lo interesante es transformar una ecuación en otra más sencilla de resolver, mediante una serie de transformaciones. Regla de la suma: Si a los dos miembros de una ecuación se le suma o se le restan números o letras (una misma expresión) se obtiene una ecuación equivalente. 3x-4=2x+9 sumamos en las dos expresiones 4-2x � 3x-4+4-2x=2x+9+4-2x � 3x-2x=9+4 � x=13

Esto nos permite trasponer términos, lo que está en un lado de la igualdad sumando pasa al otro lado restando, y lo que está restando pasa sumando. Regla del producto: Si a los dos miembros de una ecuación se le multiplica o divide por un número distinto de cero se obtiene una ecuación equivalente.

3x=6 dividimos los dos términos por 3 � 3

6

3

3 =x � 3

6=x � x=2

Es decir lo que está multiplicando a toda la expresión pasa al otro lado dividiendo, y lo que está dividiendo pasa al otro lado multiplicando.

2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO. Las ecuaciones de primer grado son aquellas en la que interviene polinomios de primer grado. Mediante

transformaciones de ecuaciones equivalentes debemos llegar a un expresión del tipo bax = , donde a y b son números.

A. Discusión: bax =

0 falsa igualdad una Sale solución) tiene(no E.I. leincompatib es 0

00 ciertaexpresión Sale )soluciones infinitas (tiene E.C.I. adaindetermin compatible es 00

única) esy solución (tiene E.C.D. adeterminad compatible esecuación la que dice se 0

bb

ba

a

bxa

=≠==

=

=≠

B. Resolución general de ecuaciones de primer grado.

PASOS A SEGUIR xxx =++−5

23

2

1

1. Quitar denominadores: hallar el m.c.m. de los denominadores y reducir a común denominador.

2. Eliminar paréntesis (normalmente hacer las

m.c.m. (2,5,1)=10 ( ) ( )

10

10

10

23·2

10

1·5 xxx =++−


a

bxbaxbax

x

−=→−=→=+

=

0

0

multiplicaciones) 3. Trasponer términos (pasar la incógnita a un

lado y los números al otro) y operar. 4. Discutir. 5. Resolver

xxx 104655 =++− 451065 −=−+ xxx

11 =x � E.C.D.

11

1 ==x

3. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Definición: Una ecuación de segundo grado es aquella que equivalente a una del tipo

02 =++ cbxax donde a, b y c son números y a distinto de cero. Se llama completa si todos los coeficientes a, b y c son distintos de cero. Se llama incompleta si alguno de ellos (b o c) es igual a cero. Resolución: Completa: Las soluciones se averiguan sustituyendo los coeficientes en la fórmula:

a

cabbx

·2

··42 −±−=

Incompletas:

b=0 02 =+ cax Resolvemos como ecuación de primer grado. a

cxcax

−=→−= 22

Haciendo la raíz cuadrada a

cx

−±= . Tendrá solución cuando a

c− sea positivo.

c=0 02 =+ bxax Sacamos factor común x� ( ) 0· =+ baxx . Aplicamos la propiedad de los números que nos dice que si el resultado de multiplicar dos números es 0, entonces uno de ellos es 0.

Ejemplos: 0652 =+− xx es completa.

( )2

2

4

2

15

32

6

2

15

2

15

2

24255

1·2

6·1·45)5(

2

12

==−=

==+==±=−±=

−−±−−=

x

x

x

5

525

2

505020502 22

−=+=

±=→±=→=→=−x

xxxxx

( )2

7

141470147

00147·0147 2

−=→−=→−=→=+

==+→=+

xxxx

x

xxxx

Discusión: Se llama discriminante al número que hay dentro de la raíz: cab ··42 −=∆ . Dependiendo de su valor obtendremos el número de soluciones.

0>∆ (positivo). Tendrá dos soluciones distintas. E.C.D. 0=∆ . Tendrá una única solución (doble). E.C.D. 0<∆ No tendrá solución. E.I.


que igual omenor

que igual omayor

quemenor

quemayor

≤≥<>

Ejemplos: 049610012·2·4)10(012102 22 >=−=−−=∆→=+− xx Dos soluciones.

