ejercicios complementarios 4º matemáticas - tema 5 - vectores

8/8/2019 Ejercicios complementarios 4º Matemáticas - Tema 5 - Vectores

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MATEMÁTICAS 4º ESO – EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS – JJ Fernández 1

TEMA 5. VECTORES EN EL PLANO

1. Representar en el plano el vector AB , siendo A(3,1) y B(5,4).

2. Indicar los vectores equipolentes que hay en la figura. Escribir las coordenadas de los vectores libresque determinan.

3. Las coordenadas de A, B, C y D son: A(3,0), B(5,-1), C(7,4) D(0,-4). Representar sus vectores de

posición, indicando sus coordenadas. Representar el vector BC y calcular sus coordenadas.

4. Dados los vectores a

y b

de la figura, calcular gráficamente: a) ba

+ , b) ba

− , c) a

2

5. Dado el vector a

de la figura, calcular gráficamente: a) a

2 , b) a

3− .


y b

de la figura, calcular gráficamente: a) a

2 , b) b

3 , c) ba

32 +


y b

de la figura, calcular gráficamente: a) ba

+ , b) ba

− , c) a

3 , d)

ba

3+ , e) ba

34 − , f) ab

23 − .


y b

de la figura, calcular gráficamente: a) 3 a

, b) ba

32 + , c) ba

− , d)

ab

32 −

9. Escribir los vectores wvu

,, en función de los vectores i

y j

:




10. Dados los vectores ,27 jia

+−= jib

410 −= , calcular analíticamente: a) ab

− , b) ba

37 + .

11. Dados los vectores: ,2 jiv

−= jiw

43 +−= , calcular gráficamente las siguientes operaciones: a)wv

+ , b) wv

2+ , c) v

2− , d) vw

− , e) wv

−3 . Comprobarlas analíticamente.

12. Dados los vectores: jiu

34 += , ,4 jiv

+−= iw

5= , jit

32 +−= , calcular gráficamente las

siguientes operaciones: a) vu

+ , b) ut

− , c) v

2 , d) t w

2+ , e) t u

32 − , f) t vu

++ .Comprobarlas analíticamente.


32 += , ,4 jv

= jiw

2+−= , jit

23 −= , calcular gráficamente las

siguientes operaciones: a) wu

+ , b) t v

+ , c) w

2− , d) t u

− , e) wt

2+ , f) wu

32 − ,g ) uv

22 − , h) wv

−− , i) t vu

−+ .Comprobarlas analíticamente.

14. Dados los vectores ,2 j yiv

−= ji xw

4+= , calcular x e y para que se verifique: jiwv

3523 +=+

15. Hallar el módulo y la inclinación del vector jiv

125 += .

16. Hallar las componentes de un vector cuyo módulo es 3, sabiendo que forma un ángulo de 30º con elsemieje positivo OX.

17. Dado un vector jia

3+= , calcular:a) Su módulo

b) Ángulo respecto a i

(inclinación)c) Vector unitario en la dirección y sentido de a

Dado otro vector b

, cuyo módulo es 32 ud, y forma un ángulo con i

de 150º, obtener:

d) Sus componentes respecto a i

y j

, escribiendo su descomposición

e) Ángulo entre los vectores a

y b

f) Expresar respecto a i

y j

el vector b

2−

g) Para el vector ba

− , expresarlo respecto a i

y j

, y calcular su módulo.

18. Dado un vector jia

+= 2 , calcular:a) Su módulob) Ángulo respecto a i

(inclinación)

Dado otro vector b

, cuyo módulo es 4 ud, y forma un ángulo con i

de 240º, obtener:c) Sus componentes respecto a i

y j

, escribiendo su descomposición

d) Ángulo entre los vectores a

y b

e) Expresar respecto a i

y j

el vector b

3− y calcular su módulo.

f) Para el vector ba

+ , expresarlo respecto a i

y j

, y calcular su módulo.




19. Un vector a

tiene módulo 2 ud y forma con i

un ángulo de6

π rad ; otro vector b

tiene módulo 3

ud e inclinación3

5π rad. Expresar como combinación de i

y j

: a) a

. b) b

. c) ba

+ .

d) ba

−

2 . e) Representar aproximadamente las operaciones de los apartados c) y d).20. Dado el vector j xi xa

+= , calcular el valor de x para que 3=a .

21. Calcular la inclinación de los vectores: a) jia

2+−= . b) jib

2−= . c) jic

2−−= .

22. Calcular la inclinación de los vectores: a) jia

32 −= . b) jib

53 −−= . c) jic

3+−= .


−= 6 , ,34 jiv

−= iw

2−= a) Representarlos.

b) Obtener su módulo e inclinación.c) Calcular gráficamente y comprobar analíticamente las siguientes operaciones:vu

− , uw

+2 , wv

− , wvu

++ , uv

23 − d) Obtener el módulo y la inclinación de los vectores resultantes del apartado anterior.

24. Calcular el ángulo que forman los vectores: jia

35 −= y jib

24 += .

25. Calcular el ángulo que forman los vectores: jia

5+−= y jib

32 += .

26. Hallar b para que los vectores jbiv

+= 3 y jiw

−= 2 , formen3

π rad.

