MATEMÁTICAS 4º ESO – EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS – JJ Fernández 1

TEMA 6. ANALÍTICA DE LA RECTA

1. Dadas las rectas r:

−=+=

ty

tx

34

52 y s:

−−=+−=

ty

tx

68

91 , indicar tres vectores directores y tres puntos de

cada una de ellas.

2. Dada la recta 2x – 3y + 8 = 0, encontrar un punto y un vector director de ella.

3. Obtener la ecuación vectorial, paramétricas, continua, general y explícita de la recta que pasa por A(-3,-2) y tiene como vector director jiv

���

4+= . ¿Pertenecen B(2,6) y C(-1,5) a la recta?

4. Obtener la ecuación vectorial, paramétricas, continua, general y explícita de la recta que pasa por A(2,7) y tiene como vector director jiv

���

43 −= . ¿Pertenecen B(-1,11) y C(3,5) a la recta?

5. Escribir la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por P(-3,2) y tiene por vector director jiv��

�

2+−=

6. A partir de la ecuación punto-pendiente de la recta obtener las ecuaciones general y explícita de la recta que pasa por A(8,9) y tiene por vector director jiv

���

43 +=

7. Obtener las ecuaciones general y explícita de la recta que pasa por P(-3,1) y tiene una inclinación de 60º.

8. Hallar las ecuaciones general y explícita de las rectas que pasan por A y tienen por vector director v

�

, siendo:

a) A(-6,4) jiv��

�

23 += . b) A(-2,-1) jiv��

�

6+−= .

c) A(4,3) iv�

�

5= . d) A(7,-1) jv�

�

2= .

9. Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto A(-1,5) y que tiene por vector director

el vector PQ , siendo P(2,1) y Q(4,-2).

10. Obtener la ecuación general de la recta que pasa por A(5,0) y B(-3,4).

11. Obtener la ecuación explícita de la recta que pasa por A(3,-4) y B(8,9).

12. Obtener todas las ecuaciones estudiadas de la recta que pasa por A(3,2) y B(1,-4).

13. Obtener todas las ecuaciones estudiadas de la recta que pasa por A(4,-3) y B(1,2).

14. Hallar la ecuación canónica de la recta que pasa por A(6,0) y B(0,4). 15. Obtener la ecuación explícita de la recta que pasa por A(-5,0) y B(0,6) a partir de la ecuación

canónica.

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16. Hallar las ecuaciones general y explícita de las rectas representadas:

17. Obtener todas las ecuaciones estudiadas de la recta que pasa por A(3,5) y tiene por vector director jiv��

�

42 −=

18. Obtener todas las ecuaciones estudiadas de la recta que pasa por A(-3,2) y tiene por vector director jiv��

�

32 +=

19. Obtener todas las ecuaciones estudiadas de la recta que pasa por el origen y tiene por vector director jiv��

�

5+−=

20. Determinar el valor de k para que la recta “r” pase por el punto P, en los siguientes casos:

a) r: 2x + ky – 7 = 0 , P(3,1). b) r: 3x – ky + 5 = 0 , P(4,3)

c) r:

−=+=

ty

ktx

1

2 , P(1,2) d) r:

+=+=

kty

tx

4

21 , P(5,-2)

e) r:

+=+=

kty

tx

2

23 , P(1,-1) f) r:

k

yx 3

2

1 −=+, P(1,-2)

21. Determinar el valor de k para que el punto A(-2,k) pertenezca a la recta 2x – 3y + 8 = 0. 22. Dadas las siguientes rectas, escribir todas sus ecuaciones estudiadas, identificándolas:

a) 052 =−− yx b) 52 +−= xy c)

−=+−=

ty

tx

21

32

d) 3

4

2

3 −=−+ yx

e) 152

=+−

yx f) )2(

4

31 +−=− xy

g) 0324 =+− yx h)

+−=−=

ty

tx

52

3 i) 023 =−+ yx

j) 3

1

4

2 −=− yx k)

+−=−=

ty

tx

2

32 l) 042 =++ yx

m) 123

=+−

yx n) 14 −= xy ñ) )1(

5

22 −=− xy

o)

=−=ty

tx 21 p)

0

3

2

1 +=−− yx

q)

==

ty

tx

2

5

23. Representar las rectas del ejercicio anterior, utilizando las ecuaciones dadas para cada una de ellas. 24. Obtener la ecuación explícita de la recta que pasa por A(-2,3) y forma 45º con el semieje positivo de

abcisas. Representarla.

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25. Calcular el valor de B para que la recta 3x + By - 7 = 0 forme un ángulo de 60º con el semieje

positivo de abcisas.

26. Hallar el ángulo que forman las rectas:

−=+=

ty

txr

1

23: y 025: =−+ yxs .