01001005·5·41005105 22 =−=−=∆→=++ xx Una solución doble.

( ) ( ) 0104140365·7·460567 22 <−=−=−−−=∆→=−+− xx .Sin solución. E.I. Curiosidades:

La suma de las soluciones es igual a a

bs

−= , y el producto de las soluciones es a

cp =

4. ECUACIONES BICUADRADAS Son aquellas que responden a la ecuación 024 =++ cbxax . Se resuelven haciendo un cambio de

variable: Llamamos al “ZORRO” 2xz = , entonces ( ) 4222 xxz == . Con lo que quedaría una

ecuación de segundo grado en z. 02 =++ cbzaz . Que sabemos resolverla. Una vez obtenidos los valores de z, obtenemos los de x haciendo la raíz cuadrada. Ejemplo:

( ) ( ) ( )=

−−−±−−=→=−−→=→=−−

1·2

36·1·4550365;0365

22224 zzzxzxx

existe No 442

135

3

399

2

135

2

135

2

1695

2

144255

−±=→−=−−=

=±=→=+

±=±=+±=x

x

xx

Las ecuaciones bicúbicas (ax6+bx3+c=0) se resuelven haciendo el cambio z=x3 y haciendo raíz cúbica.

5. DESIGUALDADES E INTERVALOS. A. Desigualdad: Cualquier relación numérica separada por los signos > ,<, ≥ ó ≤

Se clasifican en desigualdades numéricas (2<3) y algebraicas. (2x+1<3) Propiedades: • Al sumar o restar una misma expresión (algebraica o numérica) a

los dos miembros de la desigualdad, se obtiene otra con el mismo sentido. (-3<5 � -3+6<5+6 (3<11)� -3+2x-4<5+2x-4)

• Al multiplicar o dividir lo dos miembros de una desigualdad por un mismo número positivo, la desigualdad que resulta es del mismo sentido (6>2 � 6·3>2·3 ; (18>6)) (2x+1>3x-6 � 5(2x+1)>5(3x-6))

• Al multiplicar o dividir lo dos miembros de una desigualdad por un mismo número negativo, la desigualdad cambia de sentido (6>2 � 6·(-3)<2·(-3) ; (-18<-6)) (2x+1>3x-6 � -5(2x+1)<-5(3x-6))

B. Intervalos: Los intervalos numéricos son conjuntos de números y se representan mediante un segmento con o sin extremos. Pueden ser acotados o no acotados:

Intervalos no acotados (Semirrectas): Los intervalos no acotados se representan mediante una semirrecta. Expresión verbal Desigualdad Gráfica Intervalo

Números menores que b bx < ( )b,∞−

Números menores o iguales que b bx ≤ ( ]b,∞−

Números mayores o iguales que a ax ≥

[ )+∞,a

Números mayores que a ax >

( )∞+.a


Números mayores que a y menores que b bxa <<

( )ba,

Números mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

bxa ≤≤

[ ]ba.

Números mayores o iguales que a y menores que b.

bxa <≤ [ )ba,

Números mayores que a y menores o iguales que b.

bxa ≤<

( ]ba,

Incluido significa que puede ser igual, se representa con un punto relleno ●, y va con corchete [ ó ]. No incluido significa que no puede ser igual, se representa con un punto blanco ○, y va con paréntesis ( ó ). El infinito como no es ningún número va siempre con paréntesis. Unión de intervalos: Juntar los intervalos. [ ) ( ] [ ]8,28,35,2 −=∪−

Intersección de intervalos: Lo que tienen en común. ( ] ( ) ( ]3,4,43, −=+∞−∩∞−

6. INECUACIONES DE PRIMER GRADO. Las inecuaciones de primer grado son inecuaciones con expresiones algebraicas, que después de realizar una serie de transformaciones elementales, nos queda de la forma ax(desigualdad)b. Las transformaciones se realizan aplicando las propiedades de las desigualdades. Resolución: Se resuelven igual que las ecuaciones de primer grado, teniendo en cuenta que cuando se multiplica o se divide por un número negativo la desigualdad cambia de sentido. Ejemplos:

( ) ( )20

7·2

20

3·20

20

13·5

20

2·20

20

52·4);20..(

10

73

4

132

5

52 +−+>−−=→+−+>−− xxxxmcmx

xx

x

Fuera denominadores� 146051540208 +−+>−− xxxx Trasponemos 145206015408 ++>+−− xxxx Agrupamos� 3913 >x Como 13 es positivo la desigualdad no

cambia 3;13

39 >> xx .