27. Hallar el valor de x para que los vectores ( ) j xi xv

12 ++= y ( ) ji xw

412 +−= tengan el mismo

módulo y obtener el ángulo que forman v

y w .

28. Dados los puntos A(2,-1), B(2,0), C(-1,-2) y D(0,-5), calcular las componentes de los vectores AB ,

AC , DB y CD .

29. Dados los puntos A(4,1), B(2,0), C(5,-3) y D(3,-4), comprobar si AB y CD son equipolentes.

30. Dados los puntos A(3,2), B(5,-1) y C(2,7), calcular las coordenadas del punto D, sabiendo que los

vectores AB y CD son equipolentes.

31. Hallar las coordenadas del vector AB , siendo A(2,1) y B(5,3). Representar el vector y calcular sumódulo e inclinación.

32. Obtener el módulo y la inclinación del vector AB , siendo A(3,-1) y B(-5,2).

33. Sabiendo que ji AB

32 −= y A(-2,5), obtener las coordenadas de B. Calcular el módulo y lainclinación del vector.




34. Sabiendo que ji AB

+= 4 y A(3,-2), obtener las coordenadas de B. Calcular el módulo y lainclinación del vector.

35. Dados los puntos A(x,3) y B(2,6), calcular x sabiendo que el vector AB tiene una inclinación de

4

π

rad. Calcular su módulo.

36. Dados los puntos A(2,1), B(5,-1), C(7,0) y D(4,2), mediante cálculo vectorial verificar si elcuadrilátero ABCD es un paralelogramo.

37. Dado el paralelogramo ABCD con A(1,2), B(3,4), C(5,3), hallar las coordenadas del vértice D.

38. Dados los puntos A(3,1), B(-1,2) y C(0,4) halla el ángulo que forman los vectores AB y AC .

39. Determinar el valor de “y” para que A(0,y) y B(1,2) disten una unidad.

40. Dados los puntos A(x,-2) y B(2,2), calcular x para que la distancia entre los puntos sea de 5 ud y elpunto A pertenezca al tercer cuadrante.

41. Dados los puntos A(3,4) y B(-2,3), hallar las coordenadas del punto C tal que BA AC ·2−= .

42. Dados los puntos A(3,6), B(-2,0) y C(x,y), calcular x e y en los siguientes casos:

a) BA AC ·3= ,

b) AC AB = , sabiendo que el punto C está en el eje de abcisas.

43. El módulo del vector AB es 50 . Conociendo el punto B ( )33,22 y A ( )3,−a , calcular a.

44. Utilizando cálculo vectorial, hallar el valor de x para que los puntos A(0,-1), B(2,-3) y C(x,4) esténalineados.

45. Utilizando cálculo vectorial, hallar el valor de y para que los puntos A(2,-1), B(8,2) y C(6,y) esténalineados.

46. Utilizando cálculo vectorial, determinar si los puntos A(-1,4), B(6,-1) y C(3,2) están alineados.

47. Utilizando cálculo vectorial, determinar si los puntos A(2,2), B(1,-3) y C(4,5) están alineados.

48. Dado el punto A(1,3), hallar un punto B que diste de A 5 unidades y que AB forme con i

unángulo de 150º.

49. Dado el punto B(-2,3), hallar un punto A distante de B 2 unidades de forma que AB tenga unainclinación de 240º.

50. Obtener el vector unitario en la dirección y sentido del vector AB , siendo A(-2,1) y B(5,3).




51. Obtener el vector unitario en la dirección de jiv

86 −= , pero con sentido contrario.

52. Hallar el valor de y para que el vector j yia

+=

3

1sea unitario.

53. Hallar los valores de k y h para que los vectores jk ia

+= y jihb

2+= sean unitarios.

54. Dados dos puntos A y B cualquiera, obtener la expresión general de las coordenadas del punto mediodel segmento AB . Aplicar al caso particular de A(2,-3) y B(-4,9).

55. Hallar el extremo B del segmento AB sabiendo que A(-3,5) y M(2,-1) es el punto medio de AB .

56. Hallar las coordenadas de los puntos que dividen el segmento de extremos A(3,-1) y B(9,8) en trespartes iguales.

57. Dado el segmento de extremos A(3,4) y B(-8,5), hallar las coordenadas de dos puntos P y Q que lodividen en tres partes iguales.

58. Hallar las coordenadas de los puntos que dividen el segmento de extremos A(-2,1) y B(8,4) en cincopartes iguales.

59. Obtener las coordenadas de un punto P alineado con A(1,1) y B(5,7), más cercano a B y exterior al

segmento AB , que determina con cada uno de ellos un segmento, siendo su relación2

5.

60. Dados los puntos A(-1,1) y B(3,9), obtener las coordenadas de un punto P perteneciente alsegmento AB , más próximo a A que a B, y que determina con cada uno de ellos un segmento, cuya

relación es5

3.

61. Obtener las coordenadas de un punto P alineado con A(-2,1) y B(3,4), más cercano a A y exterior al

segmento AB , que determina con cada uno de ellos un segmento, siendo la relación de estos

segmentos de7

2.

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