27. Comprobar analíticamente si los siguientes puntos están alineados:

a) A(-2,5) B(3,1) C(8,-3) b) A(11,-2) B(2,2) C(5,4) c) A(3,5) B(-2,3) C(-3,1) d) A(1,5) B(3,7) C(5,9)

28. Dados los puntos A(3,1), B(1,-3) y C(5,k), determinar el valor de k para que estén alineados.

29. Dados los puntos A(2,-1), B(8,2) y C(k,1), determinar el valor de k para que estén alineados.

30. Escribir y representar las ecuaciones paralelas a los ejes de coordenadas que pasan por los puntos: A(-2,5), B(1,4), C(3,-4), D(-3,0), E(2,0), F(-2,-3), O(0,0).

31. Representar las rectas siguientes:

a) x = 2 b) y = -3 c) x = -4 d) y = 5

3 e) x + 1 = 0 f) y -2 = 0

g) y = x h) x + y = 0

32. Escribir las ecuaciones de las rectas representadas:

33. Dada la recta

−=+=

ty

txr

2

23: , hallar un punto de la

misma que equidiste de los ejes de coordenadas. 34. Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas:

a) 0532: =+− yxr 0132: =−+ yxs

b)

=+=

ty

txr

5

22: 0225: =+− yxs

c) 043: =+− yxr 4

2

1

3:

+=−− yx

s

d) 3

2

4

3:

−=− yxr 0286: =−− yxs

35. ¿Son paralelas las rectas r: x - 3y + 5 = 0 y s: -2x + 6y -1 = 0? 36. Obtener la ecuación general de la recta paralela a r: x – 5y + 3 = 0 que pasa por el punto P(-1,6)

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37. Hallar la ecuación explícita de la recta paralela a r: x + 4y – 3 = 0, que pasa por P(5,-2).

38. Obtener la ecuación general de la recta paralela a r: 2x – 3y + 8 = 0 que pasa por el punto P(1,-2)

39. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(-2,5) y es:

a) Paralela al eje de abcisas. b) Paralela al eje de ordenadas c) Paralela a la bisectriz del primer cuadrante d) Que pase por el origen.

40. Obtener la ecuación explícita de la recta que pasa por

−3

1,2A y es paralela a la recta que pasa por

P(2,1) y Q(3,4).

41. Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es paralela a la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(3-,4).

42. Hallar el punto de intersección de las siguientes rectas:

a) r: 8x - 2y - 20 = 0 s: 3x + 2y - 13 = 0 b) r: 3x + 2y -19 = 0 s: 5x + y – 20 = 0 c) r: 5x + 6y – 7 = 0 s: 5x + 4y – 5 = 0

43. Hallar el valor de “k” para que r: 2x – ky + 7 = 0 y s: 5x + 25y + 13 = 0 sean paralelas.

44. Hallar el valor de “p” para que las rectas r: (p-2)x – y + 1 = 0 y s: px + (p-6)y – 5 = 0 sean paralelas.

45. Hallar el valor de “B” para que

=−=

ty

txr

2

53: y 0: =+ Byxs tengan la misma dirección.

46. ¿Hay algún valor de “a” para el cual las rectas r: (a+1)x – y + 1 = 0 y s: y = ax + 5 son paralelas?

47. Dadas las rectas r: Ax + 2y + 4 = 0 y s: 10x + By – 2 = 0, calcular A y B para que dichas rectas se

corten en el punto I(2,3). 48. Dadas las rectas r: 2x - 3y + C = 0 y s: 5x + By + 1 = 0, calcular B y C para que dichas rectas se

corten en el punto I(1,-3).

49. Las rectas r: x + 2y - 5 = 0 y s: 3x - y + C = 0, se cortan en un punto cuya abcisa es 1. Hallar las coordenadas del punto y el valor de C.

50. Dadas las rectas r: Ax + 3y + 5 = 0 y s: 2x + 6y + C = 0, calcular A y C para que “r” y “s” sean

coincidentes.

51. La recta r: 3x + By – 7 = 0 pasa por A(3,2) y es paralela a la recta s: Ax + 2y = 13. Calcular A y B.

52. Dada la recta r: 2x – 3y - 4 = 0 , indicar dos vectores directores de ella. Obtener el punto de intersección entre la recta “r” y la recta paralela al eje de abcisas que pasa por P(-1,2).

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53. Obtener la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas: r: 3x + 4y – 10 = 0, y s: 4x – 3y – 5 = 0, y por el punto P(-3,2).

54. Hallar la ecuación de la recta paralela a “r” que pasa por el punto de intersección de las rectas “s” y

“t”, siendo r: 5x - 2y + 10 = 0, s: 2x + 3y – 23 = 0,

+=+=

ty

txt

35

24: . Obtener 3 puntos de la recta “t” a

partir de la ecuación dada.