Solución: 3>x . En intervalo ( )+∞,3 . Gráficamente:

1531055210552 −≥−→−−≥−→−≥+ xxxxx Como -3 la desigualdad cambia

53

15 ≤→−−≤ xx

Solución: 5≤x . Intervalo: ( ]5,∞− . Gráficamente:

7. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Las inecuaciones de segundo grado son aquellas, que tras las transformaciones elementales, quedan de la

forma 0)(2 ddesigualdacbxax ++ . Resolución nos basamos en la ecuación de segundo grado

02 =++ cbxax . Si la ecuación tiene dos soluciones 21, xx ( )21 xx < , tenemos que estudiar el signo del

polinomio en los tres intervalos que se forman. ( ) ( ) ( )+∞∞− ,y ,;, 2211 xxxx . Para esto cogemos un valor en cada intervalo y estudiamos su signo.

Ejemplo: 01072 >+− xx . Resolvemos 2

5

2

37

2

4049701072 =±=−±=→=+− xxx .

Estudiamos un valor en cada intervalo, por ejemplo en ( )2,∞− estudiamos el 0 � 10100·702 =+− Positivo.

Intervalo ( )2,∞− ( )5,2 ( )∞+.5

Punto del intervalo 0 3 6 Valor numérico 10100·702 =+− 2103·732 −=+− 4106·762 =+−


Como el ejercicio dice mayor que 0 (>0) y los mayores que 0 son los positivos, la solución son los

intervalos dónde es positivo ( ) ( )+∞∪∞− ,52, . Los puntos 2 y 5 no están incluidos porque la desigualdad no incluye el igual a 0. Otra manera de ver los signos es fijarse en el valor de a (el coeficiente de x2). Si a es positivo (a>0) los

intervalos extremos de la recta tendrá signo positivo, y el del medio negativo, y si a es negativo (a<0) los intervalos extremos de la recta tendrá signo negativo, y el del medio positivo. Nota: Si la ecuación de segundo grado tiene una solución habrá dos intervalos, y si no tiene solución un solo intervalo (toda la recta). 8. SISTEMAS DE INECUACIONES Se resuelven las inecuaciones por separado, y la solución del sistema es la intersección de las soluciones. Ejemplo:

≤+−

+−+>−−

0107

10

73

4

132

5

52

2xx

xx

xx

soluciones ( )[ ]

+∞

5,2

,3 Hacemos la intersección

( ) [ ] ( ]5,35,2,3 =∩+∞ Gráficamente: .


UNIDAD Nº 8: SISTEMAS DE ECUACIONES 1. CONCEPTOS.

A. ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS. Es una igualdad algebraica de la forma 0=++ cbyax , donde a, b y c son números, x e y las

incógnitas. Una solución es un par de valores (uno para x y otro para y) que verifican la igualdad. Ejemplo: 12 −=− yx . Son soluciones: 1,0 == yx ya que 2·0-1=-1; 3,1 == yx también es solución. Por lo tanto todas las ecuaciones lineales con dos incógnitas tienen infinitas soluciones.

B. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS. Un sistema de ecuaciones en un conjunto de ecuaciones de ese tipo. Trabajaremos con sistemas de dos

ecuaciones con dos incógnitas.

′=′+′=+cybxa

cbyax.

Una solución son un par de valores que hacen que se verifiquen todas las ecuaciones.

Ejemplo:

=+=−

92

3

yx

yx

2

5

==y

x es solución ya que

=+=−

92·25

325 pero

0

3

==y

x no es solución

≠+=−

90·23

303

2. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES. Se basan en transformaciones elementales de las ecuaciones. Es decir en transformarlos en otros

equivalentes. Todos los métodos los vamos a ejemplificar con este sistema.

