El anlisis de varianza con un factor nos permite estudiar la relaciones entre variables, en que el factor (o variable independiente) tiene diferentes niveles, es decir se agrupa en diferentes categoras

EJERCICIOS

ANALISIS DE VARIANZA CON UN FACTOREl anlisis de varianza con un factor nos permite estudiar la relacin entre variables, en que el factor (o variable independiente) tiene diferentes niveles, es decir se agrupa en diferentes categoras. As podemos saber si es que existe algn efecto del factor sobre la variable respuesta.

Revisaremos entonces el siguiente ejemplo:

1. Ciertos estudiosos afirman que las plantas pueden reducir el nivel de estrs de los seres humanos. Para verificar este fenmeno, dos semanas antes de los exmenes finales, 30 estudiantes participaron en un experimento cuyo objetivo era determinar el efecto que tiene la presencia de una planta viva, una foto de una planta y la ausencia de plantas sobre la capacidad de relajacin de un estudiante. Cada estudiante particip en una sesin, durante la cual fue medida la temperatura de los dedos de la mano. Ya que una temperatura creciente de los dedos indica un aumento en el nivel de relajacin, la temperatura fue la variable seleccionada para medir el estrs.

En este ejemplo podemos ver que el factor seria la presencia de plantas, siendo la variable respuesta el nivel de estrs, medido en funcin de la temperatura de los dedos de la mano.Los datos obtenidos para el estudio son los siguientes:

Siendo Yij la temperatura del sujeto ubicado en la posicin j del i nivel del factor, es decir, en este caso, i se refiere a la presencia de plantas siendo 1 con planta, 2 con foto y 3 sin plantas; y j se refiere a la posicin dentro de i. Es asi que i va desde 1 hasta k, siendo k el numero de niveles del factor, en este caso 3, y j va desde 1 hasta ni, siendo ni el total de observaciones por nivel respectivamente, en este 10 para cada uno de los niveles del factor.

Por lo tanto para comprobar si existe algn efecto del factor sobre la variable respuesta realizaremos un test de hiptesis donde Ho dir que no existen diferencias significativas en los efectos de los diferentes niveles del factor, y Ha dir que entre algunos de los niveles del factor existir una diferencia significativa. Por lo tanto, necesitamos refutar Ho si es que queremos demostrar que existe alguna influencia de la presencia de plantas sobre el estrs. Para esto realizamos el anlisis de varianza, donde el calculo de las diferentes medias cuadrticas apunta a conseguir el valor F, que nos indica el efecto real del factor, por lo que mientras mas grande mayor evidencia de un efecto real, pero como saber cuan grande tiene que ser, para eso hay que calcular el valor critico de F con k-1 y n-k grados de libertad y un cierto nivel de significacin (para este caso ocuparemos un nivel de significacin de 95%), estos valores ya estn calculados estando disponibles en la tabla F, ubicndose k-1 en las columnas y n-k en las filas. Es as que si el valor F obtenido como cuociente de las medias cuadrticas es mayor al valor critico de F, obtenido en la tabla, contamos con evidencia de que existe un efecto real.Los resultados del anlisis de varianza suelen presentarse en el formato de la siguiente tabla, llamada tabla de ANOVA

En el ejemplo del estudio acerca del efecto de la presencia de plantas sobre el estrs el procedimiento seria el siguiente:

Es as que tenemos que:

= 272.176,99 - 272.176,88 = 0,11

= 272.253,45 - 272.176,99 = 76,46

= 272.253,45 - 272.176,88 = 76,57

= 0,11 / 2 = 0,05

= 76,46 / 27 = 2.83

= 0.05 / 2.83 = 0.02

Por lo que los resultados ordenados en la tabla de ANOVA son:

F 0,95(2,27) = 3,35Es as que como el valor F obtenido es menor al F crtico no se rechaza la hiptesis nula, por que los datos no permiten asegurar que existe algn efecto significativo de las plantas sobre el nivel de estrs.

Coeficiente de Determinacin, Comparaciones Mltiples y Efectos del Factor

En el caso en que existiera evidencia de que haya un efecto significativo del factor sobre la variable respuesta, aun no sabemos como es este, ni entre que niveles del factor, por lo que se hace necesario calcular ciertos indicadores que nos permitan concluir acerca de cmo es este efecto.

Revisaremos entonces esto con el siguiente ejemplo:

2. Una lista de palabras sin sentido se presenta en la pantalla de un computador con cuatro procedimientos diferentes, asignados al azar a un grupo de sujetos. Posteriormente se les realiza una prueba de recuerdo de dichas palabras, obtenindose los siguientes resultados:

Y al realizar el anlisis de varianza se obtuvieron los siguientes resultados:

Con este ejemplo, ya que el valor F obtenido es mayor al valor critico, podemos afirmar que hay evidencia suficiente de un efecto significativo del procedimiento sobre el recuerdo, por lo que se rechaza Ho.