55. La recta “r” es paralela a la recta s: 4x – y + 3 = 0 y pasa por el punto P(1,-3). Calcular el punto de corte de “r” con la recta t: x – 2y + 3 = 0.

56. Hallar la ecuación explícita de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto de

intersección de las rectas: r: x – y = 3 , yx

s =−3

1: .

57. Hallar la ecuación de la recta paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes que pasa por el

punto P(-3,2).

58. Hallar las coordenadas del punto medio de los segmentos de extremos: a) A(-3,2) y B(5,6) b) P(4,-3) y Q(-1,8)

59. Hallar las coordenadas del extremo desconocido de los segmentos AB siguientes, siendo M su punto

medio. Calcular la longitud de los segmentos AB.

a) A(2,9), M(3,5) b) A(1,-3), M(-2,5) c) M(2

1,1), B(3,7) d) A(-7, -

2

11), M(-

2

5,2)

60. El punto P equidista de los puntos A(1,-1) y B(2,4) y pertenece a la recta x + 2y -3 = 0. Hallar sus

coordenadas. 61. Sean los puntos A(-1,4) y B, un punto desconocido. Sean las rectas r: 2x – y + 4 = 0 y “s”, recta

paralela a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes que pasa por C(2,5). Calcular las coordenadas

del punto B sabiendo que el punto de intersección de “r” y “s” es el punto medio del segmento .AB

62. Conocidos el punto A(-3,2) y las rectas r: 3x + 2y – 7 = 0 y s: x + 2y + 3 = 0, hallar la ecuación general de la recta paralela a “r” que pasa por el punto medio del segmento de extremos A y el punto I, punto de corte de las rectas “r” y “s”. Calcular la distancia de A a I.

63. Hallar los vértices del triángulo cuyos lados están sobre las rectas:

r: x – y – 1 = 0, s: x + y + 2 = 0, t: y = 3x + 2. Calcular su perímetro.

64. Obtener las ecuaciones de las rectas que contienen los lados del triángulo de la figura:

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65. Hallar la ecuación explícita de la mediana que pasa por el vértice B en un triángulo ABC, siendo A(3,1), B(0,2) y C(1,-2). Obtener la ecuación de la recta que contiene el lado AC. ¿Cuánto mide este lado? (Mediana: Recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto).

66. Dados los vértices A(3,1), B(0,2), C(1,-2) de un triángulo ABC, obtener las ecuaciones de sus lados y

de sus medianas. Calcular su perímetro.

67. Dados los vértices A(0,6), B(-4,2), C(2,10) de un triángulo ABC, obtener las ecuaciones de sus lados y de sus medianas. Calcular su perímetro.

68. Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto P(3,1) y forma un triángulo de área 6

unidades cuadradas con los semiejes positivos de coordenadas.

69. Dada la recta 5x – 3y + 6 = 0, hallar la longitud del segmento cuyos extremos quedan determinados por su corte con los ejes de coordenadas. Calcular el área del triángulo generado.

70. Calcular el área del triángulo que la recta r: 2x + y – 4 = 0 forma con los ejes coordenados. 71. Hallar las ecuaciones de las diagonales del cuadrilátero de vértices A(3,1), B(1,7), C(-1,5) y D(-1,-

3). Calcular su perímetro.

72. Hallar las ecuaciones de las diagonales y su punto de intersección del cuadrilátero que tiene los lados sobre las rectas: r: 3x + 4y – 8 = 0, s: 2x + y + 5 = 0, t: x – 2y + 12 = 0, l: 2x + y + 2 = 0. Obtener su perímetro.

73. Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero son: r: y = 2x + 2, s: x – 3y + 6 = 0, t: y = 4x – 9, l: x

+ 3y + 1 = 0. Obtener las ecuaciones de sus diagonales y su punto de intersección.

74. En el paralelogramo ABCD se conocen los vértices A(1,2), B(3,4) y D(5,3). Obtener las coordenadas del vértice D.

75. En el paralelogramo ABCD se conocen los vértices A(1,-4), B(4,-1) y D(6,-5). Obtener:

a) Las coordenadas del vértice C, opuesto de A. b) Las ecuaciones de los lados del paralelogramo. c) Las ecuaciones de las diagonales del paralelogramo. d) El punto de intersección de las diagonales.

76. De un paralelogramo ABCD se conoce el vértice A(-1,2), el vértice B está sobre el eje OY, el lado

BC tiene por ecuación x - 3y + 12 = 0, y el vértice D es (2,d). Obtener: a) Coordenadas del vértice B. b) Ecuación del lado AD c) Valor de “d” d) Coordenadas del vértice C e) Longitud de sus lados.