=+=−

732

153

yx

yx. Siempre hay

que comprobar la solución. A. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: PASOS A SEGUIR

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones (la que queramos y resulte más sencilla)

x en la 1º ecuación yx 513 += � 3

51 yx

+=

2. Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación 73

3

512 =+

+y

y

3. Resolvemos la ecuación obtenida (sacamos el valor de una incógnita) 11919221910

3

21

3

9

3

102 =→=→−=+→=++yyyy

yy

4. Obtenemos el valor de la otra incógnita en el paso 1. 2

3

6

3

51

3

1·51 =→=→+=→+= xxxx Solución: 1

2

==y

x

B. MÉTODO DE IGUALACIÓN PASOS A SEGUIR

1. Despejamos una de las incógnitas en las dos ecuaciones (la que queramos y resulte más sencilla)

x 1ª� yx 513 += � 3

51 yx

+= 2ª� yx 372 −= � 2

37 yx

−=

2. Igualamos las expresiones obtenidas en el paso 1. 2

37

3

51 yy −=+

3. Resolvemos la ecuación obtenida (sacamos el valor de una incógnita)

( ) ( )

11919

2219109211026

373

6

512

=→=→

−=+→−=+→−=+

yy

yyyyyy

4. Obtenemos el valor de la otra incógnita en el paso 1. 2

3

6

3

51

3

1·51 =→=→+=→+= xxxx Solución: 1

2

==y

x


C. MÉTODO DE REDUCCIÓN

El objetivo es eliminar una de las ecuaciones, para ello debemos conseguir que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente (pero con distinto signo) en las dos ecuaciones, para después sumarlas y que desaparezca esa incógnita. 1. Se igualan coeficientes de una incógnita (signo opuesto) multiplicando una o las dos ecuaciones por números convenientes.

=+=−

5·

3·

732

153

yx

yx�

=+=−

351510

3159

yx

yx

2. Sumamos las dos ecuaciones, obteniendo una muy sencilla de primer grado con una incógnita. Es decir se reduce el sistema a una ecuación 38 19

351510

3159

=

=+=−

x

yx

yx

3. Resolvemos la ecuación 2

19

383819 =→=→= xxx

4. Obtenemos el valor de la otra incógnita sustituyendo en una de las ecuaciones del sistema

15

5615152·3 =→

−−=→−=−→=− yyyy

Solución: 1

2

==y

x

3. DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES.

En este apartado queremos saber si el sistema tiene o no solución sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones. Relación entre coeficientes Número de soluciones Nombre

b

b

a

a

′≠

′ Una solución Sistema Compatible Determinado (S.C.D.)

c

c

b

b

a

a

′=

′=

′ Infinitas soluciones Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.)

c

c

b

b

a

a

′≠

′=

′ Sin solución Sistema Incompatible (S.I.)

Ejemplos:

=+=−

732

153

yx

yx

3

5

2

3 −≠ S.C.D

−=+−=−

1062

53

yx

yx

10

5

6

3

2

1

−=−=

− S.C.I.

=+−=−

462

53

yx

yx

4

5

6

3

2

1 ≠−=−

S.I.


UNIDAD Nº 9: Geometría.

ELABORACIÓN DEL TEMA POR PARTE DE LOS ALUMNOS

Puntos que debe tener el tema:

• Teorema de Pitágoras y aplicaciones • Áreas y perímetros de polígonos. • Áreas y perímetros de las figuras curvas. • Volúmenes y superficies de figuras en el espacio

Nota.- Este tema se elaborará durante el segundo trimestre y se entregará antes de terminar el tema 6. Los problemas de ecuaciones y sistemas se aplicará la geometría.


UNIDAD Nº 10: FUNCIONES Y PROPIEDADES . 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN. Definición: Una función es una correspondencia numérica entre dos conjuntos, tal que, a cada elemento del conjunto inicial le corresponde a lo sumo una imagen (una o ninguna).

