ejercicios 2 matematica 1
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CLCULOPrimer curso de Ingeniero de TelecomunicacinPrimer Examen Parcial. 21 de Enero de 2008
Ejercicio 1. Sea P =a, a2
con a > 0 un punto cualquiera de la grfica de
la parbola y = x2 situado en el semiplano x > 0.(i) Demostrar que la interseccin de la parbola con su recta normal en P
es el punto
Q =
a 1
2a,a+
1
2a
2!.
(ii) Encontrar el valor de a que minimiza la distancia entre P y Q, razo-nando la respuesta.
Solucin: (i) La ecuacin de la recta normal a la parbola en P =a, a2
,
donde a > 0, es ya2 = 12a (x a). Dado que el punto Q = (x, y) pertenecea la parbola y = x2 y a la recta normal, su coordenada x verifica la ecuacin
x2 a2 = 12a(x a) x+ a = 1
2a,
porque x a 6= 0. Entonces, las coordenadas de Q son
x = a 12a, y =
a+
1
2a
2.
(ii) El cuadrado de la distancia entre P y Q es
F (a) =2a 1
2a
2+
"a+
1
2a
2 a2
#2=
4a2 + 12a
2+
1 +
1
4a2
2=
4a2 + 12a
2+
4a2 + 14a2
2=
4a2 + 12a
21 +
1
4a2
=
4a2 + 1
316a4
,
donde a > 0. Calculamos los puntos crticos en (0,) mediante
F 0 (a) =34a2 + 1
28a 16a4 64a3
4a2 + 1
3256a8
=64a3
4a2 + 1
2 6a2 4a2 1
256a8
=
4a2 + 1
2 2a2 1
4a5
= 0.
Como4a2 + 1
2 > 0, el nico punto crtico en (0,) es la solucin dela ecuacin 2a2 1 = 0 tal que a > 0, es decir a = 1
2 . Para probar
que F alcanza su valor mnimo en a = 12 , usaremos el criterio de la
primera derivada. Si 0 < a < 12 entonces 2a2 1 < 0 y a5 > 0 porque
a > 0. Por tanto F 0 (a) < 0 y F es decreciente en el intervalo0, 1
2. Si
a > 12 entonces 2a2 1 > 0 y a5 > 0. Por ello F 0 (a) > 0 y F es creciente
en el intervalo12 ,
. En consecuencia, el mnimo absoluto de F en el
intervalo (0,) se alcanza en a = 12 .
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Ejercicio 2. Sea D la regin acotada por la parbola y = x x2 y el eje x.(i) Encontrar la pendiente de la recta y = mx que divide la regin D en
dos regiones de igual rea.(ii) Calcular el volumen del slido generado por la regin acotada por la
parbola y la recta obtenida en (i), al girar alrededor del eje y.
Solucin: (i) La parbola corta al eje x en los puntos (0, 0) y (1, 0), siendola regin acotada
D =(x, y) R2 : 0 x 1, 0 y x x2
.
En primer lugar, calculamos el rea de esta regin
a (D) =Z 10
x x2
dx =
x2
2 x
3
3
10
=1
2 13=1
6,
por lo que el rea de cada una de las dos regiones determinadas por la rectaes 1 /12 . Para obtener el rea de la regin acotada por la parbola y larecta y = mx, determinamos los puntos interseccin de ambas resolviendo laecuacin
x x2 = mx x2 + (m 1)x = 0 x (x+m 1) = 0.
Sus soluciones son x = 0 y x = 1m, por lo que los puntos interseccin son(0, 0) y
1m,mm2
. Entonces,
1
12=
Z 1m0
(x x2 mx) dx =(1m)x
2
2 x
3
3
1m0
=(1m)3
2 (1m)
3
3=(1m)3
6,
lo que implica que (1m)3 = 1/2 , siendo m = 1 3p1 /2 .
(ii) Para calcular el volumen del slido generado por la regin acotada porla parbola y la recta y = mx, usaremos el mtodo de las capas. Dado que eleje de giro es y, la variable para este mtodo es x. El radio de cada cilindroes r = x y la altura es h = x x2 mx. El volumen de esta regin es
V (m) = 2Z 1m0
x(x x2 mx) dx = 2Z 1m0
(1m)x2 x3
dx
=2(1m)x3
3 x
4
4
1m0
= 2(1m)4
12=
(1m)4
6.
Dado que la pendiente de la recta obtenida en (i) es m = 1 3p1 /2 ,
tenemos que (1m)4 = 1/2 3p1 /2 y el volumen pedido es
V =3p1 /2
12.
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Ejercicio 3. (i) Usar la serie de potencias
Xn=0
xn
para calcular la serie de Maclaurin de la funcin
f (x) =x
(1 x)2,
as como su dominio de convergencia.(ii) Dada la serie numrica
Xn=1
n9
10
n,
estudiar su carcter y calcular su suma.
Solucin: (i) La suma de la serie de potencias
Xn=0
xn =1
1 x, x (1, 1) .
Derivando ambos trminos, obtenemos
Xn=1
nxn1 =1
(1 x)2, x (1, 1) .
Entonces, la serie de Maclaurin de la funcin
f (x) =x
(1 x)2=
Xn=1
nxn, x (1, 1) .
Observemos que el radio de convergencia de la serie de potenciasP
n=1 nxn
es
R = limn
n
n+ 1
= 1.
En los extremos x = 1 y x = 1, las series numricasP
n=1 n yPn=1 (1)
n nson divergentes porque sus trminos no convergen a cero, luego el dominio deconvergencia de la serie de Maclaurin es (1, 1).
(ii) La serie numrica
Xn=1
n9
10
n= f
9
10
=
9/10
(1 9 /10)2=
9/10
(1 /10)2= 90,
porque 9 /10 (1, 1) .
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