Con el Coeficiente de Determinacin podemos saber en que porcentaje es explicada la variacin de la variable respuesta, por el factor.La formula es:

= 82,22 / 168,15 = 0,49

Por lo tanto, ya que el resultado es 0.49, podemos interpretar que la varianza del recuerdo es explicada en un 48.9% por la utilizacin de diferentes procedimientos.Para ver si las diferencias en cuanto al efecto entre los diferentes niveles del factor, en este caso entre los diferentes procedimientos, realizamos el procedimiento de Comparaciones Mltiples, comparando todos los procedimientos entre si, utilizando la siguiente formula:

Donde S corresponde a la raz de MCE.

Es importante destacar que de la resta de los promedios de Yi se tiene que expresar en valores absolutos, ya que lo que importa es la distancia a la que se encuentran estos, por lo que el resultado se tiene que expresar en valores positivos, independiente de si es negativo.

El resultado obtenido con esta formula se compara con el valor crtico obtenido de la siguiente forma:

Por lo tanto en este caso, la comparacin entre Proc 1 y Proc 2 seria:

= 5,375 - 8,4 / 1,98 * (1/8 + 1/5) = 4,71 = ((4-1)*3,05) = 3,03

Por lo tanto como el valor t obtenido es mayor al critico, podemos afirmar que existe una diferencia significativa entre los efectos de los niveles 1 y 2 del factor, es decir, entre Proc 1 y Proc 2. As sucesivamente se comparan entre si todos los niveles del factor encontrando los siguientes resultados:t(1,2) = 4,71

t(1,3) = 1,45t(1,4) = 4,12t(2,3) = 3,33

t(2,4) = 7,45

t(3,4) = 5,14

Por lo que podemos interpretar que las diferencias significativas se dan entre los procedimientos 1-2, 1-4, 2-3, 2,4 y 3-4, entre los procedimiento 1-3 no hay diferencias significativas, y los que presentan mayor diferencia entre si son 2-4.

Ahora, para saber en que medida estn influyendo los procedimientos sobre el recuerdo, se calculan los Efectos del Factor. Para esto calculamos la diferencia entre el promedio del total de los casos medidos y el nivel del factor del que queremos saber el efecto, como muestra la siguiente formula:

Por lo que el efecto del primer nivel del factor, en este caso Proc 1, seria:

= 5,62 5,38 = -0,24

Mientras mas cercano a 0, menor es el efecto del factor, por lo que en este caso podemos ver que el primer procedimiento utilizado, tiene un efecto mnimo sobre el factor. El resto de los resultados fueron los siguientes:

1 = -0,24

2 = 2,78

3 = 0,53

4 = -2,62

De estos resultados se puede interpretar que el procedimiento 2 es el que tiene el mayor efecto positivo sobre la variable respuesta, y el procedimiento 4 afecta negativamente al recuerdo, estando los otros dos muy cercanos a cero por lo que no tienen mayor efecto.3. Propuesto. Se desea saber si el grado de ansiedad es el mismo, por trmino medio, en tres enfermedades distintas. Para ello se tomaron tres muestras de 10, 12 y 8 personas, respectivamente, con esas enfermedades, pasndole a cada una de ellas un test que mide el grado de ansiedad del individuo. Los resultados se dan en la tabla adjunta:

EnfermedadGrado de ansiedad

A4 6 5 5 6 3 3 2 6 5

B2 1 5 5 4 6 4 4 4 3 3 2

C7 5 8 7 9 3 5 5

a) Diga cul es el anlisis apropiado a los datos y porqu? b) Cules son las variables en estudio? Diga que nombres reciben segn el anlisis apropiado mencionado en (a) e indique si alguna de ellas tiene niveles y cuales son. c) Calcule la tabla de medias. Interprete descriptivamente y diga si observa alguna diferencia entre ellas. d) Realice el anlisis correspondiente, seale las hiptesis y concluya. Use nivel de significacin 5 %. e) Cul es el coeficiente de determinacin? Interprete. f) Cul es el modelo apropiado? Escrbalo segn la notacin conocida. g) Si rechazo la hiptesis nula en , analice entre qu grupos se producen las diferencias. Interprete. h) Estime el efecto del factor. Interprete. 4. Propuesto. Tres grupos de conejillos de indias se inyectaron, cada uno, con respectivamente 0.5 miligramos, 1.0 miligramo y 1.5 miligramos de un nuevo tranquilizante. A continuacin se muestra el nmero de minutos que tardaron en quedarse dormidos. 05. mg21 23 19 24 25 23

1.0 mg19 21 20 18 22 20

1.5 mg15 10 13 14 11 15

Pruebe en el nivel 0.05 de significancia si se puede rechazar la hiptesis nula de que las diferencias en dosificacin no tienen efecto.

a) Seale cuales son las hiptesis a contrastar.

Realice la hiptesis previa de igualdad de varianzas, detallando las

hiptesis.

b) Realice la tabla Anova.

c) Si rechaza la hiptesis nula en (c), analice cul o cuales pares de

diferencias de medias son estadsticamente significativas.

PAGE 2

_1237543873.unknown

_1237593952.unknown