10

31

12)(

10·2

112

fórmula o criterio

→

→

+= →

+

+⋅

xxf

IRIR

( )

yx →

− →− +−⋅ 11 112

A “x” se le llama variable independiente y a “y” variable dependiente

xxf =)( No es una función

porque por ejemplo a 4 le hace corresponder dos imágenes 2 y -2. Para ser función se tendría que

definir como xxf +=)(

Gráfica: Se denomina gráfica de una función al conjunto de puntos formado por los elementos del conjunto inicial y sus imágenes: ( )( ) ( ){ }xDomfxxfx ∈/, . Y lo representamos en el plano.

Ejemplo: 12)( += xxf Hacemos una pequeña tabla de valores

x 1 2 0 -1 -2 y 3 5 1 -1 -3 Punto (1,3) (2,5) (0,1) (-1,-1) (-2,-3)

Para que una gráfica pertenezca a una función la miramos siempre de izquierda a derecha: Será función si siempre avanza de izquierda a derecha, es decir nunca se para ni retrocede.

Es función

NO es función (retrocede)

NO es función (se para)

2. PROPIEDADES. A. Dominio: Es el conjunto de los elementos del conjunto inicial que tienen imagen. Dom f(x).

Gráficamente es lanzar rectas paralelas al eje y (valores que toma x) B. Recorrido: Es el conjunto de los elemento del conjunto final que son imagen de algún punto del

dominio. Gráficamente es lanzar rectas paralelas al eje x (valores que toma y)

( ) { }baIRxDomf ,−=

( ) ( )Mxf Rec ,∞−=

No está acotada inferiormente. Está acotada superiormente.

3. FUNCIONES ELEMENTALES.

A. FUNCIONES POLINÓMICAS ( ) 01 axaxaxf n

n +++= …… . El dominio de una función polinómica es IR.


A1. Grado cero. Función constante f(x)=c. Su representación gráfica es una recta paralela al eje OX por el punto c.

x 1 2 0 -1 -2 f(x) c c c c c

A2. Grado uno. Función lineal f(x)=mx+n. Su representación gráfica es una recta. Con dos valores se puede representar. m se llama pendiente (nos va a indicar la inclinación) y n se llama ordenada en el origen (nos indica el valor de la función en 0).

13

−= xy

x 0 3 f(x) -1 0

Cálculo de la pendiente a partir de dos puntos: Si la recta pasa por los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)).

( ) ( )ab

afbf

x

ym

−−=

∆∆=

y=5x-1 La pendiente m=5 Si una función lineal pasa por los puntos (2,9) y (3,14) su pendiente será

51

5

23

914 ==−−=m

Ecuación punto-pendiente: Si tenemos en una función lineal la pendiente m y un punto (a,f(a)) la ecuación de la recta en su forma

punto –pendiente será: ( ) ( )axmafy −=−

¿Cuál es la función lineal que pasa por los puntos (1,1) y (2,0)?

112

10 −=−−=m � →++−=→−−=− 11)1(11 xyxy 2+−= xy

A3. Grado dos. Función cuadrática f(x)=ax2+bx+c. Parábola.


Pasos: 1.Si a>0 la gráfica será

convexa. ∪ . Si a<0 la gráfica

será cóncava ∩ 2.Hallamos el vértice

−−=a

bf

a

bV

2,

2

3.Puntos de corte con el eje OX. ax

2+bx+c=0

(si no tiene puntos de corte se

le dan dos valores)

Ejemplo: 862 +−= xxy

a=1>0 la gráfica será convexa.

∪ .

)1,3(

183·63)3(

31·2

6

22

−=

−=+−=

=+=−

V

f

a

b

)0,2(2

)0,4(4

0862

→=→=

=+−

x

x

xx


UNIDAD Nº 11: ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL 1. ¿QUÉ ES LA ESTADÍSTICA?

Estadística: Ciencia que trata sobre los métodos científicos para: � Recoger, organizar, resumir y analizar datos ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA � Sacar conclusiones relevantes y válidas � Tomar decisiones razonables a partir de estos análisis. INFERENCIA ESTADÍSTICA

Estadística descripitiva: Se encarga de: • Ordenación, clasificación y descripción de los datos. TABLAS DE FRECUENCIAS • Representación de datos. GRÁFICAS • Resumir información. MEDIDAS ESTADÍSTICAS • Relación entre diferentes variables. REGRESIÓN

2. DEFINICIONES Y NOTACIONES Población: conjunto de elementos objeto a estudio Individuo: cada uno de los elementos de la población Muestra: subconjunto de la población, sobre la cual realizaremos el estudio. Variable Estadística: rasgo distintivo de la población que estamos observando y que vamos a estudiar. Tipos de Variables: • Variables Cualitativas: Cualidades no contables. (COLOR, SEXO, ASIGNATURA PREFERIDA, …) • Variables Cuantitativas: Cualidades contables.

� Discretas ( Nº HERMANOS, NOTA EN MATEMÁTICAS, ….) � Continuas (PESO, ALTURA,, ……)

X : Variable objetivo de estudio n : tamaño de la muestra o la población (nº de individuos que se estudian) xi :Valores que toma la variable. Frecuencia Absoluta (ni):nº de veces que aparece xi Frecuencia Relativa (fi): fi= ni /n

Frec. Abs. Acumulada (Ni):nº de observaciones menores o iguales que xi Frec. Rel. Acumulada (Fi): Fi= Ni /n

3. TABLAS DE FRECUENCIAS. Variables discretas

FRECUENCIA FRECUENCIA Acumuladas Valores de la variable Absoluta Relativa Absoluta Relativa

xi ni fi=ni /n Ni Fi=Ni/n

x1 n1 f1=n1 /n N1=n1 F1=N1/n

x2 n2 f2=n2 /n N2=n1+n2 F2=N2/n

x3 n3 f3=n3 /n N3=n1+n2+n3 F3 =N3/n

… … … … …

xk nk fk=nk /n Nk =n Fk=1

TOTAL n 1 Ejemplo: Suponemos datos obtenidos en la pregunta nº de hermanos son: 0 1 3 2 0 1 0 1 1 2 2 3 1 2 1 1 1 1 0 0 4 2 3 1 2 1 2 1 1 0 X= Nº Hermanos, n=30, xi={0, 1, 2, 3, 4}

Hermanos Frecuencias Fre. Acum.

x i n i f i N i F i

0 6 0,2 6 0,2

1 13 0,43333 19 0,633

2 7 0,23333 26 0,867

3 3 0,1 29 0,967


0

50

100

150

200

Barcelona

Real Madrid

Sevilla

Valencia

4 1 0,03333 30 1

Total 30 1 Variables continuas

FRECUENCIA FRECUENCIA Acumuladas

Intervalos Marca de

clase Absoluta Relativa Absoluta Relativa [ai-1,ai) xi ni fi Ni Fi

[a0,a1) x1 n1 f1 N1 F1

[a1,a2) x2 n2 f2 N2 F2

[a2,a3) x3 n3 f3 N3 F3

… … … … … …

[ak-1,ak) xk nk fk Nk =n Fk

TOTAL n 1 Ejemplo: Supongamos que en una encuesta ya realizada en una clase se han obtenido los siguientes datos sobre el peso 52, 66, 54, 70, 46, 62, 59, 68, 50, 77, 54,52, 47, 74, 72, 80, 82, 60, 75, 55, 57, 63, 67, 58, 69, 67, 50, 52, 49, 53

FRECUENCIA FRECUENCIA Acumuladas Intervalos

Marca de clase Absoluta Relativa Absoluta Relativa

xi ni fi Ni Fi

[45,50] 47,5 5 0,167 5 0,167

(50,55] 52,5 7 0,233 12 0,400

(55,60] 57,5 4 0,133 16 0,533

(60,65] 62,5 2 0,067 18 0,600

(65,70] 67,5 6 0,200 24 0,800

(70,75] 72,5 3 0,100 27 0,900

(75,80] 77,5 2 0,067 29 0,967

(80,85] 82,5 1 0,033 30 1

TOTAL 30 1

4. REPRESENTACIONES GRÁFICAS. ¿Para qué y Porqué? Organizar los datos Comparar distribuciones Observar patrones Observar relaciones Observar agrupamientos Visualizar rápidamente la distribución de los datos Visualizar, obtener y comparar medidas estadísticas Todos se basan en la proporcionalidad de las áreas.

A. DIAGRAMA DE SECTORES. DIAGRAMA DE RECTÁNGULOS (V.A. Cualitativas)

Encuesta realizada a los alumnos del IES Ciudad de Arjona sobre el resultado del campeón de liga en España

Campeón Frecuencia % Ángulo

Barcelona 132 33% 120

Real Madrid 165 42% 150

Sevilla 77 19% 70

Valencia 22 6% 20


Diagrama de sectores. Diagrama de rectángulos.

B. DIAGRAMA DE BARRAS. POLÍGONO DE FRECUENCIAS. (V.A.

Cuantitativas Discretas) Diagrama de barras: Consiste en representar los valores de una variable en función de sus frecuencias absolutas o relativas, por tanto dentro de un eje de coordenadas colocaremos los valores de la variable en el eje de abcisas (x) y la frecuencia absoluta o relativa en el eje de ordenadas (y). La representación consiste en levantar alturas para cada valor de la variable iguales a su frecuencia.

Poligono de frecuencias: Se obtiene a partir del diagrama de barras uniendo mediante una linea poligonal las diversas alturas de las barras obtenidas.

C. HISTOGRAMA. POLÍGONO DE FRECUENCIAS. (V.A. Cuantitativas Continuas)

Histograma de frecuencias: Esta representación consiste en una serie de rectángulos yuxtapuestos en el que las áreas de cada uno de ellos son proporcionales a la frecuencia absoluta o relativa de las modalidades a que representa. Las bases de los rectángulos serán las amplitudes de los intervalos y las alturas serán las frecuencias.

Polígono de frecuencias. Se obtiene a partir del histograma de frecuencias uniendo mediante una poligonal la alturas de cada una de las marcas de clase de los intervalos considerados. 5. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS.

Nos van a servir para resumir en números aspectos relevantes de la distribución, que puedan dar una idea de la misma o permitir compararlas con otras.

396 100%


A. MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Tienen como misión representar con un número a la serie estadística bajo el punto de vista de su posición.

MEDIA ARITMÉTICA: n

nxx ii∑= ·

En la tabla de frecuencias se añade una columna nueva

(xi ·ni).

MODA: Mo Es el valor de la variable de mayor frecuencia. La distribución puede tener varias modas Para el caso continuo se habla del intervalo modal (el de mayor frecuencia ni). MEDIANA: Me Valor que divide a los datos, una vez ordenados de forma creciente, en dos grupos de igual cantidad. Cálculo: Hallamos n/2 y buscamos en la tabla de frecuencias acumulados el valor que los supere. El valor correspondiente a la xi será la Mediana. (Si el valor es igual se halla el valor intermedio entre ese y el siguiente).

B. MEDIDAS DE DISPERSIÓN. Sirven para medir el grado de alejamiento de los datos respecto de una medida central. RANGO O RECORRIDO: Es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos. VARIANZA: Se define como la media de las desviaciones cuadráticas respecto de la media.

( ) 222

2 ··x

n

nx

n

nxx iiii −=−= ∑∑σ

Para calcularla se añade a la tabla de frecuencias la columna xi2·ni

DESVIACIÓN TÍPICA: Es la raíz cuadrada de la varianza. 2σσ =

Ejemplo: La distribución de las notas obtenidas por 60 alumnos en un examen, agrupados en intervalos, es: Notas xi ni Ni xi · ni xi

2·ni

[0,1) 0´5 1 1 0´5 0´5 [1,2) 1´5 2 3 3 4´5 [2,3) 2´5 5 8 7´5 18´75 [3,4) 3´5 7 15 24´5 85´75 [4,5) 4´5 9 24 40´5 182´25 [5,6) 5´5 15 39 82´5 453´75 [6,7) 6´5 11 50 71´5 464´75 [7,8) 7´5 6 56 45 337´5 [8,9) 8´5 3 59 25´5 216´75 [9,10) 9´5 1 60 9´5 90´25 60 315 1867

255́60

315 ==x

Mo=[5,6) Me=[5,6) (60/2=30 buscamos en Ni el mayor es 39 corresponde a ese intervalo) Rango=10-0=10

553́)255́(60

1867 22 =−=σ

891́553́ ==σ

temario de 3º eso - junta de andalucía · los números que se pueden descomponer en factores son...

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